Etudes exp´ erimentales et th´ eoriques des ph´ enom` enes d’entr´ ee et sortie d’eau
Experimental and theoretical study on the water entry and water exit phenomena
Alan Tassin (1) , Thibaut Breton (1,2) , Nicolas Jacques (2)
[email protected] ; [email protected] ; [email protected]
(1) Laboratoire Comportement des Structures en Mer, IFREMER,29280 Plouzan´ e, France
(2) ENSTA Bretagne, CNRS UMR 6027, IRDL, 29806 Brest, France
R´ esum´ e
Nous ´ etudions les ph´ enom` enes d’entr´ ee et sortie d’eau exp´ erimentalement et th´ eori- quement. Du point de vue exp´ erimental, nous proposons une technique permettantant de suivre l’´ evoultion de la surface mouill´ ee lors d’essais de sortie d’eau bas´ ee l’utilisation de maquettes transparentes et d’un ´ elairage LED tangentiel. Nous montrons que cette technique est adapt´ ee aux formes planes (carr´ e, disque circulaire, ellipse) mais ´ egalement
`
a des formes tridimensionnelles (cˆ one, calotte sph´ erique). Cette technique permet en outre de suivre l’´ evolution de la surface mouill´ ee et du front du jet lors des phases d’entr´ ee. Nous pr´ esentons des r´ esutats exp´ erimentaux en termes d’effort hydrodynamique et d’´ evolution de la surface mouill´ ee. Ces r´ esultats sont compar´ es ` a des r´ esultats issus de simulations num´ erique de type CFD pour le cas des maquettes planes ainsi qu’` a des r´ esultats issus de mod` eles analytiques pour le cas du cˆ one. L’accord entre les diff´ erentes approches est globalement bon. La prise en compte de la composante hydrostatique de la pression dans le mod` ele analytique est n´ ecessaire pour approcher les r´ esultats exp´ erimentaux mais pose des questions en termes de mise en oeuvre.
Summary
We investigate the water entry and water exit phenomena experimentally and theo-
retically. We propose an experimental technique based on the use of transparent mock-
ups and tangential LED lighting systems. This technique makes it possible to follow the
contact surface during both the entry and exit phases. We show its feasbiliy for flat plates
(square, circular disc, ellipse) and three-dimensional bodies (cone, sphere). The hydro-
dynamic force evolutions measured during the experiments are compared to numerical
simulations (CFD) and to analytical results based on the modified Logvonovich model
(MLM).
I – Introduction
Nous ´ etudions les ph´ enom` enes d’entr´ ee et sortie d’eau exp´ erimentalement et th´ eori- quement. L’objectif principal est d’am´ eliorer la compr´ ehension du ph´ enom` ene de sortie d’eau que l’on rencontre dans diff´ erents probl` emes hydrodynamiques tels que l’impact de vagues sur des structures situ´ ees au-dessus de la surface de l’eau ([1], [5]), le tossage des navires ([2]) ou l’amerrissage d’urgence des avions de transport ([10]). Ces probl` emes d’impact hydrodynamique peuvent se d´ ecomposer en deux phases : une premi` ere phase d’entr´ ee d’eau durant laquelle la surface de contact entre l’eau et la structure augmente rapidement et une seconde phase de sortie d’eau que l’on d´ efinira ici comme la phase durant laquelle la surface de contact diminue. A noter que dans des configurations com- plexes on pourrait rencontrer des zones o` u la surface de contact serait en expansion ainsi que d’autres zones o` u celle-ci serait en contraction. Au ph´ enom` ene de sortie d’eau, est associ´ e ` a un ph´ enom` ene de succion qui peut entraˆıner de la cavitation (ex : amerrissage d’urgence). Contrairement ` a la phase d’entr´ ee, qui a motiv´ e de nombreuses ´ etudes, la phase de sortie d’eau reste jusqu’ici peu ´ etudi´ ee. A travers ces travaux, nous essayons de r´ epondre ` a diff´ erentes questions soulev´ ees par la mod´ elisation de la sortie d’eau telles que l’´ evolution de la surface de contact et de l’effort hydrodynamique au cours de cette phase.
