Equations diérentielles linéaires
1. (31) (a) Déterminer une primitive dex7−→cos4x.
(b) Résoudre surRl'équation diérentielle: y00+y= cos3xen utilisant la méthode de variation des constantes.
2. (32) Soit l'équation diérentielle: x(x−1)y00+ 3xy0+y= 0.
(a) Trouver les solutions de cette équation diérentielle développables en série entière à l'origine.
Déterminer la somme des séries entières obtenues.
(b) Est-ce que toutes les solutions de x(x−1)y00+ 3xy0+y = 0sur]0; 1[ sont développables en série entière à l'origine?
3. (42) On considère les deux équations suivantes: 2xy0−3y= 0 (H) et 2xy0−3y=√ x (E) (a) Résoudre l'équation(H)sur l'intervalle]0,+∞[.
(b) Résoudre l'équation(E)sur l'intervalle]0,+∞[puis sur l'intervalle[0,+∞[. 4. (30) (a)Énoncer le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
(b) Démontrer que la fonctionf :x7−→
+∞
Z
0
e−t2cos (xt)dt est de classeC1 surR.
(c) i. Trouver une équation diérentielle linéaire(E)d'ordre1 dontf est solution.
ii. Résoudre(E).
5. Résoudre le système diérentiel :
x0 =y+e−t y0 =−x+e−t 6. Résoudre l'équation diérentielle : x00+x= tan2t 7. Résoudre les systèmes diérentiels
(a)
(x0−y= cost y0+x= 1
(b)
(x0 =x+ 3y+ cost y0= 4x+ 2y
(c)
x0= 5x+y−z y0= 2x+ 4y−2z z0=x−y+ 3z
(d)
x0= 3x+y+ 3t y0 =−4x−y+ 6t−3 z0= 4x−8y+ 2z (e)
(x00=x0+y0−y y00=x0+y0−x
8. Résoudre le système diérentiel suivant, selon les valeurs du paramètre réela
x0=ax+y+z y0=x+ay+z z0=x+y+az
On pourra soit exploiter la procédure générale, soit (plutôt) introduire une quatrième application, fonction de x, yet z.
9. Déterminer les solutions, s'il en existe, des problèmes de Cauchy suivants : (a) y0−(x+ 1)(y+ 1) = 0ety(0) = 1
(b) (1 +x2)y0−(x+ 1)y= 2ety(0) =−1. 10. Résoudre les équations diérentielles suivantes :
(a) y0−y= sin(2x)ex (b) y0+ 2xy= 2xe−x2
(c) y0+ytanx= sin 2xsur]−π/2, π/2[
11. On considère l'équation diérentielle y0 =a(x)y+b(x), avec a, b:R →Rcontinues, et soit x0 ∈R. Montrer que les tangentes au point d'abscissex0 aux courbes intégrales sont ou bien parallèles ou bien concourantes.
12. Prouver que toute solution de l'équation diérentielley0+ex2y= 0 admet une limite nulle en+∞
13. Soit a:R+→Rcontinue et intégrable.
Établir que les solutions de l'équation diérentielley0−a(t)y= 0sont bornées surR+. 14. Résoudre le système diérentiel suivant :
(x01= (t+ 3)x1+ 2x2
x02=−4x1+ (t−3)x2
15. Soit a, b : R → R deux fonctions continues avec a impaire et b paire. Montrer que l'équation diérentielle : (E) y0(t) +a(t)y(t) =b(t)admet une unique solution impaire.
16. Soit qune fonction continue, intégrable sur[0,+∞[. SoitE l'équation diérentielley00+qy= 0. (a) Sif est une solution bornée deE sur[0,+∞[, montrer que sa dérivéef0 converge en+∞.
Quelle est la valeur de cette limite ?
(b) Soientf etg deux solutions bornées. Étudier le wronskien def et deg : w=f0g−f g0. En déduire quef etg sont liées. Que peut-on en conclure ?
17. Résoudre surRl'équation(x2+ 1)y00+xy0−y= 0. 18. Résoudre surR+? l'équationt3y00+ty0−y= 0.
19. Résoudre sur ]0,1[ l'équation x(1−x)y00+ (1−3x)y0 −y = 0 en commençant par rechercher une solution développable en série entière.
20. Résoudre surRl'équation (1 +t2)2y00(t)−2t(1 +t2)y0(t) + 2(t2−1)y(t) = (1 +t2), On pourra commencer par rechercher une solution polynomiale de l'équation homogène.
21. Résoudre l'équation diérentielle : (2x+ 1)y00+ (4x−2)y0−8y= 0après avoir vérié qu'une fonction t→eat est solution pour un certaina.
22. On cherche à déterminer les fonctionsf de classeC1 deR∗+ dansRtelles que∀x >0, f0(x) =f 1
x
. (a) Montrer que si une telle fonctionf existe, elle est de classeC2.
(b) Déterminer une équation diérentielle linéaire de la variabelxdont f serait alors solution.
(c) En faisant le changement de variablet= ln(x), résoudre cette dernière équation.
(d) Déterminer alors les fonctions solutions du problème initial.
23. Résoudre de deux manières diérentes le système diérentiel : dX
dt =AX oùA=
2 0 1
−1 1 −1
1 2 0
24. Résoudre le problème de Cauchy :
x0 = −x−2y−2z y0 = −3x−5y−5z z0 = 4x+ 6y+ 6z
etx(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 1
25. Soit f une fonction continue surR. Montrer que l'équation diérentielle y00+ 2y0+ 2y =f admet au plus 1 solution périodique
26. Résoudre le système
x0 = −3x+ 2y y0 = −7x+ 4y−z z0 = 3x−y+ 2z
27. On considère l'équation diérentiellexy0−2|y|=x. (On remarquera que ce n'est pas une équation linéaire). Le but de l'exerce est de montrer que cette équation n'a pas de solution surR.
On Suppose que cette équation a une solutionf surR.
(a) Déterminerf(0)et montrer quef est monotone sur[0,+∞[. (b) Déterminer alors la fonctionf.
(c) Faire surgir une contradiction
