Chapitre 6
Equations différentielles linéaires (EDL)
6.1 Equations différentielles linéaires du premier ordre
Soienta,b etctrois fonctions continues sur un intervalleI sur lequel elles ne s’annulent pas.
On cherche les fonctionsy dérivables sur I, telles que, pour toutxdeI on ait : (E) : a(x).y0+b(x).y=c(x)
Exemple : y0−2y=e2x
6.1.1 Equations différentielles linéaires homogènes
Théorème 1 Les solutions de l’équation différentielle linéaire homogènea(x).y0+b(x).y= 0sont les fonctions définies surI pary=ke−G(x)avec k∈RetGest une primitive surI de la fonction x7−→ b(x)
a(x). Exemple :
Dans notre exempleg : x7−→ −2, les solutions de l’ E.D.L.H.y0−2y= 0sont donc de la formey=ke2xavec k∈R.
6.1.2 Cas général
Théorème 2 Les solutions de l’équation différentielle linéaire(E) :a(x).y0+b(x).y=c(x)s’obtiennent en ajou- tant à la solution générale de l’équation homogène une solution particulière de l’équation avec second membre.
Les solutions générales de E sonty=ke−G(x)+y0 avec y0 une solution de(E)
Exemple :
Dans notre exemple il faut trouver une solution particulière, Vérifier quey0=xe2x est une solution de l’E.D.L y0−2y=e2x. En déduire toute les solutions de l’EDL.
6.1.3 Méthode de la variation de la constante
La solution générale de l’équation homogène esty=ke−G(x).
On cherche une fonction particulièrey0 telle quey0=k(x)e−G(x)soit solution de l’équation(E).
Exemple détaillé :
On considère l’équation différentielle suivante :
(E) : y0+y= 2e−x.
Première étape :résoudre l’équation différentielle linéaire homogène (EDLH) (E0) : y0+y= 0 On ag : x7−→1dont une primitive estG : x7−→x, les solutions de(E0)sont donc de la forme
1
y=ke−G(x)=ke−x aveck un réel.
Deuxième étape :variation de la constante
On chercheunesolution de l’EDL(E)de la formey0=k(x)e−xou cette fois cik : x7−→k(x)est un fonction dérivable.
y00=k0(x)e−x−k(x)e−x y00= (k0(x)−k(x))e−x y0 est une solution de(E) y00+y0= 2e−x
(k0(x)−k(x))e−x+k(x))e−x= 2e−x k0(x)e−x= 2e−x
k0(x) = 2
y0= 2xe−xest solution de(E) Trosième étape :conclusion
On applique le théorème 2, les solutions de l’EDL(E)sonty=ke−x+y0=ke−x+ 2xe−x= (2x+k)e−xavec kun réel.
Il arrive que des conditions initiales soient précisées dans l’enoncé. Par exemple y(−1) = e on obtient alors k= 3 et la solution est doncy= (2x+ 3)e−x
Hors programme du groupement D
6.2 Equations différentielles linéaires du second ordre
Soienta,b etctrois réels avec a6= 0etf une fonction définie sur un intervalleI.
L’équation (E) : a.y00+b.y0+c.y =f(x) est une équation différentielle linéaire du second ordre à termes constants.
6.2.1 Equation différentielle linéaire homogène
On appelle EDLH l’équation(E0) : a.y00+b.y0+c.y= 0.
Théorème 3 Soientϕ1 etϕ2 deux solutions non proportionnelles de l’équation (E0).
ϕ1+ϕ2 fait partie de l’ensemble des solutions de(E0).
Pour toutλ∈R∗λϕ1 fait partie de l’ensemble des solutions de(E0).
Les solutions de(E0)sont de la forme y=λϕ1+µϕ0 avec λetµ deux réels non tous nuls.
Equation caractéristique :on cherche si elle existe une solution de l’EDLH surRde la formeϕ : x7−→erx On aϕ(x) =erx,ϕ0(x) =rerxet ϕ00(x) =r2erx
La fonctionϕvérifie l’EDLH si, et seulement siaϕ00+bϕ0+cϕ= 0soit(ar2+br+c)erx= 0pour toutx∈R.
C’est-à-direar2+br+c= 0, on appelle cette équation du second degrél’équation caratéristiquede l’EDLH.
Différent cas sont à envisager suivant la nature des solutions de cette équation caractéristique : 2 solutions réelles, 1 solution rélle double ou pas de solutions réelles.
Théorème 4 Résolution de l’EDLH Soient l’equation différentielle(E0) : a.y00+b.y0+c.y= 0, S l’ensemble de ses solutions sur Retar2+br+c= 0 l’équation caractéristique de (E0), de solutionsr1 etr2.
• Sir1 etr2 sont rélles et dinstinctes, alors :
S ={x7−→C1er1x+C2er1x, C1∈R, C2∈R,}
• Sir1 etr2 sont rélles et confondues, r1=r2=ralors : S ={x7−→(C1+C2x)erx, C1∈R, C2∈R,}
• Sir1 etr2 sont deux racines complexes conjuguées, r1=α+iβ etr2=α−iβ : S ={(C1cos(βt) +C2sin(βt))eαt, C1∈R, C2∈R,}.
Exemple :Résoudre surRl’équation différentielle :y00−3y0−4y= 0avec les conditions initiales
y(0) = 0 y0(0) = 1 . L’équation caractéristique estr2−3r−4 = 0. Cette équation admet deux racinesr1=−1etr2= 4.
Les fonctions solutions sont de la forme x 7−→ C1e−x+C2e4x avecC1 ∈ R, C2 ∈R. Les conditions initiales sont vérifiées si, et seulement si
C1+C2= 0
−C1+ 4C2= 1 . On obtientC1=−1
5 et C2= 1 5.
L’équation différentielle admet pour unique solution satisfaisant aux conditions initiales, la fonction x 7−→
4e4x−e−x 5
6.2.2 Cas général
Théorème 5 Les solutions de l’équation différentielle linéaire du second ordre(E) : a.y00+b.y0+c.y=f(x) s’obtiennent en ajoutant à la solution générale de l’équation homogène une solution particulière de l’équation avec second membre.
