PROPRI ÉT ÉS QUALITATIVES DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFF ÉRENTIELLES Introduction

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DIFF ´ERENTIELLES

Introduction

Ce problème présente des techniques permettant d’étudier les solutions d’équations différentielles en général non linéaires, sans connaˆıtre explicitement ces solutions. Par conséquent, on ne cherchera pas

`

a résoudre les équations différentielles qui apparaˆıtront au fil de l’épreuve, sauf si cela est demandé.

Rappelons que, dans le cas d’une équation différentielle non linéaire, l’intervalle de définition d’une solution est lui aussi inconnu.

D´efinitions et notations

Pour tout entier m >0, on munit l’espace vectoriel R^m du produit scalaire usuel (x|y) = X

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xiyi ;

la norme associée est notéekxk; on note Bf(x0, R) la boule fermée de centrex0 ∈R^m et de rayonR.

SoientU une partie ouverte deR×R^m, etf une application deU dansR^m. On dit que l’application u :I →R^m est une solution de l’´equation diff´erentielle

x^′=f(t, x) E

si

a) I est un intervalle non trivial (ni vide, ni réduit à un point) de la droite réelle R, b) uest une application dérivable de I dansR^m,

c) pour tout t∈I, on a (t, u(t))∈U etu^′(t) =f(t, u(t)).

Soient u₁ :I₁ → R^m etu₂ :I₂ →R^m deux solutions de (E) ; on dit queu₁ est une restrictionde u2 si I1 ⊂I2 et si, pour tout t∈I1, on a u1(t) = u2(t). On dit aussi queu2 est un prolongementde u1, ou encore que u2 prolonge u1.

Une solution de (E) est ditemaximale si elle n’admet pas d’autre prolongement qu’elle-mˆeme.

De manière généraleCⁿ(X, Y) désigne l’ensemble des applications deXdansY de classeCⁿ, lorsque cela a un sens.

On dit que l’application f est localement lipschitzienne en x si, pour tout point (t0, x0) de U, il existe deux nombres r´eels εetk tous deux>0 et tels que :

a) l’ensemble C = [t0−ε, t0+ε]×Bf(x0, ε) soit inclus dans U,

b) si (t, x₁) et (t, x₂) sont deux points deC, on aitkf(t, x₁)−f(t, x₂)k⁶kkx1−x₂k.

On rappelle qu’une fonction f ∈ C¹(U,R^m) est localement lipschitzienne enx.

Les deux premières parties n’utilisent pas le théorème de Cauchy-Lipschitz, contrairement aux autres parties. L’énoncé de ce théorème est donné au début de la troisième partie.

Partie I

Soit q un nombre réel >0 et soit u une application dérivable de Rdans R² ; pour t∈R, on écrit u(t) = (u1(t), u2(t)). On suppose que la fonctionu satisfait sur R, aux égalités

(u^′₁ =u2

u^′₂ =−u1−qu³₁. L’existence d’une telle application u est admise ici.

I.1. Démontrer que u est solution d’une équation différentielle du type (E) en précisant bien quelle est l’application f.

I.2. Pour q = 0, d´eterminer l’application uet d´emontrer que l’image de l’arc t7→u(t) est un cercle.

Repr´esenter ceci sur un dessin, en n’oubliant pas de mentionner le sens de parcours.

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I.3. Supposonsq >0.

a. D´emontrer qu’il existe un nombre r´eelp tel que l’image deu soit incluse dans la courbe Cp ={(x1, x2)∈R² | x²₁+q

2x⁴₁+x²₂=p}.

b. D´emontrer que pest >0. Que dire deu sip= 0 ? On suppose d´esormais p >0.

c. Représenter sommairement la courbeCp dans un repère orthonormé du plan. Les tangentes aux points où la courbeCp coupe les axes du repère doivent apparaˆıtre sur le dessin.

d. D´emontrer qu’il existe 2 fonctionsρ, θ ∈ C¹(R,R),ρ >0, telles que, pour toutt∈R, on ait u₁(t) =ρ(t) cosθ(t) et u₂(t) =ρ(t) sinθ(t).

e. Calculer θ^′(t) en fonction de ρ et θ, et en d´eduire que la trajectoire deu est exactement la courbeCp.

Partie II : Barri`eres

Dans cette partie, on considère une partie ouverte U de R² et une fonctionf ∈ C⁰(U,R) localement lipschitzienne enx. On note toujours (E) l’équation différentiellex^′=f(t, x).

II.1. Soient a, b et K des nombres réels, avec a < b, et soit h : [a, b] → R une fonction dérivable satisfaisant à h(a) = 0 et h^′ 6Kh. Démontrer que h est 60 [on pourra par exemple chercher une fonction ϕtelle que (h^′−Kh)ϕ soit la dérivée d’une fonction simple].

