Équations différentielles linéaires

(1)

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Chapitre 10

Équations différentielles linéaires

Table des matières

1 Notations 2

2 Équations différentielles linéaires du premier ordre (EDL1) 2

2.1 Définition des objets de l’étude et exemples . . . 2

2.2 L’EDLH1 fondamentale . . . 5

2.3 Ensemble solution d’une EDLH1 . . . 5

2.4 Méthode de la variation de la constante pour rechercher une solution « particulière » . . . 6

2.5 Principe de superposition pour les EDL1 . . . 8

2.6 Structure de l’ensemble solution d’une EDL1 . . . 9

2.7 Recherche de solutions « particulières » d’EDL1 . . . 10

2.8 Théoréme de Cauchy pour les EDL1 . . . 10

3 Équation différentielles linéaires du second ordre, à coefficients constants (EDLCC2) 12 3.1 Définition des objets de l’étude et exemples . . . 12

3.2 Ensemble solution d’une EDLCCH2 . . . 12

3.3 Structure de l’ensemble solution d’une EDLCC2 . . . 15

3.4 Recherches de solutions particulières d’EDLCC2 du programme . . . 15

3.4.1 Cas où le second membre est de la formex7→Ae^λxavec (A,λ)∈K² . . . 15

3.4.2 Cas où le second membre est de la formex7→Acos(ωx) oux7→Asin(ωx) avec (A,ω)∈R². 16 3.4.3 Principe de superposition pour les EDLCC2 . . . 17

3.5 Théorème de Cauchy pour les EDLCC2 . . . 17

(2)

1 Notations

• La lettreKdésigneRouC.

• ³ O;−→

i ,−→ j´

est un repère du plan fixé, pour tout ce chapitre.

2 Équations différentielles linéaires du premier ordre (EDL1)

2.1 Définition des objets de l’étude et exemples

Définition 1(EDL1, EDLH1, solution, courbe intégrale, ensemble solution).

1. Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 (EDL1) est la donnée (E)

¯¯

¯¯ • d’un intervalleIdeR;

• d’une équationy^′+a(x)y=b(x) d’inconnue une fonctiony:I→Kdérivable surI oùa:I→Ketb:I→Kdésignent des fonctions continues surI.

2. L’EDL1 (E) est dite homogène (EDLH1) si la fonctionbest identiquement nulle.

3. Une solution de l’EDL1 (E) est une fonctiony:I→Ktelle que

• yest dérivable surI;

• y^′(x)+a(x)y(x)=b(x), pour toutx∈I.

4. Nous appelons courbe intégrale de l’EDL1 (E) toute courbe représentative d’une solution de (E).

5. L’ensemble solution de l’EDL1 (E) est l’ensemble notéSol(E)formé des fonctions qui sont solutions de (E), i.e.

Sol(E):=©

y:I→K|yest dérivable surIet pour toutx∈I,y^′(x)+a(x)y(x)=b(x)ª .

Exercice d’application 1.

1. Soit (E1) définie par (E1)

¯¯

¯¯ • I=R;

• d’une équationy^′+y=0 d’inconnue une fonctiony:I→Rdérivable surI. Alors (E1) est une EDLH1. Les trois fonctions

¯¯

R → R

x 7→

¯¯

R → R

x 7→

¯¯

R → R

x 7→

sont solutions de (E1). Nous démontrerons, plus tard, que l’ensemble solution de (E1) est

Sol(E₁)=





¯¯

R → R

x 7→ K

:K∈R



=©

K.ϕ:K∈Rª

=Vect¡ ϕ¢

où ¯¯¯

¯¯

¯

ϕ : R → R x 7→

Sur le graphique suivant, nous donnons quelques exemples de courbes intégrales de (E1).

(3)

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2 3

−1

¯¯

¯¯ • I=R;

• d’une équationy^′+y=x²d’inconnue une fonctiony:I→Rdérivable surI.

Alors (E2) est une EDL1. Les trois fonctions

¯¯

R → R

x 7→

¯¯

R → R

x 7→

¯¯

R → R

x 7→

Sol(E2)=





¯¯

R → R

x 7→ +K

:K∈R



=©

y0+K.ϕ:K∈Rª

=y0+Vect¡ ϕ¢

où ¯¯¯¯¯

¯

y0 : R → R

x 7→

et

¯¯

ϕ : R → R x 7→

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2 3

−1

(4)

¯¯

¯¯ • I=R;

• d’une équationy^′+y²=0 d’inconnue une fonctiony:I→Rdérivable surI.