En effet, il reste difficile de mod´ eliser correctement ce ph´ enom` ene. Par exemple, dans le mod` ele lin´ earis´ e de sortie d’eau de Korobkin [3], la surface mouill´ ee est d´ etermin´ ee en introduisant une relation de proportionnalit´ e entre la vitesse d’expansion de la surface mouill´ ee et la vitesse des particules du fluide au point de contact (pour des cas 2D et axi- sym´ etriques). En comparaison du mod` ele de “von Karman modifi´ e” (voir [10]) o` u le point de contact est d´ etermin´ e de fa¸con g´ eom´ etrique sans prise en compte de l’´ ecoulement, ce mod` ele enrichit la condition utilis´ ee pour la d´ etermination du point de contact. Toutefois, avec le mod` ele de Korobkin [3], on ne peut obtenir une meilleure estimation de l’effort hydrodynamique obtenu par [10] (pour des cas d’entr´ ee-sortie d’eau enchaˆın´ ees) qu’en d´ egradant l’estimation de la surface mouill´ ee.
Ce travail constitue une poursuite des travaux engag´ es sur le ph´ enom` ene de sortie d’eau et pr´ esent´ es aux pr´ ec´ edentes journ´ ees de l’hydrodynamique [9] et par ailleurs pu- bli´ es dans Experiments in Fluids [7]. Du point de vue exp´ erimental, nous avions propos´ e une technique originale bas´ ee sur l’utilisation de maquettes transparentes et d’un ´ eclairage LED tangentiel pour visualiser la ligne de contact lors de la sortie d’eau de maquettes planes. La faisabilit´ e de cette technique avait ´ et´ e montr´ ee en ´ etudiant une plaque plane carr´ ee d’une taille caract´ eristique de 20 cm. Nous montrons ` a pr´ esent que cette technique peut ˆ etre g´ en´ eralis´ ee ` a l’´ etude de maquettes de plus grandes dimensions (jusqu’` a 50 cm de diam` etre) et de formes tridimensionnelles (cˆ one et sph` ere). Ces nouveaux essais ont
´
et´ e r´ ealis´ es dans un bassin d’essai de taille moyenne (au centre IFREMER de Boulogne-
sur-Mer) ` a l’aide d’un montage m´ ecanique d´ edi´ e fix´ e ` a un actionneur ´ electrique de type
hexapode. Ce montage nous a permis de r´ ealiser des essais combin´ es d’entr´ ee d’eau (im-
pact hydroynamique) et de sortie d’eau, ainsi que de mesurer les efforts hydrodynamiques
lors des essais. On montre ainsi que la technique d’´ eclairage LED tangentiel permet de
suivre l’´ evolution de la ligne de contact pour des corps tridimensionnels, aussi bien durant
la phase d’entr´ ee que durant la phase de sortie d’eau. Un int´ erˆ et suppl´ ementaire de la
technique de visualisation, par rapport ` a la technique traditionnelle qui consiste ` a visua-
liser la surface mouill´ ee par dessous, est qu’elle permet ´ egalement de suivre l’´ evolution
du front du jet qui se d´ eveloppe le long de la maquette lors des phases d’impact. Comme
dans nos pr´ ec´ edents travaux, la pr´ ecision de la technique de visualisation est v´ erifi´ ee par
comparaison avec des essais durant lesquels un damier ´ etait plac´ e au fond du bassin. La comparaison des essais r´ ealis´ es ` a l’aide d’un cˆ one et d’un disque circulaire ont permis de confirmer que, pour une mˆ eme surface mouill´ ee initiale, la forme du corps n’influen¸cait que tr` es peu les r´ esultats durant la phase de sortie d’eau. Des essais r´ ealis´ es en similitude de Froude avec la maquette cˆ onique et en variant l’enfoncement initial sugg` erent que la tension de surface n’avait que tr` es peu d’influence sur les r´ esultats aux ´ echelles consid´ er´ ees.
