Equations semi-lin´ eaires

Conv(A)⊂Conv{x1, . . . , x_m}+B(0, ε/2).

Comme Conv{x1, . . . , x_m} est un sous ensemble convexe de Vect{x1, . . . , x_m} qui est un sous-espace vectoriel deEde dimension finie, alors Conv{x₁, . . . , x_m}est convexe et compact. Il existe donc un entiern∈Net des pointsy₁, . . . , y_n∈Conv{x₁, . . . , x_m} tels que

Conv{x₁, . . . , x_m} ⊂

n

[

j=1

B(y_j, ε/2) ={y₁, . . . , y_m}+B(0, ε/2).

On en d´eduit alors

Conv(A)⊂ {y1, . . . , y_n}+B(0, ε) =

n

[

j=1

B(y_j, ε),

ce qui montre que Conv(A) est pr´ecompact et donc compact.

5.2 Equations semi-lin´ eaires

Le th´eor`eme du point fixe de Schauder permet de montrer l’existence de solutions d’EDP ellip-tiquessemi-lin´eaires, i.e. d’EDP non lin´eaires mais dont la partie principale est lin´eaire par rapport

`

au. On consid`ere tout d’abord l’EDP sous forme divergence suivante : (−div(A∇u) =f(x, u) dans Ω,

u= 0 sur ∂Ω. (5.2.1)

Le terme principal de cette ´equationPN

i,j=1aij(x)∂_ij²u(x) est effectivement lin´eaire par rapport `a u.

On rappelle tout d’abord la d´efinition et quelques propri´et´es desfonctions de Carath´eodory.

D´efinition 5.2.1. Soit Ω ⊂ R^N un ouvert. On dit que f : Ω×R^m → R est une fonction de Carath´eodory si f(x,·) est continue surR^m pour presque toutx∈Ω etf(·, z) est mesurable sur Ω pour toutz∈R^m.

Lemme 5.2.2. Soitf : Ω×R^m→R une fonction de Carath´eodory et w: Ω→R^m une fonction mesurable. Alors la fonctionx7→f(x, w(x))est mesurable.

D´emonstration. La fonction w´etant mesurable, il existe une suite (w_n)_n∈N de fonctions ´etag´ees qui converge verswp.p. sur Ω. On peut alors trouverα₁, . . . , α_k ∈R^met des ensembles mesurables A₁, . . . , A_k ⊂Ω deux `a deux disjoints tels que

wn=

k

X

i=1

αiχA_i.

Par cons´equent, pour presque toutx∈Ω, f(x, wn(x)) =

k

X

i=1

f(x, αi)χA_i(x).

La fonction f ´etant de Carath´eodory, on a que x 7→ f(x, αi) est mesurable. Par suite, x 7→

f(x, wn(x)) est mesurable comme produit et somme de fonctions mesurables. Comme wn(x) → w(x), etf(x,·) est continue presque pour toutx∈Ω, on en d´eduit quef(x, wn(x))→f(x, w(x)) presque pour tout x∈Ω, ce qui montre quex7→f(x, w(x)) est mesurable comme limite p.p. de fonctions mesurables.

66 CHAPITRE 5. EQUATIONS NON LIN ´EAIRES SOUS FORME DIVERGENCE Nous ferons les hypoth`eses suivantes :

(H1) Ω⊂R^N est un ouvert born´e ;

(H2) f : Ω×R→Rest une fonction de Carath´eodory, et il existe une fonctiona∈ L²(Ω) telle que|f(x, s)| ≤a(x) pour touts∈Ret presque pour toutx∈Ω.

(H₃) Pour tout 1≤i, j≤N, les fonctionsa_ij ∈L^∞(Ω) il existe une constanteλ >0 telle que

N

X

i,j=1

aij(x)ξiξj≥λ|ξ|² pour presque toutx∈Ω et toutξ∈R^N.

Th´eor`eme 5.2.3. Sous les hypoth`eses(H1),(H2)et(H3), il existe une solution faibleu∈H₀¹(Ω) de (5.2.1), i.e.,

Z

Ω

A(x)∇u(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

f(x, u(x))w(x)dx pour toutw∈H₀¹(Ω).

D´emonstration. Nous allons utiliser le th´eor`eme du point fixe de Schauder. Pour ce faire, on consid`ere l’applicationT :L²(Ω) →L²(Ω) qui `a u∈L²(Ω) associe l’unique solutionv =T(u)∈ H₀¹(Ω) de la formulation variationnelle

Z

Ω

A(x)∇v(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

f(x, u(x))w(x)dx pour toutw∈H₀¹(Ω).

