Equations aux dérivées partielles elliptiques linéaires et non linéaires

Universit´ e Paris-Sud Master de Math´ ematiques et Applications

Equations aux d´ eriv´ ees partielles elliptiques

lin´ eaires et non lin´ eaires

Jean-Fran¸ cois Babadjian

Table des mati` eres

1 Introduction 5

1.1 G´en´eralit´es . . . 5

1.2 Quelques exemples . . . 6

2 L’op´erateur Laplacien 9 2.1 Fonctions harmoniques . . . 9

2.2 Solution fondamentale . . . 19

3 Equations lin´eaires sous forme divergence 25 3.1 Introduction. . . 25

3.2 Espaces de Sobolev . . . 26

3.3 Formulation faible . . . 29

3.4 R´egularit´e des solutions . . . 32

4 R´esultats de r´egularit´e 41 4.1 Estimations de Schauder . . . 41

4.2 Estimations de Calderon-Zygmund . . . 47

4.3 Autres r´esultats de r´egularit´e . . . 57

5 Equations non lin´eaires sous forme divergence 61 5.1 Th´eor`emes de points fixes . . . 61

5.2 Equations semi-lin´eaires . . . 65

5.3 Equations quasi-lin´eaires. . . 71

6 Introduction au calcul des variations 77 6.1 La m´ethode directe en calcul des variations . . . 77

6.2 Application aux fonctionnelles int´egrales . . . 79

6.3 Equation d’Euler-Lagrange . . . 81

3

4

Chapitre 1

Introduction

1.1 G´ en´ eralit´ es

On dit qu’un op´erateur diff´erentiel lin´eaire du second ordre L est elliptique s’il agit sur des fonctionsu∈ C^∞(R^N) sous la forme suivante :

Lu=

N

X

i,j=1

a_ij(x)∂_ij²u(x) +

N

X

i=1

b_i(x)∂_iu(x) +c(x)u(x),

o`u A(x) = (a<sub>ij</sub>(x))<sub>1≤i,j≤N</sub> est une matrice `a coefficients born´es satisfaisant la propri´et´e d’ellipti- cit´e : il existeλ >0 tel que

N

X

i,j=1

aij(x)ξiξj≥λ|ξ|² pour toutx∈R^N et toutξ∈R^N.

Comme la matrice hessienneD²u= (∂_ij²u)_1≤i,j≤N est sym´etrique, on peut se restreindre au cas de matricesA(x) qui sont sym´etriques, auquel cas la condition d’ellipticit´e est ´equivalente au fait que la matriceA(x) est d´efinie positive et que sa plus petite valeur propre est plus grande queλ >0.

Un cas particulier est celui desop´erateurs sous forme divergence Lu=

N

X

i,j=1

∂i aij(x)∂ju(x)

= div(A(x)∇u(x)).

En ´ecrivant

Lu=

N

X

i,j=1

aij(x)∂_ij²u(x) +

N

X

i,j=1

∂iaij(x)∂ju(x), on retrouve la forme pr´ec´edente avec b_j =PN

i=1∂_ia_ij et la condition d’ellipticit´e reste la mˆeme.

Cependant, on ne peut pas se restreindre au cas de matricesA(x) qui sont sym´etriques.

On appelle ´equation elliptiquelin´eaireune ´equation de la forme Lu=f,

5

6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION o`uf est une fonction donn´ee (appel´eterme sourceousecond membre) etLest lin´eaire par rapport

`

a u. On dit que l’´equation est semi-lin´eaire si elle est non lin´eaire mais sa partie principale est lin´eaire par rapport `a u, i.e.,

N

X

i,j=1

aij(x)∂_ij²u(x) =f(x, u,∇u).

On dit que l’´equation estquasi-lin´eairesi elle est non lin´eaire mais sa partie principale est lin´eaire par rapport `a la d´eriv´ee deud’ordre le plus ´elev´e. Pour les ´equations d’ordre 2, elles sont du type

N

X

i,j=1

a_ij(x, u,∇u)∂_ij²u(x) =f(x, u,∇u).

La classe g´en´erale des ´equations compl`etement non lin´eaires est de la forme F(x, u,∇u, D²u) = 0.

La condition d’ellipticit´e est alors queM 7→F(x, z, ξ, M) est monotone, i.e. pour tout (x, s, ξ, M)∈ R^N×R×R^N ×R^N×N et toute matriceP d´efinie positive,

F(x, s, ξ, M+P)≥F(x, s, ξ, M).

L’op´erateur elliptique le plus important est leLaplacien. Il correspond `a la matriceA=I :

∆u=

N

X

i=1

∂_ii²u.

1.2 Quelques exemples

L’´ equation de Poisson

Soit Ω⊂R^N un ouvert etf : Ω→R. On cherche une fonctionu: Ω→Rtelle que (−∆u=f dans Ω,

u= 0 sur∂Ω.

Cette ´equation intervient dans de nombreux domaines des math´ematiques et de ses applications.

Par exemple, en dimension N = 3, sif repr´esente une densit´e de charge ´electrique pr´esente dans Ω, alors −uest le potentiel ´electrique dans Ω quand le bord de Ω est parfaitement conducteur.

Le gradient de −u est le champ ´electrique. Plus g´en´eralement, ce probl`eme intervient dans les questions relatives au potentiel newtonien.

En dimensionN = 2, il s’agit de l’´equation de la membrane ´elastique :f repr´esente une densit´e volumique de forces eturepr´esente le d´eplacement vertical d’une membrane qui occupe la position Ω au repos. La condition limiteu= 0 sur∂Ω signifie que la membrane est fix´ee sur le bord.

Elasticit´ e lin´ eaire

De mani`ere plus g´en´erale, le syst`eme de l’´elasticit´e lin´eaire (dit syst`eme de Lam´e) permet de d´ecrire la position d’´equilibre d’un milieu ´elastique homog`ene et isotrope lorsque l’on fait l’hy- poth`ese que les d´eplacements par rapport `a l’´etat naturel sont petits. Si Ω ⊂ R³ repr´esente la

1.2. QUELQUES EXEMPLES 7 configuration de r´ef´erence d’un milieu ´elastique lin´eaire soumis `a une densit´e volumique de forces f : Ω→R<sup>3</sup> et fix´e sur le bord, le d´eplacementu: Ω→R<sup>3</sup>est solution du syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles suivant :

(−(λ+µ)∇(divu)−µ∆u=f dans Ω,

u= 0 sur∂Ω.

Les coefficients λ et µ sont des param`etres d’´elasticit´e appel´es coefficients de Lam´e qui doivent satisfaire les conditions

3λ+ 2µ >0, µ >0 assurant le caract`ere elliptique du syst`eme d’EDP pr´ec´edent.

Syst` eme de Stokes

Les ´equations de Stokes sont des ´equations de la m´ecanique des fluides qui r´egissent l’´ecoulement d’un fluide visqueux incompressible qui occupe le volume Ω⊂R³ au repos. Sif : Ω→R³d´esigne une densit´e volumique de forces agissant sur le fluide, on cherche la vitesse du fluidev : Ω→R³ et la pressionp: Ω→Rtels que







−µ∆v=∇p+f dans Ω,

divv= 0 dans Ω,

v= 0 sur∂Ω.