En parall` ele des ´ etudes exp´ erimentales, nous avons r´ ealis´ e des simulations num´ eriques de type CFD pour des configurations similaires ` a celles des essais. Ces simulations ont
´
et´ e r´ ealis´ ees ` a l’aide du module eul´ erien du code de calculs par ´ el´ ements finis ABA- QUS/Explicit. Le traitement de la surface libre est bas´ e sur la m´ ethode
Volume-of- Fluid
(VOF). Dans ces simulations, nous travaillons dans un r´ ef´ erentiel mobile li´ e au solide ; le maillage est fixe par rapport ` a ce solide. Le mouvement du fluide (par rapport au solide) est induit en lui appliquant un chargement volumique qui est directement li´ e
`
a l’acc´ el´ eration du rep` ere mobile par rapport ` a un r´ ef´ erentiel galil´ een. Ces simulations permettent de tenir compte de l’effet de la gravit´ e en introduisant un champ de pression initial et des conditions aux limites appropri´ ees. Des comparaisons avec le mod` ele analy- tique d’impact hydrodynamique de Logvinovitch modifi´ e sont pr´ esent´ ees pour le cas du cˆ one.
II – Dispositif exp´ erimental
Le dispositif exp´ erimental est illustr´ e ` a la figure 1 par un sch´ ema de principe et une photo prise lors d’un essai avec une maquette carr´ ee. La maquette est maintenue par l’interm´ ediaure de 3 jambes verticales. Des pattes de fixation maintiennent la maquette depuis l’ext´ erieur afin de ne pas masquer la sc` ene. Des capteurs d’effort piezo-´ electriques (Kistler 9331B) situ´ es entre les pattes et une rondelle interm´ ediaire permettent de mesu- rer l’effort au plus pr` es de la maquette. A noter que la mesure de l’effort hydrodynamique durant des essais de sortie d’eau pr´ esente une difficult´ e suppl´ ementaire, par rapport ` a la mesure d’effort lors d’essais d’impacts hydrodynamique ` a vitesse constante, du fait de l’acc´ el´ eration de la maquette qui induit un effort d’inertie important. N´ eanmoins, il pos- sible d’identifier cet effort d’inerte en r´ ealisant des essais en air avec la mˆ eme cin´ ematique que les essais en eau et d’ensuite soustraire cet effort des mesures r´ ealis´ ees en eau. Une cam´ era rapide de type Photron Fastcam Mini AX50 est fix´ ee au plateau de l’hexapode, permettant ainsi de suivre le mouvement de la maquette lors des essais. L’ensemble des r´ esultats pr´ esent´ es par la suite ont ´ et´ e obtenus ` a une cadence de 1000 i/s et avec un objectif Nikon 20 mm F2.8. Les dimensions du bassin d’essais sont largeur×profondeur = 4 m×2 m. La profondeur du bassin conditionne la distance enre la maquette et le damier positionn´ e au fond du bassin pour les essais avec damier que nous avons r´ ealis´ es. Pour les essais avec damier, deux lampes puissantes de marque Dedolight ´ eclairaient le damier
`
a travers les vitres du bassin. Lors des essais sans damier, celui-ci ´ etait recouvert d’un drap noir afin de masquer le damier sans avoir ` a d´ eplacer l’hexapode (et devoir refaire un
“z´ ero”).