L’existence et l’unicit´e devd´ecoule du th´eor`eme de Lax-Milgram puisque la fonctionx7→f(x, u(x)) appartient `aL²(Ω) d’apr`es le Lemme5.2.2et l’hypoth`ese (H2).

En prenant w = v comme fonction test dans la formulation variationnelle, en utilisant les hypoth`eses (H2), (H3) et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, il vient

λk∇vk²_L2(Ω)≤ Z

Ω

A(x)∇v(x)· ∇v(x)dx= Z

Ω

f(x, u(x))v(x)dx≤ kak_L2(Ω)kvk_L2(Ω). Par suite, l’in´egalit´e de Poincar´e donne

λk∇vk²_L2(Ω)≤CΩkak_L2(Ω)k∇vk_L2(Ω), ce qui montre que

kvk_H1

0(Ω)≤R:= CΩkak_L2(Ω)

λ .

En notant K := {v ∈ H₀¹(Ω) : kvk_H¹

0(Ω) ≤R}, nous avons montr´e que T : L²(Ω) → K. Par ailleurs, l’ensembleKest convexe et le th´eor`eme de Rellich montre queKest compact dansL²(Ω).

Il reste `a montrer que T :L<sup>2</sup>(Ω) → L<sup>2</sup>(Ω) est continue. Pour ce faire, on consid`ere une suite (un)_n∈N ⊂ L²(Ω) telle que un → u dans L²(Ω) et on note vn := T(un) ∈ H₀¹(Ω). L’argument pr´ec´edent montre que kvnk_H1

0(Ω)≤R. On peut donc extraire une sous-suite telle que v_σ(n) * v faiblement dansH₀¹(Ω),

vσ(n) →v fortement dansL²(Ω), u_σ(n) →u p.p. sur Ω.

Comme f est une fonction de Carath´eodory, on a que f(x, uσ(n)(x))→ f(x, u(x)) presque pour toutx∈Ω et l’hypoth`ese (H₂) montre que|f(x, uσ(n)(x))| ≤a(x) p.p. toutx∈Ω aveca∈L²(Ω).

5.2. EQUATIONS SEMI-LIN ´EAIRES 67 Le th´eor`eme de la convergence domin´ee montre alors que f(·, uσ(n)(·))→ f(·, u(·)) dansL²(Ω).

Par passage `a la limite dans la formulation variationnelle Z

Ω

A(x)∇v_σ(n)(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

f(x, u_σ(n)(x))w(x)dx pour toutw∈H₀¹(Ω), il vient

Z

Ω

A(x)∇v(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

f(x, u(x))w(x)dx pour toutw∈H₀¹(Ω),

ce qui montre quev=T(u). Nous avons donc ´etabli queT(u_σ(n))→T(u) dansL²(Ω). Par unicit´e de la solution de la formulation variationnelle, on a en fait queT(un)→T(u) dansL²(Ω) ce qui montre queT est continue surL²(Ω).

Nous avons donc montr´e queT :K→K est continue et queKest sous ensemble un convexe et compact deL²(Ω). Le th´eor`eme du point fixe de Schauder assure l’existence d’un point fixeu∈K deT dansK, i.e., T(u) =u, autrement dit

Z

Ω

A(x)∇u(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

f(x, u(x))w(x)dx pour toutw∈H₀¹(Ω).

On peut aussi consid´erer un probl`eme un peu plus g´en´eral en autorisant f de d´ependre de∇u.

On s’int´eresse alors `a l’EDP suivante.

(−div(A∇u) =f(x, u,∇u) dans Ω,

u= 0 sur ∂Ω. (5.2.2)

Pour ce faire on rajoute l’hypoth`ese suivante :

(H₂⁰) f : Ω×(R×R^N)→Rest une fonction de Carath´eodory, et il existe une fonctiona∈L²(Ω), b >0 et 0< β <1 tels que|f(x, s, ξ)| ≤a(x) +b(|s|^β+|ξ|^β) pour tout (s, ξ)∈R×R^N et presque pour tout x∈Ω.

Th´eor`eme 5.2.4. Sous les hypoth`eses(H₁),(H₂⁰)et(H₃), il existe une solution faibleu∈H₀¹(Ω) de (5.2.2), i.e.,

Z

Ω

A(x)∇u(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

f(x, u(x),∇u(x))w(x)dx pour toutw∈H₀¹(Ω).

D´emonstration. On d´efinit l’application T : H₀¹(Ω) → H₀¹(Ω) par v = T(u), o`u v ∈ H₀¹(Ω) est l’unique solution de la formulation variationnelle

Z

Ω

A(x)∇v(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

f(x, u(x),∇u(x))w(x)dx pour toutw∈H₀¹(Ω).