Alors (E3) n’est pas une EDL1 (la fonction inconnue est élevée au carré).

¯¯

¯¯ • I=¤

−^π₄,^π₄£

;

• d’une équationy^′+tan(2x)y=0 d’inconnue une fonctiony:I→Rdérivable surI.

Alors (E4) est une EDLH1. Les trois fonctions

¯¯

¤−^π₄,^π₄£

→ R

x 7→

¯¯

¤−^π₄,^π₄£

→ R

x 7→

¯¯

¤−^π₄,^π₄£

→ R

x 7→

Sol(E4)=





¯¯

¤−^π₄,^π₄£

→ R

x 7→ K

:K∈R



=©

K.ϕ:K∈Rª

=Vect¡ ϕ¢

où ¯¯

¯¯

ϕ : ¤

−^π₄,^π₄£

→ R

x 7→

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

(5)

2.2 L’EDLH1 fondamentale

Théorème 1(Ensemble solution de l’EDLH1 fondamentale).

On considère l’EDLH1, dite fondamentale, définie par la donnée (E)

¯¯

• de l’équationy^′=0 d’inconnue une fonctiony:I→Kdérivable surI. Alors

Sol(E)=½¯¯

¯¯ I → K x 7→ K

¯¯

¯¯K∈K

¾

=©

K.ϕ:K∈Kª

=Vect¡ ϕ¢

où ¯¯¯

¯ ϕ : I → K

x 7→ 1.

En d’autres termes, l’ensemble solution de (E) est l’ensemble des fonctions définies et constantes surI. Démonstration. Il est clair qu’une fonction définie et constante surI est solution de (E). Le fait que toute solution de (E) soit constante surI découle du théorème des accroissements finis, que nous démontrerons plus tard.

Remarque 1(Attention à l’hypothèse clé «Iest un intervalle »).

La conclusion du théorème précédent peut être mise en défaut siIn’est pas un intervalle, comme le montre le contre-exemple suivant. La fonction

¯¯

y : R∗ → R

x 7→

½ −1 six<0 1 six>0

est dérivable surR∗, a une dérivée nulle surR∗, mais n’est pas constante surR∗.

2.3 Ensemble solution d’une EDLH1

Théorème 2(Résolution d’une EDLH1).

On considère l’EDLH1 définie par la donnée (E)

¯¯

• d’une équationy^′+a(x)y=0 d’inconnue une fonctiony:I→Kdérivable surI

oùa:I→Kdésigne une fonction continue surI. SoitAune primitive deasurI(dont l’existence est assurée par la continuité deasurI). Alors

Sol(E)=½¯¯

¯¯ I → K

x 7→ K e⁻^A(x) :K∈K

¾

=©

K.ϕ: K∈Kª

=Vect¡ ϕ¢

où ¯¯¯¯ ϕ : I → K

x 7→ e⁻^A(x). Démonstration. Cf. prise de notes.

Résoudre les EDLH1 suivantes.

1. I=R , y^′−5y=0 2. I=]0,+∞[ , y^′−1

xy=0 3. I=]1,+∞[ , y^′+ 1

px−1y=0 4. I=R , y^′− x

1+x²y=0

(6)

2.4 Méthode de la variation de la constante pour rechercher une solution « particulière »

On considère l’EDL1 définie par la donnée (E)

¯¯

• d’une équationy^′+a(x)y=b(x) d’inconnue une fonctiony:I→Kdérivable surI oùa:I→Ketb:I→Kdésignent des fonctions continues surI.

Problématique :Déterminer/calculer une solution « particulière » de l’équation (E), et ainsi établir queSol(E)

est non vide.

D’après le théorème 2, nous connaissons l’ensemble solution de (EH), l’EDLH1 associée à (E), définie par la donnée

(EH)

¯¯

¯¯ • de l’intervalleIdeR;

• d’une équationy^′+a(x)y=0 d’inconnue une fonctiony:I→Kdérivable surI.

Précisément, siAdésigne une primitive de la fonctionasurI(dont l’existence est assurée par la continuité de a), les solutions de (EH) sont les fonctions

¯¯

¯¯ Kϕ : I → K

x 7→ Kϕ(x)=K e⁻^A(x) oùKest une constante réelle etϕest la fonction solution de (EH) définie par

¯¯

¯¯ ϕ : I → K

x 7→ e⁻^A(x).

L’idée, qui est à la base de la démarche que nous exposons ici, est de chercher une solution « particulière » de l’équation (E) sous la forme

¯¯

¯¯ y0:=Kϕ : I → K

x 7→ K(x)ϕ(x)=K(x)e⁻^A(x)

oùKn’est plus une constante, mais varie avecx, i.e. oùK:I→Rest une fonction que l’on supposera dérivable surI, d’où le nom de la méthode : variation de la constante.

