´equations diff ´erentielles ordinaires

(1)

Chapitre 4 : R ésolution d’ équations diff érentielles ordinaires

Maarten Jansen

´equations diff ´erentielles ordinaires

•Une équation diff érentielle est une équation qui contient une ou plusieurs d ériv ées d’une fonction inconnue.

•Le succ ès des équations diff érentielles ordinaires dans la science est cons équent au fait que la plupart des lois scientifiques sont facilement repr ésentables en termes detaux de changement.

M. Jansen, G. Bontempi INFO-F-205 Calcul Num ´erique — Chap. 4: Eq. Diff. p.1

Exemples d’ ´equations diff ´erentielles

•Exemple : soitxun capital qui est investi à un taux d’int ér êt constant k. Supposons vouloir connaˆıtre l’ évolution temporelle du capital en sachant que la croissance du capital a lieu de mani ère continue.

L’ évolution du capitalpeut être d écrite par une équation du type y(t+dt) =y(t) +ky(t)dt⇔y^′(t) =ky(t)

Cette mod élisation est tr ès simplifi é puisque elle se base sur plusieurs assomptions : par exemple le taux d’int ér êt est constant dans le temps et ind épendant du montant.

•Etant donns le taux de natalit éνet le taux de mortalit éµ,l’ évolution y(t)d’une populationpeut être model ée par :

dy(t)

dt = (ν−µ)·y(t)

Syst `eme masse-ressort

k

x m F

•Masse ponctuelle (m)

•Force de rappel F = −k·x(force ´elastique ; kest la constante de raideur du ressort)

•L’acc ´el ´eration :d²x

dt² =a=F/m=−(k/m)·x

•La pulsation du syst `eme (pulsation propre, en contraste avec une pulsation ext ´erieure) :ω₀=^pk/m

•Solution du syst `eme :x(t) =Asin(ω₀t) +Bcos(ω₀t)

•Les valeurs A et B d ´ependent des conditions initiales (position et vitesse initiales)

(2)

Tenant compte du frottement

•Deux forces : 1. Force de rappel 2. Force d’amortissement

•Equation (Newton) :F_r+F_a=m^d_dt²^x2 o `uF_r=−kx,

La force d’amortissement est model ´ee comme ´etant proportionnelle

à la vitesse, en pointant vers la direction oppos ée à la direction du mouvementF_a=−c^dx_dt (c étant le coefficient d’amortissement)

•Equation diff ´erentielle pourx(t):md²x dt² +cdx

dt +kx= 0

•Solution sous forme

x(t) =A·e^−λ^d^tcos(ω_dt) +B·e^−λ^d^tsin(ω_dt)

Avec une force ext ´erieure

L’ ´equation devientmd²x dt² +cdx

dt +kx=Fext(t)

Contrairement au syst ème sans force ext érieure, cette équation est non homog ène

La solution analytique d’une ´equation diff ´erentielle

Equations homog `enes du premier ordre a₁(t)y^′(t) +a₀(t)y(t) = 0

Solution :S ´eparation des variables y^′(t)

y(t) =−a₀(t) a₁(t) ⇔ d

dtln[y(t)] =−a₀(t)

a₁(t) ⇔ln[y(t)] =− Z t

t0

a₀(u) a₁(u)du

⇔ y(t) = exp

− Z t

t0

a0(u) a1(u)du

o `ut₀est une constante arbitraire `a remplir par la condition initiale Exemple

dy(t)

dt = (ν−µ)·y(t)⇔y(t) =K·e^(ν−µ)t

Equations non homog `enes du premier ordre

Soity(t) =K·y₀(t)la solution g én érale de l’ équation homog ènea₁(t)y^′(t) + a₀(t)y(t) = 0

Alors, la solution g én érale de l’ équation non homog ènea₁(t)y^′(t) +a₀(t)y(t) = f(t)

s’exprime sous la formey(t) =K(t)·y₀(t) La fonctionK(t)satisfait `a

a₁(K^′y₀+Ky₀^′) +a₀Ky₀=f ⇔K^′a₁y₀+K(a₁y^′₀+a₀y₀) =f ⇔K^′a₁y₀=f ⇔ K(t) =

Z t t0

f(t) a₁(t)y₀(t)dt

Cette technique de r ´esolution s’appelle laVariation des constantes

(3)

Equations lin éaires homog ènes à coefficients constants

En utilisant les notationsDy(t) =y^′(t),D²y(t) =y^′′(t)etc., une ´eq. diff. d’ordre npeut s’ `ecrire

a_nDⁿ+a_n−1Dⁿ⁻¹+. . .+a₁D+a₀y(t) = 0 La solution g én érale s’ ècrit sous la forme

y(t) =A₁e^α¹^t+A₂e^α²^t+. . .+A_ne^αⁿ^t

o ùA_i sont des constantes arbitraires à remplir par les conditions initiales et les α_i sont toutes les racines simples (r éelles et complexes) du polyn ôme caract éristiqueassoci é

p(α) =a_nαⁿ+a_n−1αⁿ⁻¹+. . .+a₁α+a₀

Exemples

y^′′(t) +ω²₀y(t) = 0⇔(D²+ω₀²)y(t) = 0 Equation caract ´eristique :α²+ω₀²= 0⇔α=±ω₀i Solution (1) :y(t) =a₁e^iω⁰^t+a₂e^−iω⁰^t

solution (2) : Toute combinaison lin éaire des fonctions imaginaireseîω⁰^tete^−iω⁰^t peut s’ écrire comme une combinaison lin éaire des fonctions r éellessin(ω₀t)et cos(ω₀t)

y(t) =Asin(ω₀t) +Bcos(ω₀t)

Racines doubles, triples, etc.