La deuxi`eme ´equation traduit l’incompressibilit´e du fluide.

8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Chapitre 2

L’op´ erateur Laplacien

L’un des op´erateurs diff´erentiels les plus importants est le Laplacien ∆ surR^N d´efini par

∆u=

N

X

i=1

∂_ii²u= div∇u.

Il est utile d’avoir `a l’esprit un mod`ele physique li´e `a cet op´erateur. Le plus simple provient de la th´eorie de l’´electrostatique. Selon les ´equations de Maxwell, un champ ´electrique E dans l’espace (un champ de vecteur repr´esentant la force ´electrostatique par unit´e de charge) est reli´e

`

a la densit´e de charge f par l’´equation divE = f (`a condition que les unit´es de mesure soient correctement choisies) et satisfait ´egalement rotE = 0 (en dimension N, rotE est donn´e par la matrice antisym´etrique (∂iEj −∂jEi)1≤i,j≤N). Cette deuxi`eme condition signifie que, du moins localement,E est le gradient d’une fonction, not´ee−u, d´etermin´ee `a une constante additive pr`es, appel´e potentiel ´electrostatique. Par cons´equent, on a

−∆u=f,

de sorte que le Laplacien relie le potentiel `a la densit´e de charge.

2.1 Fonctions harmoniques

D´efinition 2.1.1. Une fonction ude classeC² sur un ouvert Ω⊂R^N est harmonique si elle est solution de l’´equation de Laplace

∆u(x) = 0 pour toutx∈Ω.

Nous verrons plus loin que l’hypoth`ese u∈ C<sup>2</sup>(Ω) est en fait superflue. Nous allons `a pr´esent

´

etablir un certain nombre de propri´et´es des fonctions harmoniques. Tout d’abord, comme le Lapla- cien commute avec les rotations, il pr´eserve la classe des fonctions radiales sur laquelle il se r´eduit

`

a une ´equation diff´erentielle ordinaire. On peut alors caract´eriser toutes les fonctions radiales har- moniques en dehors de l’origine.

Proposition 2.1.2. Siu(x) =φ(|x|)pour toutx∈R^N, alors∆u= 0surR^N\ {0}si et seulement si

u(x) =







a|x|+b siN = 1, aln|x|+b siN = 2, a|x|^2−N +b siN ≥3.

9

10 CHAPITRE 2. L’OP ´ERATEUR LAPLACIEN D´emonstration. Pour tout 1≤i≤N et pour toutx6= 0, on a,

∂_iu(x) =φ⁰(|x|)x_i

|x|, ∂_ii²u(x) =φ⁰⁰(|x|) x²_i

|x|²+φ⁰(|x|) 1

|x|− x²_i

|x|³

.

Par cons´equent,

∆u(x) =φ⁰⁰(|x|) +N−1

|x| φ⁰(|x|)

et ∆u = 0 sur R^N \ {0} si et seulement si φ⁰⁰(r) + ^N_r⁻¹φ⁰(r) = 0 pour tout r > 0 ou encore

φ⁰⁰(r)

φ⁰(r) = ^1−N_r pour tout r > 0. On int`egre une premi`ere fois cette EDO et on obtient alors que lnφ⁰(r) = (1−N) lnr+ lnc, soitφ⁰(r) =cr^1−N. Une nouvelle int´egration donne le r´esultat.

Dans la suite, nous aurons besoin d’int´egrer sur des hypersurfaces S qui sont la fronti`ere de domaines deR^N.

D´efinition 2.1.3. Soit Ω ⊂R^N un ouvert. On dit que Ω est de classe C^k (k∈ N) si pour tout x∈∂Ω, il existe

— unr >0

— un syst`eme d’axes de coordonn´ees{e1, . . . , eN}

— une fonctionγ:R^N−1→Rde classeC^k tels que

Ω∩Qr(x) ={y∈Qr(x) :yN < γ(y1, . . . , y_N−1)},

∂Ω∩Qr(x) ={y∈Qr(x) :yN =γ(y1, . . . , yN−1)},

o`u Qr(x) ={y∈R^N :|yi−xi|< rpour tout 1≤i≤N}. Sik≥1, la normale unitaire ext´erieure

`

a Ω eny= (y1, . . . , yN−1, γ(y1, . . . , yN−1) = (y⁰, γ(y⁰))∈∂Ω∩Qr(x) est bien d´efinie et est donn´ee par

ν(y) = 1

p1 +|∇γ(y⁰)|²(−∇γ(y⁰),1).

De plus, siϕ:R^N →R, est une fonction continue dans un voisinage de∂Ω, l’int´egrale de bord de ϕsur∂Ω∩Qr(x) est d´efinie par

Z

∂Ω∩Qr(x)

ϕ dσ:=

Z

x⁰+]−r,r[^N−1

ϕ(y⁰, γ(y⁰))p

1 +|∇γ(y⁰)|²dy⁰.

Si Ω est born´e, alors∂Ω est un compact deR^N. Par la propri´et´e de Heine-Borel, on peut alors trouver un nombre fini de cubes Qi = Qr_i(xi)(pour i = 1, . . . , m) qui satisfont les propri´et´es ci-dessus. Siθ1, . . . , θm est une partition de l’unit´e associ´ee `a Q1, . . . , Qm:

— pour tout 1≤i≤m,θi∈ C_c^∞(Qi) et 0≤θi≤1 ;

— Pm

i=1θi= 1 sur∂Ω ; alors, on d´efinit

Z

∂Ω

ϕ dσ:=

m

X

i=1

Z

∂Ω∩Qi

θiϕ dσ.

On peut montrer que cette quantit´e est ind´ependante du choix de la param´etrisation, du recou- vrementQ1, . . . , Qmet de la partition de l’uniti´eθ1, . . . , θm.

Le r´esultat suivant est une versionN-dimensionelle de la formule d’int´egration par parties, bien connue en dimension 1.

2.1. FONCTIONS HARMONIQUES 11 Th´eor`eme 2.1.4. (Th´eor`eme de la divergence)SoientΩ⊂R^N un ouvert born´e de classeC¹ etF :R^N →R^N un champ de vecteurs de classeC¹ dans un voisinage de Ω. Alors

Z

Ω

divF(x)dx= Z

∂Ω

F·ν dσ. (2.1.1)

Sif :R^N →Rest une fonction scalaire de classe C¹ dans un voisinage deΩ, Z

Ω

∇f(x)dx= Z

∂Ω

f ν dσ. (2.1.2)

D´emonstration. Nous d´emontrons seulement la formule (2.1.2).

Etape 1.On suppose ici que supp(f)⊂Ω. SoitR >0 tel que Ω⊂]−R, R[^N. Comme f est `a support dans Ω, on peut l’´etendre par z´ero `a tout ]−R, R[^N en une fonction (toujours not´ee f) de classeC¹ sur ]−R, R[^N. D’apr`es le th´eor`eme de Fubini, on a alors que pour tout 1≤j≤N,

Z

Ω

∂_jf dx= Z

]−R,R[^N

∂_jf dx= Z

]−R,R[^N−1

Z R

−R

∂_jf dx_j

!

dx₁· · ·dx_j−1dx_j+1· · ·dx_N.