II.2. Lemme de la barrière inférieure: On suppose queI est un intervalle réel non trivial etα :I →R une application dérivable telle que, pour tout t ∈ I, le point (t, α(t)) appartienne à U et que l’on ait l’inégalité

α^′(t)⁶f(t, α(t)).

On dit alors que α estbarrière inférieurede l’équation (E) sur l’intervalle I.

Soit u : J → R une solution de (E) et t0 ∈ I ∩J. On suppose queα(t0) 6 u(t0) et on veut montrer queα(t)6u(t) pourt>t0,t∈I∩J. On suppose que cela est faux par l’absurde.

a. D´emontrer qu’il existe t^∗ et t1 dansI∩J tels que t0 6t1 < t^∗ et que l’on ait u(t1) =α(t1) et u(t)< α(t) pourt1 < t6t^∗.

b. Etablir l’existence de´ t2 ∈]t1, t^∗] et d’un r´eel C^>0 tels que, pour toutt∈[t1, t2], on ait

|f(t, α(t))−f(t, u(t))|⁶C|α(t)−u(t)|.

c. En d´eduire que l’on a α^′ −u^′ 6 C(α−u) sur [t₁, t₂]. Trouver alors une contradiction et conclure.

II.3. Exemple : Prenons dans cette questionU =R² etf(t, x) =x²+ (sintx)².

a. Vérifier que, pour toutλ∈R, l’applicationαde ]− ∞, λ[ dansRdéfinie parα(t) = 1/(λ−t) est une barrière inférieure de (E).

b. En déduire que, si u :I →Rest une solution de (E) et s’il existe un nombre réel t0 tel que u(t0)>0 alors l’intervalle I est majoré.

II.4. De fa¸con analogue, énoncer et démontrer le lemme de la barrière supérieure.

II.5. Unicit´e

a. Déduire des résultats précédents que, si u1 : J1 →R et u2 :J2 → R sont deux solutions de (E) et s’il existe un nombre réel t0 ∈J1∩J2 tel que u1(t0) = u2(t0), alors u1(t) =u2(t) pour toutt∈J1∩J2.

b. Nous allons démontrer par un exemple que l’unicité est fausse lorsque l’on ne suppose plus la fonctionf localement lipschitzienne en x. PosonsU =R² et prenons pourf l’application de R² dansR définie parf(t, x) =p

|x|.

i) Prouver que la fonctionf est continue. Est-elle localement lipschitzienne ? ii) D´ecrire toutes les solutions strictement positives de (E).

iii) Raccorder de telles solutions avec la fonction nulle pour construire deux solutions de (E) qui co¨ıncident en un point mais pas en tout point.

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Partie III : Entonnoirs et anti-entonnoirs Dans la suite du problème, on admet lethéorème de Cauchy-Lipschitz:

Soient U une partie ouverte de R×R^m et f ∈ C⁰(U,R^m) une fonction localement lipschitzienne en x. Soit (t0, x0) un point de U ; alors

a) l’équation différentielle (E) admet une solution maximale unique u : I → R^m satisfaisant à u(t0) =x0 ;

b) son ensemble de d´epart I est un intervalle ouvert de R ;

c) toute solution v de (E) telle quev(t0) =x0 est une restriction de u.

Dans cette partie, on prendm= 1 et on prend pourU le produit ]a, b[×]c, d[, oùa,b,c,ddésignent des nombres réels, ou +∞, ou −∞, et satisfont à a < b et c < d. Soit f ∈ C⁰(U,R) une fonction localement lipschitzienne enx. On note toujours (E) l’équation différentielle x^′ =f(t, x).

III.1. Soient p et q des nombres réels tels que p < q, et soit g :]p, q[→ Rune fonction dérivable dont la dérivée est bornée. Démontrer que la fonction g admet une limite finie enq.

III.2. Th´eor`eme de l’entonnoir.

Soit I ⊂]a, b[ un intervalle non trivial et soient α, β :I →]c, d[ des applications d´erivables telles que, pour tout t∈I, on ait

α(t)6β(t), α^′(t)6f(t, α(t)) etf(t, β(t))6β^′(t).

Dans cette situation, on dit que l’ensemble ∆ = {(t, x) | t ∈ I etα(t) ⁶ x ⁶ β(t)} est un entonnoir de (E) sur l’intervalle I. Nous allons établir que les solutions qui entrent dans un entonnoir s’y trouvent piégées.

Soit u : J → R une solution maximale de (E) et soit t0 un point de J tel que (t0, u(t0)) appartienne `a l’ensemble ∆.

a. Démontrer que (t, u(t)) appartient à ∆ pour tout t>t0 appartenant àI∩J. b. Démontrer que l’intervalle I∩[t₀,+∞[ est contenu dans J.