Eq. diff. :y^′′′(t) + 3α₁y^′′(t) + 3α₁²y^′(t) +α³₁y(t) = 0 Eq. char. :α³+ 3α²α₁+ 3αα₁²+α³₁= 0⇔(α+α₁)³= 0 Solution :y(t) =A₁e^−α¹^t+A₂te^−α¹^t+A₃t²e^−α¹^t

Exemple(Racines simples) Eq. diff. :y^′′′(t) =−y(t)

Eq. char. : α³+ 1 = 0 ⇔ (α+ 1)(α²−α+ 1) = 0⇔(α+ 1)(α²−α+ 1/4 + 3/4) = 0

⇔ (α+ 1)((α−1/2)²+ 3/4) = 0⇔α∈ {−1,−1/2±^p3/4i} Solution

y(t) =A₁e^−t+A₂e^−t/2cos(√

3t/2) +A₃e^−t/2sin(√ 3t/2)

Equations lin éaires non-homog ènes à coefficients constants

La variation des constantes est applicable, mais elle nous conduirait à un syst ème d’ équations diff érentielles

Annihilation du second membre

Alternative pour les seconds membres qui, eux-m ˆemes, sont la solution d’une

équation lin éaire homog ène à coefficients constants Exemple

y^′′(t) + 2y^′(t) + 5y(t) = cos(3t)⇔(D²+ 2D+ 5)y(t) = cos(3t) La fonctioncos(3t)est une des solutions de l’ ´equation(D²+ 9)y(t) = 0. (D²+ 2D+ 5)y(t) = cos(3t)⇒(D²+ 9)(D²+ 2D+ 5)y(t) = (D²+ 9) cos(3t) = 0 attention : L’implication n’est valable que dans une direction, donc la nouvelle

´equation a parmi ses solutions des fonctions qui ne sont pas une solution de l ´equation originale.

Equation caract ´eristique :(α² + 9)(α²+ 2α+ 5) = 0 ⇔ α ∈ {3i,−3i,−1 + 2i,−1−2i}

Forme de la solution (1)

y(t) =ae^−te^−2it+a e^−te^2it+b e^−3it+b e^3it

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Forme de la solution (2)

y(t) =A₁e^−tcos(2t) +A₂e^−tsin(2t) +B₁cos(3t) +B₂sin(3t)

Les constantes A1 et A2 sont d étermin ées par les conditions initiales. Les fonctions associ ées sont appell ées les états transitoires.

Les constantesB₁etB₂, par contre, r ésultent d’une substitution de la forme (2) dans l’ équation originale. Elles repr ésentent la solution stationnaire (ind épendente des conditions initiales).

Exemple : un syst `eme masse-ressort

+ force ext ´erieure p ´eriodique

•Oscillation/pulsation ext ´erieure :ω

•Masse ponctuellem, constante de rappel (de raideur) du ressortk

•Pulsation propre sans frottement :ω₀=^pk/m

•Constante d’amortissementc

•Equation homog `ene md²x

dt² +cdx

dt +kx= 0⇔ d²x

dt² + 2ζω₀dx

dt +ω²₀x= 0 o `uζ=c/2√

kmest letaux d’amortissement

•Equation caract ´eristique :

mα²+cα+k= 0⇔α²+ 2ζω₀α+ω²₀= 0⇔(α+ζω₀)²+ (1−ζ²)ω²₀= 0

•Solution de l’ ´eq.car. :α=ω₀(−ζ±^pζ²−1)

L’oscillateur harmonique amorti

•R ´egime purement p ´eriodique Pourζ= 0

•R ´egime ap ´eriodique

Pour ζ > 1, les racines du polyn ôme caract éristique associ é sont r éelles et n égatives :α1,2=ω0(−ζ±^pζ²−1)

x(t) =a₁e^α¹^t+a₂e^α²^t

Il n’y a pas d’oscillation, l’amortissement est dominant.

•R ´egime ap ´eriodique critique

Pour ζ = 1 : une racine (double), r éelle et n égative du polyn ôme caract éristique associ é

•R ´egime p ´eriodique amorti

Pourζ <1la solution est complexe. La partie imaginaire correspon- dra `a une oscillation.α=−ω₀ζ±ωio `uω=ω₀^p1−ζ²

L’amortissement de l’oscillation comprend donc deux aspects :

— Une d ´ecroissance temporelle (exponentielle) de l’amplitude

— Un ralentissement ( à peine visible à l’œil nu et constant, c- à-d., non temporel) de la pulsationω =ω₀^p1−ζ²

x(t) =a₁e^−ζω⁰^t·e^−iωt+a₂e^−ζω⁰^t·e^iωt ou bien

x(t) =A1e^−ζω⁰^t·cos(ωt) +A2e^−ζω⁰^t·sin(ωt)

0 10 20 30 40 50

-1 -0.5 0 0.5 1

t

x(t)

(5)

L’oscillateur avec une source ext ´erieure

md²x

dt² +cdx

dt +kx=F(t)⇔ d²x

dt² + 2ζω₀dx

dt +ω²₀x= 1 mF(t) SoitF(t)/m=A·sin(ω_ft)(une sinuso¨ıde)

Alors la solution s’ ´ecrit sous la forme

x(t) =A₁e^−ζω⁰^t·cos(ωt) +A₂e^−ζω⁰^t·sin(ωt) +B₁cos(ω_ft) +B₂sin(ω_ft)

En posantA₁= 0 =A₂, on obtient

x(t) = B1cos(ωft) +B2sin(ωft) x^′(t) = −B₁ω_fsin(ω_ft) +B₂ω_fcos(ω_ft) x^′′(t) = −B₁ω_f²cos(ω_ft)−B₂ω²_fsin(ω_ft)

L’ ´equation devient

h−B₁ω_f²+ 2ζω₀B₂ω_f +ω²₀B₁ⁱcos(ω_ft)

+^h−B₂ω²_f−2ζω₀B₁ω_f+ω₀²B₂ⁱsin(ω_ft) = A·sin(ω_ft) L’ ´equation se r ´esout facilement en posant

