R´ egularit´ e des solutions

Nous avons montr´e que toute solution classique est une solution faible de (3.1.1). Par ailleurs, nous avons introduit un cadre Hilbertien qui assure l’existence et l’unicit´e d’une solution faible.

Une question naturelle qui se pose alors, consiste `a se demander si cette solution faible est une solution classique (quitte `a rajouter des hypoth`eses sur les donn´ees du probl`eme). Ce probl`eme, difficile, rentre dans le cadre de la th´eorie de la r´egularit´e que nous d´evelopperons plus en d´etail dans le chapitre suivant.

Th´eor`eme 3.4.1. Soient Ω⊂R<sup>N</sup> un ouvert born´e, f ∈L<sup>2</sup>(Ω) etA une matrice satisfaisant les hypoth`eses (3.1.2)et (3.1.3). Soit ´egalement u∈ H₀¹(Ω) l’unique solution faible de (3.1.1). Si de plusa_ij ∈ C¹(Ω)pour tout 1≤i, j≤N etΩ est de classeC², alors u∈H²(Ω). De plus, il existe une constanteC=C(λ, N, A,Ω)>0telle que

kuk_H2(Ω) ≤Ckfk_L2(Ω).

La d´emonstration de ce th´eor`eme est assez longue et d´elicate. Elle repose sur la m´ethode des translationsdue `a Nirenberg. Etant donn´esh∈R^N,h6= 0, et une fonctionϕ:R^N →R, on pose

τhϕ(x) =ϕ(x+h) et

D_hϕ(x) :=τ_hϕ(x)−ϕ(x)

|h| =ϕ(x+h)−ϕ(x)

|h| . Nous utiliserons la proposition suivante qui caract´erise les fonctions Sobolev.

3.4. R ´EGULARIT ´E DES SOLUTIONS 33 Proposition 3.4.2. Soient Ω ⊂R^N un ouvert et u∈ L²(Ω). Alors u∈ H¹(Ω) si et seulement s’il existe une constante C > 0 telle que pour tout ouvert ω avec ω ⊂ Ω et tout h ∈ R^N avec

|h|<dist(ω,Ω^c),

kDhuk_L2(ω)≤C.

On a alors quek∇ukL²(Ω)≤C√ N.

D´emonstration. Commen¸cons par supposer queu∈ C^∞(Ω)∩H¹(Ω). Soith∈R^N, pour toutt∈R, on posev(t) =u(x+th). On a alors v⁰(t) =∇u(x+th)·het donc

u(x+h)−u(x) =v(1)−v(0) = Z 1

0

v⁰(t)dt= Z 1

0

∇u(x+th)·h dt.

Par cons´equent, l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz et le th´eor`eme de Fubini montrent que Z

ω

|u(x+h)−u(x)|²dx≤ |h|² Z 1

0

Z

ω

|∇u(x+th)|²dx dt.

En effectuant le changement de variabley=x+th, il vient Z

ω

|u(x+h)−u(x)|²dx≤ |h|² Z 1

0

Z

ω+th

|∇u(y)|²dy dt.

Si|h| ≤dist(ω,Ω^c), alorsω+th⊂Ω, ce qui montre que kDhukL²(ω)≤ k∇ukL²(Ω).

Si u∈H¹(Ω), on peut trouver une suite (u_n)_n∈N de fonctionsC^∞(Ω)∩H¹(Ω) telle queu_n →u dansH¹(Ω). En particulier, on a queD_hu_n→D_hudansL²(ω) si|h| ≤dist(ω,Ω^c) et∇u_n → ∇u dansL²(Ω). Par passage `a la limite dans

kDhunk_L2(ω)≤ k∇unk_L2(Ω)

quandn→+∞, on obtient

kD_huk_L2(ω)≤ k∇uk_L2(Ω), ce qui conclut la preuve de la condition n´ecessaire.

Montrons maintenant la condition suffisante. On prend h =εui o`u 0 < ε < dist(ω,Ω^c) et ei

est le i-`eme vecteur de la base canonique. On posegε :=Dεe<sub>i</sub>ude sorte que l’hypoth`ese montre que (gε)ε>0 est born´ee dansL²(ω). On peut donc extraire une sous-suite et trouverg⁽ⁱ⁾ ∈L²(ω) tels que gε * g⁽ⁱ⁾ faiblement dansL²(ω). Comme cette propri´et´e est satisfaite pour tout ouvert ω tel que ω ⊂Ω, un argument d’extraction diagonale montre que la sous-suite peut ˆetre choisie ind´ependamment de ω et ainsi que g⁽ⁱ⁾ ∈ L²_loc(Ω). Or, par semi-continuit´e de la norme pour la convergence faible, on a que

kg⁽ⁱ⁾k_Lp(ω)≤lim inf

ε→0 kDεe_iuk_Lp(Ω)≤C,

o`uC >0 est la constante de l’´enonc´e de la proposition, qui est ind´ependante deω. Par cons´equent, en prenant une suite d’ensembles{ωk}k∈Nqui croˆıt vers Ω, on obtient quekg⁽ⁱ⁾kL²(Ω)≤C, ce qui montre queg⁽ⁱ⁾∈L²(Ω).

34 CHAPITRE 3. EQUATIONS LIN ´EAIRES SOUS FORME DIVERGENCE Soientϕ∈ C_c^∞(Ω) etωun ouvert tels queω⊂Ω et Supp(ϕ)⊂ω. Pour tout 0< ε <dist(ω,Ω^c), on a

Z

Ω

(Dεe_iu(x))ϕ(x)dx= Z

Ω

u(x+εei)−u(x)

ε ϕ(x)dx

=− Z

Ω

u(y)ϕ(y)−ϕ(y−εei)

ε dy=−

Z

Ω

u(y)D_−εeiϕ(y)dy.

