4 Points d’équilibre et stabilité pour les équations dif- férentielles non linéaires autonomes

Équations différentielles

Cours de L3 par Frédéric Hélein

, janvier–avril 2021

Mardi 23 mars 2021

4 Points d’équilibre et stabilité pour les équations dif- férentielles non linéaires autonomes

Dans ce qui suit nous nous contenterons d’étudier les équations différentielles auto- nomes.

Remarquons à cette occasion qu’il est toujours possible de ramener l’étude d’une équa- tion différentielle quelconque à celle d’une équation différentielle autonome. En effet, à tout champ de vecteur X ∈ C⁰(U,Rⁿ) (où U est un ouvert de R×Rⁿ), non autonome en général, nous pouvons associer le champ de vecteurautonome² Y ∈C⁰(U,Rⁿ⁺¹)défini par

∀(t, x)∈U, Y(t, x) := (1, X(t, x))∈R×Rⁿ=Rⁿ⁺¹

De plus, à tout intervalle I ⊂ R et à toute application y ∈ C¹(I,Rⁿ), nous spouvons associer l’application z =j⁰y∈C¹(I,R×Rⁿ), définie par : ∀t∈I, z(t) = (t, y(t)). Alors, pour tout(t0, x0)∈U tel que t0 ∈I,

y(t0) = x0

∀t ∈I,^dy_dt(t) = X(t, y(t)) ⇐⇒

z(t0) = (t0, x0)

∀t∈I,^dz_dt(t) = Y(z(t))

Dans la suite, si X est localement lipschitzien, pour tout x0 ∈ Ω et tout t ∈ R nous noterons x₀ · e^tX la valeur à l’instant t (si elle existe) de la solution y de l’équation

dy

dt =X(y), avec la condition de Cauchy y(0) =x0.

4.1 Équilibres et différentes notions de stabilité

Définition 4.1 Soit Ω est un ouvert de Rⁿ et X ∈C⁰(Ω,Rⁿ). Un point d’équilibre de X est un point a∈Ω tel que X(a) = 0.

À chaque point d’équilibrea ∈ΩdeXcorrespond la solution constante[R∋t 7−→a∈Ω ] de l’équation ^dy_dt =X(y). Nous définissons plusieurs notions destabilité de cette solution.

Définition 4.2 (équilibre stable) Soit Ω⊂Rⁿ un ouvert et X ∈C⁰(Ω,Rⁿ) un champ de vecteur localement lipschitzien. Soit a ∈ Ω. On dit que a est un point d’équilibre stable sia est un point d’équilibre et si

∀ε >0,∃δ >0,∀x∈Ω,∀t >0, kx−ak< δ =⇒ kx·e^tX −ak< ε (1)

1. Université de Paris, Licence 3 de Mathématiques,helein@math.univ-paris-diderot.fr

2. Rappelons qu’un champ de vecteur autonome est systématiquement identifié avec une application X d’un ouvertΩdeRⁿ et à valeur dansRⁿ.

Si un point d’équilibre ne satisfait pas la condition (1), on dit qu’il est instable.

Définition 4.3 Sous les mêmes hypothèses que précédemment, a est un point d’équi- libre localement asymptotiquement stable sia est un point d’équilibre stable et si il existe un voisinage Ua de a dans U tel que

∀x∈U_a, lim

t→+∞x·e^tX =a (2)

Définition 4.4 Sous les mêmes hypothèses que précédemment, a est un point d’équi- libre globalement asymptotiquement stable si a est un point d’équilibre stable et si

∀x∈U, lim

t→+∞x·e^tX =a (3)

Les conditions imposées dans les trois définitions précédentes sont de plus en plus fortes.

Ainsi :

globalement asymptotiquement

stable

=⇒

localement asymptotiquement

stable

=⇒ stable

4.2 Stabilité des systèmes linéaires à coefficients constants

Les coefficients d’un système linéaire autonome sont nécessairement constants. Les points d’équilibre d’un système ^dy_dt = Ay+ B (où A ∈ M(n,R) et B ∈ Rⁿ) sont les solutions x0 de Ax0 = −B (si A est inversible, il existe une unique solution qui est x0 =−A⁻¹B). En posanty(t) =x0+x(t), on constate queyest solution de ^dy_dt =Ay+B ssi x est solution de l’équation linéaire homogène associée ^dx_dt = Ax. Nous pouvons donc nous ramener à l’étude des équations différentielles linéaires homogènes. L’origine 0 est alors toujours un point d’équilibre.

Proposition 4.1 Soit A∈M(n,R). Considérons l’équation différentielle ^dx_dt =Ax.

(i) L’origine 0 est un point d’équilibre globalement asymptotiquement stable ssi toutes les valeurs propres de A sont de partie réelle strictement négative.

(ii) Si A a au moins une valeur propre dont la partie réelle est strictement positive, alors 0 est un point d’équilibre instable.