III.3. Exemple : On prendU =R². On pose

f(t, x) =t−x+g(t, x), o`ug∈ C¹(U,R) est une fonction qui satisfait `a

(g(t, x)>1 pour x < t g(t, x)61 pour t < x.

a. Démontrer que, pour tout nombre réelλ >0, les fonctionsαetβdéfinies parα(t) =t−λe^−t etβ(t) =t+λe⁻^t, définissent un entonnoir surR.

b. En déduire que toute solution maximale de (E) est définie sur un intervalle non majoré et admet une asymptote en +∞.

Voici une nouvelle d´efinition : Soit I ⊂]a, b[ un intervalle non trivial et soient α, β :I →]c, d[

des applications d´erivables telles que, pour tout t∈I, on ait

β(t)⁶α(t), α^′(t)⁶f(t, α(t)) etf(t, β(t))⁶β^′(t).

L’ensemble A = {(t, x) | t ∈ I etβ(t) 6 x 6 α(t)} est appel´e un anti-entonnoir de l’´equation (E) sur l’intervalle I.

III.4. Un résultat d’unicité: On se donne un tel anti-entonnoirA, en supposant de plus que l’extrémité droite de l’intervalle I est le pointb, que α(t)−β(t)→ 0 quandt→ b avec t < b, et enfin que la fonction f admet une dérivée partielle ^∂f_∂x positive ou nulle surA.

D´emontrer qu’il existe au plus une solution u de (E) sur I telle que (t, u(t)) appartienne `a l’ensemble A pour toutt∈I.

III.5. Un résultat d’existence : Dans cette question, A est un anti-entonnoir sur I, défini comme ci- dessus par des fonctionsα etβ, et on suppose que l’extrémité droite de l’intervalle I est le point b. Nous allons établir l’existence d’une solution u de (E) sur I telle que (t, u(t)) appartienne à l’ensemble A pour tout t ∈ I. Pour cela considérons une suite strictement croissante (tn)_n_>₀ d’éléments de I ayant pour limiteb.

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a. Pour toute application u de J dansR, on note −J l’intervalle constitué des nombres réels t tels que −t ∈ J, et on définit l’application bu : −J → R par la formule bu(t) = u(−t).

Démontrer que u est solution de (E) si et seulement si ub est solution d’une équation différentielle (bE)x^′ = ˜f(t, x) où ˜f est une fonction que l’on précisera.

b. Vérifier queβbetαb définissent un entonnoir de l’équation (bE) sur l’intervalle −I.

c. Déduire de l’étude des entonnoirs l’existence, pour chaque entier n^> 1, de deux solutions un,vn de (E), définies sur [t0, tn] et telles que

un(tn) =α(tn) et vn(tn) =β(tn).

d. Prouver que la suite (u_n(t₀))_n est d´ecroissante, que la suite (v_n(t₀))_n est croissante, et que l’on avn(t0)6un(t0) pour toutn>1.

e. En d´eduire l’existence d’un nombre r´eelx₀ tel que v_n(t₀)6x₀6u_n(t₀) pour tout n>1.

f. Consid´erer l’unique solution maximale u de (E) telle que u(t0) = x0 et prouver l’existence annonc´ee.

Partie IV : P´eriodicit´e

Pour t∈]0,+∞[, on dit qu’une application h :R→R^m est T-p´eriodique si, pour tout t∈R, on a h(t+T) =h(t).

Dans cette partie, on prend U = R×]c, d[ et on suppose l’application f ∈ C⁰(U,R) localement lipschitzienne enx. De plus, on suppose que l’on a

∀(t, x)∈U, f(t, x) =f(t+T, x), où T est un nombre réel >0 donné.

IV.1. Donner un exemple tr`es simple d’une telle fonction f pour laquelle aucune solution de (E) n’est p´eriodique.

IV.2. Soit u :J →Rune solution maximale de l’´equation diff´erentielle (E).

a. Vérifier que l’application v définie par v(t) =u(t+T) est aussi une solution de (E) sur un intervalle à préciser.

b. En déduire que, s’il existe un nombre réel t0 ∈ J tel que t0 +T ∈ J et u(t0+T) = u(t0) alorsu est T-périodique et J =R.

D´efinissons une applicationP (une p´eriode plus tard) de la fa¸con suivante : Pour chaquez∈]c, d[, notons γz :Iz →Rl’unique solution maximale de (E) telle queγz(0) =z. On pose

D={z∈]c, d[|T ∈Iz}

et on note P l’application deD dansRd´efinie parP(z) =γz(T).

IV.3. Donner un exemple d’équation différentielle x^′ = f(t, x) où f(t+T, x) = f(t, x) pour tout (t, x)∈U,T >0 et où D=∅.

