Estimations de Calderon-Zygmund

Φ(τ^kR) ≤ τ^γΦ(τ^k−1R) +Bτ^(k−1)bR^b

≤ τ^kγΦ(R) +Bτ^(k−1)bR^b

k−1

X

j=0

τ^j(γ−b)

≤



τ^−b+τ^−2b

∞

X

j=0

τ^j(γ−b)



τ^(k+1)b(Φ(R) +BR^b)

= cτ^(k+1)b(Φ(R) +BR^b),

o`u c=c(A, a, b). Pour tout 0< ρ < R, on peut trouverk∈Ntel queτ^k+1R≤ρ≤τ^kR. Comme τ^k+1≤ρ/R, on en d´eduit que

Φ(ρ)≤Φ(τ^kR)≤cτ^(k+1)b(Φ(R) +BR^b)≤cρ R

^b

(Φ(R) +BR^b).

Le Th´eor`eme 4.1.6 s’´etend en une estimation globale pour les solutions d’une EDP elliptique du second ordre sous forme divergence avec des coefficients assez r´eguliers. A l’aide de r´esultats d’approximation, on peut ´egalement montrer l’existence et l’unicit´e de solutions dans le cadre des espaces de H¨older (voir le Theorem 6.8 dans [6])

Th´eor`eme 4.1.9. Soient Ω⊂ R<sup>N</sup> un ouvert born´e de classe C<sup>2,α</sup> (0 < α < 1),f ∈ C<sup>0,α</sup>(Ω) et A une matrice satisfaisant les hypoth`eses (3.1.2) et (3.1.3) et dont les coefficientsa_ij ∈ C^1,α(Ω) pour tout1≤i, j≤N. Alors il existe une unique solution classique u∈ C^2,α(Ω) telle que

(−div(A∇u) =f dansΩ,

u= 0 sur ∂Ω.

4.2 Estimations de Calderon-Zygmund

Th´eor`eme 4.2.1. Soient Ω ⊂ R<sup>N</sup> un ouvert born´e et f ∈L<sup>p</sup>(Ω) o`u 1 < p <∞. Si u est une distribution solution de −∆u=f dansD⁰(Ω), alorsu∈W_loc^2,p(Ω). De plus, pour tout ouvert ω tel queω⊂Ω, il existe une constanteC=C(N, p,Ω, ω)telle que

kD²ukL^p(ω)≤C kukL^p(Ω)+kfkL^p(Ω)

.

Tout comme pour les estimations de Schauder, nous allons ramener le probl`eme au contrˆole dans W^2,p d’une fonction harmonique et du potentiel Newtonien d’une fonction L^p. Pour ce faire, on

´

etendf par z´ero surR^N et on continue `a noterf cette extension. On pose alors u=v+w

o`uv:=u−(G∗f) etw=G∗f. Commef est `a support compact (car Ω est born´e), le Th´eor`eme 2.2.4assure que−∆w=f dansD⁰(Ω). Par cons´equentv est harmonique sur Ω, et donc de classe C^∞sur Ω. On commence par montrer une estimationW^2,pde la fonction harmoniquev.

Lemme 4.2.2. La fonctionv:=u−G∗f satisfait

kD²vk_Lp(ω)≤C kuk_Lp(Ω)+kfk_Lp(Ω)

, o`uC >0 est une constante qui ne d´epend que deN,pet dist(ω, ∂Ω).

48 CHAPITRE 4. R ´ESULTATS DE R ´EGULARIT ´E

Par cons´equent, en int´egrant effectuant le changement de variabley =x+rz dans l’int´egrale de surface, on obtient que H¨older et le Th´eor`eme de Fubini montrent alors que

k∂ivk^p_Lp(ω⁰)≤ 1 ce qui termine la preuve du lemme.

Le reste de la preuve consiste `a montrer que le potentiel Newtonienw∈W^2,p(Ω). Commen¸cons par ´etablir quew∈W^1,p(Ω).

Lemme 4.2.3. La fonctionw appartient `aW^1,p(Ω).

D´emonstration. Comme w = G∗f avec G∈ L¹_loc(R^N) et f ∈ L^p(R^N) avec Supp(f) ⊂Ω, une

4.2. ESTIMATIONS DE CALDERON-ZYGMUND 49 D’apr`es la formule de Green, il vient que

Z ce qui implique, en utilisant de nouveau le th´eor`eme de Fubini que

Z est une application lin´eaire continue surL²(Ω).

