I. Introduction : notion de fonction : 1. Courbes et fonctions
Relevé de températures : courbes et fonctions Voici les relevés des températures de l’eau et de l’air, au bord d’un lac de montagne, pendant 24 heures.
On désigne respectivement par 𝑓 et par 𝑔 les fonctions mesurant la température en degré Celsius de l’air et de l’eau, en fonction du temps exprimé en heurs et désigné par la variable t.
1. Traduire en langage courant les phrases suivantes :
Langage mathématique Langage courant
a. 𝑓(17) =24 A 17h, la température de l’air était de 24°C
b. L’image de 6 par g est 2 A 6h , la température ………
c. Quels sont les antécédents de 14 par la fonction f ? A quelle heure……….. ? d. Le maximum de la fonction f est 26
e. Si 1 < 𝑡 < 6 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓(𝑡) < 0 Entre 1h et 6h ………
f. 𝑓(7) = 𝑔(7) A 7h,………..
g. Résoudre 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡)
h. f est strictement décroissante sur [14; 24]
2. Traduire les phrases suivantes en phrases mathématiques
Langage courant Langage mathématique
a. A minuit la température de l’eau était de 4°
b. A quelle heure la température de l’eau était de 4° ? c. A 8h la température de l’eau était inférieure à celle
de l’air
d. A quelles heures la température de l’air était-elle supérieure à celle de l’eau ?
e. La température minimale de l’eau est de 2°.
f. Entre 6h et 15h la température de l’eau augmente
2. Programme de calcul : définition algébrique d’une fonction On considère le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre entier naturel
10 5 𝑥
• Multiplier par 2
• Ajouter 1
• Elever au carré
• Soustraire 1
• Multiplier par 3
Résultat 1320
1. Compléter le tableau et montrer que le résultat, pour un nombre réel x quelconque est 12x2+12x.
2. On a ainsi défini la fonction f par l’expression algébrique : f x( )=... . 3. Quel est le résultat du programme si on introduit le nombre 15 ? le nombre 3, 5 ?
...
4. Quel nombre peut-on introduire de façon à ce que le résultat du programme soit nul ? ...
3. éléments caractéristiques d’une fonction
On dispose au sujet d’une fonction numérique f des renseignements suivants :
• L’ensemble de définition de 𝑓 est : Df = −
2;9
.• Un tableau de valeurs de f est :
• Le tableau de variations de f :
• On sait d’autre part que la représentation graphique de f, dans un repère ( ; ; )O i j est une courbe que l’on peut tracer sans lever le crayon, et dont on fournit l’extrait suivant :
.
II. Fonctions . 1. Définition
Définir une fonction 𝑓 d’un ensemble Df de réels dans ℝ, c’est associer (ou transformer) à chaque réel 𝑥 deDf un unique réel noté 𝑓 ( 𝑥 ).
• On dit que Df est l’ensemble de définition de 𝑓 .
• 𝑓 ( 𝑥 ) est l’image de 𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑓 .
• 𝑥 est un antécédent de 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑝𝑎𝑟 𝑓 .
et on note : 𝑓 : 𝐷𝑓⟶ ℝ 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
2. Calcul d'image et d'antécédents.
Méthode : Soit f la fonction suivante : f :
−4;5
→1
2 3 x − x+
Pour déterminer l’image d’un nombre 𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑓 , il faut que ce nombre soit dans l’ensemble de définition de f .
Dans ce cas, on remplace 𝑥 par ce nombre dans l’expression de 𝑓 ( 𝑥 ).
Image de − 2 :...
Image de 6 :...
Pour déterminer le (ou les) antécédent(s) d’un nombre a par f , il faut résoudre l’équation f x( )=a Antécédents de 1 : Il faut résoudre l’équation f x( ) 1=
...
...
...
...
Le seul antécédent de 1 par f est :
3. Représentation graphique : 4.
On appelle courbe représentative (ou représentation graphique) de la fonction f l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x, f(x)), où x parcourt l’ensemble de définition E de f.
En d’autres termes, le point M(𝑥; 𝑦) est sur la courbe représentative de la fonction f si et seulement si y = f(x).
Exemple :
Soit la fonction f définie par l’expression f x( )=3x2−2x+1 .
𝐴(1,2) est sur la courbe de f, car 𝑓(1) = 3 × (1)2− 2 × (1) + 1 = 2.
𝐵( − 3,34) est sur la courbe de f, car 𝑓( − 3) = 3 × (−3)2− 2 × (−3) + 1 =34.
𝐶(2,4) n’est pas sur la courbe de f, car .𝑓(2) = 3 × (2)2− 2 × (2) + 1 =9≠4
Remarques :
1. En général, le repère sera orthogonal ou orthonormal.
2. Le tracé d’une courbe représentatif est toujours approximatif : on fait un tableau de valeurs , on place les points correspondants dans un repère et on les relie par une courbe régulière(sans utiliser la règle, sauf dans certains cas particuliers).
3. On peut utiliser la calculatrice pour remplir des tableaux de valeurs et tracer des courbes représentatives de
fonctions.
4. Certaines fonctions ne sont connues que par leur courbe représentative.