−B₁ω²_f+ 2ζω₀B₂ω_f+ω₀²B₁ = 0

−B₂ω_f²−2ζω₀B₁ω_f+ω²₀B₂ = A

"

ω₀²−ω²_f 2ζω₀ω_f

−2ζω₀ω_f ω²₀−ω_f²

# B₁ B₂

= 0

A

B1 = −A_(ω2 ^2ζω⁰^ω^f 0−ω²f)²+4ζ²ω²0ω²_f

B2 = A ^ω

2 0−ω²f

(ω²0−ω²f)²+4ζ²ω²0ω²_f

Etant donn ées la position et la vitesse initialesx0=x(0)etv0=x^′(0), on peut r ésoudre le syst ème

x(0) = A₁+B₁

x^′(0) = A2ω−A1ζω0+B2ωf

Illustration

x(0) =x₀= 0 =v₀=x^′(0)

0 10 20 30 40 50

-10 -5 0 5 10

t

x(t)

stationnaire transitoire

0 10 20 30 40 50

-15 -10 -5 0 5 10 15

t

x(t)

Fext(t) x(t)

R ´esonance

L’amplitude de la solution stationnaire est q

B₁²+B₂²= A

q(ω₀²−ω²_f)²+ 4ζ²ω²₀ω_f²

Pourω0 = 1, la courbe de l’amplitude en fonction de la pulsation de la force ext ´erieure

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 5 10 15 20 25 30 35

ω_F

Amplitude

L’amplitude atteint son maximum pourω_f =ω₀^p1 + 2ζ²

(6)

Equation diff ´erentielle

•Une équation diff érentielle est une équation qui contient une fonction inconnuey(·), ses d ériv éesy^′, y^′′,· · ·, y⁽ⁿ⁾et des variables ind épendantes.

•Forme implicite:F(t, y, y^′,· · · , y⁽ⁿ⁾) = 0

•Forme explicite:y⁽ⁿ⁾=f(t, y, y^′,· · ·, y⁽ⁿ⁻¹⁾)

•Une solutiony(t)de l’ équation diff érentielle est toute fonction satisfaisant l’ équation diff érentielle.

•Equation diff érentielleordinaire: la fonction inconnuey ne d épend que d’une seule variable ind épendante.

•Equation aux d ériv éespartielles: la fonction inconnueyd épend de plusieurs variables ind épendantes.

•Ôrdre de l’ équation diff érentielle : le plus grand ordre des d ériv ées deyqui apparaissent.

Dans ce chapitre nous nous limiterons `a

•équations diff érentielles ordinaires du premier ordre, c. à.d. o ù la plus grand d ériv ée est d’ordre1,

•Probl `emes aux valeurs initiales

— En g én éral, la solution d’une éq.diff. est une classe/famille de fonctions

— Par exemple : Toutes les fonctionsy(t) =Ke^−t,K ∈^R^satisfont l’ ´equationy^′=−y

—Des conditions aux limites d ´eterminent quelle fonction de la classe sera la solution du probl `eme physique

— Par exemple :y(0) = 1et/ouy(∞) = 0,y^′(0) = 2, etc. (d ´ependant du mod `ele physique)

— Si toutes ces conditions aux limites se situent dans un seul point t₀, les conditions sont ditesconditions initiales

— Pour les probl èmes aux valeurs initiales il existent des th éor èmes d’existence de d’unicit é de la solution. Pour les conditions aux limites, ces th éor èmes sont plus rares, plus faibles

•équations diff érentielles scalaires, c. à.d. pas matricielles

Exemples

•Equation diff ´erentielle ordinaire (EDO), scalaire: Oscillation d’un ressort avec une constante de rappelket une masse ponctuellem

y^′′(t) + k

my(t) = 0

•Equation diff ´erentielle partielleEquation de propagation d’une onde dans le vide :

∂²

∂x²y(x, t)− 1 c²

∂²

∂t²y(x, t) = 0

•Equation diff ´erentielle ordinaire (EDO), matricielle : Mod `ele de Lotka-Volterra (voir slide 23)

Mod `ele de Lotka-Volterra

Le mod èle de Lotka-Volterra d écrit l’interaction entre deux esp èces animales (par exemple proie-pr édateur) dans un écosyst ème.

(dL/dt =aL−bLR

dR/dt =−cR+dLR o `u

•L(t)etR(t)repr ésentent la densit é de lapins et renards à l’instantt, respectivement

•aest le taux de croissance des lapins en absence de pr ´edateurs,

•cest le taux de d ´ec `es des renards en absence de nourriture,

•dest le taux de reproduction d’un renard par proie captur ´ee

•best le taux de capture.

(7)

Simulation Lotka-Volterra

Sia = 2,b = 0.001,c= 10,d= 0.002, et L(0) = 5000,R(0) = 100, l’ ´evolution est :

0 1 2 3 4 5

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

time

population

Rabbits Foxes

On remarque une variation stable et cyclique de la population.

Scripts LotkaVolterra.m

Probl `eme aux valeurs initiales

Le probl ème aux valeurs initiales (aussi appel éprobl ème de Cauchy) consiste

à trouver la solutiony(t),t ∈ I (I étant un ensemble de valeurs temporelles sous consid ération) d’une équation diff érentielle ordinaire (EDO) du premier ordre,

y^′(t) =dy

dt =f(t, y(t)) satisfaisant la condition initialey(t₀) =y₀

o ù f est une fonction donn ée à valeur r éelle d éfinie sur le produit {I×]−

∞,∞[}et continue par rapport aux deux variables.

Sif ne d ´epend pas explicitement det, l’EDO est diteautonome.

La condition de Lipschitz

D ´efinition

La fonctionf(t, y) satisfait lacondition de Lipschitzpar rapport ày si pour toutt ∈ I et pour touty₁, y₂ |f(t, y₁)−f(t, y₂)| ≤L|y₁−y₂| ^{o ù}L > 0est appel ée laconstante de Lipschitz.