II – 1 Maquettes transparentes
Diff´ erentes maquettes ont ´ et´ e r´ ealis´ ees en plexiglas : un disque de diam` etre 40 cm, une
ellipse de 26 cm× 40 cm, un carr´ e de cˆ ot´ e ´ egal ` a 40 cm, un cˆ one d’angle de rel` evement
de 15 ◦ et une calotte sph´ erique de rayon de courbure ´ egal ` a 350 mm. L’ensemble de ces
G´ en´ erateur de mouvements
Cam´ era rapide Capteurs d’effort Maquette transparente
(a) Sch´ ema du dispositif (b) Photo du montage
Figure 1 – Dispositif exp´ erimental
maquettes avait une ´ epaisseur de 15 mm et un ruban de LED haute puissance ´ etait coll´ e
`
a l’aide de scotch en aluminium le long de la tranche de la maquette, comme illustr´ e ` a la figure 2 ci-dessous dans le cas du disque circulaire et du cˆ one. Les bords des maquettes ont ensuite ´ et´ e enti` erement recouverts de scotch aluminium afin de masquer les d´ efauts de polissage sur ces zones, comme on peut le voir sur la figure 1b dans le cas du carr´ e. Les maquettes planes ´ etaient prolong´ ees par un bord inclin´ e ` a 30 ◦ comme illustr´ e ` a la figure 2a afin de pouvoir implanter les LEDs sur les maquettes. Pour le cˆ one ` a 15 ◦ , l’angle de rel` evement a ´ et´ e augment´ e ` a 30 ◦ sur la zone p´ eriph´ erique de la maquette pour les mˆ emes raisons.
II – 2 Compensation des distorsions optiques
Dans le cas des maquettes tridimensionnelles (cˆ one et calotte sph´ erique), il ´ etait
n´ ecessaire d’´ etalonner le moyen de mesure afin de compenser les distorsions optiques,
principalement dues aux effets de perspective pour ces maquettes. A cette fin, nous avons
r´ ealis´ e des mires d’´ etalonnage coniques et sph´ eriques sur lesquelles ´ etaient trac´ ees la pro-
jection verticale d’une grille r´ eguli` ere. Avant une s´ erie d’essais, ces mires ´ etaient plac´ ees au
contact de la surface inf´ erieure de la maquette comme illustr´ e ` a la figure 3a dans le cas de
la maquette sph´ erique. La proc´ edure d’´ etalonnage consistait ensuite en une d´ etection des
intersections des lignes de la grille comme illustr´ e ` a la figure 3b dans le cas de la maquette
cˆ onique. Un mod` ele polynomial de distorsion d’ordre 8 (voir [6]) ´ etait ensuite identifi´ e en
minimisant la distance entre les points d´ etect´ es et la position th´ eorique des intersections
de la grille. On peut observer sur la figure 4b repr´ esentant l’erreur r´ esiduelle apr` es cor-
rection de la distorsion que l’erreur reste globalement inf´ erieure au mm sur l’ensemble de
l’image, sauf au centre o` u les erreurs sont plus fortes. Cela s’explique par les d´ efauts d’usi-
nage du cˆ one au niveau de la pointe et par une d´ etection moins pr´ ecise des intersections
Ruban de LEDs
400 mm
(a) Disque circulaire
Ruban de LEDs
15 ◦
(b) Maquette conique
(c) Photo du disque circulaire (d) Photo de la maquette conique
Figure 2 – Description des maquettes
dans cette zone du fait de ces d´ efauts. Une piste d’am´ elioration pourrait ˆ etre l’exploitation de l’ensemble des pixels formant les lignes de la grille plutˆ ot que de se restreindre aux intersections, dont la d´ etection peut s’av´ erer moins pr´ ecise dans les zones de la maquette comprenant des d´ efauts optiques (ex : rayures, d´ efauts de fabrication/polissage).
II – 3 Prise du
z´ ero
Pour les maquettes planes (disque circulaire, ellipse et carr´ e), l’horizontalit´ e de la maquettet ´ etait d’abord r´ egl´ ee ` a l’aide d’un inclinom` etre pos´ e sur la face sup´ erieure de la maquette. La hauteur de r´ ef´ erence ´ etait ensuite r´ egl´ ee en approchant la maquette de la surface de libre, la maquette ´ etant compl` etement mouill´ ee ` a 0.5mm pr` es. On notera n´ eanmoins que dans le cas des maquettes planes, du fait des effets capillaires, un m´ enisque se forme sur la partie ext´ erieure de la maquette et induit une surface de mouillage plus importante de quelques mm que nous ne pouvons maˆıtriser.