Par ailleurs comme D_−εeiϕ(y)→∂_iϕ(y) pour tout y ∈Ω, d’apr`es le th´eor`eme de la convergence domin´ee, on en d´eduit que

Z

Ω

g⁽ⁱ⁾ϕ dx=− Z

Ω

u∂iϕ dx,

ce qui montreu∈H¹(Ω) avec∂iu=g⁽ⁱ⁾et Z

Ω

|∂iu|²dx≤C,

o`u C >0 est la constante de l’´enonc´e.

Remarque 3.4.3. La Proposition 3.4.2reste vraie dans W^1,p(Ω) avec 1< p ≤ ∞. Par ailleurs, la d´emonstration de la condition suffisante montre de fa¸con plus g´en´erale la propri´et´e suivante : s’il existe une constante C > 0 telle que pour tout ouvert ω avec ω ⊂ Ω et tout ε > 0 avec ε <dist(ω,Ω^c),

kDεeiukL²(ω) ≤C, alors∂iu∈L²(Ω).

Lemme 3.4.4(Estimations `a l’int´erieur). Pour tout ouvertω tel queω⊂Ω, on au∈H²(ω).

De plus, il existe une constante K1=K1(N, λ, A,Ω,dist(ω,Ω^c))>0 telle que kuk_H2(ω) ≤K1kfk_L2(Ω).

D´emonstration. Soient ϕ∈ C^∞_c (Ω) et h∈ R^N, avec |2h| <dist(Supp(ϕ),Ω^c). Comme D_−hϕ ∈ C_c^∞(Ω), il vient d’apr`es la formulation variationnelle,

Z

Ω

Dh(A∇u)· ∇ϕ dx=− Z

Ω

A∇u· ∇(D−hϕ)dx=− Z

Ω

f D−hϕ dx.

CommeDh(A∇u) = (τhA)(Dh∇u) + (DhA)∇u, on obtient Z

Ω

(τhA)∇(Dhu)· ∇ϕ dx=− Z

Ω

(DhA)∇u· ∇ϕ+f D−hϕ dx.

D’apr`es la Proposition3.4.2, on peut estimer l’expression pr´ec´edente par Z

Ω

(τ_hA)∇(D_hu)· ∇ϕ dx≤ kAk_C1(Ω)k∇uk_L2(Ω)+kfk_L2(Ω)

k∇ϕk_L2(Ω).

Par densit´e, l’expression pr´ec´edente reste vraie pour toutϕ∈ H₀¹(Ω). On pose alors ϕ=η²Dhu o`u η ∈ C_c^∞(Ω) est telle que 0 ≤ η ≤ 1. Notons que, pour h assez petit ϕ est bien d´efinie et

3.4. R ´EGULARIT ´E DES SOLUTIONS 35 ϕ ∈ H₀¹(Ω), ∇ϕ = 2η∇η(Dhu) +η²∇(Dhu). En reportant dans l’estimation pr´ec´edente et en utilisant la propri´et´e d’ellipticit´e (3.1.3) satisfaite par la matriceA, il vient

λ Z

Ω

|η∇(Dhu)|²dx≤ Z

Ω

η²(τ_hA)∇(Dhu)· ∇(Dhu)dx

= Z

Ω

(τ_hA)∇(Dhu)· ∇ϕ dx−2 Z

Ω

η(D_hu)(τ_hA)∇(Dhu)· ∇η dx

≤ kAk_C1(Ω)k∇ukL²(Ω)+kfkL²(Ω)

(2k∇ηkL^∞(Ω)k∇ukL²(Ω)+kη∇(Dhu)kL²(Ω)) + 2kAk_C0(Ω)kη∇(D_hu)k_L2(Ω)k(D_hu)∇ηk_L2(Ω). En utilisant l’in´egalit´e de Young (ab≤₂^εa²+_2ε¹b²pour toutaetb≥0), on obtient que

λkη∇(Dhu)k²_L2(Ω)≤2 kAk_C1(Ω)k∇ukL²(Ω)+kfkL²(Ω)

k∇ηkL^∞(Ω)k∇ukL²(Ω)

+ε

2kη∇(Dhu)k²_L2(Ω)+ 1

2ε kAk_C1(Ω)k∇ukL²(Ω)+kfkL²(Ω)

²

+ε

2kη∇(D_hu)k²_L2(Ω)+2 εkAk²

C⁰(Ω)k(D_hu)∇ηk²_L2(Ω). En choisissantε=^λ₂, il vient

λ

2kηDh(∇u)k²_L2(Ω)≤2 kAk_C1(Ω)k∇ukL²(Ω)+kfkL²(Ω)

k∇ηkL^∞(Ω)k∇ukL²(Ω)

+1

λ kAk_C1(Ω)k∇ukL²(Ω)+kfkL²(Ω)

2

+4

λkAk²_C0(Ω)k(Dhu)∇ηk²_L2(Ω). Soitω un ouvert tel queω⊂Ω, on choisitη de sorte queη= 1 surω,η∈ C_c^∞(Ω) et 0≤η≤1. En notantd= dist(ω,Ω^c), on a quek∇ηkL^∞(Ω)≤2/d. Il vient alors que

λ

2kDh(∇u)k²_L2(ω)≤ 4

d kAk_C1(Ω)k∇uk_L2(Ω)+kfk_L2(Ω)

k∇uk_L2(Ω)

+1

λ kAk_C1(Ω)k∇uk_L2(Ω)+kfk_L2(Ω)

² + 16

λd²kAk²

C⁰(Ω)k∇uk²_L2(Ω). D’apr`es la Proposition3.4.2, on en d´eduit que∇u∈H¹(ω), soitu∈H²(ω) pour tout ouvertωtel queω⊂Ω. De plus en utilisant l’estimation (3.3.4), on obtient que

kD²ukL²(ω) ≤K1kfkL²(ω), o`u K1=K1(N, λ, d, A,Ω)>0.