On suppose dans la suite de cette partie que D6=∅ et non r´eduit `a un point.

IV.4. D´emontrer que, pourz∈]c, d[, γz est T-p´eriodique si et seulement siz∈D etP(z) =z.

IV.5. D´emontrer que

a. l’ensemble Dest un intervalle deR, b. l’application P est strictement croissante,

c. l’ensemble P(D) ={P(z) |z∈D}est un intervalle deR, d. l’application P est continue.

IV.6. Exemple : Prenonsf(t, x) = sint+ 2 cosxet T = 2π. Posons u=γ0 etv=γ₋π.

a. Etablir que les applications´ u et v sont bien d´efinies sur [0,2π] [on pourra construire un entonnoir `a l’aide de fonctions du typet7→ ±3t+λ].

b. Vérifier que la fonction nulle est une barrière inférieure de (E) sur [0,2π] ; en déduire que u(2π)>0. Démontrer par un raisonnement similaire quev(2π)6−π.

c. D´emontrer qu’il existe z∈[−π,0] tel queP(z) =z.

d. En d´eduire que (E) admet au moins une solution 2π-p´eriodique.

e. Démontrer que (E) admet une infinité de solutions 2π-périodiques.

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Partie V : Applications

Soient a1 et a2 des nombres r´eels tels que 0 < a1 < a2 et soit f ∈ C¹(R²,R²). Pour x = (x1, x2) dans R², on ´ecrit f(x) = (f1(x), f2(x)). On note B l’ensemble des points (x1, x2) de R² tels que x1 =ρcosθ,x2=ρsinθ, avec θ∈Retρ∈[a1, a2].

On fait en outre les hypoth`eses suivantes :

(H1) Pourxappartenant à la frontière deB dansR²,f(x) pointe vers l’intérieur deB, ce qui signifie que, pour tout nombre réel θ, le produit scalaire (f(a_icosθ, a_isinθ)|(cosθ,sinθ)) est positif ou nul pour i= 1, négatif ou nul pour i= 2.

(H2) Le produit scalaire (f(x₁, x₂)|(−x2, x₁)) ne s’annule pas surB.

Le but de cette partie est d’établir l’existence d’une solution périodique non constante, à valeurs dansB, de l’équation différentielle (E)x^′=f(x).

V.1. Montrer que l’on peut se ramener au cas où la condition suivante est réalisée : (H3) Le produit scalaire (f(x1, x2)|(−x2, x1)) est >0 pour tout x∈B.

On suppose désormais que la condition (H3) est réalisée.

V.2. Soit I un intervalle non trivial deR et soient θ :I → Ret h :R→]0,+∞[ deux applications d´erivables. Pour t∈I, on pose

u1(t) =h(θ(t)) cosθ(t), u2(t) =h(θ(t)) sinθ(t), et on note u l’application deI dansR² d´efinie paru(t) = (u1(t), u2(t)).

D´emontrer que u est une solution de (E) si et seulement si l’on a, pour toutt∈I, h^′(θ(t))θ^′(t) =g1(θ(t), h(θ(t))),

θ^′(t) =g₂(θ(t), h(θ(t))),

o`ug₁ etg₂ sont deux applications deR×]0,+∞[ dansR que l’on pr´ecisera.

V.3. Prouver qu’il existe des nombres r´eels b₁ etb₂, avec 0< b₁ < a₁ < a₂ < b₂, tels que la fonction g2 soit >0 surR×]b1, b2[.

V.4. Pour (θ, ρ)∈R×]b1, b2[, on pose

G(θ, ρ) = g₁(θ, ρ) g2(θ, ρ).

On considère l’équation différentielle (E’) ρ^′ =G(θ, ρ). Puisque l’application Gest de classe C¹ et 2π-périodique en θ, on peut appliquer la partie IV avec T = 2π. On continue de noter P l’application une période plus tard.

a. D´emontrer que [0,2π]×[a1, a2] est un entonnoir de (E’).

b. D´emontrer que P([a1, a2]) est contenu dans [a1, a2].

c. En déduire que l’applicationP admet au moins un point fixe dans [a1, a2], puis que l’équation (E’) admet au moins une solution 2π-périodiqueh :R→[a1, a2].

D´esormais, on prend pour fonction h :R→[a1, a2] une solution 2π-p´eriodique de (E’).

V.5. Pour θ∈R, on pose ψ(θ) =g2(θ, h(θ)).

a. Prouver que la fonction ψ reste encadr´ee par deux nombres r´eels>0.

b. En déduire que les solutions maximales de l’équation différentielle (E”)θ^′=ψ(θ) sont toutes des bijections deR surR.

V.6. Conclure