Nous raisonnons par analyse-synthèse.

• Analyse

SoitK:I→Kune fonction dérivable surI. Supposons que la fonctiony0:=K.ϕest solution de (E) et cherchons des conditions nécessaires sur la fonctionK.

Soitx∈I.

y₀^′(x)+a(x)y0(x) = (Kϕ)^′(x)+a(x)¡

(Kϕ)(x)¢ £

y0:=Kϕ¤

= K^′(x)ϕ(x)+K(x)ϕ^′(x)+a(x)K(x)ϕ(x) £

dérivée d’un produit¤

= K^′(x)ϕ(x)+K(x)¡

ϕ^′(x)+a(x)ϕ(x)¢

= K^′(x)ϕ(x)+K(x)×0 £

ϕest solution de (EH)¤

= K^′(x)ϕ(x)

Ainsi,y0:=Kϕest solution de (E) si et seulement si

K^′(x)ϕ(x)=b(x) i.e. si et seulement si

K^′(x)=b(x)e^A(x) £

ϕ(x)=e⁻^A(x)¤

(7)

pour toutx∈I.

Nous avons donc obtenu une condition nécessaire pour quey0:=Kϕsoit solution de (E) : la fonction Kdoit être une primitive de la fonction

¯¯

¯¯ b

ϕ : I → K

x 7→ b(x)

ϕ(x)=b(x)e^A(x).

• Synthèse

Les fonctionsb, exp etAsont continues sur leurs ensembles de définition respectifs. Ainsi la fonction b×¡

exp◦A¢

est continue surI, par théorème d’opérations sur les fonctions continues. Elle admet donc une primitive surI. SoitKl’une d’entre elles.

Ainsi a-t-on

(A) K:I→Kest dérivable surI; (B) K^′(x)=b(x)

ϕ(x)=b(x)e^A(x), pour toutx∈I. Vérifions si la fonction

¯¯

¯¯ y0:=Kϕ : I → K

x 7→ K(x)ϕ(x)=K(x)e⁻^A(x) est solution de (E).

La fonctionK est dérivable surI (cf. (A)), tout comme la fonctionϕ(puisque ϕest solution d’une E DLH1 définie surI). Donc la fonctiony0:=Kϕest dérivable surI, comme produit de fonctions déri- vables.

Soitx∈I.

y₀^′(x)+a(x)y0(x) = (Kϕ)^′(x)+a(x)¡

(Kϕ)(x)¢ £

y0:=Kϕ¤

= K^′(x)ϕ(x)+K(x)ϕ^′(x)+a(x)K(x)ϕ(x) £

dérivée d’un produit¤

= b(x)

ϕ(x)ϕ(x)+K(x)¡

ϕ^′(x)+a(x)ϕ(x)¢

[cf. (B)]

= b(x)+K(x)×0 £

ϕest solution de (EH)¤

= b(x)

Doncy0:=Kϕest solution de (E).

• Conclusion

SiK:I→Kdésigne une primitive de la fonction

¯¯

¯¯ b

ϕ : I → K

x 7→ b(x)

ϕ(x)=b(x)e^A(x). (une telle existe toujours), alors la fonction

¯¯

¯¯ y0:=Kϕ : I → K

x 7→ K(x)ϕ(x)=K(x)e⁻^A(x) est solution de (E). En particulierSol(E)6= ;.

(8)

Déterminer une solution « particulière » de l’équation différentielle définie par I=]0,+∞[ , y^′+1

x y=ln(x) x²

en utilisant la méthode de la variation de la constante.

2.5 Principe de superposition pour les EDL1

Théorème 3(Principe de superposition pour les EDL1).

SoitIun intervalle deRet soient trois fonctions continuesa:I→K,b1:I→K,b2:I→K. Nous introduisons les EDL1 (E1) et (E2) définies par

(E1) : I , y^′+a(x)y=b1(x) (E2) : I , y^′+a(x)y=b2(x)

toutes deux d’inconnuey:I→Kune fonction dérivable surI. Soienty1:I→Kune solution de (E1) ety2:I→ Kune solution de (E2). Alors la fonction

¯¯

¯¯ y1+y2 : I → K

x 7→ y1(x)+y2(x) est solution de l’équation différentielle (E) définie par

(E) : I , y^′+a(x)y=b1(x)+b2(x) d’inconnuey:I→Kune fonction dérivable surI.