Lemme 3.4.5 (Estimations au voisinage du bord). Pour toutx0 ∈∂Ω, il existe un ouvert U tel quex0∈U et u∈H²(Ω∩U). De plus, il existe une constanteK2 =K2(N, λ, A, U,Ω)>0 telle que

kuk_H2(Ω∩U)≤K2kfk_L2(Ω). (3.4.1)

D´emonstration. Etape 1 : Changement de variable pour se ramener `a un bord plat.

Comme∂Ω est de classeC², pour toutx0∈∂Ω, on peut trouver un cubeQcentr´e enx0, une base {e1, . . . , eN}deR^N et une fonction γ:R^N−1 →Rde classeC² tels que

Ω∩Q={x∈Q:x_N < γ(x⁰)}, ∂Ω∩Q={x∈Q:x_N =γ(x⁰)}.

36 CHAPITRE 3. EQUATIONS LIN ´EAIRES SOUS FORME DIVERGENCE

En changeant de variablesx= Ψ(y), il vient

N

3.4. R ´EGULARIT ´E DES SOLUTIONS 37 et en utilisant (3.4.2), il vient

Z

B⁻

A∇˜ u˜· ∇ϕ dy = Z

B⁻

f ϕ dy.˜ (3.4.3)

On a clairement que ˜f ∈L²(B⁻) aveckf˜kL²(B⁻)≤CkfkL²(Ω∩U). De plus, pour tout 1≤k, l≤N,

˜

akl ∈ C¹(B⁻) et la matrice ˜A(y) = (˜akl(y))_1≤k,l≤N satisfaitkAk˜ _C1(B−) ≤CkAk_C1(Ω∩U)ainsi que la condition d’ellipticit´e. En effet, d’apr`es (3.1.3), pour touty∈B⁻ et toutξ∈R^N,

A(y)ξ˜ ·ξ=

N

X

i,j,k,l=1

|det(∇Ψ(y))|(a_ij(Ψ(y))∂_iΦ_k(Ψ(y))∂_jΦ_l(Ψ(y))ξ_kξ_l

=

N

X

i,jl=1

|det(∇Ψ(y))|(a_ij(Ψ(y))η_iη_j≥λ|det(∇Ψ(y))||η|²,

o`u η=∇Φ(Ψ(y))<sup>T</sup>ξ. Comme ξ=∇Ψ(y)<sup>T</sup>η, on en d´eduit que |ξ|<sup>2</sup> ≤C|η|<sup>2</sup> o`u C=k∇Ψk_L∞(B⁻). Par ailleurs, det(∇Ψ) =p

1 +|∇γ|²≥1, ce qui montre que A(y)ξ˜ ·ξ≥ λ

C|ξ|² pour touty∈B⁻ et toutξ∈R^N. (3.4.4) Etape 2 : Estimation dans un demi plan.En utilisant la nouvelle formulation variationnelle (3.4.3), on peut proc´eder exactement comme dans les estimations int´erieures en faisant cette fois des translations tangentielles, i.e., de la forme h =tek o`u 1≤ k ≤N −1. En effet, en prenant D<sub>−h</sub>ϕcomme fonction test dans (3.4.3) (o`u ϕ∈ C_c^∞(B⁻)), on obtient que

Z

B⁻

(τhA)∇(D˜ hu)˜ · ∇ϕ dx≤ kAk˜ _C1(B⁻)k∇˜uk_L2(B⁻)+kf˜k_L2(B⁻)

k∇ϕk_L2(B⁻).

Par suite, on prendϕ=η²Dhu˜n o`u ˜un=un◦Ψ et (un)<sub>n∈N</sub>est une suite de fonctionsC<sub>c</sub><sup>∞</sup>(Ω) telle que un → udans H<sup>1</sup>(Ω) etη ∈ C<sub>c</sub><sup>∞</sup>(B) telle que 0 ≤ η ≤ 1. Comme ˜un = 0 dans un voisinage de l’hyperplaneR<sup>N−1</sup> × {0}, du fait que h=tek avec 1≤k ≤N−1, alors Dhu˜n = 0 dans un voisinage deR<sup>N−1</sup>× {0}(c’est ici qu’on utilise le fait que les translations doivent ˆetre tangentielles au bord). Par cons´equent, le produitη<sup>2</sup>Dhu˜n est bien `a support compact dansB⁻. Il vient alors

Z

B⁻

η²(τhA)∇(D˜ h˜u)· ∇(Dhu˜n)dx

= Z

B⁻

(τhA)∇(D˜ hu)˜ · ∇ϕ dx−2 Z

B⁻

η(Dhu˜n)(τhA)∇(D˜ hu)˜ · ∇η dx

≤ kAk˜ _C1(B⁻)k∇˜ukL²(B⁻)+kf˜kL²(B⁻)