Th ´eor `eme

Condition suffisante pour que f satisfait la condition de Lipschitz est que pour tout t ∈ I la d ériv ée de la fonction f par rapport à y soit continue.

D émonstration: Si la d ériv ée de la fonctionfpar rapport àyest continue, alors le th éor ème de Lagrange (th. des accroissements finis) nous garantit que

|f(t, y1)−f(t, y2)|= ^∂f_∂y^{(t, ξ)}

^|^y¹⁻^y²^| poury1≤ξ≤y2. Donc, siL= max

^∂f∂y

la condition de Lipschitz est satisfaite.

Exemples TP

Montrer que

•la fonction

f(t, y) =t²cos²(y) +tsin²(y)

d ´efinie pour|t|< 1ety ∈ ^R, satisfait la condition de Lipschitz avec une constanteL= 4.

•la fonction

f(t, y) =|y|

d ´efinie poury ∈^R, ne satisfait pas la condition suffisante mais satisfait la condition de Lipschitz.

(8)

Existence et unicit ´e de la solution

Th éor ème (EDO = probl ème bien pos é)

Soit f(t, y) une fonction continue pour toutt ∈ I et pour touty, qui satisfait la condition de Lipschitz. Alors, pour chaque valeur y₀, le probl `eme aux valeurs initiales

y^′=f(t, y) y(t₀) =y₀

a une solution uniquey(t) =y(t, y₀)∈ C¹^{pour tout}t∈I. Conditionnement du probl `eme

En plus ky(t, y₁)−y(t, y₀)k ≤e^L|t−t⁰^||y₁−y₀|

c.- `a-d. pour un petitLdes petites variations de la condition initiale entraˆınent des petites variations de la solution.

Erreurs de propagation→conditionnement du probl `eme

Solution analytique et num ´erique

•La solutionanalytiqued’une EDO du premier ordre est y(t) =y₀+

Z t t0

f(τ, y(τ))dτ

•On ne sait int égrer qu’un tr ès petit nombre d’EDO non lin éaires. De plus, quand cela est possible, il n’est pas toujours facile d’exprimer la solution sous forme explicite.

•Pour cette raison nous consid érons des m éthodes pour la r ésolution num érique.

•Une m éthode num érique ne retourne pas une fonction y(t) mais un tableau de valeurs by(t) qui approchent la solution y(t) pour un ensemble de valeurs{t₀, t₁, . . . , t_n}choisies à l’avance.

•L’ensemble des valeurs b

y(t) ={by(t₀),_by(t₁), . . . ,_by(t_n)} repr ésente la solution num érique du probl ème.

Un exemple

Consid ´erons le simple exemple de EDO dy

dt =−2t−y poury(0) =−1.

La solution analytique est connue

y(t) =−3e^−t−2t+ 2

mais nous utiliserons cet exemple comme r éf érence pour analyser la pr écision des diff érentes solutions num ériques.

D ´eveloppement en s ´erie de Taylor

Th ´eor `eme(Taylor)

Si la fonctiong(x)admet une d ´eriv ´ee d’ordrek+1sur l’intervalle ouvert (x₀−l, x₀+l); il existe pour tout pointxde cet intervalle un pointξde cet intervalle tel que

g(x) = g(x₀) +g^′(x₀)(x−x₀) +^g^′′^(x₂⁰⁾(x−x₀)²+. . . +_k!¹g^(k)(x₀)(x−x₀)^k+_(k+1)!¹ g^(k+1)(ξ)(x−x₀)^k+1 En remplac¸antg(x)par

g(x₀) +g^′(x₀)(x−x₀) +· · ·+ 1

k!g^(k)(x₀)(x−x₀)^k

nous commettons une erreur d’approximation dont la valeur absolue est born ´ee par

|g^(k+1)(ξ)||x−x0|^k+1 (k+ 1)!

(9)

La m ´ethode du d ´eveloppement de Taylor

Nous calculons la relation entreyetten d ´eveloppant la s ´erie de Taylor autour du pointt=t₀.

y(t)≈y(t₀) +y^′(t₀)(t−t₀) +y^′′(t₀)

2! (t−t₀)²+y^′′′(t₀)

3! (t−t₀)³

En posantt−t₀=h, nous obtenons y(t₀+h)≈y(t₀) +y^′(t₀)h+y^′′(t0)

2! h²+y^′′′(t0) 3! h³

La m ´ethode de Taylor (II)

Dans le cas de notre exempley^′=f(t, y) =−2t−y, y(0) =−1, nous avons y(t₀) = y(0) =−1

y^′(t₀) = −2t₀−y(t₀) =−2(0)−(−1) = 1 y^′′(t₀) = −2−y^′(t₀) =−2−1 =−3 y^′′′(t₀) = −y^′′(t₀) = 3

et par cons ´equent la solution de Taylor est

y(h) =−1 + 1.0h−1.5h²+ 0.5h³+erreur

La m ´ethode de Taylor : exemple

Scripts taylor.m

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1 -0.95 -0.9 -0.85 -0.8

t

y

Analytical Taylor

Consid ´erations sur Taylor

•Le calcul des d ´eriv ´ees n’est pas toujours simple.

•La forme analytique de l’erreur est connue mais elle contient un fac- teur non-pr ´ecis ´e (ξ), donc son calcul n’est pas possible.

•Il est difficile de d ´eterminer le nombre de termes du d ´eveloppement.

•M éthode n écessite un ordre élev é pour de grandes valeurs deh: le th éor ème exprime un r ésultatautour de l’origine, la qualit é de l’approximation ( étant donn’e le nombre de degr és de libert é) est donc optimis ée dans l’origine.