Démonstration. La fonctiony1+y2:I→Kest dérivable surI, comme somme de deux fonctions dérivables.

Soitx∈I.

¡y1+y2¢_′

(x)+a(x)¡ y1+y2¢

(x) = y₁^′(x)+y₂^′(x)+a(x)¡

y1(x)+y2(x)¢

[linéarité de la dérivée]

= y₁^′(x)+a(x)y1(x)+y^′₂(x)+a(x)y2(x)

= b1(x)+b2(x) £

y1est solution de (E1) ety2est solution de (E2)¤

1. Déterminer une solution, qui est constante, de l’EDL1

(E1) : R , y^′−y=2 d’inconnuey:I→Kune fonction dérivable surI.

2. Déterminer une solution, qui est multiple d’une fonction exponentielle (de base à préciser), de l’EDL1 (E2) : R , y^′−y=e⁻^x

d’inconnuey:I→Kune fonction dérivable surI. 3. En déduire une solution de l’EDL1

(E) : R , y^′−y=2+e⁻^x d’inconnuey:I→Kune fonction dérivable surI.

(9)

2.6 Structure de l’ensemble solution d’une EDL1

Théorème 4(Structure de l’ensemble solution d’une EDL1).

¯¯

• d’une équationy^′+a(x)y=b(x) d’inconnue une fonctiony:I→Kdérivable surI

oùa:I →Ketb:I→Kdésignent des fonctions continues surI. On introduit (EH), l’EDLH1 associée à (E), définie par la donnée

(EH)

¯¯

¯¯ • de l’intervalleIdeR;

• d’une équationy^′+a(x)y=0 d’inconnue une fonctiony:I→Kdérivable surI.

1. L’ensemble solutionSol(E)est non vide.

2. Soit y0une solution « particulière » de (E) (par exemple obtenue par la méthode de la variation de la constante) fixée. Alors

Sol(E)=©

y0+yH|yH∈Sol(E_H)ª

| {z }

=:y₀+Sol₍_EH₎

=½¯¯

¯¯ I → K

x 7→ y0(x)+yH(x) : yH∈Sol(E_H)

¾

=½¯¯

¯¯ I → K

x 7→ y0(x)+K e⁻^A(x) :K∈K

¾

oùAest une primitive deasurI. En d’autre termes, les solutions de l’EDL1 (E) sont les fonctions qui s’écrivent comme somme de la solution particulièrey0de (E) et d’une solution quelconque de (EH).

Démonstration.

1. L’assertion 1 à déjà été établie (cf. méthode de la variation de la constante (partie 2.4)).

2. Seule la première égalité

Sol(E)=©

y0+yH|yH∈Sol(E_H)ª est à démontrer, les autres ne sont que des ré-écritures de l’ensemble©

y0+yH|yH∈Sol(E_H)ª

, la dernière utilisant le théorème 2.

⊂ Soitz∈Sol(E). Nous avons à établir l’existence d’une fonctionyH:I→Ktelle que (A) z=y0+yH;

(B) yH∈Sol(EH).

Si une telle fonctionyHexiste, alors elle est égale àz−y0(cf. (A)). Vérifions que ce candidat pouryH

convient.

Nous posonsyH:=z−y0. La propriété (A) est clairement vérifiée. Reste à établir (B). La fonctionz est solution de l’EDL1 (E)

I , y^′+a(x)y=b(x)

et nous démontrons aisément que la fonction−y0est solution de l’EDL1 I , y^′+a(x)y= −b(x).

D’après le principe de superposition (théorème 3), la fonctionyH:=z−y0=z+(−y0) est solution de l’EDLH1 (EH)

I , y^′+a(x)y=0.

⊃ SoityH∈Sol(E_H). Nous avons à démontrer que la fonctiony0+yH est solution de l’EDL1 (E).

La fonctiony0est solution de l’EDL1 (E)

I , y^′+a(x)y=b(x) et la fonctionyHest solution de l’EDLH1 (EH)

I , y^′+a(x)y=0.

D’après le principe de superposition (théorème 3), la fonctiony0+yHest solution de l’EDL1 (E).

(10)

Remarque 2(Stratégie pour résoudre une EDL1).

Pour résoudre une EDL1, il suffit de 1. résoudre l’EDLH1 associée ;

2. déterminer une solution « particulière » de l’EDL1.

Le point 1. a été développé dans le théorème 2. Il se résume, au fond, à un calcul de primitive. Nous évoquons, dans la partie suivante, quelques techniques pour régler le deuxième point.