(2k∇ηkL^∞(B⁻)k∇˜u_nkL²(B⁻)+kη∇(Dhu˜_n)kL²(B⁻)) + 2kAk˜ _C0(B−)kη∇(Dhu˜n)k_L2(B⁻)k(Dhu˜n)∇ηk_L2(B⁻). Par passage `a la limite quandn→ ∞, comme ˜un →u˜dansH¹(B⁻), on obtient que

λ C

Z

B⁻

|η∇(D_hu)|˜ ²dx ≤ Z

B⁻

η²(τ_hA)∇(D˜ _hu)˜ · ∇(D_hu)˜ dx

≤ kAk˜ _C1(B⁻)k∇˜uk_L2(B⁻)+kf˜k_L2(B⁻)

(2k∇ηk_L^∞_(B⁻₎k∇˜uk_L2(B⁻)+kη∇(Dhu)k˜ _L2(B⁻)) + 2kAk˜ _C0(B⁻)kη∇(Dhu)k˜ L²(B⁻)k(Dhu)∇ηk˜ L²(B⁻),

38 CHAPITRE 3. EQUATIONS LIN ´EAIRES SOUS FORME DIVERGENCE o`u l’on a utilis´e la propri´et´e d’ellipticit´e (3.4.4) satisfaite par la matrice ˜A. En utilisant l’in´egalit´e de Young avecε= <sub>2C</sub><sup>λ</sup> , il vient En raisonnant comme dans l’estimation `a l’int´erieur et en utilisant la Remarque 3.4.3, on en d´eduit que pour tout (k, l) 6= (N, N), ∂_kl²u˜ ∈ L²(B⁻). De plus, il existe une constante ˜C₁ =

Le Th´eor`eme de Repr´esentation de Riesz montre alors l’existence d’une fonctiong∈L²(B⁻) telle que

3.4. R ´EGULARIT ´E DES SOLUTIONS 39 o`u ˜C3= ˜C3(N, λ,Ω, A)>0.

Comme ∇u˜ ∈ H¹(B⁻), on obtient que ∇˜u◦Φ ∈ H¹(Ω∩U) et, d’apr`es (3.4.2), que ∇u =

∇Φ(∇˜u◦Φ)∈H¹(Ω∩U). Par cons´equentu∈H²(Ω∩U) et

kuk_H2(Ω∩U)≤C kfk_L2(Ω∩U)+kuk_H1(Ω∩U) ,

o`u C = C(N, λ,Ω, A, U) > 0. D’apr`es l’in´egalit´e de Poincar´e et (3.3.4), on a que kukH¹(Ω) ≤ CkfkL²(Ω), d’o`u kukH²(Ω∩U)≤CkfkL²(Ω).

Nous sommes `a pr´esent en mesure de donner la preuve du Th´eor`eme3.4.1

D´emonstration du Th´eor`eme3.4.1.Comme∂Ω est compact, d’apr`es le Lemme3.4.5, on peut le recouvrir par un nombre fini d’ouverts U1, . . . , Umtels que, pour tout 1≤i≤m,u∈H²(Ω∩Ui) et

kuk_H2(Ω∩Ui)≤Ckfk_L2(Ω). Soit maintenantU₀ un ouvert tel queU₀ ⊂Ω et Ω⊂Sm

i=0U_i. D’apr`es le Lemme3.4.4, on a que u∈H²(U₀) et

kukH²(U₀)≤CkfkL²(Ω).

On consid`ere une partition de l’unit´eθ0, . . . , θmsubordonn´ee au recouvrement{U0, . . . , Um}de Ω, i.e.,

— pour tout 0≤i≤m,θi∈ C_c^∞(Ui) et 0≤θi≤1 ;

— Pm

i=0θi= 1 sur Ω.

On a alors que θiu ∈ H²(Ω) et kθiuk_H2(Ω) ≤ Ckuk_H2(Ω∩Ui) pour tout 0 ≤ i ≤ m et comme u=Pm

i=0θiu, il vient queu∈H²(Ω) etkukH²(Ω)≤CkfkL²(Ω).

La r´egularit´e de la solution faible permet de d´efinir une notion plus pr´ecise de solution.

D´efinition 3.4.6. Soient Ω ⊂ R^N un ouvert born´e de classe C², f ∈ L²(Ω) et A une matrice satisfaisant les hypoth`eses (3.1.2) et (3.1.3) et dont les coefficients aij ∈ C¹(Ω) pour tout 1 ≤ i, j≤N. On dit queuest unesolution fortede (3.1.1) siu∈H²(Ω)∩H₀¹(Ω) et

−div(A∇u) =f p.p. dans Ω.

On peut alors montrer l’existence de solutions fortes.

Th´eor`eme 3.4.7. Soient Ω ⊂ R<sup>N</sup> un ouvert born´e de classe C<sup>2</sup>, f ∈ L<sup>2</sup>(Ω) et A une matrice satisfaisant les hypoth`eses (3.1.2) et (3.1.3) et dont les coefficients aij ∈ C¹(Ω) pour tout 1 ≤ i, j≤N. Alors l’unique solution faible de (3.1.1)est ´egalement l’unique solution forte.

D´emonstration. D’apr`es le Th´eor`eme3.4.1, l’unique solution faibleude (3.1.1) appartient `a l’es-paceH²(Ω)∩H₀¹(Ω). En particulier, comme les coefficients de la matriceA sont de classeC¹ sur Ω, alorsA∇u∈H¹(Ω) et donc div(A∇u)∈L²(Ω). Par d´efinition de la formulation faible et de la d´eriv´ee au sens des distributions, on a donc que

Z

Ω

f ϕ dx= Z

Ω

A∇u· ∇ϕ dx=− Z

Ω

div(A∇u)ϕ dx

pour toutϕ∈ C_c^∞(Ω). On en d´eduit alors quef =−div(A∇u) p.p. sur Ω. L’unicit´e de la solution forte vient du fait que toute solution forte est une solution faible et de l’unicit´e de cette derni`ere.