•^{M éthodes}it érativessont utilis ées en pratique, par exemple la m éthode de Euler (voir le slide suivant)

(10)

La m ´ethode de Euler

Puisque l’erreur du d éveloppement de Taylor est petite si la quantit é hest petite, la m éthode d’Euler propose de :

•d écomposer l’intervalle d’int égration I =]t₀, t₀ + T[ en N_h sous- intervalles I_n = [t_n, t_n+1], o ù t_n = t₀+nh, n = 0, . . . , N_h et h > 0 est dit lepas de discr étisation

•d évelopper une m éthodeit érative o ù à chaque étape l’approxima- tiony(tb _n+1) de la vraie solutiony(t_n+1) est calcul ée sur la base des 2premiers termes du d éveloppement de Taylorlimit é à l’ordre1 autour dey(tb _n)

•y(tb _n+1) =y(t_b _n) +h·yb^′(t_n)(Taylor) avecyb^′(t_n) =f(t_n,_by(t_n))

La m ´ethode de Euler progressive

Lan-i ème étape de la m éthode de Euler progressive (aussi explicite) est b

y(t_n+1) =y(t_b _n) +hf(t_n,_by(t_n)) o `uy(tb ₀) =y(t₀).

En termes g éom étriques, la pente de la solution au d ébut de l’intervalleI_n = [t_n, t_n+1]est utilis ée pour calculer l’incr ément de la solution.

0

y(t )

t

y(t) y(t )

0

t

1

t

₂

1 1

y

La m ´ethode de Euler : exemple

Scripts euler.m

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1 -0.95 -0.9 -0.85 -0.8 -0.75

t

y

Analytical Euler h=0.05 Euler h=0.1

(11)

Analyse de la m ´ethode de Euler

L’analyse d’une m éthode num érique de r ésolution d’une équation diff érentielle concerne quatre propri ét és :

1. Consistance.

2. Z ´ero-stabilit ´e.

3. Convergence.

4. Stabilit ´e absolue.

On introduira et discutera les quatre notions dans le cas de la m ´ethode de Euler.

La consistance et l’erreur d’approximation

•La r ésolution num érique d’une EDO comprend une approximation (←→la r ésolution d’un syst ème lin éaire)

•Erreur d’approximation = erreur de de troncature

— SoitF(~x, ~d) = 0la formulation implicite d’un probl `eme dont~xest une solution pour les valeursd~des donn ´ees

— Soit F_m(~x^(m), ~d^(m)) un algorithme qui a pour entr ´ees le vecteur d~^(m)et pour r ´esultat le vecteur~x^(m).

— L’indicemrepr ésente la complexit é de l’algorithme (notion à concr étiser, voir p.42)

— Alors e_m = k~x^(m) −~xk est la forme g ´en ´erale d’une erreur de troncature

• Erreurs de troncature→consistance de la m ´ethode

•D ´efinition(Chap.1)

Fm(~x^(m), ~d^(m))estconsistantsi lim

m→∞Fm(~x, ~d^(m)) =F(~x, ~d) = 0, c.- `a-d., si la solution exacte~xdu probl `eme est parmi les solutions de l’algorithmeF_m(~x^(m), ~d^(m)) = 0pourm→ ∞

Concr `etement : le probl `eme et l’algorithme pour les EDOs

•Le probl `eme :F(~x, ~d)devient :y^′(t) =f(t, y(t) o `u lafonctiony(t)prend la position de~xetd=y(t₀)

•L’algorithme `a un pas:F_m(~x^(m), ~d^(m))prend la forme b

y(t+h) =y(t) +_b hΦ(t,_by(t), t+h,_by(t+h)) o `uhest lepas

et la fonction Φ(t,y(t), t_b +h,_by(t+h)) est une approximation de la pente

M ´ethode d’Euler : Φ(t,_by(t), t+h,y(t_b +h)) =f(t,y(t))_b

•L’approximationby(t)d ´epend deh:

hcontr ˆole la sophistication (m) ;m→ ∞^devienth→0

D ´evelopment de la notion de consistance

•L’algorithme s’ ´ecrit sous la formeby(t+h) =y(t)+hΦ(t,_b _by(t), t+h,y(t+_b h))

Par cons ´equent, on a toujours : lim

h→0y(tb +h) =y(t)_b

Ceci n’est donc pas l’expression de consistance pourh→0

•^SoitΦcontinue, alors

h→0lim b

y(t+h)−by(t)

h = lim

h→0Φ(t,y(t), t_b +h,y(t_b +h))

= Φ

t,y(t),_b lim

h→0t+h,lim

h→0y(tb +h)

= Φ(t,y(t), t,_b y(t))_b

•En particulier, soitby^∗(t+h)le r ´esultat du pas en partant dey(t), alors on a lim

h→0

b

y^∗(t+h)−y(t)

h = Φ(t, y(t), t, y(t))

•Pour que la m éthode soit consistante, nous imposons que la vraie solution du probl ème v érifie la m ême expression :

h→0lim

y(t+h)−y(t)

h = Φ(t, y(t), t, y(t))c’est- `a-dire : Φ(t, y(t), t, y(t)) =y^′(t)

(12)

La consistance et la troncature

De la page pr éc édente, on d éduit que

h→0lim

y(t+h)−y(t)

h = Φ(t, y(t), t, y(t)) = lim

h→0

b

y^∗(t+h)−y(t) h d’o `u vient la condition de consistance : lim

h→0

y(t+h)−yb^∗(t+h)

h = 0

Ceci donne lieu `a la d ´efinition suivante de l’erreur de troncature : Soit εn+1(h) =y(tn+1)−by^∗(tn+1)

La quantit ´e τ_n+1(h) =ε_n+1(h)

h ^{est dite}erreur de troncature locale. (locale, parce qu’elle d ´epend det_n+1)

Erreur globale et locale

Erreurs de troncature→consistance de la m ´ethode

On note e_n+1=y(t_n+1)−y(tb _n+1) l’erreur globale au noeud t_n+1 pour les

´etapesn= 0,1, . . ..

