Les équations différentielles linéaires homogènes d’ordre 2 à coefficients constants

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Les équations différentielles linéaires homogènes d’ordre 2 à coefficients constants

I. Généralités 1°) Définition

On appelle une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants une équation différentielle de la forme ay''by'cy0 où a, b, c sont des réels fixés tels que a0.

2°) Exemple '' 3 ' 2 0 y  y y

3°) Résolution

Résoudre l’équation différentielle ay''by'cy0 c’est déterminer toutes les fonctions f définies et deux fois dérivable sur  telles que  x ^af''

 

^x ^bf'

 

^x ^{cf x}

 

⁰.

II. Ensemble des solutions 1°) Théorème fondamental

On considère une équation différentielle ay''by'cy0 (E) où a, b, c sont trois réels tels que a0. On appelle « équation caractéristique » l’équation ar²br c 0 (1) d’inconnue reeee. Il s’agit d’une équation du second degré à coefficients réels d’inconnue complexe.

On pose  b²4ac (discriminant de (1)).

1^er cas :  0

Dans ce cas, (1) admet 2 racines réelles distinctes r₁ et r₂.

Les solutions de (E) sont les fonctions te^{r t1}  e^{r t2} avec



  ^;



². 2^e cas :  0

Dans ce cas, (1) admet 1 racine double réelle 2 r b

  a.

Les solutions de (E) sont les fonctions ^t



^{  t}



^{ert avec}



  ^;



². 3^e cas :  0

Dans ce cas, (1) admet 2 racines complexes conjuguées distinctes r₁ et r₂. On écrit r₁   i et r₂   i avec



^{  ;}



²

Les solutions de (E) sont les fonctions ^tet



^cos

 

^{t  sin}

 

^t



^avec



  ^;



².

2 Remarques :

 Si on intervertit r₁ et r₂, cela n’a aucune influence sur le résultat.

 Dans chaque cas, on obtient une famille de solution dépendant de deux paramètres  et .

III. Exemples de résolution 1°) Exemple 1

Résolvons l’équation différentielle '' 3 ' 2y y y0

 

^{E .}

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants.

L’équation caractéristique associée s’écrit ^{r23r20 1}

 

^{avec r.}

32 4 1 2 9 8 1

    

 





 0 donc (1) admet 2 racines réelles distinctes r₁ et r₂ :

1

2

3 1

2 1 1

3 1

2 1 2 r

r

   



   



Les solutions de (E) sont les fonctions te^t e^2t avec



  ^;



². On ne cherche pas à déterminer  et .

2°) Exemple 2

Résolvons l’équation différentielle '' 2 'y yy0

 

^{E .}

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants.

L’équation caractéristique associée s’écrit ^r2^2r ^{1 0 1}

 

avec r. (1) admet une racine double réelle : r₀1 (car ^{r22r 1}



^r1



^2).

Les solutions de (E) sont les fonctions ^t



  ^t



^et avec



  ^;



².

3 3°) Exemple 3

Résolvons l’équation différentielle '' 2 ' 2y  y y0

 

^{E .}

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants.

L’équation caractéristique associée s’écrit ^r2^2r²^{0 1}

 

avec r.

  1

 0 donc (1) admet deux racines complexes conjuguées r₁ et r₂ :

1 2

1 i 1 i r r

 

 

Les solutions de (E) sont les fonctions ^t^et



^{cost sint}



avec



^{  ;}



².

IV. Cas particulier (à savoir) : équations différentielles de la forme y'' ²y0 où  est un réel non nul 1°) Propriété

On considère une équation différentielle de la forme ^{y'' 2y0 E}

 

où  est un réel non nul.

L’équation caractéristique associée s’écrit ^r2  ^{2 0 1}

 

avec r. Les solutions complexes de

 

1 sont donc i et – i.

On en déduit la propriété :

Les solutions d’une équation différentielle de la forme y'' ²y0 où  est un réel non nul sont les fonctions

   

cos sin

t t   t avec



^{  ;}



^2.

Il n’y a pas de « partie exponentielle » puisque les solutions de l’équation caractéristique associée ont une partie réelle nulle.

2°) Rappel sur les expressions de la forme cosa xbsinx où a et b sont deux réels

 Propriété :

Il est possible de mettre une expression de la forme cosa x b sinx sous la forme ^{A cos}



^x 



où A est un réel positif et  sont deux réels.

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 Démonstration :

Nous allons supposer que a et b ne sont pas tous les deux nuls (le cas où a et b sont tous les deux nuls est évident).

2 2

2 2 2 2

cos sin a cos b sin

a x b x a b x x

a b a b

 

     

 

 

On vérifie sans peine que

2 2

2a 2 2b 2 1

a b a b

   

 

   

 

   

. Donc il existe un réel  tel que

2 2

cos a

a b

 

 et

2 2

sin b

a b

 

 .

Donc ^{acosx b} ^sinx ^a2^b2



^{cos cosx}  ^{sin sinx} 



. Posons A a²b².