Or Z R

−R

∂jf dxj =f(x1, . . . , x_j−1, R, xj+1, . . . , xN)−f(x1, . . . , x_j−1,−R, xj+1, . . . , xN) = 0 car supp(f)⊂Ω⊂]−R, R[^N. Par cons´equent, commef = 0 sur∂Ω,

Z

Ω

∇f dx= 0 = Z

∂Ω

f ν dσ.

Etape 2.Soitx∈∂Ω,r >0,Q:=Qr(x) et γ∈ C¹(R^N−1;R) comme dans la D´efinition2.1.3.

Pla¸cons nous dans la base{e1, . . . , eN} donn´ee par la param´etrisation locale de∂Ω. On note alors

∂if =∇f·ei la d´eriv´ee dans la directionei de sorte que ∇f =PN

i=1(∂if)ei. Montrons que Z

Ω

∇f(y)dy= Z

∂Ω

f ν dσ pour toutf ∈ C_c¹(Q).

Tout d’abord, on a d’apr`es le th´eor`eme de Fubini, Z

Ω

∂Nf(y)dy= Z

x⁰+]−R,R[^N−1

Z γ(y⁰)

−R

∂Nf(y⁰, yN)dyN

! dy⁰

= Z

x⁰+]−R,R[^N−1

f(y⁰, γ(y⁰))dy⁰= Z

∂Ω∩Q

f νNdσ= Z

∂Ω

f νNdσ.

Par ailleurs, sij6=N, ety⁰∈x⁰+]−R, R[^N−1, on a que

∂_j

Z γ(y⁰)

−R

f(y⁰, y_N)dy_N

!

=f(y⁰, γ(y⁰))∂_jγ(y⁰) + Z γ(y⁰)

−R

∂_jf(y⁰, y_N)dy_N.

On int`egre `a pr´esent par rapport `a y<sup>0</sup> ∈ x<sup>0</sup>+]−R, R[<sup>N−1</sup>. Comme f = 0 sur∂Q, le th´eor`eme de Fubini montre que le membre de gauche s’annule et donc que

0 = Z

x⁰+]−R,R[^N−1

f(y⁰, γ(y⁰))∂_jγ(y⁰)dy⁰+ Z

x⁰+]−R,R[^N−1

Z γ(y⁰)

−R

∂_jf(y⁰, y_N)dy_N

! dy⁰,

12 CHAPITRE 2. L’OP ´ERATEUR LAPLACIEN

soit Z

Ω

∂_jf(y)dy= Z

∂Ω∩Q

f ν_jdσ= Z

∂Ω

f ν_jdσ.

Etape 3.SoitQ1, . . . , Qmun recouvrement de ∂Ω par des cubes satisfaisant les propri´et´es de la D´efinition2.1.3. On consid`ere ´egalement un ouvertω tel queω⊂Ω et

Ω⊂ω∪

m

[

i=1

Qi.

Soitθ0, θ1, . . . , θN une partition de l’unit´e associ´ee `aω, Q1, . . . , Qm:

— θ0∈ C_c^∞(ω), 0≤θ0≤1 et, pour tout 1≤i≤m,θi∈ C_c^∞(Qi) et 0≤θi≤1 ;

— Pm

i=0θi= 1 sur Ω.

Commef =Pm

i=0θif dans Ω, on a que Z

Ω

∇f(x)dx= Z

ω

∇(θ0f)dx+

m

X

i=1

Z

Ω∩Qi

∇(θif)dx.

D’apr`es l’´etape 1, du fait que supp(θ0f)⊂ω⊂]−R, R[^N, on en d´eduit que Z

ω

∇(θ₀f)dx= 0. (2.1.3)

Si 1≤i≤m, commeθif ∈ C_c¹(Qi), on peut appliquer l’´etape 2 pour obtenir que Z

Ω

∇(θ_if)dx= Z

∂Ω

θ_if ν dσ. (2.1.4)

En regroupant (2.1.3) et (2.1.4), il vient Z

Ω

∇f dx=

m

X

i=0

Z

Ω

∇(θif)dx=

m

X

i=1

Z

∂Ω

θ_if ν dσ= Z

∂Ω

f ν dσ,

o`u l’on a utilis´e le fait que sur∂Ω,θ0= 0 et doncPm

i=1θi= 1.

Th´eor`eme 2.1.5 (Formules de Green). Soient Ω ⊂ R^N un ouvert born´e de classe C¹ et u, v:R^N →Rdes fonctions de classeC² dans un voisinage deΩ. Alors

Z

Ω

(v∆u+∇u· ∇v)dx= Z

∂Ω

v∂νu dσ,

et Z

Ω

(v∆u+u∆v)dx= Z

∂Ω

(v∂νu−u∂νv)dσ, o`u∂νu=∇u·ν et ∂νv=∇v·ν.

D´emonstration. Pour la premi`ere formule de Green, on applique le th´eor`eme de la divergence au champ de vecteursF:=v∇u. Pour la deuxi`eme formule de Green, on applique, la premi`ere formule de Green deux fois.

Une cons´equence imm´ediate de la formule de Green stipule que le flux d’une fonction harmonique

`

a travers une surface ferm´ee est nul.

2.1. FONCTIONS HARMONIQUES 13 Corollaire 2.1.6. Siuest harmonique surΩetω est un ouvert born´e de classeC¹ tel queω⊂Ω, alors

Z

∂ω

∂_νu dσ= 0.

D´emonstration. On applique la formule de Green avecv= 1.

Nous allons `a pr´esent ´etablir des formules de moyennes de fonctions harmoniques sur des boules.

Pour ce faire, il sera utile de connaˆıtre la formule de changement de variables suivante (quandN = 2 il s’agit du changement de variables en coordonn´ees polaires et quand N = 3, on retrouve la for- mule de changement de variables en coordonn´ees sph´eriques). On peut trouver une d´emonstration relativement ´el´ementaire dans [4, Section 2.7].

Th´eor`eme 2.1.7. SoitΩ⊂R^N un ouvert etu: Ω→Rune fonction continue. Six∈ΩetR >0 sont tels que BR(x) ⊂Ω, alors

Z

B_R(x)

u(y)dy= Z R

0

Z

∂B_r(x)

u(z)dσ(z)dr

= Z R

0

Z

∂B₁(x)

u(rz)dσ(z)r^N−1dr= Z R

0

Z

∂B₁(0)

u(x+rz)dσ(z)r^N−1dr.

Dans la suite,ω_N d´esigne le volume (la mesure de Lebesgue) de la boule unit´e. En utilisant la formule de changement de variables en coordonn´ees polaires avecu= 1, on obtient que

ωN =|B1|= Z

B1

1dx= Z 1

0

σ(∂B1)r^N−1dr=σ(∂B1) N ,

ce qui montre que le p´erim`etre de la sph`ere unit´e est donn´ee parN ωN. Par homog´en´eit´e et inva- riance par translation du p´erim`etre et du volume on a donc

|BR(x)|=ωNR^N etσ(∂BR(x)) =N ωNR^N−1.

