e i π = -1
BCPST1 Fénelon Nicolas Clatin 2009
certains droits réservés ne peut pas être vendu OUTILS MATHÉMATIQUES
fiche 4
Équations différentielles à coefficients constants
4.1 Équations différentielles du premier ordre.
Soit f une fonction « sympathique » de la variablex, c’est-à-dire continue et dérivable partout où elle est définie, qui vérifie une équation différentielle de la forme :
df
dx+a f =b (1)
oùaetbsont des constantes. Il s’agit d’une équation différentielle du premier ordre (elle ne fait intervenir que la dérivée première) à coefficients constants. En physique,a > 0 la plupart du temps. La solution générale de cette équation est la somme de deux termes :
f =f1+f2 (2)
Le premier terme f1 est la fonction solution de l’équation homogène, c’est-à-dire dans laquelleb= 0: df1
dx +a f1= 0⇒f1 (x)=Ke−a x (3) où K est une constante. Le second terme est une solution particulière de l’équation, par exemple la solution constante (f2 est une fonction constante), soit telle que :
df2
dx = 0⇒a f2=b⇒f2 (x)= b
a (4)
On en déduit la solution générale de l’équation :
f(x)=f1 (x)+f2 (x)=Ke−a x+ b
a (5)
La constante K est déterminée par une « condition à la limite », c’est-à-dire à l’aide d’une valeur connue de la fonction f en un pointxparticulier. Un cas fréquent en physique est celui où on connait la valeur de f quandx= 0. Il suffit alors d’appliquer (5) pourx= 0:
f(0)=K+ b
a⇒K=f(0)− b
a (6)
La solution est alors :
f(x)=f(0)e−a x+b
a(1−e−a x) = b
a+ f(0)−b a
!
e−a x (7)
e i π = -1
BCPST1 Fénelon Nicolas Clatin 2009
certains droits réservés ne peut pas être vendu
Certains droits réservés: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
Disponible gratuitement: http://campus.claroline.com/claroline/course/index.php?cid=NC04
On peut remarquer que, lorsquea >0 :
f(x)−−−−−→
x→+∞
b
a (8)
On constate que sia <0, la fonction diverge à l’infini, ce qui ne correspond généralement pas à un phénomène physique.
4.2 Équations différentielles du deuxième ordre.
Soit f une fonction « sympathique » de la variablex, c’est-à-dire continue et dérivable partout où elle est définie, qui vérifie une équation différentielle de la forme :
d2f
dx2+ω2f = 0 (9)
Cette équation différentielle est du second ordre (elle fait intervenir la dérivée seconde de f) à coefficients constants. On remarque que le termeω2 devantf est toujours positif, puisque c’est un carré. Cette équation différentielle est caractéristique des systèmes physiques appelés « oscillateurs harmoniques ». Elle a pour solution une fonction sinusoïdale qu’on peut écrire de deux façons. La première écriture possible est :
f(x)=Kcos (ω x+ϕ) (10)
où K et ϕ sont des constantes. La grandeur représentée par f varie donc sinusoïdalement avec x, avec une pulsationω, ce qui correspond à une périodeT = 2π/ω.
La seconde écriture possible fait aussi apparaitre deux constantesK1et K2:
f(x)=K1cos (ω x) +K2 sin (ω x) (11)
Les relations (10) et (11) sont équivalentes. En effet, en développant le cosinus dans (10), on obtient :Kcos (ω x+ϕ) = Kcosϕcos (ωx)−Ksinϕsin (ωx)ce qui est bien la relation (11), avecK1=K cosϕetK2=−K sinϕ.
Comme précédemment, les constantes K et ϕou les constantes K1 et K2 se déterminent à l’aide de deux conditions aux limites. Un cas fréquent en physique est celui où on connait les valeurs def et def′ enx= 0.
En écrivant (10) pourx= 0, on obtient :
f(0)=Kcosϕ (12)
Par ailleurs, en dérivant (10) puis en se plaçant àx= 0, on trouve :
f(x)′ =−K ωsin (ω x+ϕ)⇒f(0)′ =−K ωsinϕ (13)
Les relations (12) et (13) permettent d’obtenirK etϕen fonction def(0) et f(0)′ .
L’équation différentielle : d2f
dx2−ω2f = 0 dans laquelle le coefficient devantf est négatif, a une solution totalement différente.
En deuxième année, on verra que l’équation différentielle (9) est un cas particulier d’une équation différentielle plus générale : d2f
dx2+ 2λdf
dx+ω2f = 0, qui modélise des phénomènes d’oscillations amorties, et dont la solution est plus complexe.
BCPST1 – Nicolas Clatin – septembre 2009 – Outils mathématiques 4 – page 2