Pour les maquettes tridimensionelles (cˆ one et sph` ere), l’horizontalit´ e ´ etait plus difficle
`
a r´ egler du fait de l’abscence de surface de r´ ef´ erence. De ce fait, nous avons proc´ eder par incr´ ement en enfon¸cant progressivement la maquette dans l’eau et en corrigeant les angles de gˆıte et de tangage afin d’assurer une surface mouill´ ee sym´ etrique. Pour cela, nous nous sommes appuy´ es sur l’image obtenue avec la mire d’´ etalonnage. La hauteur th´ eorique o` u la pointe du cˆ one devait toucher la surface libre a ´ et´ e d´ eduite du rayon des surfaces mouill´ ees mesur´ ees ` a diff´ erents enfoncements. Lors des essais de sortie, cela nous assurait une surface mouill´ ee initiale ´ egale ` a la surface mouill´ ee recherch´ ee. Cette hauteur de r´ ef´ erence a ensuite ´ et´ e utilis´ ee pour les essais combin´ es d’entr´ ee/sortie d’eau.
II – 4 Trajectoires des maquettes
Pour les essais de sortie d’eau pr´ esent´ es ` a la section suivante, l’´ el´ evation de la maquette,
z(t), suivait l’´ evolution suivante :
(a) Mire sph´ erique
0 200 400 600 800 1000 100200
300
400
500
600
700
800
900
1000
(b) D´ etection des intersections de la grille pour la maquette cˆ onique
Figure 3 – Mire d’´ etalonnage et d´ etection des intersections de la grille
-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 -200
-150 -100 -50 0 50 100 150 200
x (mm)
y (mm)
(a) Points th´ eoriques (vert) et mesur´ es (rouge)
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150
200
-200 -100 0 100 200
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
(b) Erreur r´ esiduelle (en mm) apr` es ´ etalonnage
( z(t) = H[1 + erf(U max (t − t 0 ) √
π/H)]/2, z ≤ H
˙
z(t) = U max , z ≥ H/2, (1)
o` u erf(x) = 2/ √ π R x
0 exp(−τ 2 )dτ est la fonction erreur et U max est la vitesse maximale de la maquette. Les param` etres H et U max ont ´ et´ e ajust´ es en fonction des limites de l’hexapode en termes de vitesse, acc´ el´ eration et puissance : H = 10 cm et U max = 0.6 m/s.
Le temps de r´ ef´ erence t 0 ´ etait tel que z(t = 3 s) = H/2. Ce mouvement s’inspire des travaux de [4] d´ edi´ es ` a la fa¸con dont les f´ elins boivent, il assure en outre une ´ evoution r´ eguli` ere de l’acc´ el´ eration et une diminution de l’acc´ el´ eration au fur et ` a mesure que la vitesse augmente (limitant ainsi la puissance m´ ecanique n´ ecessaire). Durant les essais d’entr´ ee et sortie d’eau, le mouvement de la maquette suivait l’´ evolution suivante :
z(t) = −(H/2) · erf(U max (t − t 0 ) √
π/H), ≤ t 0 ,
z(t) = −H sin(2π(t − t 0 )/T ), t 0 ≤ t ≤ T /2 + t 0 ,
˙
z(t) = U max , t ≥ T /2 + t 0 ,
(2)
o` u T = 2πH/U max , U max = 0.6m/s et H = π tan(15 ◦ )c max /4 est la profondeur de p´ en´ etration maximale. La valeur de H correspond ainsi ` a la valeur de l’enfoncement th´ eorique du cˆ one tel que la valeur maximale du rayon de la surface mouill´ ee d’apr` es la th´ eorie de Wagner est ´ egale ` a c max .