Soit l’EDL1 notée (E) définie par

(E) :I=R , y^′+x y=3x.

1. Déterminer une fonction constante solution de (E).

2. En déduire l’ensemble solution de (E).

2.7 Recherche de solutions « particulières » d’EDL1

Nous considèrons une EDL1, notée (E), et nous examinons plusieurs stratégies afin de trouver une solution

« particulière » de (E).

• Toujours vérifier si l’équation possède une solution « évidente »

Chercher si des solutions « évidentes » sont solutions de l’EDL1, par exemple parmi les classes de fonctions suivantes

1. les fonctions constantes ; 2. les fonctions monomiales ; 3. les fonctions polynomiales.

• Appliquer la méthode de la variation de la constante, en dernier recours

Si nous n’avons n’a pas trouvé de solution « particulière » parmi les classes de fonctions précédentes, nous appliquons la méthode de la variation de la constante, exposée précédemment (cf. partie 2.4), pour y parvenir.

Résoudre les EDL1 suivantes.

1. (E1) : I=R , y^′−y=2 2. (E2) : I=]0,+∞[ , y^′+1

xy=x² 3. (E3) : I=]0,+∞[ , y^′−y=e^xln(x) 4. (E4) : I=]0,+∞[ , y^′+1

xy= 2x 1+x²

2.8 Théoréme de Cauchy pour les EDL1

Théorème 5(Théorème de Cauchy pour les EDL1).

¯¯

• d’une équationy^′+a(x)y=b(x) d’inconnue une fonctiony:I→Kdérivable surI oùa:I→Ketb:I→Kdésignent des fonctions continues surI. Soitx0∈Iet soity0∈K. Alors

il existe une unique solutiony:I→Kde (E) telle quey(x0)=y0.

(11)

Démonstration. Cf. prise de notes.

Résoudre le problème de Cauchy suivant.

I=]0,+∞[ , y^′−2 xy=1

x , y(1)=0.

Corollaire 1(Conséquence géométrique du théorème de Cauchy pour les EDL1).

Nous conservons les mêmes notations que celles du théorème 5. Les courbes intégrales de (E) (i.e. les courbes représentatives des solutions de (E)) vérifient les deux propriétés suivantes.

1. Par tout point de la bande verticaleI×R, passe une et une seule courbe intégrale.

2. Deux courbes intégrales distinctes ne se coupent jamais.

Démonstration. Ces deux propriétés découlent du théorème 5. Cf. prise de notes pour les détails.

Quelques courbes intégrales de l’EDL1 définie par : I=R, y^′+sin(x)y=sin(x), illustrant le corollaire 1

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

(12)

3 Équation différentielles linéaires du second ordre, à coefficients constants (EDLCC2)

3.1 Définition des objets de l’étude et exemples

Définition 2(EDLCC2, EDLCCH2, solution, courbe intégrale ensemble solution).

1. Une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants (EDLCC2) est la donnée d’une équation

(E) : y^′′+a y^′+b=f(x) d’inconnuey:R→Kune fonction deux fois dérivable surR oùa∈K,b∈Ketf:R→Kest une fonction continue surR.

2. L’EDLCC2 (E) est dite homogène (EDLCCH2) si la fonctionf est identiquement nulle.

3. Une solution de l’EDLCC2 (E) est une fonctiony:R→Ktelle que

• yest deux fois dérivable surR;

• y^′′(x)+a y^′(x)+by(x)=f(x)‚ pour toutx∈R.

4. Nous appelons courbe intégrale de l’EDLCC2 (E) toute courbe représentative d’une solution de (E).

5. L’ensemble solution de l’EDLCC2 (E) est l’ensemble notéSol(E)formé des fonctions qui sont solutions de (E), i.e.

Sol(E):=©

y:R→K: yest deux fois dérivable surRet pour toutx∈R,y^′′(x)+a y^′(x)+by(x)=f(x)ª . Remarque 3.

Nous aurions pu, comme dans le cas des EDL1, préciser un intervalleI, et ne pas se placer systématiquement surR, pour étudier une équation différentielle linéaire d’ordre 2. Ici, les coefficients sont constants (nous les considérons comme des fonctions définies et continues surR). D’autre part, nous n’aurons à envisager que des fonctions définies et continues surRdans le second membre, d’après notre programme. Le cadre choisi (i.e.R plutôt qu’un intervalleIquelconque) est donc adapté à nos objectifs, bien qu’il puisse être élargi.

1. On considère l’EDLCCH2

(E1) :y^′′+2y^′+y=0 d’inconnue une fonctiony:R→Rdeux fois dérivable surR. (a) Donner une solution « évidente » de (E1).