Le r´esultat suivant ´etablit que la valeur moyenne d’une fonction harmonique en un point est

´

egale `a sa moyenne sur n’importe quelle sph`ere ou boule autour de ce point.

Th´eor`eme 2.1.8 (de la valeur moyenne). Supposons que u est harmonique sur un ouvert Ω⊂R^N. Six∈ΩetR >0sont tels que BR(x) ⊂Ω, alors

u(x) = 1 N ωNR^N−1

Z

∂B_R(x)

u(z)dσ(z) = 1 ωNR^N

Z

B_R(x)

u(y)dy.

D´emonstration. Montrons d’abord la premi`ere identit´e. Quitte `a translater, on peut supposer que x= 0. On utilise la formule de Green avec sur l’ouvertU :=BR\Br(0< r < R) avecv(y) =φ(|y|) o`uφ(r) =rsiN = 1,φ(r) = lnrsiN = 2 etφ(r) = <sup>r</sup><sub>2−N</sub><sup>2−N</sup> siN ≥3. Comme d’apr`es la Proposition 2.1.2,uet v sont harmoniques surU, on obtient

Z

∂U

(v∂νu−u∂νv)dσ= 0.

Comme∂U =∂B_R∪∂B_r et ν(x) = _R^x sur∂B_R et ν(x) =−^x_r sur ∂B_r (le signe moins est dˆu `a l’orientation de∂B<sub>r</sub> qui est oppos´ee `a celle de∂B_R), l’expression pr´ec´edente devient

φ(R) Z

∂BR

∂νu dσ−φ⁰(R) Z

∂BR

u dσ−φ(r) Z

∂Br

∂νu dσ+φ⁰(r) Z

∂Br

u dσ= 0.

14 CHAPITRE 2. L’OP ´ERATEUR LAPLACIEN En utilisant le Corollaire2.1.6, il vient que

R^1−N Z

∂B_R

u dσ=r^1−N Z

∂B_r

u dσ.

Commeuest en particulier continue, on peut faire tendrer→0 de sorte que R^1−N

Z

∂BR

u dσ= lim

r→0r^1−N Z

∂Br

u dσ=N ωNu(0).

En int´egrant l’identit´e pr´ec´edente par rapport `aR et en utilisant la formule de changement de variables en coordonn´ees polaires, on obtient ´egalement que

Z

B_R

u(y)dy= Z R

0

Z

∂B_r

u(z)dσ(z)dr=N ω_N Z R

0

r^N−1dr

!

u(0) =ω_NR^Nu(0),

ce qui termine la preuve du th´eor`eme.

Nous avons ´egalement une r´eciproque au th´eor`eme de la valeur moyenne.

Th´eor`eme 2.1.9. Soituune fonction continue sur un ouvertΩtelle que pour toutx∈Ωet tout r >0 tels queB_r(x) ⊂Ω,

u(x) = 1 N ω_Nr^N−1

Z

∂Br(x)

u(z)dσ(z).

Alorsu∈ C^∞(Ω) etuest harmonique sur Ω.

D´emonstration. Soit φ ∈ C^∞_c (B1) telle que φ(x) = ψ(|x|) avec ψ ∈ C_c^∞(R) et R

B₁φ(y)dy = N ωNR1

0 ψ(r)r^N−1dr = 1. Pour tout ε > 0, on pose φε(y) = ε^−Nφ(y/ε) et Ωε = {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω)> ε}. Si x∈ Ωε, commeBε(x)⊂Ω, on en d´eduit que la fonction y 7→φε(x−y) est support´ee dans Bε(x)⊂Ω et on a

uε(x) :=

Z

Ω

u(y)φε(x−y)dy= Z

B1

u(x−εy)φ(y)dy= Z 1

0

Z

∂B1

u(x−rεz)ψ(r)r^N−1dσ(z)dr.

En changeant de variables et en utilisant l’hypoth`ese, on obtient que Z

∂B₁

u(x−rεz)dσ(z) = 1 (rε)^N−1

Z

∂B_rε(x)

u(z)dσ(z) =N ω_Nu(x), ce qui implique que

uε(x) =N ωNu(x) Z 1

0

ψ(r)r^N−1dr=u(x) Z

B1

φ(y)dy=u(x).

Comme uε ∈ C^∞(Ωε), on en d´eduit queu∈ C^∞(Ωε) ´egalement. Puis, ε´etant arbitraire, il vient queu∈ C^∞(Ω).

Par la propri´et´e de la valeur moyenne, six∈Ωε, on a 0 = d

dr Z

∂B₁

u(x+ry)dσ(y) = Z

∂B₁

∇u(x+ry)·y dσ(y)

= Z

∂Br

∇u(x+z)·z

rr^N−1dσ(z) =r^N−1 Z

∂Br(x)

∂νu dσ=r^N−1 Z

Br(x)

∆u(y)dy, o`u l’on a utilis´e la formule de Green dans la derni`ere ´egalit´e. Comme ∆uest continue sur Ω, on en d´eduit que pour toutx∈Ω, ∆u(x) = 0, ce qui ´etablit queuest harmonique dans Ω.

2.1. FONCTIONS HARMONIQUES 15 De fa¸con g´en´erale, il est possible d’´etendre la notion de fonctions harmoniques aux distributions.

Rappelons au pr´ealable quelques notions de la th´eorie des distributions.

D´efinition 2.1.10. Soit Ω ⊂R^N un ouvert. Une distribution T ∈ D⁰(Ω) est une forme lin´eaire continue surC_c^∞(Ω) au sens suivant :

— Lin´earit´e : soientλ, µ∈Retϕ,ψ∈ C_c^∞(Ω), alors

hT, λϕ+µψi=λhT, ϕi+µhT, ψi;

— Continuit´e : si (ϕn)_n∈Nest une suite de fonctions deC_c^∞(Ω) etϕ∈ C_c^∞(Ω) sont telsϕn→ϕ dans C_c^∞(Ω) (i.e. il existe un compactK ⊂Ω tel que Supp(ϕ)⊂K, Supp(ϕn) ⊂K pour tout n∈Net∂^αϕn →∂^αϕuniform´ement surK pour tout multi-indiceα∈N^N), alors

hT, ϕ_ni → hT, ϕi.

A titre d’exemple, toute fonctionf ∈L¹_loc(Ω) d´efinit une distributionTf ∈ D⁰(Ω) par la formule hT_f, ϕi=

Z

Ω

f ϕ dx pour toutϕ∈ C_c^∞(Ω).

En effet, la lin´earit´e est une cons´equence imm´ediate de la lin´earit´e de l’int´egrale et la continuit´e r´esulte du th´eor`eme de la convergence domin´ee. Un autre exemple important est celui de la masse de Diracδ₀∈ D⁰(Ω) d´efinie par

hδ0, ϕi=ϕ(0) pour toutϕ∈ C_c^∞(Ω).