Notons quevest unique carx7→f(x, u(x),∇u(x)) appartient `aL<sup>2</sup>(Ω). En effet, d’apr`es le Lemme 5.2.2, cette fonction est mesurable, et d’apr`es l’hypoth`ese (H₂⁰), on a

|f(x, u(x),∇u(x))| ≤a(x) +b(|u(x)|^β+|∇u(x)|^β) p.p. toutx∈Ω.

Comme la fonctiona+b(|u|^β+|∇u|^β)∈L²(Ω) +L^2/β(Ω)⊂L²(Ω) (carβ <1 et Ω est born´e), on en d´eduit quef(·, u,∇u)∈L²(Ω).

68 CHAPITRE 5. EQUATIONS NON LIN ´EAIRES SOUS FORME DIVERGENCE En prenant w = v comme fonction test dans la formulation variationnelle et en utilisant les hypoth`eses (H₂⁰), (H₃) et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, il vient

λk∇vk²_L2(Ω)≤ Z

Ω

A(x)∇v(x)· ∇v(x)dx= Z

Ω

f(x, u(x),∇u(x))v(x)dx

≤

kak_L2(Ω)+b(k|u|^βk_L2(Ω)+k|∇u|^βk_L2(Ω)

kvk_L2(Ω).

D’apr`es les in´egalit´e de Cauchy-Schwarz et Poincar´e, on a k|u|^βk_L2(Ω)+k|∇u|^βk_L2(Ω)≤ kuk^β_L2(Ω)+k∇uk^β_L2(Ω)

|Ω|^(1−β)/2≤Ckuk^β_H1 0(Ω)

o`u C > 0 ne d´epend que de N, Ω et β. Par cons´equent, en utilisant de nouveau l’in´egalit´e de Poincar´e, il vient

kvk_H¹

0(Ω)≤C∗(1 +kuk^β_H1 0(Ω)),

o`u C_∗>0 est une constante ne d´ependant queλ,N,kak_L2(Ω),b, Ω etβ. Comme β <1, on peut trouver un R > 0 tel que C_∗(1 +R^β) ≤ R de sorte que si kuk_H¹

0(Ω) ≤R, alors kT(u)k_H¹

0(Ω) = kvk_H1

0(Ω)≤R. SiCd´esigne la boule ferm´ee dansH₀¹(Ω) centre 0 et rayonR(un ensemble convexe, ferm´e et born´e), on a donc montr´e queT :C→C.

Montrons que T est continue surH₀¹(Ω). Soit (un)n∈N une suite de H₀¹(Ω) telle que un → u dansH₀¹(Ω) et on notevn:=T(un). L’argument pr´ec´edent montre que la suite (vn)n∈Nest born´ee dansH₀¹(Ω) et donc, on peut extraire une sous-suite et trouver une fonctionv∈H₀¹(Ω) telle que

vσ(n) * v faiblement dansH₀¹(Ω).

Par ailleurs, la r´eciproque de la convergence domin´ee montre qu’on peut encore extraire des sous-suites et trouver des fonctionsGetH ∈L²(Ω) telles que











u_σ(n)→u p.p. sur Ω,

∇u_σ(n)→ ∇u p.p. sur Ω,

|u_σ(n)| ≤G p.p. sur Ω,

|∇u_σ(n)| ≤H p.p. sur Ω.

La fonction f ´etant de Carath´eodory, on en d´eduit quef(·, uσ(n),∇uσ(n))→f(·, u,∇u) p.p. sur Ω. Par suite, l’hypoth`ese (H₂⁰) montre que

|f(·, uσ(n),∇uσ(n))| ≤a+b(|G|^β+|H|^β)∈L²(Ω) +L^2/β(Ω)⊂L²(Ω)

carβ <1. Le th´eor`eme de la convergence domin´ee implique que f(·, uσ(n),∇uσ(n))→f(·, u,∇u) dansL<sup>2</sup>(Ω). Par passage `a la limite dans la formulation variationnelle

Z

Ω

A(x)∇v_σ(n)(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

f(x, u_σ(n)(x),∇u_σ(n)(x))w(x)dx pour toutw∈H₀¹(Ω), il vient

Z

Ω

A(x)∇v(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

f(x, u(x),∇u(x))w(x)dx pour toutw∈H₀¹(Ω),

ce qui montre quev=T(u). Nous avons donc ´etabli queT(uσ(n))→T(u) dansH₀¹(Ω). Par unicit´e de la solution de la formulation variationnelle, on a en fait queT(un)→T(u) dansL²(Ω) ce qui montre queT est continue surH₀¹(Ω).