(b) Démontrer que la fonction ¯¯¯¯ y : R → R x 7→ e⁻^x est solution de (E1).

2. Donner trois solutions de l’EDLCC2

(E2) :y^′′+y=1 d’inconnue une fonctiony:R→Rdeux fois dérivable surR.

3.2 Ensemble solution d’une EDLCCH2

Heuristique pour l’introduction de l’équation caractéristique d’une EDLCCH2 Soita∈K. Nous savons, d’après ce qui précède que la fonction

¯¯

¯¯ ϕ : R → K

x 7→ e⁻^ax est solution de l’EDLH1 (à coefficients constants)

(E) : y^′+a y=0 d’inconnue une fonctiony:R→Kdérivable.

(13)

Aussi est-il naturel de chercher si des fonctions « de nature exponentielle » peuvent être solutions d’une EDLCCH2.

Le lemme suivant apporte une réponse à cette question. Dans sa formulation apparaît une équation numérique (dont l’inconnue est donc un nombre), l’équation caractéristique d’une EDLCCH2, qui joue un rôle prépondé- rant dans la théorie.

Lemme 1(Introduction de l’équation caractéristique d’une EDLCCH2).

Soit (a,b)∈K. On considère l’EDLCCH2

(E) : y^′′+a y^′+by=0

d’inconnue une fonctiony:R→Kdeux fois dérivable. Soitr∈K. La fonction

¯¯

¯¯ yr : R → R

x 7→ e^{r x}

est solution de (E) si et seulement si le scalairerest solution de l’équation (appelée équation caractéristique de (E))

(Ecar) : x²+ax+b=0 d’inconnuex∈K.

Théorème 6(Ensemble solution d’une EDLCCH2 -K=C).

Soientaetbdes nombres complexes. On considère l’EDLCCH2 (E) : y^′′+a y^′+by=0

d’inconnue une fonctiony:R→Cdeux fois dérivable surR. On introduit l’équation caractéristique de (E) (Ec ar) : x²+ax+b=0

d’inconnuex∈C.

Pour exprimer l’ensemble solution de (E), nous scindons la suite en deux parties, suivant le nombre de solution(s) de (Ec ar).

• Cas où(Ec ar)possède deux solutions distinctes dansC Si (Ec ar) possède deux solutions distinctesr1etr2dansC, alors

Sol(E)=½¯¯

¯¯

R → C

x 7→ k1e^r¹^x+k2e^r²^x : (k1,k2)∈C²

¾

• Cas où(Ec ar)possède une unique solution dansC Si (Ec ar) possède une unique solutionrdansC, alors

Sol(E)=½¯¯

¯¯

R → C

x 7→ k1e^{r x}+k2xe^{r x} : (k1,k2)∈C²

¾

Démonstration. Pour les démonstrations des inclusions⊃cf. prise de notes. Les inclusions⊂sont admises.

1. Résoudre l’équation différentielle

(E1) : y^′′−(2+2i)y^′+2i y=0 d’inconnue une fonctiony:R→Cdeux fois dérivable surR. 2. Résoudre l’équation différentielle

(E2) : y^′′−2y^′+(1+2i)y=0 d’inconnue une fonctiony:R→Cdeux fois dérivable surR.

(14)

Lemme 2.

Soientαetβdes réels fixés.

½¯¯¯¯

R → R

x 7→ e^αx¡

k1cos(βx)+k2sin(βx)¢ : (k1,k2)∈R²

¾

=½¯¯

¯¯

R → R

x 7→ A e^αxcos(βx+ϕ) : (A,ϕ)∈R²

¾

Théorème 7(Ensemble solution d’une EDLCCH2 -K=R).

Soientaetbdes nombres réels. On considère l’EDLCCH2

(E) : y^′′+a y^′+by=0

d’inconnue une fonctiony:R→Rdéfinie et deux fois dérivable surR. On introduit l’équation caractéristique de (E)

(Ec ar) : x²+ax+b=0 d’inconnuex∈C.