III – Simulations num´ eriques
Des simulations num´ eriques du ph´ enom` ene de sortie d’eau ont ´ et´ e r´ ealis´ ees pour le cas des maquettes planes en utilisant le module Eul´ erien du code de calculs par ´ el´ ements finis ABAQUS/Explicit. Dans ces simulations, l’eau est consid´ er´ ee comme un fluide compres- sible non-visqueux et la pr´ esence de l’air est n´ eglig´ ee. La compressibilit´ e a ´ et´ e prise en compte car le code ABAQUS/Explicit ne permet pas de simuler des ´ ecoulements incom- pressibles (` a cause de la m´ ethode de r´ esolution employ´ ee). Nous noterons cependant que la compressibilit´ e n’a pas r´ eellement d’influence sur les ph´ enom` enes que nous ´ etudions. La position de la surface libre est suivie ` a l’aide d’une m´ ethode de type
Volume-of-Fluid
avec reconstruction d’interface. Afin de simplifier la mise en œuvre des simulations et d’´ eviter d’avoir ` a modifier le maillage en cours de calcul, nous avons choisi de tra- vailler dans un r´ ef´ erentiel mobile li´ e au solide. Pour expliquer cette approche, consid´ erons l’´ equation de conservation de la quantit´ e de mouvement pour le liquide :
ρ D~ v
Dt = −∇P + ρ~ g, (3)
o` u ρ et ~ v sont respectivement la masse volumique et la vitesse d’une particule fluide. ~ g est l’effort (par unit´ e de masse) dˆ u ` a la gravit´ e et P la pression au sein du fluide. Cette derni` ere est li´ ee ` a la masse volumique par l’´ equation d’´ etat de l’eau, P = P (ρ). Le champ de vitesse est d´ ecompos´ e sous la forme suivante :
~
v(x, t) = − →
V S (t) + − → v r (x, t), (4)
avec − →
V S la vitesse du solide et − → v r la vitesse relative du fluide par rapport au solide.
L’´ equation de conservation de la quantit´ e de mouvement dans le r´ ef´ erentiel mobile (li´ e au solide) peut ˆ etre r´ e´ ecrite sous la forme suivante :
ρ D − → v r
Dt = −∇P + ρ~ g − ρ − →
Γ S , (5)
− →
Γ S ´ etant l’acc´ el´ eration du solide. L’´ evolution de la densit´ e est donn´ ee par l’´ equation de conservation de la masse et est li´ ee uniquement au champ de vitesse relative :
Dρ
Dt = −ρ · div(~ v) = −ρ · div( − → v r ). (6) Les ´ equations (3) et (4) montrent qu’il est possible de d´ ecrire le mouvement relatif du fluide par rapport au solide en imposant un effort volumique
d’entrainement
, −ρ − → Γ S , qui d´ epend de l’acc´ el´ eration du solide. Les conditions aux limites consid´ er´ ees dans les simulations sont indiqu´ ees sur la figure 4 (dans le cas du disque circulaire). Pour les imulations pr´ esent´ ees dans cet article, la gravit´ e a ´ et´ e prise en compte. Pour cela, un champ de pression et de masse volumique initial (correspondant ` a la solution hydrostatique) doit ˆ
etre appliqu´ e dans les simulations. Durant la phase de sortie d’eau, l’effort vomuique li´ e
`
a l’acc´ el´ eration du solide (voir Eq. (3)) est appliqu´ e. Notons que la pression appliqu´ ee
en bas du domaine doit ˆ etre mise ` a jour pour tenir compte du mouvement du solide. En
effet, comme le maillage est li´ e au solide, la profondeur (par rapport ` a la surface initiale
du liquide) des nœuds situ´ es en bas du domaine ´ evolue au cours du temps.