5.2. EQUATIONS SEMI-LIN ´EAIRES 69 Montrons enfin queT(C) est relativement compact dansH₀¹(Ω). Soit (un)n∈Nune suite deCet v_n :=T(u_n)∈C. CommeCest born´e, on en d´eduit que les suites (u_n)_n∈Net (v_n)_n∈Nsont born´ees dansH₀¹(Ω). On peut donc extraire des sous-suites et trouver des fonctionsu, v∈H₀¹(Ω) telles que

(uσ(n)* u faiblement dansH₀¹(Ω), v_σ(n)* v faiblement dansH₀¹(Ω).

Par ailleurs, le th´eor`eme de Rellich montre que

vσ(n)→v fortement dansL²(Ω). (5.2.3) En notant hn :=f(·, un,∇un) on d´eduit de (H₂⁰) que la suite (hn)n∈N est born´ee dansL²(Ω) et donc, quitte `a extraire une nouvelle sous-suite, on peut supposer que

hσ(n)* h faiblement dansL²(Ω) (5.2.4)

(notons qu’`a ce stade de la preuve, on n’a pas queh=f(·, u,∇u)). Par passage `a la limite dans la formulation variationnelle

Z

Ω

A(x)∇vσ(n)(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

f(x, uσ(n)(x),∇uσ(n)(x))w(x)dx pour toutw∈H₀¹(Ω), il vient

Z

Ω

A(x)∇v(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

h(x)w(x)dx pour toutw∈H₀¹(Ω).

En prenantw=v_σ(n) comme fonction test, on en d´eduit que Z

Ω

A(x)∇vσ(n)(x)· ∇vσ(n)(x)dx= Z

Ω

hσ(n)vσ(n)(x)dx

→ Z

Ω

h(x)v(x)dx= Z

Ω

A(x)∇v(x)· ∇v(x)dx, o`u l’on a utilis´e (5.2.3), (5.2.4). D’apr`es la propri´et´e de coercivit´e (H3), on a donc

λ Z

Ω

|∇v− ∇vσ(n)|²dx≤ Z

Ω

A(∇v− ∇vσ(n))·(∇v− ∇vσ(n))dx→0

ce qui montre que∇v_σ(n)→ ∇vfortement dansL²(Ω), ou encoreT(u_σ(n))→T(u) fortement dans H₀¹(Ω). Ceci montre queT(C) est relativement compact dansH₀¹(Ω).

Nous sommes alors en mesure d’appliquer le Corollaire 5.1.4 qui montre que l’application T admet un point fixe dansC. Il existe donc unu∈C⊂H₀¹(Ω) tel queT(u) =u, i.e.,

Z

Ω

A(x)∇u(x)· ∇w(x)dx= Z

Ω

f(x, u(x),∇u(x))w(x)dx pour toutv∈H₀¹(Ω).

L’exemple suivant montre que l’hypoth`eseβ <1 dans (H₂⁰) est optimale.

Exemple 5.2.5. Soitλ1>0 la premi`ere valeur propre de l’op´erateur−∆ avec condition de Diri-chlet sur le bord. On rappelle queλ1peut ˆetre calcul´ee en consid´erant le probl`eme de minimisation du quotient de Rayleigh

λ1= min Z

Ω

|∇ϕ|²dx:ϕ∈H₀¹(Ω), kϕk_L2(Ω)= 1

.

70 CHAPITRE 5. EQUATIONS NON LIN ´EAIRES SOUS FORME DIVERGENCE Soitϕ1∈H₀¹(Ω) une solution de ce probl`eme. Notons que commeϕ1∈H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω), alors|ϕ1| ∈H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω) et ∇|ϕ1|=∇ϕ1χ<sub>ϕ1≥0</sub>− ∇ϕ1χ<sub>ϕ1<0</sub> de sorte que|∇|ϕ1||=|∇ϕ1|. Quitte `a remplacerϕ₁ par|ϕ1|, on peut donc toujours supposer que ϕ₁ ≥0 p.p. sur Ω. La fonction propreϕ₁ est solution de la formulation variationnelle

ce qui implique queR

Ωϕ1dx= 0, ou encore queϕ1= 0, ce qui est impossible.

En g´en´eral, il n’y a aucune raison pour que l’unicit´e ait lieu. Terminons cette section par un exemple de crit`ere assurant l’unicit´e des solutions.

Th´eor`eme 5.2.6. On suppose, en plus de (H1), (H2) et (H3), que la fonction s 7→ f(x, s) est d´ecroissante pour presque tout x ∈ Ω. Alors, il existe une unique solution faible u ∈ H₀¹(Ω) de (5.2.1), i.e., fonction test, on en d´eduit que

Z

En faisant la diff´erence entre ces deux ´egalit´es, il vient, Z

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