• Cas où(Ec ar)possède deux solutions distinctes dansR Si (Ec ar) possède deux solutions distinctesr1etr2dansR, alors

Sol(E)=½¯¯

¯¯

R → R

x 7→ k1e^r¹^x+k2e^r²^x : (k1,k2)∈R²

¾

• Cas où(Ec ar)possède une unique solution dansR Si (Ec ar)) possède une unique solutionrdansR, alors

Sol(E)=½¯¯

¯¯

R → R

x 7→ k1e^{r x}+k2xe^{r x} : (k1,k2)∈R²

¾

• Cas où(Ec ar)possède deux solutions complexes conjuguées dansC

Si (Ec ar) possède deux solutions complexes conjuguéesα+iβetα−iβ(oùαetβsont réels), alors Sol(E) = ½¯¯

¯¯

R → R

x 7→ e^αx¡

k1cos(βx)+k2sin(βx)¢ : (k1,k2)∈R²

¾

= ½¯¯¯

¯

R → R

x 7→ A e^αxcos(βx+ϕ) : (A,ϕ)∈R²

¾

Démonstration. Les inclusions⊂sont admises. Quant aux inclusions⊃, elles sont aisées à établir, puisqu’il s’agit de vérifier si une fonction de forme explicite donnée est solution d’une EDLCCH2 (cf. preuve du théorème 6). Enfin, dans le troisième cas, l’égalité entre les deux ensembles donnés sous forme paramétrique n’est autre que le lemme 2.

y^′′+4y=0

d’inconnuey:R→Rune fonction définie et deux fois dérivable surR. 2. Résoudre l’équation différentielle

y^′′−2y^′−3y=0

d’inconnuey:R→Rune fonction définie et deux fois dérivable surR. 3. Résoudre l’équation différentielle

y^′′−2p

2y^′+2y=0

d’inconnuey:R→Rune fonction définie et deux fois dérivable surR.

(15)

3.3 Structure de l’ensemble solution d’une EDLCC2

Théorème 8(Structure de l’ensemble solution d’une EDLCC2).

Soit (a,b)∈K²et soitf:R→Kune fonction continue surR. On considère l’EDLCC2 (E) : y^′′+a y^′+by=f(x)

d’inconnue une fonctiony:R→Kdéfinie et deux fois dérivable surR. On introduit (EH), l’EDCCH2 associée à (E)

(EH) : y^′′+a y^′+by=0 d’inconnue une fonctiony:R→Kdéfinie et deux fois dérivable surR. Siy0désigne une solution particulière de (E), alors

Sol(E) = ©

yH+y0: yH∈Sol(EH)ª

= ½¯¯

¯¯

R → K

x 7→ y0(x)+yH(x) :yH∈Sol(EH)

¾ .

Remarque 4(Méthode pour résoudre une EDLCC2).

Pour résoudre une EDLCC2, il suffit de

1. résoudre l’EDLCCH2 associée (cf théorèmes 6 et 7) ; 2. déterminer une solution particulière de l’EDLCC2.

Le deuxième point peut s’avérer délicat. Le programme nous impose de ne considérer que des EDLCC2, avec des seconds membres d’un type particulier. Pour ces EDLCC2, il est aisé de trouver une solution particulière (cf. partie 3.4).

Résoudre l’équation différentielle

y^′′+4y=1

d’inconnue une fonctiony:R→Rdéfinie et deux fois dérivable surR(cf. question 1. de l’exercice d’application 10).

3.4 Recherches de solutions particulières d’EDLCC2 du programme

3.4.1 Cas où le second membre est de la formex7→Ae^λxavec(A,λ)∈K²

Théorème 9(Solution particulière pour une EDLCC2 avec second membre « en exponentielle »).

Soit (a,b)∈K², soit (A,λ)∈K². On considère l’équation différentielle (E) : y^′′+a y^′+by=Ae^λx

d’inconnue une fonctiony:R→Kdéfinie et deux fois dérivable surR. On considère l’EDLCCH2 associée (EH) : y^′′+a y^′+by=0

d’inconnue une fonctiony:R→Kdéfinie et deux fois dérivable surRet son équation caractéristique (Ec ar) : x²+ax+b=0

d’inconnuex∈C.

• Cas oùλn’est pas solution de(Ec ar)

Siλn’est pas solution de (Ec ar) alors (E) admet une solution particulière de la forme

¯¯

R → K x 7→ B e^λx oùBest un scalaire à déterminer.

(16)

• Cas oùλest solution de(Ec ar)et(Ec ar)possède deux solutions

Siλest solution de (Ec ar) et (Ec ar) possède deux solutions alors (E) admet une solution particulière de

la forme ¯

¯¯

¯

R → K

x 7→ B xe^λx oùBest un scalaire à déterminer.