On a en+1=y(tn+1)−yb^∗(tn+1) +y_b^∗(tn+1)−y(tb n+1)

o ùyb^∗(t_n+1) est la solution obtenue apr ès un pas de la m éthode d’Euler en partant de la donn ée initiale exactey(t_n). (voir slide 43)

En identifiant εn+1(h) =y(tn+1)−by^∗(tn+1) on avait introduit l’erreur de troncature locale: τ_n+1(h) =ε_n+1(h)

h

Erreur globale = pas × erreur de troncature locale + erreurs de troncature accumul ´ees

(Toujours en arithm ´etique exacte)

RemarqueD ´efinition de l’erreur de troncature comprend une division parh, parce quelim_h→0ε_n+1(h)→0dans tous les cas (voir slide 43)

Erreur globale et locale

y(t)

n

y( ) t

_n

y( ) t

_n+1

t

_n+1

y( ) t

_n

y ( )

*

t

_n+1

y ( ) t

_n+1

e

_n+1

ε

_n+1

t

D ´efinition de consistance

Soit τ(h) = max

0≤n≤Nh−1|τ_n+1(h)| l’erreur de troncature globale.

D ´efinition[Consistance]

Une m éthode num érique de r ésolution des équations diff érentielles ordinaires est diteconsistante si son erreur de troncature globale est un infiniment petit enh, ouO(h), c. à.d.

h→0limτ(h) = 0

D ´efinition[Consistance d’ordrep]

Une m ´ethode num ´erique est diteconsistante d’ordreppour unpentier positif, si∀t∈I, la relation

τ(h) =O(h^p) pourh→0 est satisfaite.

(13)

Ordre de convergence

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

h h²

h³ h⁴

h⁵

-5 -4 -3 -2 -1 0

-25 -20 -15 -10 -5 0

h h²

h³ h⁴ h⁵

La convergence est d’autant plus rapide que l’ordrepest grand.

D ´emonstration de consistance m ´ethode de Euler

Puisque pour la m ´ethode de Euler progressive b

y^∗(t_n+1) =y(t_n) +hf(t_n, y(t_n))

tandis que la solution exacte apr èsn+ 1étapes s’ écrit comme : y(t_n+1) =y(t_n) +hf(t_n, y(t_n)) +y^′′(ξ)h²/2

pourξ∈[t_n, t_n+1],

l’erreur de troncature locale de la m ´ethode de Euler progressive est τ_n+1=y(t_n+1)−by^∗(t_n+1)

h =y^′′(ξ)h/2

c. `a.d. la m ´ethode de Euler progressive estconsistante et d’ordre1: τ(h) =O(h)

Ceci implique , si la d ériv ée def est continue et born ée,

h→0limτ(h) = 0

Z ´ero-stabilit ´e

Erreurs de g én ération→stabilit é de la m éthode

•Une m éthode num érique est z éro-stable si elle est peu sensible à des petites perturbations qui se manifestent au cours des calculs.

•On demande la stabilit é d’une m éthode num érique pour contr ôler les in évitables erreurs introduites par l’arithm étique finie des ordinateurs.

•^{Deux types}

1. On l’appelle z éro-stabilit é parce que cette propri ét é concerne le comportement de la m éthode num érique dans le cas limite h→0,

2. à la diff érence de lastabilit é absoluequi concerne le comportement pourt_n→ ∞. (notion à introduire plus tard)

Z éro-stabilit é d’une m éthode progressive à un pas

Consid ´erons les deux solutionsyˆ₁etyˆ₂telles que (by1(tn+1) =y_b1(tn) +hΦ(tn,_by1(tn))

by₁(t₀) =y₀ ^et

(yb2(tn+1) =_by2(tn) +h[Φ(tn,_by2(tn)) +δ(tn+1)]

yb₂(t₀) =y₀+δ(t₀)

Donc,by₂(t_n+1)−yb₁(t_n+1) =_by₂(t_n)−by₁(t_n)+h[Φ(t_n,y_b₂(t_n))−Φ(t_n,_by₁(t_n)) +δ(t_n+1)]

D éfinition formelle de z éro-stabilit é

Une m éthode à un pas est ditez éro-stables’il existe une constanteC >0, telle que pour toute valeur deǫ, on trouve

∃h₀>0,∀h < h₀:δ(t_k)≤ǫ,∀k= 1, . . . , N_h⇒ |yˆ₁(t)−yˆ₂(t)|< Cǫ.

(14)

Z éro-stabilit é des m éthodes à un pas

Th ´eor `eme

Consid érons une m éthode g én érique explicite et à un pas b

y(t_n+1) =y(t_b _n) +hΦ(t_n,_by(t_n))

si la fonction d’incr ément Φ est lipschitzienne par rapport à sa se- conde variable, avec une constante de Lipschitz ind épendante de h et des noeudst_j ∈[t₀, t₀+T]alors la m éthode est z éro-stable.

Par cons équent, la m éthode d’Euler est z éro-stable pour unef lipschitzienne.

Convergence

La notion deconsistanced écrit la qualit é intrins èque de la m éthode num érique en approcheant la solution exacte

La notion dez éro-stabilit éen mesure la susceptibilit é aux erreurs num ériques.

Les deux sont n ´ecessaires pour un r ´esultat convergent.

D ´efinition[Convergence]

Une m ´ethode est diteconvergentesi (pour l’erreur globale)

∀n= 0,1, . . . , N_h:

e_n(h) =|y(t_n)−by(t_n)| ≤E(h)o `uE(h)est un infiniment petit enh.

Si ∃F > 0 tel que E(h) =F h^p la m ´ethode est dite convergente avec un ordrep.

Visualisation de la convergence

•Trac¸ons un graphe de l’erreur e(h) = e_n(h)(h) en fonction de h en

´echelle logarithmique, o `un(h) =T /h.