L’un des avantages des distributions r´eside dans le fait qu’il est possible de d´efinir une notion de d´eriv´ee `a tout ordre via une g´en´eralisation de la formule de Green. En effet, si f : Ω→Rest une fonction r´eguli`ere on a par applications successives de la formule de la divergence : pour tout multi-indiceα∈N^N et toutϕ∈ C_c^∞(Ω),

Z

Ω

f(∂^αϕ)dx= (−1)^|α|

Z

Ω

(∂^αf)ϕ dx.

Cette formule est `a la base de la d´efinition suivante.

D´efinition 2.1.11. SoitT ∈ D⁰(Ω) une distribution. Pour tout multi-indiceα= (α1, . . . , αN)∈ N^N, on d´efinit la distribution ∂^αT ∈ D⁰(Ω) par

h∂^αT, ϕi= (−1)^|α|hT, ∂^αϕi pour toutϕ∈ C_c^∞(Ω), o`u |α|=α₁+· · ·+α_N.

Nous sommes `a pr´esent en mesure de d´efinir la notion de distribution harmonique.

D´efinition 2.1.12. Soit Ω ⊂ R^N un ouvert et T ∈ D⁰(Ω) une distribution. On dit que T est harmonique sur Ω si ∆T = 0 dansD⁰(Ω), i.e.

hT,∆ϕi= 0 pour toutϕ∈ C^∞_c (Ω).

Remarque 2.1.13. Si T = uest une fonction de classe C² sur Ω, la formule de Green montre alors que

0 =hT,∆ϕi= Z

Ω

u∆ϕ dx= Z

Ω

(∆u)ϕ dx,

pour tout ϕ ∈ C_c^∞(Ω), ce qui montre que ∆u= 0 sur Ω et donc que u est harmonique au sens usuel.

16 CHAPITRE 2. L’OP ´ERATEUR LAPLACIEN On peut montrer que toute distribution harmonique sur Ω est en fait une fonction de classe C^∞ sur Ω. Nous d´emontrons ci-dessous ce r´esultat dans le cas o`u T est une fonction localement int´egrable.

Th´eor`eme 2.1.14 (Weyl). Soitu∈L¹_loc(Ω) telle que Z

Ω

u∆ϕ dx= 0 pour toutϕ∈ C_c^∞(Ω).

Alorsu∈ C^∞(Ω) etuest harmonique sur Ω.

D´emonstration. Soitφ∈ C^∞_c (B₁) telle queφ(x) =ψ(|x|) avecψ∈ C_c^∞(R) etR

B1φ(y)dy= 1. Pour tout ε >0, on poseφ_ε(y) =ε^−Nφ(y/ε) et Ω_ε={y ∈Ω : dist(y, ∂Ω)> ε}. Six∈Ω_ε, la fonction y7→φ_ε(x−y) est support´ee dans Ω. On pose alors

uε(x) :=

Z

Ω

u(y)φε(x−y)dy.

Les propri´et´es standards de la convolution montrent queu_ε→udansL¹_loc(Ω) et ´egalement presque partout (quitte `a extraire une sous-suite). On montre par ailleurs que u_ε∈ C^∞(Ω_ε) et que

∆uε(x) = Z

Ω

u(y)∆φε(x−y)dy= 0,

autrement dit, queu_εest harmonique sur Ω_ε. Soientx∈Ω tel queu_ε(x)→u(x) etr >0 tels que B_r(x) ⊂Ω. On peut alors trouver unε₀>0 (d´ependant dexetr) tel queB_r(x) ⊂Ω_εpour tout ε < ε0. D’apr`es le Th´eor`eme de la valeur moyenne, on a que

uε(x) = 1 ω_Nr^N

Z

Br(x)

uε(y)dy.

Par passage `a la limite quandε→0, on obtient que p.p. toutx∈Ω, u(x) = 1

ω_Nr^N Z

Br(x)

u(y)dy

Par cons´equent u admet un repr´esentant continu dans la classe d’´equivalence des fonctions qui lui sont ´egales presque partout. On peut donc supposer que u ∈ C(Ω). On est alors en mesure d’appliquer le Th´eor`eme2.1.9qui assure queu∈ C^∞(Ω) etuest harmonique sur Ω.

La propri´et´e r´egularisante des fonctions harmoniques peut se quantifier par l’in´egalit´e de Cac- cioppoli qui contrˆole les d´eriv´ees d’une fonction harmonique par des termes d’ordre inf´erieur. Notons que cette in´egalit´e (valable pour les fonctions harmoniques ou, plus g´en´eralement, pour les solutions d’EDP elliptiques sous forme divergence) peut ˆetre vue comme une in´egalit´e de Poincar´e-Wirtinger invers´ee (voir le Th´eor`eme3.2.8).

Th´eor`eme 2.1.15 (In´egalit´e de Caccioppoli). Il existe une constante C >0 (qui ne d´epend que de la dimension N) telle que pour toute fonction harmonique u sur Ω, tout x0 ∈ Ω et tout 0< ρ < Rtels queBR(x0)⊂Ω, alors on a

Z

B_ρ(x₀)

|∇u|²dx≤ C (R−ρ)²

Z

B_R(x₀)

(u−u_x0,R)²dx, o`uux₀,R=_ω ¹

NR^N

R

B_R(x₀)u(y)dy est la moyenne deusur BR(x0).

2.1. FONCTIONS HARMONIQUES 17 D´emonstration. Soitϕ∈ C_c^∞(BR(x0)) telle que 0≤ϕ≤1,ϕ= 1 surBρ(x0) et|∇ϕ| ≤C/(R−ρ), o`u C >0 est une constante ne d´ependant que deN. Commeϕ²(u−u_x0,R)∈ C^∞_c (B_R(x₀)), on en d´eduit de la formule de Green que

0 =− Z

B_R(x₀)

ϕ²(u−ux₀,R)∆u dx= Z

B_R(x₀)

∇(ϕ²(u−ux₀,R))· ∇u dx

= Z

B_R(x₀)

ϕ²|∇u|²dx+ 2 Z

B_R(x₀)

ϕ(u−u_x0,R)∇ϕ· ∇u dx.

Par cons´equent, d’apr`es l’in´egalit´e 2ab≤εa²+^b_ε², il vient Z

BR(x0)

ϕ²|∇u|²dx=−2 Z

BR(x0)

ϕ(u−ux₀,r)∇ϕ· ∇u dx

≤ε Z

B_R(x₀)

ϕ²|∇u|²dx+1 ε

Z

B_R(x₀)

(u−ux0,R)²|∇ϕ|²dx

≤ε Z

BR(x0)

ϕ²|∇u|²dx+ C ε(R−ρ)²

Z

BR(x0)

(u−ux₀,R)²dx.

En choisissantε= 1/2 et en utilisant le fait queϕ= 1 sur Bρ(x0), on en d´eduit que Z

B_ρ(x₀)

|∇u|²dx≤ C (R−ρ)²

Z

B_R(x₀)

(u−u_x0,R)²dx, ce qui d´emontre l’in´egalit´e souhait´ee.

Une cons´equence de l’in´egalit´e de Caccioppoli concerne des propri´et´es de d´ecroissance de la norme L² d’une fonction harmonique localis´ee sur une boule, en fonction du rayon de la boule.