• Cas oùλest solution de(Ec ar)et(Ec ar)possède une unique solution

Siλest solution de (Ec ar) et (Ec ar) possède une unique solution alors (E) admet une solution particu-

lière de la forme ¯¯¯

¯

R → K

x 7→ B x²e^λx oùBest un scalaire à déterminer.

y^′′+y=5e^x

d’inconnue une fonctiony:R→Rdéfinie et deux fois dérivable surR. 2. Résoudre l’équation différentielle

y^′′−6y^′+9y= −e^3x

d’inconnue une fonctiony:R→Rdéfinie et deux fois dérivable surR.

3.4.2 Cas où le second membre est de la formex7→Acos(ωx)oux7→Asin(ωx)avec(A,ω)∈R² Théorème 10(Solution particulière pour une EDLCC2 avec second membre « en cosinus »).

Soit (a,b)∈R², soit (A,ω)∈R². On considère l’équation différentielle (E) : y^′′+a y^′+by=Acos(ωx)

d’inconnue une fonction y:R→Rdéfinie et deux fois dérivable surR. On introduit l’équation différentielle

complexifiée de (E) ¡

Ee¢

: y^′′+a y^′+by=Aeⁱ^ωx

d’inconnue une fonctiony:R→Cdéfinie et deux fois dérivable surR. Siyp:R→Cest une solution particulière de l’équation différentielle¡

e E¢

(par exemple obtenu grâce au théorème 9) alors

¯¯

¯¯ Re(yp) : R → R

x 7→ Re(yp(x)) est une solution particulière de (E).

Théorème 11(Solution particulière pour une EDLCC2 avec second membre « en sinus »).

Soit (a,b)∈R², soit (A,ω)∈R². On considère l’équation différentielle (E) : y^′′+a y^′+by=Asin(ωx)

d’inconnue une fonction y:R→Rdéfinie et deux fois dérivable surR. On introduit l’équation différentielle

complexifiée de (E) ¡

Ee¢

: y^′′+a y^′+by=Aeⁱ^ωx

d’inconnue une fonctiony:R→Cdéfinie et deux fois dérivable surR. Siyp:R→Cest une solution particulière de l’équation différentielle¡

e E¢

(par exemple obtenu grâce au théorème 9) alors

¯¯

¯¯ Im(yp) : R → R

x 7→ Im(yp(x)) est une solution particulière de (E).

(17)

Démonstration. Analogue à celle du théorème 10.

y^′′+y=2sin(x)

d’inconnue une fonctiony:R→Rdéfinie et deux fois dérivable surR. 2. Résoudre l’équation différentielle

2y^′′+y^′−y=cos(x)

d’inconnue une fonctiony:R→Rdéfinie et deux fois dérivable surR. 3.4.3 Principe de superposition pour les EDLCC2

Théorème 12(Principe de superposition pour les EDLCC2). Soit (a,b)∈K². Soientf1:R→Ketf2:R→Kdes fonctions continues surR. On considère les EDLCC2 suivantes

(E1) : y^′′+a y^′+by=f1(x) (E2) : y^′′+a y^′+by=f2(x)

(E) : y^′′+a y^′+by=f1(x)+f2(x)

toutes les trois d’inconnue une fonctiony:R→Kdéfinie et deux fois dérivable surR. Siy1:R→Kest une solution de (E1) et siy2:R→Kest une solution de (E2), alors

¯¯

¯¯ y1+y2 : R → K

x 7→ y1(x)+y2(x) est une solution de (E).

Résoudre l’équation différentielle

y^′′−y^′−2y=ch(x) d’inconnue une fonctiony:R→Kdéfinie et deux fois dérivable surR.

3.5 Théorème de Cauchy pour les EDLCC2

Théorème 13(Théorème de Cauchy pour les EDLCC2).

Soit (a,b)∈K². Soitf:R→Kune fonction continue surR. On considère l’équation différentielle (E) : y^′′+a y^′+by=f(x)

d’inconnue une fonctiony:R→Kdéfinie et deux fois dérivable surR. Soitx0∈Ret soit (y1,y2)∈K². Alors il existe une unique solutionyde (E) telle que

y(x0)=y1 et y^′(x0)=y2.

Ce théorème est admis.

Résoudre le problème de Cauchy

y^′′−2y^′+y=4sh(x) , y(0)=2 , y^′(0)=1 d’inconnue une fonctiony:R→Rdéfinie et deux fois dérivable surR.

Remarque 5(Interprétation géométrique du théorème de Cauchy pour les EDLCC2).

On conserve les même notation que cette du théorème 13 et on ne considère que le cas oùK=R. Du théorème 13 on déduit que si l’on fixe un pointAdu plan et une droiteDdu plan passant parAet non verticale, alors il existe une unique courbe intégrale de (E) passant parAet ayant pour tangente enAla droiteD.