D´emonstration. On suppose d’abord que f ∈ C_c^∞(Ω). D’apr`es le Th´eor`eme 2.2.2, on a que w:=

En utilisant deux fois la formule de Green, il vient que Z

50 CHAPITRE 4. R ´ESULTATS DE R ´EGULARIT ´E

Malheureusement, l’argument pr´ec´edent ne s’adapte pas pour p6= 2. Pour p = 1, nous allons montrer une version affaiblie qui repose sur la d´ecomposition de Calderon-Zygmund d’une fonction int´egrable f en une partie “good” not´ee g, o`u celle ci-est “essentiellement petite” et une autre

“bad”, not´eb o`u elle peut prendre de grandes valeurs mais“oscille peu”.

Th´eor`eme 4.2.5(Decomposition de Calderon-Zygmund). Soitf ∈L<sup>1</sup>(R<sup>N</sup>)ett >0. Alors il existe une suite de cubes(Qj)<sub>j∈N</sub>d’int´erieurs deux `a deux disjoints tels que

1. |f(x)| ≤tp.p. tout x∈R^N\

4.2. ESTIMATIONS DE CALDERON-ZYGMUND 51 On peut alors d´ecomposerf en

f =g+b

D´emonstration du Th´eor`eme4.2.5. Soitl∈Nassez grand tel que 1

l^N Z

R^N

|f(x)|dx≤t.

On recouvreR^N par des cubes d’int´erieurs deux `a deux disjoints et dont les cˆot´es sont de longueur l (la mesure de tels cubes est donc l<sup>N</sup>). On d´ecompose chacun de ces cubes Qen 2<sup>N</sup> sous-cubes d’int´erieurs deux `a deux disjoints de longueurl/2. Les sous-cubesC qui satisfont

1

|C|

Z

C

|f(x)|dx≤t

sont de nouveau d´ecompos´es de la mˆeme mani`ere et le proc´ed´e est r´ep´et´e ind´efiniment. Notons F={Qj}j∈Nla famille des cubes qui satisfont

Pour tout j ∈ N, soit C l’unique cube dont la subdivision donne Qj. On a alors n´ecessairement que _|C|¹ R

Q_j|f(x)|dx. Comme les cubes sont d’int´erieurs deux `a deux disjoints et que l’intersection des fronti`eres de cubes est de mesure nulle, il vient que P

j∈N|Qj| ≤t⁻¹R

R^N|f(x)|dx.

Soit enfin x₀ ∈ R^N \S

j∈NQ_j un point de Lebesgue de f. On peut alors trouver une suite d´ecroissante de cubes ouverts (C_n)_n∈N contenant x₀ et dont le diam`etre tend vers z´ero quand n→+∞satisfaisant

n(x0). Par cons´equent, d’apr`es le th´eor`eme de diff´erentiation de Lebesgue, on a

52 CHAPITRE 4. R ´ESULTATS DE R ´EGULARIT ´E

Nous avons toutefois le r´esultat plus faible suivant.

Lemme 4.2.6. SoientΩ⊂R^N un ouvert born´e etf ∈L²(Ω). Alors il existe une constanteC >0 qui ne d´epend que deN telle que

t|{x∈Ω :|T f(x)|> t}| ≤Ckfk_L1(Ω).

D´emonstration. On ´etendf par z´ero `a toutR<sup>N</sup> et on continue `a noterf cette extension. D’apr`es la d´ecomposition de Calderon-Zygmund, on peut d´ecomposerf sous la forme f =g+b o`u g et b satisfont les conclusions du Th´eor`eme 4.2.5. Comme de plus f ∈L<sup>2</sup>(Ω), on en d´eduit queg et Estimation deT g :D’apr`es l’in´egalit´e de Chebychev et le Lemme4.2.4,

|{x∈Ω :|T g(x)|> t/2}| ≤ 4

4.2. ESTIMATIONS DE CALDERON-ZYGMUND 53 ce qui montre, par convergence domin´ee que b=P+∞

k=0bk dansL²(R^N). Par cons´equent, comme T est une application lin´eaire continue surL²(R^N), il vient que

T b= le th´eor`eme des accroissements finis montre alors l’existence un ˆyk ∈[y, yk] tel que

|∂_ij²G(x−y)−∂²_ijG(x−y_k)| ≤ |∇∂²_ijG(x−yˆ_k)| |y−y_k| ≤ C_N et il vient alors que

Z changement de variables en coordonn´ees polaires, il vient

Z

54 CHAPITRE 4. R ´ESULTATS DE R ´EGULARIT ´E

En regroupant (4.2.2), (4.2.3) et (4.2.4), on obtient le r´esultat annonc´e.