Démonstration — (i) Nous pouvons décomposer A=P(∆ +N)P⁻¹, oùP ∈GL(n,C),∆ est une matrice diagonale etN est un matrice nilpotente qui commute avec∆. Supposons que toutes les valeurs propres deAsont de partie réelle strictement négative, alors il existe α >0tel que, pour chaque valeur propreλ, sur la diagonale de ∆, on a Reλ ≤ −α. Alors,

∀t >0,|e^λt|=e^(Reλ)t≤e^−αt et donc∀z ∈Rⁿ, ke^t∆zk ≤e^−αtkzk. Ainsi, ∀x∈Rⁿ,

∀t >0, ke^tAxk=kP e^t∆e^tNP⁻¹xk ≤ kPke^−αt ke^tNP⁻¹xk

Mais commee^tN est un polynôme ent,limt→+∞ke^tNP⁻¹xk= 0, ce qui entraînelimt→+∞ke^tAxk= 0.

Nous montrons la réciproque en prouvant sa contraposée, à savoir que, s’il existe une valeur propre dont la partie réelle est positive ou nulle, alors 0 n’est pas globalement (ni même localement) asymptotiquement stable. Soit λ une telle valeur propre.

— Si λ∈R, soitu∈Rⁿ un vecteur propre de A pourλ. Alors e^tAu=e^tλu et donc, si t ≥0,ke^tAuk=e^tReλkuk ≥ kuk>0.

— Si λ ∈ C \ R, alors ¯λ est aussi valeur propre. Soit u ∈ Cⁿ un vecteur propre de A pour λ. Alors u¯ est un vecteur propre pour λ¯ et l’application y définie par y(t) =e^λtu+e^λt¯ u¯est une solution réelle de ^dy_dy =Ay. Si nous posonsλ=τ+iθ, avec τ ∈[0,+∞[etθ ∈R^∗, alors,∀t≥0,ky(t)k=e^{τ t}ke^iθtu+e^−iθtuk ≥ ke¯ ^iθtu+e^−iθtuk.¯ Or il existe une constante κ > 0 et une suite (tk)k∈N de la forme tk = t0 +k^2π_|θ|

(qui tend donc vers +∞) telle que, ∀k ∈N, ke^iθtku+e^−iθtkuk¯ =κ. Donc, ∀k ∈N, ky(tk)k ≥κ et y(t) ne peut pas tendre vers 0 lorsquet tends vers +∞.

Dans tous les cas, nous pouvons exhiber une solution qui ne tend pas vers 0 lorsquettend vers +∞. Donc l’origine 0 n’est pas globalement asymptotiquement stable.

La preuve de (ii) est dans le prolongement du raisonnement précédent : si, de surcroît, Reλ >0, alors :

— Si λ est réel, limt→+∞ke^tAuk= +∞, ce qui contredit (1).

— Siλ n’est pas réel, alors,∀k∈N,ky(tk)k=κe^{τ tk} tend vers+∞lorsquek tend vers +∞, ce qui montre que 0 n’est pas stable.

Exemples (pour n= 2)

— Si A=

−1 0 0 −2

, 0 est globalement asymptotiquement stable ;

— Si A=

0 −1 1 0

, 0 est stable mais non asymptotiquement stable ;

— Si A=

−1 0 0 1

, 0 est instable.

4.3 Linéarisation d’une équation linéaire au voisinage d’un équi- libre

4.3.1 Une condition suffisante pour la stabilité

Considérons une équation différentielle non linéaire autonome ^dy_dt = X(y), où X ∈ C¹(Ω,Rⁿ)et supposons quea∈Ωest un point d’équilibre. Nous allons montrer le résultat suivant (dans ce qui suit, dXa est la différentielle deX ena).

Théorème 4.1 Si toutes les valeurs propres de dXa sont de partie réelle strictement négative, alors a est un point d’équilibre localement asymptotiquement stable.

Afin de démontrer ce théorème, nous établissons le lemme suivant.

Lemme 4.1 Soit A∈GL(n,R). Supposons que, pour toute valeur propre λj de A, on ait Reλj <0. Alors il existe un produit scalaire h·,·iA sur Rⁿ et un constante α >0 tels que

∀x∈Rⁿ, hx, AxiA ≤ −αkxk²_A (4) Démonstration — Nous notons, pour tous u, v ∈Cⁿ,

hu, vi:=

n

X

j=1

ujvj = u¹ · · · uⁿ





 v¹

...

vⁿ







le produit hermitien de uet de v. Nous savons qu’il existeP ∈GL(n,C)etT ∈M(n,C), de la forme

T =











λ1 a12 · · · a1n

0 λ₂ ... ...

... ... ... an−1;n

0 · · · 0 λn











= Λ +N

(où Λ est diagonale et N est nilpotente) tels que A = P T P⁻¹. Pour tout δ > 0, nous introduisons la matrice

Qδ:=











δⁿ 0 · · · 0 0 δⁿ⁻¹ . .. ...