Ce type d’estimations mesure la r´egularit´e des fonctions (voir par exemple la D´efinition4.1.2des espaces de Campanato). Elles sont li´ees `a des propri´et´es de monotonie et sont souvent `a la base de th´eories de r´egularit´e.

Corollaire 2.1.16. Il existe une constante C > 0 (qui ne d´epend que de la dimension N) telle que pour toute fonction harmoniqueusur Ω, toutx0∈Ωet tout0< ρ < Rtels queBR(x0)⊂Ω,

on a Z

B_ρ(x₀)

|u|²dx≤Cρ R

^NZ

B_R(x₀)

|u|²dx

et Z

Bρ(x0)

|u−ux₀,ρ|²dx≤Cρ R

N+2Z

BR(x0)

|u−ux₀,R|²dx.

D´emonstration. Notons que les deux in´egalit´es sont imm´ediates si ρ ≥R/2. Sans restreindre la g´en´eralit´e, on peut donc supposer queρ < R/2.

Commen¸cons par montrer la premi`ere in´egalit´e. Dans ce cas, on a Z

B_ρ(x₀)

|u|²dx≤ω_Nρ^N sup

Bρ(x0)

|u|²≤ω_Nρ^N sup

B_R/2(x0)

|u|²=ω_Nρ^N|u(¯x)|², (2.1.5)

o`u ¯x∈B<sub>R/2</sub>(x0). D’apr`es le th´eor`eme de la valeur moyenne, on a u(¯x) = 2^N

ωNR^N Z

B_R/2(¯x)

u dx,

18 CHAPITRE 2. L’OP ´ERATEUR LAPLACIEN ce qui implique, d’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz,

|u(¯x)|²≤ 2^N ωNR^N

Z

B_R/2(¯x)

|u|²dx≤ 2^N ωNR^N

Z

B_R(x₀)

|u|²dx. (2.1.6) La premi`ere in´egalit´e se d´eduit de (2.1.5) et (2.1.6).

Concernant la deuxi`eme in´egalit´e, d’apr`es l’in´egalit´es de Poincar´e-Wirtinger et la premi`ere in´egalit´e appliqu´ee `a la fonction harmonique∇uet l’in´egalit´e de Caccioppoli, il vient

Z

B_ρ(x₀)

|u−ux₀,ρ|² ≤ Cρ² Z

B_ρ(x₀)

|∇u|²dx

≤ Cρ²ρ R

NZ

B_R/2(x0)

|∇u|²dx

≤ Cρ²ρ R

N 1 R²

Z

BR(x0)

|u−ux₀,R|²dx,

ce qui conclut la preuve du corollaire.

Th´eor`eme 2.1.17(Principe du maximum). SoitΩ⊂R^N un ouvert connexe. Siuest harmo- nique surΩetM := sup_x∈Ωu(x)<+∞, alors soitu(x)< M pour toutx∈Ωouu(x) =M pour toutx∈Ω.

D´emonstration. D´efinissons A := {x ∈ Ω : u(x) = M} et notons qu’il s’agit d’un ensemble relativement ferm´e dans Ω. Commeuest harmonique dans Ω, il en est de mˆeme pourM−u. Par cons´equent, si x∈A, le th´eor`eme de la valeur moyenne montre que

0 =M−u(x) = 1 ω_Nr^N

Z

Br(x)

[M −u(y)]dy.

Comme par ailleurs M−u≥0 dans Ω, on en d´eduitM −u= 0 dansB_r(x), ce qui montre que Br(x)⊂A. Par cons´equentAest ´egalement ouvert dans Ω. La connexit´e de Ω entraine queA= Ω ouA=∅. Dans le premier cas, on obtient queu=M sur Ω et dans le second cas queu < M sur Ω.

Corollaire 2.1.18. SoitΩ⊂R^N un ouvert born´e et u∈ C(Ω) une fonction harmonique sur Ω.

Alors le maximum deusur Ωest atteind sur∂Ω.

D´emonstration. Comme Ω est compact etuest continue sur Ω,uatteind son maximum sur Ω en un point x₀. Si x₀ ∈Ω, le principe du maximum montre que uest constante sur la composante connexe de Ω qui contientx₀. Par cons´equent, le maximum est atteind sur∂Ω.

Th´eor`eme 2.1.19 (Unicit´e). Soit Ω ⊂ R^N un ouvert born´e, f ∈ C(Ω) et g ∈ C(∂Ω). Si u1, u2∈ C(Ω)∩ C²(Ω) sont des fonctions telles que

(−∆ui(x) =f(x) pour toutx∈Ω, u_i(x) =g(x) pour toutx∈∂Ω, pouri= 1,2, alors u₁=u₂ sur Ω.

D´emonstration. Les fonctions u1−u2 etu2−u1 ∈ C(Ω) sont harmoniques sur Ω, elle atteignent donc leurs maximum sur∂Ω. Commeu₁−u₂= 0 sur∂Ω, on en d´eduit queu₁=u₂ sur Ω.

2.2. SOLUTION FONDAMENTALE 19 Th´eor`eme 2.1.20 (Liouville). Si uest une fonction harmonique et born´ee sur R^N, alorsuest constante.

D´emonstration. Comme uest harmonique surR^N elle est de classeC^∞ surR^N. Par cons´equent, en d´erivant l’´equation ∆u= 0, on en d´eduit que toutes les d´eriv´ees partielles∂iu(1≤i≤N) sont

´

egalement harmoniques surR^N. Le th´eor`eme de la valeur moyenne et le th´eor`eme de la divergence montrent alors que pour toutx∈R^N et toutR >0, on a

∂iu(x) = 1 ω_NR^N

Z

BR(x)

∂iu(y)dy= 1 ω_NR^N

Z

∂BR(x)

uνidσ.

Par cons´equent,

|∂iu(x)| ≤ 1

ωNR^NN ωNR^N−1 max

∂B_R(x)|u| ≤ N R sup

R^N

|u|.

En faisant tendre R→+∞, on obtient que ∂iu(x) = 0 pour toutx∈R^N et tout 1≤i ≤N, ce qui montre queuest effectivement une fonction constante.

2.2 Solution fondamentale

Dans cette section nous calculons la solution fondamentale du Laplacien, i.e. une fonction G∈ L¹_loc(R^N) qui satisfait

−∆G=δ0 dansD⁰(R^N)

et donnons quelques applications `a la r´esolution d’EDP dans tout l’espace. Une mani`ere ´el´ementaire d’obtenir une solution fondamentale consiste `a consid´erer des fonctions radiales surR<sup>N</sup>\ {0}. Nous avons d´ej`a vu au Corollaire2.1.2qu’elles sont toutes de la forme a|x|+b siN = 1,aln|x|+b si N = 2 eta|x|^2−N+bsiN ≥3. Notons que ces fonctions sont localement int´egrales de sorte qu’elles d´efinissent bien des distributions sur R^N. Comme la constantebest harmonique mˆeme en 0, elles ne contribuent pas et peuvent ˆetre omises. Il s’agit donc de montrer que la constanteapeut ˆetre choisie de sorte `a obtenir une solution fondamentale.