On peut donc écrire ^{acosx b} ^sinx^{A cos}



^x 



.

 Exemple :

Nous allons transformer l’expression ^{f x}

 

 ^{3 cosx}^sinx (x).

 

^{2 cos 3 sin 1}

2 2

f x  x x 

     

 

 

2 cos cos sin sin

6 6

x x

f x   

     

 

 

2 cos f x x 6

   

 

3°) Application aux solutions

Les solutions d’une équation différentielle de la forme y'' ²y0 ( étant un réel non nul) sont les fonctions

 

A cos

t   t où A est un réel strictement positif et  est un réel.

La fonction ^t^{A cos}



  ^t



est une fonction périodique de période 2

T 

 .

V. Utilisation en physique : oscillations libres d’un objet accroché à un ressort

5 m

Un objet de masse m0 (en kg), posé sur un plan horizontal, est accroché à un ressort de constante de raideur 0

k (enN kg ^1).

On écarte le ressort de sa position au repos puis on lâche.

On souhaite étudier l’évolution du système formé par l’objet et le ressort en l’absence de frottement sur le sol.

m

O

Les forces qui s’exercent sur l’objet sont le poids P

, la réaction R

du support et la tension T

du ressort.

D’après la relation fondamentale de la dynamique, on a : P TRma où a

désigne l’accélération.

On considère un axe horizontal  de repère



^O,i



de telle sorte que : - l’origine O est confondue avec l’extrémité du ressort au repos ; - le vecteur i

non représenté sur le schéma a pour norme 1 m qui donne le sens positif comme l’indique le schéma du dispositif ci-dessus.

On note ^{x t}

 

l’abscisse de l’extrémité du ressort dans ce repère à l’instant t.

On sait que l’intensité de la force de tension du ressort est proportionnelle à l’élongation. Plus précisément, on a : Tk x .

On peut écrire Tkx i .

L’accélération est donnée par ax i

 .

 

x t R



T

P



6 Comme d’ordinaire en mécanique, on utilise ici la notation de dérivée de Newton avec un point : d

d x x

 t

 ,

2 2

d d x x

 t

 .

On projette la relation vectorielle sur l’axe .

On obtient alors Tmx soit kxmx ou encore mxkx0.

On pose k

  m. Ce nombre est appelé la pulsation propre du système.

L’équation différentielle s’écrit x ²x0.

D’après les résultats énoncés dans le paragraphe IV, ^{x t}

 

^{ cos}

 

^{  t sin}

 

^t où  et  sont des réels.

Il s’agit de l’équation horaire du mouvement.

On a également : ^{x t}

 

^{A cos}



  ^t



. On parle de mouvement oscillant.

On peut déterminer  et  grâce aux conditions initiales ^x

 

^{0 et x}

 

^{0 .}

7

Exercices

1 1°) Résoudre l’équation différentielle '' 9y  y0

 

^{E .}

2°) Déterminer la solution f de

 

^E qui satisfait les conditions ^f

 

^{0 1 et f'}

 

^{  2.}

Solution :

1°) On reconnaît une équation différentielle de la forme ^y'' ^2y^{0 E}

 

où  est un réel non nul.

Les solutions de

 

E sont les fonctions x  k₁cos 3xk₂sin 3x avec



k1;k2



².

2°) Déterminer la solution f de

 

E qui satisfait les conditions ^f

 

^{0 1}

 

^{1 et f'}

 

^{  2}

 

^{2 .}

On sait que f est définie par f x

 

k1cos 3xk2sin 3x avec



k1;k2



².

 

1  k₁cos 0k₂sin 0 1

 

1  k₁1 (puisque sin 00)

 x f'

 

x  3 sin 3k1 x3k2cos 3x

 

^{2 } 3 sin 3k1  3k2cos 3  2

 

^{2 } 3k2 2

 

^{2 } 2

2 k 3

La solution cherchée est la fonction f : x  2 cos 3 sin 3

x3 x avec



k1;k2



².

8 2 1°) Résoudre l’équation différentielle '' 4y  y0

 

^{E .}

2°) Déterminer la solution f de

 

E qui satisfait les conditions ^f

 

^{0 1 et f' 0}

 

^{ 2.}

Solution :

1°) On reconnaît une équation différentielle de la forme ^y'' ^2y^{0 E}

 

où  est un réel non nul.

Les solutions de

 

E sont les fonctions x  k₁cos 2xk₂sin 2x avec



k1;k2



².

2°) Déterminer la solution f de

 

E qui satisfait les conditions f

 

0 1

 

1 et f' 0

 

 2

 

2 . On sait que f est définie par f x

 

k1cos 2xk2sin 2x avec



k1;k2



².

 

1  k₁cos 0k₂sin 0 1

 

^{1 } k11 (puisque sin 00)

 x f'

 

x  2 sin 2k1 x2k2cos 2x

 

2  2k₁sin 0 2 k₂cos 0 2

 

^{2 } 2k2 2

 

²  k₂ 1

La solution cherchée est la fonction f : x  cos 2xsin 2x avec



k1;k2



².