Chap 31 : Equations non-linéaires autonomes
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Chap 31 : Equations non-linéaires autonomes
ouvert de
U E
I. Généralités
Toutes les solutions envisagées sont maximales ) ' ( )
( :
Une équation autonome est de la forme y f y , où f U E
) ( )
(I, ) est sol. de( autonome : a , la translatée x xa déf. surI{ } {a x a x / I} est sol
( , ) ( )
La trajectoire de I est la courbe de , c'est-à-dire : E x x
( ) ( , ( ))
Trajectoir : x x courbe intégrale : x x x
Dans , la trajectoire de constante est un point, sa courbe intégrale une droite
1
2 1 1 2
, ) ( ,
( ) ' ( )
, ( )
) (
( ) ( )
Deux sol max de donnant la même trajectoire se déduisent l'une de l'autre par translation de vari
ouvert de , , sol max
able
de
tq , adme
Si
n n
f I
t t
y
t
f
t
y
C
( ) sont : des arcs-points, des arcs réguliers inje
t un prolongement périodique à entier
Les solut ctifs ou des
arcs de Jordan (sol. périodique non ions d
trivi e
ale)
( )I ( )J suffit à dire que se déduit de par translation
( , ' ( )
)
) ( ne s'annule pas garde un signe constant strict sur Sur : sol
ou est consta te
de n
f I
I
( , ) ( ) ( ) ( )
ED à variables séparables : Si dy, dy( ) intégration...
f x y x y x dx
dx y
0 0
( ) ( ) 0
1( , ) . (] , [, ) 0 ,lim
(
'( ) ...
( ) ( ( )
) )
croissante, unique zéro sol max tq '
est fini CV t t , par l'absurde
t t
du s ds
t t
f u f s
f a a
ssi du
f u
C
Toujours commencer par chercher les solutions stationnairesséparatrices
1
0 ( )
) ' ( ) (] , [, ) 0
( , ) ( ] , [
([ , [) lim ( ) 0
, sol max
ouvert de , ,
Si compact de , Si , et
n n ,
IU f U
t K U l U
x
f l
x f t
C
II. EDNL du second ordre
2
( , ) ( ( , )
( , ) ( , ( ),
) " ( , ,
'( )) "( ) ( , ( ), '( ) )
)
ouvert de , Une solution de l'ED ' tq :
est un intervalle ouvert de ,
est un couple
, et
U E E f U E I
I I
y f
E x I x x x U x f x x x
x y y
C
C
' ( ) ( , )' ( , ( , , ))
, , ( , ( , , ))
Transformation du problème : On pose , U F
y z z f x y z F E E g
x y z z f x y z
z y
1
0 0 0 0 0 0 0
( , ) ( ) '' ( , , ') ( , , ' ) , !( , ) sol max de ( ) tq ( ) et '( ) ' f C U y f x y y x y y U I x y x y
Chap 31 : Equations non-linéaires autonomes
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 2 Pour E , par chaque point de 2 passe une infinité de solution (on fait varier point ET tangente)
III. Equations de Newton
) " ( )
( ( , )
Une équation de Newton est de la forme y f y où f C J
1( , ) ( ) (2 )
Supp f C J Si est sol, et y a , y y x a et y y ax sont solutions
2
) " ' ( ) ' ( 1 1 ' ( )
( )
Intégrales premières : primitive de sur , soF f J y l de sur I y y. f y y 2y F y cte
0
1
' '( ) 2 ( ) ( ) 0
2 ( )
Si est sans zéro sur , y
y
y I y x F x C x y y x du
F u C
2 4
3
: ' ' " ] , [
) " 0
( 2
(intégrale première borné, int sur prolong
Zéros : isolés, au moins 1, pas de + gd Les so
par stricte concavité. 3 zéros consécutifs et int.
ls sont périodiques sur
t
E y
y y C y b
y
y b
1 périodicité Calcul de la période : intégrale première, sur une période)
e
" ( , , ') ( , ) ' ( , ( , , ))
"
Lien avec équations autonomes : donne une équation autonome
si ne dépend pas de Rechercher par étude de l'équation autonome associée.
Newton Sys. auto. associé :
y f x y y y z z f x y z
f x
y
2
' ( , )
( ) ( , ) 1 ( )
' ( ) ( , ) 2
est associé à ,
Y X H X Y
f y X H X Y X F Y
X f Y H X Y
Y
2
" sin ' '
' sin
'
( , ) 1 cos
2
, , si , les trajectoires sont contenues
dans les courbes :
Y H X X H
Y
H X Y C u v cte