Th´eor`eme 2.2.1. Soit

G(x) =







−¹₂|x| siN= 1,

−_2π¹ ln|x| siN= 2,

|x|^2−N

N(N−2)ωN siN≥3.

AlorsGest une solution fondamentale pour le Laplacien.

D´emonstration. Si N = 1, calculons pour toutϕ∈ C^∞_c (R), Z

R

|x|ϕ⁰⁰(x)dx=− Z 0

−∞

xϕ⁰⁰(x)dx+ Z +∞

0

xϕ⁰⁰(x)dx.

En effectuant des int´egrations par parties dans chaque int´egrales, on obtient que Z

R

|x|ϕ⁰⁰(x)dx= Z 0

−∞

ϕ⁰(x)dx−[xϕ⁰(x)]⁰_−∞− Z +∞

0

ϕ⁰(x)dx+ [xϕ⁰(x)]^+∞₀ = 2ϕ(0), ce qui montre bien que−G⁰⁰=δ₀ dansD⁰(R).

Consid´erons maintenant le casN ≥2. Pour tout ε >0, on pose G_ε(x) =

(−_4π¹ ln(|x|²+ε²) siN = 2,

(|x|²+ε²)^(2−N)/2

N(N−2)ωN siN ≥3.

20 CHAPITRE 2. L’OP ´ERATEUR LAPLACIEN Notons queGε∈ C^∞(R^N). On a clairement queGε(x)→G(x) pour toutx6= 0 quandε→0. Par ailleurs,−_4π¹ ln(|x|²+ 1)≤G_ε ≤ −_2π¹ ln|x| siN = 2 et |Gε| ≤ |G| siN ≥3. Dans les deux cas, G_ε est domin´ee par une fonction localement int´egrable. Le th´eor`eme de la convergence domin´ee montre alors queG_ε→GdansL¹_loc(R^N). En particulier, pour toutϕ∈ C_c^∞(R^N),

h∆Gε, ϕi= Z

R^N

Gε∆ϕ dx→ Z

R^N

G∆ϕ dx=h∆G, ϕi.

Il suffit donc de montrer que−h∆Gε, ϕi →ϕ(0).

Comme

∂iGε(x) =− 1

N ω_N(|x|²+ε²)^−N/2xi, ∂_ii²Gε(x) =− 1

N ω_N(|x|²+ε²)^−N/2+ 1

ω_N(|x|²+ε²)^−(N+2)/2x²_i on en d´eduit que

−∆Gε(x) = 1 ωN

(|x|²+ε²)^−N/2− 1 ωN

(|x|²+ε²)^−(N+2)/2|x|²

= ε² ωN

(|x|²+ε²)^−(N+2)/2=ε^−Nψ(x/ε) =ψε(x), o`u

ψ(y) := 1 ωN

(|y|²+ 1)^−(N+2)/2. (2.2.1)

Du fait que ∆G_εest une fonction radiale, on peut donc ´ecrire que

−h∆Gε, ϕi=− Z

R^N

∆G_ε(−x)ϕ(x)dx=ϕ∗ψ_ε(0).

Il s’agit alors de montrer queϕ∗ψ_ε(0)→ϕ(0).

Tout d’abord, un changement de variables en coordonn´ees polaires montre que Z

R^N

ψ_ε(x)dx= Z

R^N

ψ(y)dy= Z +∞

0

Z

∂B₁

ψ(rz)r^N−1dσ(z)dr

= 1 ωN

Z +∞

0

Z

∂B₁

(r²+ 1)^−(N+2)/2r^N−1dσ(z)dr=N Z +∞

0

(r²+ 1)^−(N+2)/2r^N−1dr.

En posants=r²/(r²+ 1),ds= 2rdr/(r²+ 1)², il vient Z

R^N

ψε(x)dx= Z

R^N

ψ(y)dy= N 2

Z 1 0

s^(N−2)/2ds= 1,

ce qui implique queψ∈L¹(R^N). Pour toutη >0 on peut alors trouver un R >0 tel que Z

R^N\BR

|ψ(y)|dy≤η.

Par cons´equent,

ϕ∗ψε(0)−ϕ(0) = Z

R^N

[ϕ(x)−ϕ(0)]ψε(x)dx= Z

R^N

[ϕ(εy)−ϕ(0)]ψ(y)dy.

Par cons´equent,

|ϕ∗ψ_ε(0)−ϕ(0)| ≤2kϕk_L∞(R^N)η+ sup

y∈BR

|ϕ(εy)−ϕ(0)|,

2.2. SOLUTION FONDAMENTALE 21 et commeϕest uniform´ement continue sur le compactBR on en d´eduit que

lim sup

ε→0

|ϕ∗ψε(0)−ϕ(0)| ≤2kϕk_L∞(R^N)η, puis,η >0 ´etant arbitraire, queϕ∗ψε(0)→ϕ(0).

Le nom de solution fondamentale est en l’honneur de Newton car, pourN = 3,Gest le potentiel Newtonien, i.e. le potentiel gravitationnel engendr´e par une unit´e de masse `a la l’origine. En termes d’´electrostatique, Gest le potentiel Coulombien, i.e. le potentiel ´electrostatique engendr´e par une unit´e de charge positive `a l’origine.

Nous sommes maintenant en mesure de r´esoudre l’´equation de Poisson −∆u = f pour des seconds membresf assez g´en´eraux. Commen¸cons par un r´esultat d’existence pourf ∈ C_c^∞(R^N).

Th´eor`eme 2.2.2. Soitf ∈ C_c^∞(R^N). Pour toutx∈R^N, on pose u(x) := (G∗f)(x) =

Z

R^N

G(x−y)f(y)dy= Z

R^N

f(x−y)G(y)dy.

Alorsu∈ C^∞(R^N)et−∆u(x) =f(x) pour toutx∈R^N.

D´emonstration. CommeG∈L¹_loc(R^N) etf ∈ C_c^∞(R^N), les propri´et´es classiques de la convolution montrent queG∗f ∈ C^∞(R^N). De plus, pour toutx∈R^N

∆u(x) = ∆(G∗f)(x) =G∗∆f(x).

Donc, pour toutε >0,

∆u(x) = Z

R^N

∆f(x−y)G(y)dy= Z

Bε

∆f(x−y)G(y)dy+ Z

R^N\Bε

∆f(x−y)G(y)dy.

On estime d’abord la premi`ere int´egrale

Z

Bε

∆f(x−y)G(y)dy

≤ k∆fk_L∞(R^N)

Z

Bε

|G(y)|dy.

CommeG∈L¹_loc(R^N), l’int´egrale ci-dessus tend vers 0 quandε→0, ce qui implique que Z

Bε

∆f(x−y)G(y)dy→0.

SoitR >0 tel que Supp(f(x− ·)⊂BR. D’apr`es la formule de Green, le fait queGest harmonique surBR\Bεetf = 0 sur∂BR, on en d´eduit que

Z

R^N\Bε

∆f(x−y)G(y)dy= Z

B_R\Bε

∆f(x−y)G(y)dy

=− Z

∂Bε

G(y)∂νf(x−y)dσ(y)− Z

∂Bε

f(x−y)∂νG(y)dσ(y).