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5

-6 -5 -4 -3 -2 -1

log(h)

log(e)

global errors log(h)

•Ceci signifie que le graphe porte en abscisse les valeurs delog(h)et en ordonn ´ees les valeurs delog(e).

•^Sie≈F h^palors log(e) = log(F) +plog(h)

Estimation de la convergence

L’estimation propos ée dans le syllabus (p.85, en bas : “une m éthode alternative...”) est mal pos ée : une petite erreur suivie d’une grande erreur (tous les deux étant des r éalisations d’une coincidence des év énements) engendre un terme aberrant dans le calcul de la moyenne

pb= log_e^eⁱ

i−1

log_h^hⁱ

i−1

= log(e_i)−log(e_i−1)

log(h_i)−log(h_i−1) i= 2, . . . , H

Mieux vaut adopter une estimation aux moindres carr és (voir chapitre 6 ; droite de r égression lin éaire)

En posant







log(h) = _H¹ ^P^H_i=1log(h_i) x_i = log(h_i)−log(h) y_i = log(e_i)

on retrouvepb_LS= XH

i=1

x_iy_i XH

i=1

x²_i

(15)

Th éor ème fondamental de l’analyse num érique

Lax-Richtmyer Convergence = consistance + z ´ero-stabilit ´e

Le th éor ème ne consid ère que l’arithm étique exacte, il traite l’impacte des erreurs de troncation (d’approximation)

D émonstration (pour une m éthode explicite à un pas)

Posonsy(tb _n+1) = y(t_b _n) +hΦ(t_n,y(t_b _n))et by^∗(t_n+1) = y(t_n) +hΦ(t_n, y(t_n))(=la solution obtenue apr `es un pas depuis une entr ´ee exactey(tn), cfr. p.45) Alors

b

y(t_n+1)−y(t_n+1) = y(t_b _n)−y(t_n+1) +hΦ(t_n,y(t_b _n))

= y(t_b _n)−y(t_n+1) +h[Φ(t_n,_by(t_n))−Φ(t_n, y(t_n))] + [y_b^∗(tn+1)−y(tn)]

= y(t_b _n)−y(t_n) +h[Φ(t_n,y(t_b _n))−Φ(t_n, y(t_n))] + h^h^y^b^∗^(tⁿ⁺¹^)−y(t_h ⁿ⁺¹⁾ⁱ

= y(t_b _n)−y(t_n) +h[Φ(t_n,y(t_b _n))−Φ(t_n, y(t_n)) +τ_n+1(h)]

puisqueτ_n+1(h) =ε_n+1(h)

h =y(t_n+1)−by^∗(t_n+1)

h (voir p.45)

Suite de la d émonstration du Th éor ème

Interpr étation :La diff érencey(tb _n+1)−y(t_n+1) entre la solution th éorique et la solution num érique se manifeste donc comme si c’ était la diff érence entre deux r ésultats num ériques o ù l’un des r ésultats sort des calculs avec arrondis.

En r éalit é, l’un des r ésultats est purement th éorique, l’autre est num érique en arithm étique exacte.

Suite de la d ´emonstration

Par la d éfinition dez éro-stabilit é(voir p.51), nous voyons que

|y(tb _n)−y(t_n)| ≤Cmax

n |τ_n+1(h)|=C·τ(h), o `uτ(h)est l’erreur de troncature globale (voir p.47)

Pour une m ´ethodeconsistante, nous avonsτ(h)→0.

La convergence de la m ´ethode d’Euler ; arithm ´etique exacte

Lax-Richtmyer pour la m ´ethode d’Euler:

(1) Consistance de la m éthode d’Euler(voir p.49)τ(h) =O(h) (2) Stabilit é: si la fonction d’incr ément estlipschitzienne,

|y(tb _n)−y(t_n)| ≤Cmax

n |τ_n+1(h)|=C·τ(h),

⇒ Corollaire :la m éthode d’Euler, qui a pour fonction d’incr émentΦ(t, y) = f(t, y), la condition revient à la condition Lipschitz de la fonction f(t, y) (la m ême condition s’applique pour l’existence et l’unicit é de la solution du probl ème, voir slide 28)

Conclusion

Si le probl ème aux valeurs initiales de la page 28 est bien pos é, la m éthode d’Euler explicite, bien en utilisant l’arithm étique exacte, sera convergente si le pashtend vers z éro.

Donc, l’erreur globale tend vers z ´ero avec le taux |y(tb _n)−y(t_n)| ≤Kh Donc, faut-il toujours prendre le plus petith?

Erreur d’arrondi et m ´ethode d’Euler

La d émonstration de la convergence de la m éthode d’Euler fait l’hypoth èse que tous les calculs sont en arithm étique exacte.

En r éalit é, pour chaque étape de la m éthode d’Euler b

y(tn+1)−y(tn+1) = y(t_b n)−y(tn) +h[f(tn,y(t_b n))−f(tn, y(tn)) +τn+1+ǫn] +_eǫn

= y(t_b _n)−y(t_n) +h[f(t_n,y(t_b _n))−f(t_n, y(t_n)) +τ_n+1+ǫ_n+_eǫ_n/h]

En supposantǫ_n ≤ǫ eteǫ_n ≤eǫ, et en sachant queτ_n+1 ≤ Khpour toutnet h≤h₀, et toujours en se basant sur la z éros-tabilit é de la m éthode, on obtient que

|y(t_n)−y(tb _n)| ≤C K

Ch+ǫ+ ^eǫ h

Les erreurs d’arrondi sont d’autant plus importantes que le pas de discr ´etisation est petit : voir le termeeǫ/h

(16)

Arrondi et Euler : exemple

La pr ´esence d’erreurs d’arrondi ne permet pas de conclure que l’erreur tend vers z ´ero quandh→0.

Il existe une valeuroptimale (non nulle)hoptdehqui minimise l’erreur : pour h < h_opt, l’erreur d’arrondi domine l’erreur de troncature et l’erreur globale augmente.