Il est encore possible d’aller plus loin et de montrer que, si les donn´ees sont assez r´eguli`eres, alors on retrouve bien une solution classique. Tout d’abord, une r´ecurrence relativement imm´ediate permet de montrer le r´esultat suivant.

40 CHAPITRE 3. EQUATIONS LIN ´EAIRES SOUS FORME DIVERGENCE Th´eor`eme 3.4.8. Soitm∈N. SiΩ⊂R<sup>N</sup> un ouvert born´e de classe C<sup>m+2</sup>,f ∈H<sup>m</sup>(Ω)etA une matrice satisfaisant les hypoth`eses (3.1.2)et (3.1.3) et dont les coefficients a_ij ∈ C^m+1(Ω) pour tout1≤i, j≤N . Alors l’unique solution faible ude (3.1.1)appartient `aH^m+2(Ω).

On peut mˆeme retrouver des solutions classiques quand les donn´ees sont tr`es r´eguli`eres. Pour ce faire, il convient d’utiliser une version des injections de Sobolev que nous admettrons (voir par exemple [3, Lemma 6.45]).

Th´eor`eme 3.4.9 (Injection de Sobolev). Soient m > k+^N₂ et Ωun ouvert born´e de R^N de classe C^m. AlorsH^m(Ω)⊂ C^k(Ω) et il existe une constante C=C(m, k, N,Ω)telle que

kuk_Ck(Ω) ≤Ckuk_Hm(Ω) pour toutu∈H^m(Ω).

Une cons´equence imm´ediate du Th´eor`eme3.4.8et de l’injection de Sobolev est que sim > ^N₂, alors la solutionu∈H^m+2(Ω) est en fait une fonction de classeC² sur Ω. Par cons´equent, l’´egalit´e

−div(A∇u) = f p.p. sur Ω a en fait lieu partout sur Ω, ce qui montre que u est une solution classique de (3.1.1).

On a finalement le r´esultat suivant de r´egularit´e.

Th´eor`eme 3.4.10. Soit Ω ⊂R<sup>N</sup> un ouvert born´e de classe C<sup>∞</sup>, f ∈ C<sup>∞</sup>(Ω) et A une matrice satisfaisant les hypoth`eses (3.1.2) et (3.1.3) et dont les coefficients aij ∈ C^∞(Ω) pour tout 1 ≤ i, j≤N. Alors l’unique solution faible ude (3.1.1) appartient `aC^∞(Ω).

D´emonstration. D’apr`es le Th´eor`eme3.4.8, on a queu∈H^m(Ω) pour toutm∈N. Par cons´equent, l’injection de Sobolev montre queu∈ C^k(Ω) pour toutk∈N, soit u∈ C^∞(Ω).

Chapitre 4

R´ esultats de r´ egularit´ e

D’apr`es le Th´eor`eme3.4.8il est naturel de se demander si l’on peut obtenir de la r´egularit´e des solutions de−∆u=fdans Ω quandf a un degr´e de diff´erentiabilit´e donn´e. On pourrait na¨ıvement penser que sif ∈ C(Ω) alorsu∈ C²(Ω). Malheureusement ceci est faux en g´en´eral except´e dans le cas de la dimensionN = 1.

Exemple 4.0.1 (Weierstrass). En dimension N ≥2, on consid`ere la bouleB =B_1/2(0) centr´e

`

a l’origine et de rayon 1/2. Pour tout x∈B, on pose

v(x) =

((x²₁−x²₂)p

−ln|x| six6= 0,

0 six= 0,, f(x) =







x²₂−x²₁ 2|x|²

√ 4

−ln|x|+ ¹

2(√

−ln|x|)³

six6= 0,

0 six= 0.

On peut v´erifier quef ∈ C(B),v∈ C(B)∩ C²(B\ {0}) et ∆v(x) =f(x) pour toutx∈B\ {0}. Si u∈ C²(B) est une solution de ∆u=f dansB, alors v−uest harmonique dansB\ {0} et v−u est continue sur toute la bouleB. Le principe des singularit´es artificielles montre quev−uest en fait harmonique sur toute la bouleB. Par cons´equent,v−u∈ C^∞(B) et doncv= (v−u) +uest de classeC² surB ce qui est absurde.

En revanche, des r´esultats analogues sont valides si on remplace C^m(Ω) par des espaces fonc-tionnels plus sophistiqu´es. Nous avons d´ej`a vu dans le Th´eor`eme3.4.8 que ceci est vrai dans les espaces de SobolevH^m(Ω). Nous allons consid´erer d’autres situations dans le cadre des espaces de H¨older C^0,α(Ω) et de Sobolev du typeW^1,p(Ω).

4.1 Estimations de Schauder

Rappelons tout d’abord la d´efinition des espaces de H¨older.

D´efinition 4.1.1 (Espaces de H¨older). Soient α∈]0,1[ et K ⊂R^N un compact. On d´efinit l’espace de H¨older C^0,α(K) comme l’ensemble des fonctions u ∈ C⁰(K) satisfaisant la propri´et´e suivante : il existe une constanteC >0 telle que

|u(x)−u(y)| ≤C|x−y|^α pour toutx, y∈K.