𝑒
1Eau
𝑒
3𝑣
𝑟1= 0 𝑣
𝑟1= 0
𝑣
𝑟3= 0
Vide
𝑃 = 𝑃
ℎ𝑦𝑑𝑟𝑜𝑡
Figure 4 – Configuration et conditions aux limites consid´ er´ ees dans les simulations num´ eriques de sortie d’eau. La ligne rouge correspond ` a la surface du solide et la ligne bleue ` a la surface libre du liquide
IV – R´ esultats
Nous pr´ esentons les r´ esultats obtenus avec le disque et le cˆ one. Les r´ esultats obtenus avec les autres maquettes seront pr´ esent´ es lors de la conf´ erence.
IV – 1 Sortie d’eau d’un cˆ one d’angle 15 ◦
La figure 5 ci-dessous pr´ esente une s´ equence d’images obtenue lors de la sortie d’eau d’un cˆ one d’angle 15 ◦ pour une surface mouill´ ee initiale de rayon c 0 = 0.25m. Le contour lumineux correspondant ` a la ligne de contact a ´ et´ e extrait des images ` a l’aide d’un algo- rithme de d´ etection de contour et le r´ esultat obtenu a ´ et´ e superpos´ e aux images initiales en pointill´ es rouge. Afin de valider le fait que ce contour lumineux correspond bien au contour de la surface de contact, nous avons r´ ealis´ e le mˆ eme essai avec un damier plac´ e au fond du bassin. Les r´ esultats obtenus avec le damier sont pr´ esent´ es ` a la figure 6 ci-dessous, images sur lesquelles ont ´ et´ e superpos´ es (pointill´ es rouges) les contours lumineux extraits des images de la figure 5. On peut ainsi v´ erifier que le contour lumieux obtenu avec la technique de l’´ eclairage LED tangentiel d´ elimite la surface sur laquelle le damier n’est pas distordu (mis ` a part la distorsion li´ ee ` a la forme de la maquette). Bien que non pr´ esent´ es ici, les r´ esultats obtenus avec un disque circulaire de rayon ´ egale ` a 20cm sont aussi bons que ceux obtenus avec le disque. La technique de l’´ eclairage tangentiel est donc aussi bien adapt´ ee aux formes planes et qu’aux formes tridimensionnelles.
L’´ evolution du rayon de la surface mouill´ ee durant la sortie d’eau du cˆ one d’angle 15 ◦
et du disque circulaire de rayon 20 cm est pr´ esent´ ee ` a la figure 7a ci-dessous. On peut
ainsi voir qu’il n’y a que tr` es peu de diff´ erence entre les r´ esultats du cˆ one et du disque,
notamment au regard des diff´ erences que l’on pourrait observer entre ces deux types de
formes lors d’impacts hydrodynamiques. Les r´ esultats obtenus par l’approche num´ erique
pour le disque circulaire sont ´ egalement pr´ esent´ es pour comparaison. Les diff´ erences ob-
H=-2.3558-frame=1468
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(a) h(t)=2.36mm
H=-31.5161-frame=1568
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(b) h(t)=31.52mm
H=-60.8-frame=1618
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(c) h(t)=60.8mm
H=-90.8-frame=1668
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(d) h(t)=90.8mm
Figure 5 – S´ equence d’images obtenue lors d’un essai de sortie d’eau du cˆ one pour un rayon de surface mouill´ ee initial c 0 = 0.25m. La position de la ligne de contact est rep´ er´ ee en pointill´ es rouge
H=-2.3558-frame=1468
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(a) h(t)=2.36mm
H=-31.5161-frame=1568
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(b) h(t)=31.52mm
H=-60.8-frame=1618
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(c) h(t)=60.8mm
H=-90.8-frame=1668
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(d) h(t)=90.8mm
Figure 6 – S´ equence d’images obtenue lors d’un essai de sortie d’eau du cˆ one pour un rayon de surface mouill´ ee initial c 0 = 0.25m avec la technique du damier. La position de la ligne de contact extraite des images de la figure 5 est rep´ er´ ee en pointill´ es rouge serv´ ees entre les r´ esultats num´ eriques et exp´ erimentaux sont faibles mais non n´ egligeables.