Le r´esultat g´en´eral dans le cas 1 < p < 2 repose sur le th´eor`eme suivant d’interpolation de Marcinkiewicz et un argument de dualit´e quandp >2.

Th´eor`eme 4.2.7 (Interpolation de Marcinkiewicz). Soient Ω⊂R^N un ouvert, 1≤q < r <

∞des exposants et T :L^q(Ω)∩L^r(Ω)→L^q(Ω)∩L^r(Ω) une application lin´eaire. Supposons qu’il existe des constantesK1 etK2>0 telles que

|{x∈Ω :|T f(x)|> t}| ≤

Avant de d´emontrer ce th´eor`eme, rappelons un r´esultat d’int´egration.

Lemme 4.2.8. Pour toutp≥1 etf ∈L^p(Ω), on a

D´emonstration. La premi`ere in´egalit´e (dite de Chebychev) est une cons´equence de t^pµ(t)≤

4.2. ESTIMATIONS DE CALDERON-ZYGMUND 55

Venons en `a la preuve du Th´eor`eme de Marcinkiewicz.

D´emonstration du Th´eor`eme4.2.7. Pour f ∈L^q(Ω)∩L^r(Ω),A >0 ett >0, on ´ecrit

Par suite, le Lemme4.2.8implique que Z

Or, le Th´eor`eme de Fubini donne Z

56 CHAPITRE 4. R ´ESULTATS DE R ´EGULARIT ´E En regroupant les estimations pr´ec´edentes, on obtient que

Z

Ω

|T f|^pdx≤ p

p−q(2K1)^qA^p−q+ p

r−p(2K2)^rA^p−r Z

Ω

|f(x)|^pdx pour toutA >0. En prenant la valeur deAqui minimise l’expression entre accolades, i.e.

A= 2K₁^q/(r−q)K₂^r/(r−q), on obtient

kT fkL^p(Ω)≤2 p

p−q+ p r−p

1/p

K₁^θK₂^1−θkfkL^p(Ω), comme attendu.

Lemme 4.2.9. Soient Ω ⊂R^N un ouvert born´e et f ∈ L^p(Ω) (1 < p < ∞). Alors le potentiel Newtonien G∗f ∈W^2,p(Ω), −∆(G∗f) =f p.p. sur Ω et il existe une constante C >0 qui ne d´epend que deN etptelle que

kD²(G∗g)kL^p(Ω)≤CkfkL^p(Ω). En particulier, l’applicationT :L^p(Ω)→L^p(Ω) donn´ee par

T f =∂_ij²(G∗f) est une application lin´eaire continue surL^p(Ω).

D´emonstration. Le cas p = 2 a d´ej`a ´et´e trait´e dans le Lemme 4.2.4. Si 1 < p < 2, il suffit d’appliquer les Lemmes 4.2.4, 4.2.6 et le Th´eor`eme 4.2.7 d’interpolation de Marcinkiewicz avec q= 1 etr= 2. Il reste `a traiter le cas p >2 qui repose sur un argument de dualit´e. En effet, en posant q=p/(p−1)∈]1,2[, si f et g ∈ C<sub>c</sub><sup>∞</sup>(Ω), alors une int´egration par parties et le Th´eor`eme de Fubini montrent que

Z

Ω

(T f)g dx= Z

Ω

∂_ij²(G∗f)g dx= Z

Ω

(G∗f)∂_ij²g dx

= Z

Ω

Z

Ω

G(x−y)f(y)∂_ij²g(x)dy dx= Z

Ω

f(T g)dy≤ kfk_Lp(Ω)kT gk_Lq(Ω).

Comme 1< q <2, on a quekT gkL^q(Ω)≤CkgkL^q(Ω)et donc Z

Ω

(T f)g dx≤Ckfk_Lp(Ω)kgk_Lq(Ω), d’o`u

kT fkL^p(Ω) = sup Z

Ω

(T f)g dx:g∈ C^∞_c (Ω),kgkL^q(Ω)≤1

≤CkfkL^p(Ω). Par cons´equent, T s’´etend en une forme lin´eaire continue surL^p(Ω).

Le Th´eor`eme4.2.1est maintenant une cons´equence imm´ediate des Lemmes 4.2.2et 4.2.9.

Les estimations de Calderon-Zygmund sont fausses dans les cas critiquesp= 1 etp=∞.

Exemple 4.2.10. SupposonsN = 2 etD=B₁(0). On peut v´erifier facilement les calculs suivants :

Dans le document Equations aux dérivées partielles elliptiques linéaires et non linéaires (Page 47-57)