La plus petite constanteC >0 dans l’expression pr´ec´edente est not´ee [u]_C0,α(K) et elle satisfait [u]_C0,α(K)= max

x,y∈K,x6=y

|u(x)−u(y)|

|x−y|^α . 41

42 CHAPITRE 4. R ´ESULTATS DE R ´EGULARIT ´E Il s’agit d’un espace de Banach pour la norme

kuk_C0,α(K):=kuk_C0(K)+ [u]_C0,α(K).

Si k ∈N, on d´efinit l’espaceC^k,α(K) comme l’ensemble des fonctions ude classe C^k dans un voisinage ouvert deKet telles que, pour tout multi-indiceβ∈N^N avec|β|=k, on a∂^βu∈ C^0,α(K).

Il s’agit de nouveau d’un espace de Banach pour la norme kuk_Ck,α(K):=kuk_Ck(K)+ max

|β|=k[∂^βu]_C0,α(K).

Si Ω⊂R^N est un ouvert, on d´efinit (l’espace de Fr´echet)C^k,α(Ω) comme l’ensemble des fonctions u∈ C^k(Ω) telles queu∈ C^k,α(ω) pour tout ouvert born´eω⊂R^N tel que ω⊂Ω.

D´efinition 4.1.2 (Espaces de Campanato). Soient 1≤p <∞, λ≥0 et Ω⊂R^N un ouvert.

On d´efinit l’espace de CampanatoL^p,λ(Ω) comme l’ensemble des fonctionsu∈L^p(Ω) telles que [u]^p_p,λ:= sup

x₀∈Ω,ρ>0

ρ^−λ Z

Ω∩Bρ(x0)

|u−ux₀,ρ|^pdx <+∞, o`u ux₀,ρ:=_|Ω∩B¹

ρ(x₀)|

R

Ω∩Bρ(x0)u(y)dy. Il s’agit d’un espace de Banach pour la norme kuk_Lp,λ(Ω):=kukL^p(Ω)+ [u]p,λ.

Remarque 4.1.3. Si Ω ⊂ R^N est un ouvert born´e et u ∈ C^0,α(Ω), alors u ∈ L^p,λ(Ω) pour λ=αp+N. En effet, soientx₀∈Ω etρ >0. Pour toutxety∈Ω∩B_ρ(x₀), on a|u(x)−u(y)| ≤ [u]_C0,α(Ω)|x−y|^α≤[u]_C0,α(Ω)(2ρ)^α. On en d´eduit que|u(x)−u_x0,ρ| ≤[u]_C0,α(Ω)(2ρ)^α, puis

Z

Ω∩Bρ(x0)

|u(x)−ux₀,ρ|^pdx≤ωN2^αp[u]^p

C^0,α(Ω)ρ^αp+N, ce qui montre queu∈ L^p,αp+N(Ω) avec

[u]p,αp+N ≤ω^1/p_N 2^α[u]_C0,α(Ω).

De plus, d’apr`es l’in´egalit´e de H¨older, on a ´egalement que kuk_Lp(Ω) ≤ |Ω|^1−1/pkuk_C0(Ω), ce qui montre que kuk_Lp,αp+N(Ω) ≤Ckuk_C0,α(Ω). Nous allons voir que si Ω est assez r´egulier, les espaces L^p,αp+N(Ω) etC^0,α(Ω) sont en fait isomorphes.

Avant cela, nous rappelons un r´esultat d’int´egration dont la d´emonstration se trouve par exemple dans [4, Theorem 3.21].

Th´eor`eme 4.1.4 (de diff´erentiation de Lebesgue). Soit f ∈ L¹_loc(R^N). Alors pour presque toutx∈R^N, on a

ρ→0lim 1 ωNρ^N

Z

B_ρ(x)

f(y)dy=f(x).

Th´eor`eme 4.1.5 (Campanato). SoitΩ⊂R^N un ouvert born´e de classe C¹. SiN < λ≤N+p etα= ^λ−N_p , les espaces L^p,λ(Ω) etC^0,α(Ω) sont isomorphes. De plus, les quantit´es k · k_C0,α(Ω) et k · kp,λ sont ´equivalentes.

4.1. ESTIMATIONS DE SCHAUDER 43 D´emonstration. Nous avons d´ej`a vu dans la Remarque4.1.3que siu∈ C^0,α(Ω), alorsu∈ L^p,λ(Ω) pourλ=αp+N et, de plus,

kukp,λ≤Ckuk_C0,α(Ω).

Supposons maintenant que u∈ L^p,λ(Ω). Montrons tout d’abord qu’il existe une constanteC= C(N, λ, p,Ω)>0 telle que pour toutx₀∈Ω etR >0, on a

|u_x0,2−kR−u_x0,2−lR| ≤C[u]_p,λ(2^−kR)^λ−Np pour toutk < l. (4.1.1) Comme Ω est de classeC¹, il existe une constanteA >0 telle que pour toutx₀∈Ω etρ <diam(Ω), on a|Ω∩B_ρ(x₀)| ≥Aρ^N. Six, x₀∈Ω et 0< r < R, on a

|ux₀,r−ux₀,R|^p≤2^p−1(|ux₀,r−u(x)|^p+|u(x)−ux₀,R|^p).

En int´egrant par rapport `ax∈Ω∩Br(x0), il vient

|ux₀,r−ux₀,R|^p≤ 2^p−1 Ar^N

Z

Ω∩Br(x0)

|ux₀,r−u(x)|^pdx+ Z

Ω∩BR(x0)

|u(x)−ux₀,R|^pdx

!

