Simulation des ´ equations diff´ erentielles ordinaires

Institut Fourier L3 M´ethodes Num´eriques

Universit´e Grenoble I 2^`eme semestre 2007/2008

Simulation des ´ equations diff´ erentielles ordinaires

On souhaite int´egrer num´eriquement l’´equation diff´erentielle y⁰(t) = f(t, y(t)) , y(0) = ˜y .

Pour cela, on se fixe un pas de temps h et on va calculer une approximation des vecteurs yⁿ = y(nh) pour n ∈ N. On pose bien sˆur y0 = ˜y, puis on calcule successivement les yⁿ par la m´ethode choisie, par exemple :

Euler explicite : yⁿ+1=yⁿ+hf(tⁿ, yⁿ).

Euler implicite : yⁿ+1 = yⁿ+hf(tⁿ+1, yⁿ+1), n´ecessite une r´esolution d’une ´equation non-lin´eaire (par exemple par la m´ethode de Newton).

Point milieu :

y^mil =yⁿ+h/2∗f(tⁿ, yⁿ) yⁿ+1=yⁿ+hf(tⁿ+h/2, y^mil)

Runge-Kutta 4 :















p1 =f(tⁿ, yⁿ)

t2 =tⁿ+h/2 y2 =yⁿ+h/2∗p1 p2 =f(t2, y2) t3 =tⁿ+h/2 y3 =yⁿ+h/2∗p2 p3 =f(t3, y3) t4 =tⁿ+h=tⁿ+1 y4 =yⁿ+h∗p3 p4 =f(t4, y4) yⁿ₊₁ =yⁿ+h∗ ¹

6p₁ +²₆p₂+²₆p₃+ ¹₆p₄

N.B. 1 : si on simule une ´equation diff´erentielle d’ordre k sur R^d, il faut bien sˆur la mettre d’abord sous forme d’une ´equation diff´erentielle d’ordre 1 sur R^dk.

N.B. 2 : on notera queyⁿ+1 ≈yⁿ+R(n+1)h

nh f(y(t))dt. Il y a donc un lien entre ces m´ethodes et l’int´egration num´erique. Par exemple, les m´ethodes d’Euler explicite et implicite corre- spondent respectivement aux m´ethodes des rectangles `a gauche et `a droite.

Avertissement : pour les projets, on pourra utiliser la commande ode de Scilab, mais il faudra imp´erativement programmer au moins une des m´ethodes pr´ec´edentes de fa¸con explicite.

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