D IAGRAMMES
R. G UITART C. L AIR
Existence de diagrammes localement libres II
Diagrammes, tome 7 (1982), exp. no6, p. RG1-RG4
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EXISTENCE DE DIAGRAMMES LOCALEMENT LIBRES II
R« Guitart et C. Lair
1« Hypothèses et notations.
Dans toute la suite, nous supposons que:
- H est une catégorie localement petite possédant les petites limites inductives,
- A = ( fA « (f J : V* > C j )I Ç I )A Ç A est une petite fa- -_A —
mille de cônes projectifs petits et discrets, - a est un ordinal limite,
- pour tout A € A , le foncteur Hom(v ,-) commute aux limites inductives indexées par a •
On dit, alors, qu'un objet H de H valide ik si, et seu- lement si, pour tout A € A , le morphisme
I F I€I : f V l H o m ( c î , H ) > ^ ( A H )
- —A —A est un épimorphisme.
On désigne alors par Val(Ûl) la sous-catégorie pleine de H dont les objets sont ceux qui valident th .
2. Constructions«
Si H est un objet de H , posons: .
A T-r- HomOr,H)
A(H) = {A€A / HomOT\H) €* 0 } et &(H) M I A € A(H) ~A
Si c €CV(H) , notons aussi:
M c - , ,1¾ A < H <—3T ** > c \ >•
A€A(H) et x€HomOr,H)
xJi c
A(x) c (x)
]
RGCL 2
On d é f i n i t par récurrence l e s diagrammes ForceQ(H) et V (H) comme suit» P
CL
- EQ(H) = Force0(H) = £H} ,
- s i p < a , Ep + 1 = { [ G JC / G € Ep(H) et c €A(G) } , - s i g < a»jFo»e©g^,(H)est réunion de Forces(H) et de
{
G> Q
G-J
c/
Gç
Ep(H)}
et
C G*—> G > | j G ]e / G € Ep(H) et G» € ^ Ept(H) ) , - s i X < a est ordinal l i m i t e , Force. (H) = U Forcefl(H) ,
K (3 < X p - si X < a est ordinal limite,
E^(H) = { lim^K / Ks X > Force, (H) foncteur tel que
K(3)€Eg(H) pour tout 0<X}{, - si X < a est ordinal limite, Force. (H) est réunion de
Force. (H) et de
£K(3) > l i m>K / 0<\. et KJ X > Force. (H) foncteur tel que K(0)€Eg(H) pour tout &<K } , - 6bjets de V (H) = E ( H ) U ( U E (limCG, « — H — > G,)),
Œ a G.,G, € E ( H ) a - ^ 1 2
- flèches de V (H) est lfensemble Ot
£G >G' / G € Ea(H), G2 ç Ea(H) , Gf € E (lim^G < — H > G2))}.
3« Existence de diagrammes localement libres«
Avec les hypothèses, notations et constructions de 1. et 2. , on vérifie facilement que:
- le diagramme D 0 0 : V (H) <=: ;> Val( A ) est un petit dia- gramme localement libre sur H dans Val(A) , cfest-à~dire que, naturellement en tout objet K de Val(ZA), on a:
Hom(H,K) 2L lim Hom(D (H)(-),K) .
4. Remarques,
La notion de petit diagramme localement libre est introduite en (2) et (3) auxquels on pourra se reporter pour trouver des exemples ainsi que deux démonstrations différentes dfun même théo- rème d'existence de diagrammes petits localement libres, dans le cas particulier où les f~ du §1 sont des épis. On notera cepen- dant que le processus de la démonstration générale présentée ici est déjà contenu dans ces démonstrations particulières (dans tous les cas il s'agit dfun processus de forçage utilisant des choix de décompositions)•
La notion de validation utilisée ici est très exactement celle de (1), Nous avons établi en (2) les liens qu'elle entretient avec des conditions de continuité et co-continuité.
Grâce au théorème 2.1. p. 26 de (2), le théorème ci-dessus s'ap- plique à la situation envisagée dans le théorème 1 p. 5 de (3) et le généralise puisque l'hypothèse que les projections sont des épis n'est pas nécessaires Par suite, dans le théorème 2 p. 9 de (3) (voir aussi le théorème 4.1, p. 53 de (2) ) l'hypothèse que les cônes inductifs sont à co-projections des monomorphismes dis- tingués peut être supprimée. Il en résulte que les diagrammes lo- calement libres petits existent toujours pour les structures es- quissées par des esquisses projectives et inductives petites.
Ce dernier résultat, qui est de toute façon celui que l'on avait en vue, au moins du point de vue de la pratique, est établi d'une manière toute différente (globale) en (5). Il s'applique notam- ment, par exemple d'après (4), aux modèles de théories du premier ordre classique.
5. Bibliographie.
(1) H. Andréka et I. Néméti, Formulas and Ultraproducts in Cate- gories, Beit. zur Alg. und Geom. 8 (1979), 133-151.
RGCL 4
(2) R. Guitart et C. Lair, Calcul Syntaxique des Modèles et Cal- cul des Formules Internes, Diagrammes 4 (Paris 1980), 1-106.
(3) R. Guitart et C. Lair, Existence de Diagrammes Localement Libres, Diagrammes 6 (Paris 1981), GL 1 - GL 13.
(4) R. Guitart et C. Lair, Limites et Co-limites pour Représen- ter les Formules, Diagrammes 7 (Paris 1982), GL 1 - GL 24.
(5) C. Lair, Catégories Modélables et Catégories Esquissables, Diagrammes 6 (Paris 1981), L 1 - L 20.