≤ 2^p−1

Ar^N[u]^p_p,λ(r^λ+R^λ)≤ 2^p

Ar^N[u]^p_p,λR^λ, d’o`u,|u_x0,r−u_x0,R| ≤ _A1/p² [u]_p,λR^λ/pr^−N/p. PosonsR_j= 2^−jRpour toutj∈N, alors

|ux₀,R_j−ux₀,R_j+1| ≤ 2

A^1/p[u]p,λR^λ−Np 2

j(N−λ) p +^N_p

. En sommant pourj=k, . . . , l−1, il vient

|ux₀,R_l−ux₀,R_k| ≤C[u]p,λR

λ−N p

k , avecC=C(N, p, λ, A)>0.

On en d´eduit que la suite (ux₀,R_k)_k∈Nest de Cauchy dansR. Elle admet donc une limite, not´ee

˜

u(x0). Par passage `a la limite quandl →+∞dans (4.1.1), on en d´eduit que pour tout R >0 et toutk∈N,

|ux₀,R_k−u(x˜ 0)| ≤C[u]p,λ(2^−kR)^λ−Np , (4.1.2) ce qui montre que cette limite est en fait uniforme sur Ω. Comme la fonction x0 7→ ux₀,R_k est continue, on en d´eduit que ˜uest continue. Par ailleurs, le th´eor`eme de diff´erentiation de Lebesgue assure queux₀,R→u(x0) pour presque toutx0∈Ω. Par cons´equent,u= ˜upresque partout sur Ω et on peut donc supposer queuest continue sur Ω.

D’apr`es (4.1.2) aveck= 0 et en rempla¸cantRpar 2R, on a pour tout x∈Ω,

|u(x)−ux,2R| ≤C[u]p,λR^λ−Np . (4.1.3) Soient maintenantxety∈Ω, et posonsR=|x−y|, alors

|u(x)−u(y)| ≤ |u(x)−ux,2R|+|ux,2R−uy,2R|+|uy,2R−u(y)|.

On a tout d’abord que

|u(x)−u_x,2R| ≤C[u]_p,λ|x−y|^λ−Np , |u(y)−u_y,2R| ≤C[u]_p,λ|x−y|^λ−Np .

44 CHAPITRE 4. R ´ESULTATS DE R ´EGULARIT ´E Par ailleurs, siz∈Ω∩B2R(x)∩B2R(y),

|ux,2R−uy,2R| ≤ |ux,2R−u(z)|+|u(z)−uy,2R|

et commeB_R(x)∪B_R(y)⊂B_2R(x)∩B_2R(y), on en d´eduit, en int´egrant sur Ω∩B_2R(x)∩B_2R(y), que

|u_x,2R−u_y,2R| ≤ 1

|Ω∩BR(x)|

Z

Ω∩B_R(x)

|u_x,2R−u(z)|dz+ 1

|Ω∩BR(y)|

Z

Ω∩B_R(y)

|u(z)−u_y,2R|dz.

En utilisant l’in´egalit´e de H¨older et le fait que Ω est de classeC¹, il vient que

|u_x,2R−u_y,2R| ≤ 2

AR^N(ω_NR^N)^1−1/p(2R)^λ/p[u]_p,λ=C[u]_p,λ|x−y|^λ−Np .

On a donc montr´e que|u(x)−u(y)| ≤C[u]p,λ|x−y|^α, ce qui ´etablit que [u]_C0,α(Ω)≤C[u]p,λ. Enfin, on montre que la fonction uest born´ee sur Ω. En effet, en posant 2R = diam(Ω) dans (4.1.3), on en d´eduit que pour toutx∈Ω,

|u(x)| ≤ |u_x,2R|+|u(x)−u_x,2R| ≤(ω_Ndiam(Ω))^−1/pkuk_Lp(Ω)+C[u]_p,λdiam(Ω)^λ−Np , ce qui montre quekuk_C0(Ω)≤Ckuk_Lp,λ(Ω).

Th´eor`eme 4.1.6 (Schauder). Soient Ω⊂ R<sup>N</sup> un ouvert born´e et f ∈ C<sup>0,α</sup>(Ω) o`u 0 < α < 1.

Si uest une distribution solution de−∆u=f dans D⁰(Ω), alorsu∈ C^2,α(Ω). De plus, pour tout ouvertω tel queω⊂Ω, il existe une constanteC=C(N, α,Ω, ω)telle que

kD²uk_C^0,α(ω)≤Ckfk_C0,α(Ω).

Nous allons d’abord montrer que la solution distributionnelle est en fait une solution forte.

Lemme 4.1.7. Soient Ω ⊂ R^N un ouvert born´e et f ∈ C^0,α(Ω) o`u 0 < α < 1. Si u est une distribution solution de−∆u=f dansD⁰(Ω), alors u∈H_loc² (Ω)∩ C¹(Ω).

D´emonstration. On remarque tout d’abord que, du fait que f ∈ C^0,α(Ω) ⊂ L²(Ω), alors par r´egularit´e elliptique on a queu∈H_loc² (Ω).

Nous allons `a pr´esent montrer queu∈ C<sup>1</sup>(Ω). Pour ce faire, on consid`ere un ouvert ω tel que ω⊂Ω. Soitφ∈ C_c^∞(Ω) telle queφ= 1 surω. On pose ˜f =φf ∈ C_c(R^N) de sorte que le Th´eor`eme 2.2.4 assure que −∆( ˜f ∗G) = ˜f = φf dans D⁰(R^N). Comme ˜f = f sur ω, on en d´eduit que

−∆( ˜f∗G) = f dans D⁰(ω). Par cons´equentu−( ˜f∗G) est harmonique sur ω, et donc de classe C^∞surω. Commeω est arbitraire, on en d´eduit queu−( ˜f∗G)∈ C^∞(Ω).