La premi`ere int´egrale de bord s’estime de la fa¸con suivante :

Z

∂Bε

G(y)∂νf(x−y)dσ(y)

≤ k∇fk_L∞(R^N)

Z

∂Bε

|G(y)|dσ(y),

22 CHAPITRE 2. L’OP ´ERATEUR LAPLACIEN o`u

Z

∂Bε

|G(y)|dσ(y) =







ε siN= 1, ε|lnε| siN= 2,

ε

N−2 siN≥3, ce qui montre que

Z

∂Bε

G(y)∂νf(x−y)dσ(y)→0.

Par ailleurs, pour touty∈∂Bε,

∂νG(y) =∇G(y)· −y

|y|

=

− y

N ωN|y|^N

· −y

|y|

= 1

N ωNε^N−1. Par cons´equent,

Z

∂B_ε

f(x−y)∂_νG(y)dσ(y) = 1 N ωNε^N−1

Z

∂B_ε

f(x−y)dσ(y)

= 1

N ωNε^N−1 Z

∂Bε(x)

f(z)dσ(z)→f(x).

En regroupant les r´esultats pr´ec´edents, on obtient que−∆u(x) =f(x).

Pour des seconds membres f plus g´en´eraux, il convient de donner une d´efinition g´en´eralis´ee de solution de l’´equation−∆u=f dansR^N.

D´efinition 2.2.3. Soitf ∈L¹_loc(R^N). On dit queu∈L¹_loc(R^N) est unesolution faible(ousolution au sens des distributions) du probl`eme

−∆u=f dansR^N, si pour toute fonction testϕ∈ C_c^∞(R^N), on a

− Z

R^N

u∆ϕ dx= Z

R^N

f ϕ dx.

On a alors le r´esultat suivant d’existence.

Th´eor`eme 2.2.4. Soitf ∈L¹(R^N). Si N = 1, on suppose de plus que R

R|y||f(y)|dy <+∞ et si N = 2, on suppose que R

R²|f(y)||ln|y||dy < +∞. Alors u:= G∗f ∈ L¹_loc(R^N) et uest une solution faible de l’´equation−∆u=f dansD⁰(R^N).

D´emonstration. Montrons d’abord queu:=G∗f ∈L¹_loc(R^N). Soitχla fonction caract´eristique de la boule unit´e. CommeG∈L¹_loc(R^N) on a queχG∈L¹(R^N). Par ailleurs, (1−χ)G∈L^∞(R^N) siN ≥3,y 7→(1−χ(y))_|ln^G(y)_|y|| ∈L^∞(R²) siN = 2 ety7→(1−χ(y))^G(y)_|y| ∈L^∞(R) siN= 1. Les hypoth`eses faites surf montrent alors que (χG)∗f ∈L¹(R^N) et ((1−χ)G)∗f ∈L^∞(R^N), ce qui montre que

u=G∗f = (χG)∗f+ ((1−χ)G)∗f ∈L¹_loc(R^N).

Pour toutϕ∈ C_c^∞(R^N), le th´eor`eme de Fubini montre que Z

R^N

u(x)∆ϕ(x)dx= Z

R^N

Z

R^N

G(x−y)f(y)dy

∆ϕ(x)dx

= Z

R^N

Z

R^N

G(x−y)∆ϕ(x)

f(y)dy= Z

R^N

Z

R^N

G(y−x)∆ϕ(x)

f(y)dy

= Z

R^N

∆(G∗ϕ)(y)f(y)dy=− Z

R^N

f(y)ϕ(y)dy,

2.2. SOLUTION FONDAMENTALE 23 o`u l’on a utilis´e le fait queGest radiale et le Th´eor`eme2.2.2dans la derni`ere ´egalit´e.

Si la convolution avec la solution fondamentale permet de montrer l’existence de solutions clas- siques ou faibles du type −∆u = f dans R^N, l’unicit´e n’est en g´en´erale pas assur´ee par l’EDP.

En effet, on peut par exemple rajouter `a un’importe quelle fonction harmonique pour construire une famille de solutions de l’EDP pr´ec´edente. Il faut g´en´eralement rajouter des conditions de d´ecroissance deu`a l’infini.

De mˆeme, si Ω⊂R^N est un ouvert born´e, la r´esolution d’EDP du type −∆u=f dans Ω (en un certain sens) n´ecessite de pr´eciser des conditions, dites conditions limites, sur le bord de Ω. On distingue deux classes importantes de probl`emes aux limites :

— le probl`eme de Dirichlet: soientf : Ω→Ret g:∂Ω→R, on chercheu: Ω→Rtelle que (−∆u(x) =f(x) pour toutx∈Ω,

u(x) =g(x) pour toutx∈∂Ω;

— le probl`eme de Neumann: soientf : Ω→Retf :∂Ω→R, on chercheu: Ω→Rtelle que (−∆u(x) =f(x) pour toutx∈Ω,

∂_νu(x) =h(x) pour toutx∈∂Ω.

Dans la suite du cours, nous nous attacherons `a d´ecrire de bon cadres math´ematiques permettant de r´esoudre ce type de probl`emes parfois dans une plus grande g´en´eralit´e.

24 CHAPITRE 2. L’OP ´ERATEUR LAPLACIEN

Chapitre 3

Equations lin´ eaires sous forme divergence

3.1 Introduction

Soit Ω⊂R^N un ouvert born´e de fronti`ere ∂Ω = Ω\Ω. On appelle ´equation elliptique lin´eaire du second ordre sous forme divergence une ´equation du type

(−div(A∇u) =f dans Ω,

u= 0 sur∂Ω, (3.1.1)

o`u u: Ω →R est l’inconnue,A = (aij)<sub>1≤i,j≤N</sub> est une matrice dont les coefficientsaij : Ω →R ont une r´egularit´e `a pr´eciser et f : Ω→R est un second membre. Pour le moment, nous restons vague sur la r´egularit´e des donn´eesAet f. Nous supposons toutefois que

a_ij ∈L^∞(Ω) pour tout 1≤i, j≤N (3.1.2) ainsi qu’une condition dite d’ellipticit´e(ou decoercivit´e) : il existe λ >0 tel que

A(x)ξ·ξ=

N

X

i,j=1

a_ij(x)ξ_iξ_j ≥λ|ξ|² p.p. tout x∈Ω et toutξ∈R^N. (3.1.3)

Cette derni`ere condition assure que l’EDP pr´ec´edente est effectivement de type elliptique.

Remarque 3.1.1. Nous aurions pu consid´erer ci-dessus une condition limite de type Dirichlet non homog`ene de la forme

u=g sur∂Ω,

o`u g :∂Ω→Rest une fonction donn´ee, ou mˆeme consid´erer d’autres types de conditions limites par exemple une condition de Neumann

A∇u·ν=h sur∂Ω,

avec h : ∂Ω → R ´egalement donn´ee. Cependant, nous nous restreindrons pour simplifier aux conditions de Dirichlet homog`ene.

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