... ... ... 0 0 · · · 0 δ











et nous posons, ∀x, y ∈Rⁿ,

hx, yiδ :=Re hQδP⁻¹x , QδP⁻¹yi Nous avons alors,

hx, Axiδ = Re hQδP⁻¹x , QδP⁻¹(P T P⁻¹)xi

= Re hQδP⁻¹x , QδT P⁻¹xi

= Re hQδP⁻¹x , QδT Q_1/δQδ P⁻¹xi

= Re hz , QδT Q1/δ zi oùz :=QδP⁻¹x. Or

QδT Q_1/δ =











λ1 δ a12 · · · δⁿ⁻¹a1n

0 λ₂ ... ...

... ... ... δ an−1;n

0 · · · 0 λn











= Λ +QδN Q_1/δ

À présent utilisons l’hypothèse Reλj < 0, ∀j : il existe α > 0 tel que Reλj ≤ −2α, ∀j.

Alors

hx, Axiδ = Re hz , ΛT zi+Rehz , QδN Q_1/δ zi

≤ −2αkzk²+Re X

1≤j<k≤n

δ^k−jajkzjzk

!

≤ −2αkzk²+δ n−1

2 sup

1≤j<k≤n

|ajk|

n

X

j=1

|zj|²

≤ (Cδ−2α) kzk²

où C = ⁿ⁻¹₂ sup_1≤j<k≤n|ajk|. On choisit δ suffisamment petit pour que Cδ ≤ α. On a alors hx, Axiδ≤ −αkzk². Mais commez :=QδP⁻¹x, il vient de la définition deh·,·iδ que

kzk² =kxk²_δ, d’où l’inégalité (4).

Démonstration du théorème 4.1 — Sans perte de généralité nous supposons que 0 est un point d’équilibre et nous étudions la situation au voisinage de 0. Comme X est C¹,

∀x∈U, on a (quitte à remplacer U par un ouvert convexe si nécessaire) X(x) =

Z 1 0

d

dt(X(tx))dt= Z 1

0 n

X

j=1

∂X

∂x^j(tx)x^jdt

Donc

X(x)−dX0(x) =

n

X

j=1

Z 1 0

∂X

∂x^j(tx)− ∂X

∂x^j(0)

dt

x^j =

n

X

j=1

gj(x)x^j

où,∀j = 1,· · · , n,g_j ∈C⁰(U,Rⁿ)s’annule en 0. Autrement dit, en notantG∈C⁰(U,End(Rⁿ)), l’application qui, à tout x ∈ U, associe Gx ∈ End(Rⁿ) défini par : ∀ξ ∈ Rⁿ, Gx(ξ) = Pn

j=1gj(x)ξ^j, nous avons

∀x∈U, X(x) = dX0(x) +Gx(x) (5) Nous utilisons maintenant l’hypothèse essentielle du théorème, à savoir que les parties réelles des valeurs propres de dX0 sont toutes strictement négatives. D’après le lemme 4, cela entraîne qu’il existe un produit scalaire h·,·iδ et un réel α > 0 tels que : ∀x ∈ Rⁿ, hx, dX0(x)iδ ≤ −αkxk²_δ. En utilisant (5) nous obtenons que, ∀x∈Rⁿ,

hx, X(x)iδ =hx, dX0(x)iδ+hx, Gx(x)iδ ≤ −αkxk²_δ+kxkδkGx(x)kδ

et, en notant kGxkδ:= sup_x∈Rⁿ\{0} kGx(x)kδ

kxkδ ,

∀x∈U, hx, X(x)iδ ≤(kGxkδ−α)kxk²_δ

Notons, pour tout r ≤ 0, B_δ(r) := {x ∈ Rⁿ ; kxk_δ ≤ r}. Comme G est continue et s’annule en 0, ∃ρ >0 tel que Bδ(ρ)⊂U et,∀x∈Bδ(ρ),kGxkδ ≤α/2et donc

∀x∈Bδ(ρ), hx, X(x)iδ≤ −α 2kxk²_δ

Soit x ∈ Bδ(ρ) et I l’intervalle de vie maximal de [t −→ x· e^tX]. Alors, en notant y(t) := x·e^tX,

∀t∈I∩[0,+∞[, dkyk²_δ dt = 2

y,dy

dt

δ

= 2hy, X(y)i_δ≤ −αkyk²_δ

Nous remarquons que cette inégalité implique que y reste dans le compactBδ(ρ) sit ≥0 et donc queI∩[0,+∞[= [0,+∞[. De plus, nous en déduisons :∀t≥0, _dt^d (e^tαky(t)k²_δ)≤0.

Donc t7−→e^tα/2

x·e^tX

δ est une fonction décroissante et

∀t≥0,

x·e^tX

δ ≤e^−tα/2kxkδ≤ρe^−tα/2 (6) Observons que, comme toutes les normes sur Rⁿ sont équivalentes, ∃C > 0tel que

∀x∈Rⁿ, 1

Ckxk ≤ kxkδ ≤Ckxkδ

Donc,∀x∈U, ∀t≥0, kxk ≤ ρ

C =⇒ kxkδ≤ρ =⇒

x·e^tX

δ ≤e^−tα/2kxkδ =⇒

x·e^tX

≤Cρe^−tα/2 Cela prouve que 0 est un point d’équilibre localement asymptotiquement stable.