Il reste `a ´etablir que le potentiel Newtonien ˜f ∗G∈ C¹(R^N). Pour toutε >0, on pose G_ε(x) =

(−_4π¹ ln(|x|²+ε²) siN = 2,

(|x|²+ε²)^(2−N)/2

N(N−2)ωN siN ≥3.

Notons que Gε ∈ C^∞(R^N) et d’apr`es les propri´et´es classiques de la convolution, on a ´egalement que ˜f∗G<sub>ε</sub>∈ C<sup>∞</sup>(R<sup>N</sup>). On a d´ej`a vu dans la d´emonstration du Th´eor`eme2.2.1queG_ε→Gdans L¹_loc(R^N). Par cons´equent, pour toutx∈R^N,

|f˜∗G_ε(x)−f˜∗G(x)| ≤ kGε−GkL¹(Ω−Ω)kf˜k_L^∞_(RN),

4.1. ESTIMATIONS DE SCHAUDER 45

Il reste `a montrer queD<sup>2</sup>u∈ C<sup>0,α</sup>(Ω) ainsi que l’estimation. Pour ce faire, nous allons montrer queD<sup>2</sup>u∈ L<sup>2,2α+N</sup>(ω) en supposant, sans restreindre la g´en´eralit´e, que ω est de classeC<sup>1</sup> (sinon Le th´eor`eme de Lax-Milgram assure l’existence et l’unicit´e d’un telw. On pose ensuitez=∂ku−w de sorte que ∆z= 0 dansD⁰(BR(x0)) ce qui montre quez∈ C^∞(BR(x0)).

D´emonstration du Th´eor`eme4.1.6. D’apr`es le Corollaire2.1.16appliqu´e `a la fonction harmonique

∇z dansBR(x0), pour tout 0< ρ < R, on a

En prenantϕ=w dans la formulation variationnelle (4.1.4) satisfaite parw, on obtient Z

46 CHAPITRE 4. R ´ESULTATS DE R ´EGULARIT ´E ce qui montre, d’apr`es la Remarque4.1.3, que

Z

B_R(x₀)

|∇w|²dx≤ Z

B_R(x₀)

|f −fx0,R|²dx≤C[f]²_C0,α(Ω)R^2α+N.

Par cons´equent, on a Φ(ρ) :=

Z

B_ρ(x₀)

|∇∂ku−(∇∂ku)_x0,ρ|²dx≤Cρ R

^N+2

Φ(R) +C⁰⁰⁰[f]²

C^0,α(Ω)R^2α+N. En remarquant que la quantit´e c 7→ R

B_ρ(x₀)|∇∂ku−c|²dx est minimale pr´ecis´ement pour c = (∇∂ku)x₀,ρ, on en d´eduit que Φ est une fonction croissante. Le Lemme 4.1.8implique alors que

Φ(ρ)≤Cρ^2α+N

Φ(R)

R^2α+N + [f]²_C0,α(Ω)

soit, pour toutρ≤R0

Z

B_ρ(x₀)

|∇∂ku−(∇∂ku)_x0,ρ|²dx≤C_R0ρ^2α+N

kD²ukL²(B_R0(x₀))+ [f]²

C^0,α(Ω)

≤CR₀ρ^2α+N

kfk_L2(BR0(x0))+ [f]²

C^0,α(Ω)

≤CR₀ρ^2α+Nkfk²

C^0,α(Ω). Si `a pr´esentρ≥R0, alors par r´egularit´e elliptique et la Remarque4.1.3,

ρ^−2α−N Z

B_ρ(x₀)∩ω

|∇∂ku−(∇∂ku)x0,ρ|²dx≤2R^−2α−N₀ Z

B_ρ(x₀)∩ω

|∇∂ku|²dx

≤C_R0 Z

ω

|D²u|²dx≤C_R0 Z

ω

|f|²dx≤C_R0kfk²_C0,α(Ω).

Ceci implique queD²u∈ L^2,2α+N(ω) et d’apr`es le th´eor`eme de Campanato, D²u∈ C^0,α(ω), soit u∈ C^2,α(ω), avec

kD²uk_C0,α(ω)≤Ckfk_C0,α(Ω), ce qui conclut la preuve du th´eor`eme de Schauder.

Lemme 4.1.8. SoitΦ :R⁺→R⁺ une fonction croissante telle que pour tout 0< ρ≤R, Φ(ρ)≤Aρ

R ^a

Φ(R) +BR^b,

o`uA,B,a,b >0 eta > b. Alors il existec=c(A, a, b) tel que pour tout0< ρ≤R Φ(ρ)≤c

Φ(R) R^b +B

ρ^b.

D´emonstration. Sans restreindre la g´en´eralit´e, on peut supposerA >1. Soitγ= (a+b)/2, on peut alors trouverτ ∈(0,1) tel queAτ^a=τ^γ. Posons alorsρ=τ Rde sorte que

Φ(τ R)≤Aτ^aΦ(R) +BR^b=τ^γΦ(R) +BR^b.

4.2. ESTIMATIONS DE CALDERON-ZYGMUND 47

Dans le document Equations aux dérivées partielles elliptiques linéaires et non linéaires (Page 32-47)