Scripts euler arr.m: nous consid érons un pas de discr étisation d écroissant, deh= 0.1 àh= 0.005pour une baseb= 10et2chiffres significatifs.

On remarque une am ´elioration suivie d’une d ´egradation de la solution.

En g én éral, ni l’am élioration, ni la d égradation sont monotones.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1 -0.95 -0.9 -0.85 -0.8 -0.75

t

y(t)

Stabilit ´e absolue

Jusqu’ici nous avons consid ér é un intervalle d’int égrationIfix é et born é sup érieurement.

La notion dez éro stabilit éconcerne la stabilit é pourh→0(en m ême temps, on peut avoirn→ ∞⁾

La notion destabilit é absolueconcerne les propri ét és de la m éthode num érique pourtn→ ∞(donc, pas justen→ ∞⁾

L’analyse de stabilit é absolue sera faite pour un probl ème de Cauchy lin éaire (aussi appel é probl ème test)

(y^′(t) =λy(t) y(0) = 1

pourλ∈^R^,λ <0, o `u la solution analytique est y(t) =e^λt etlim_t→∞|y(t)|= 0.

M ´ethode absolument stable

D ´efinition

Une m éthode num érique pour l’approximation du probl ème test estabso- lument stablesi

tnlim→∞|by(t_n)|= 0

D éfinition[R égion de stabilit é absolue]

La r égion de stabilit é absolue de la m éthode num érique pour l’approximation du probl ème testy^′=λyest le sous-ensemble

A={z=hλ∈^R: lim

tn→∞|by(tn)|= 0}

Stabilit ´e absolue et Euler progressive

La m éthode d’Euler progressive (qui est z éro-stable ; voir slide 58) appliqu ée au probl ème test (f(t, y) =λy) donne le sch éma it ératif

b

y(tn+1) =y(t_b n) +hf(tn,y(t_b n)) =_by(tn) +hλy(t_b n) = (1 +hλ)_by(tn) avecy(t₀) =_by(t₀) = 1.

En proc ´edant par r ´ecurrence surnon ay(tb _n) = (1 +hλ)ⁿ

Alors la m ´ethode estabsolument stablesi et seulement si|1 +hλ|< 1, ce qui revient `a

0< h <−2

λ ^{o `u} λ <0

(La conditionλ <0faisant partie du probl `eme)

Autrement, la m ´ethode d’Euler progressive estinstable.

(17)

Stabilit ´e abs. et Euler progressive

Consid érons la m éthode d’Euler progressive appliqu ée au probl ème de Cau- chyy^′(t) =−5y(t),y(0) = 1, pourh= 0.31eth= 0.41.

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

h=0.05, h*λ=-0.25

time -20 1 2 3 4 5

-1 0 1 2

h=0.31, h*λ=-1.55

time -20 1 2 3 4 5

-1 0 1 2

h=0.41, h*λ=-2.05

time

Scripts eul stababs.m.

M ´ethodes `a un pas et explicites

La m éthode d’Euler progressive est une m éthodeà un pasetexplicite.

D ´efinition

Une m éthode num érique pour la r ésolution d’une EDO est dite àun passi

∀n≥0,yb_n+1ne d épend que deyb_n. Autrement le sch éma est une m éthode multi-pas(o ù à pas multiples).

D ´efinition

Une m éthode num érique pour la r ésolution d’une EDO est dite expli- citesi la valeuryb_n+1 peut être calcul ée directement à l’aide des valeurs pr éc édentesybk,k≤n(ou une partie d’entre elles). Une m éthode est dite implicitesiyb_n+1n’est d éfinie que par une relation implicite faisant interve- nir la fonctionf.

Autres m ´ethodes `a un pas

•M éthode d’Euler r étrograde y(tb _n+1) =_by(t_n) +hf(t_n+1,y(t_b _n+1)) Cette m éthode estimplicite, d’ordre1et demande la r ésolution d’une

équation non lin éaire. En retour, la m éthode estabsolument stable pour touth

b

y(tn+1) =y(t_b n) +hf(tn,_by(tn+1)) =y(t_b n) +hλy(t_b n+1)⇔ y(tb _n+1) =_1−hλ¹ y(t_b _n)⇔y(tb _n+1) =_(1−hλ)¹ n

•M éthode d’Euler modifi ée o ù du trap èze y(tb _n+1) =_by(t_n) +h

2[f(t_n,y(t_b _n)) +f(t_n+1,y(t_b _n+1))]

Cette m ´ethode estimpliciteet d’ordre2. Elle est aussiabsolument stable pour touth.

L’origine des noms des m ´ethodes

Les noms des m éthodes d’Euler viennent du d évelopment num érique de l’expression suivante

y(t_n+1) =y(t_n) + Z tn+1

tn

y^′(u)du=y(t_n) + Z tn+1

tn

f(u, y(u))du.

En approchant l’int ´egrale par une expression de la forme largeur×hauteur repr ´esentative:

Z _t_n+1

tn

f(u, y(u))du≈(t_n+1−t_n)·Φ(t_n,_by(t_n), t_n+1,y(t_b _n+1)), nous arrivons à la m éthode num érique

b

y(t_n+1) =y(t_b _n) +hΦ(t_n,_by(t_n), t_n+1,y(t_b _n+1)),

dans laquelle nous mettons les chapeaux pour souligner que la solution de la m éthode num érique est une approximation du probl ème original.

En prenantΦ(tn,_by(tn), tn+1,y(t_b n+1)) =f(tn,y(t_b n)),

l’int égrale est approch é par l’aire du rectangle de hauteurf(t_n,y(t_b _n)) En prenantΦ(t_n,_by(t_n), t_n+1,y(t_b _n+1)) = [f(t_n,y(t_b _n)) +f(t_n+1,y(t_b _n+1))]/2, l’int égrale est approch é par l’aire d’un trap èze.