Cette diff´ erence pourrait venir du fait que la surface mouill´ ee initiale dans les essais avec le disque d´ eborde sur les bords inclin´ es, et donc d´ epasse celle impos´ ee dans les simula- tions num´ eriques. Les r´ esultats obtenus en termes d’effort hydrodynamique pour le cˆ one et le disque sont pr´ esent´ es ` a la figure 7b ci-dessous. Pour extraire l’effort hydrodynamique de l’effort total mesur´ e durant les essais, chaque essai a ´ et´ e r´ ealis´ ee en air afin d’esti- mer la part de l’effort li´ ee ` a l’inertie de la maquette. A noter que pour le cˆ one, l’effort mesur´ e est nul en d´ ebut d’essai du fait de la mise ` a z´ ero des capteurs d’effort en d´ ebut d’essai. Afin de compenser cela, nous avons ´ egalement trac´ e (en jaune) l’effort hydro- dynamique mesur´ e auquel nous avons soustrait la valeur asymptotique de l’effort en fin d’essai correspondant ` a la pouss´ ee d’Archim` ede. Nous avons ´ egalement r´ ealis´ e des essais en similitude de Froude pour diff´ erentes valeurs de l’enfoncement initial afin de s’assurer que les r´ esultats ne d´ ependaient pas de l’´ echelle et donc que les effets de tension de surface
´
etaient n´ egligeables dans nos essais. Les r´ esultats en termes d’´ evolution du rayon de la surface mouill´ ee adimmensionnalis´ e, c(t)/c 0 , obtenus pour diff´ erentes valeurs du rayon de la surface mouill´ ee initiale, c 0 , variant de 10 ` a 25 cm, sont pr´ esent´ es ` a la figure 8 ci-dessous.
La trajectoire utilis´ ee pour c 0 = 0.25m correspond aux valeurs indiqu´ ees au paragraphe II
– 4. On observe que les r´ esultats sont tr` es proches, malgr´ e de l´ egers d´ ecalages en fin d’es-
sais qui sont de l’ordre de la pr´ ecision de la mesure compte tenu des d´ efauts de r´ ealisations
au centre de la maquette et de la pr´ ecision de la technique d’´ eclairage tangentiel en fin
d’essai (le contour lumineux devient de plus en plus ´ epais). Cela confirme n´ eanmoins que
les effets de la tension de surface sont n´ egligeables aux ´ echelles que nous ´ etudions.
2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
(a) Evolution du rayon de la surface mouill´ ee lors de la sortie d’eau du cˆ one et du disque cir- culaire
2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4
-40 -30 -20 -10 0 10 20
(b) Evolution de l’effort hydrodynamique lors de la sortie d’eau du cˆ one et du disque circulaire
Figure 7 – Evolution du rayon de la surface mouill´ ee et de l’effort hydrodynamique lors de la sortie d’eau d’un cˆ one et d’un disque circulaire
IV – 2 Entr´ ee-sortie d’eau d’un cˆ one d’angle 15 ◦
La figure 9 ci-dessous pr´ esente une s´ equence d’images obtenue durant un essai combin´ e d’entr´ ee-sortie d’eau avec le cˆ one pour une valeur de c max = 250 mm. Durant la phase d’entr´ ee (figures 9a et 9b), on peut observer ` a la fois le front du jet qui se d´ eveloppe et la ligne de contact. Durant la phase de sortie d’eau (figures 9c et 9d), seule la ligne de contact est visible (hormis les art´ efacts lumineux dus ` a des r´ eflexions ind´ esirables sur la surface libre). L’´ evolution du rayon de la ligne de contact est pr´ esent´ ee ` a la figure 10a ci-dessous. Le rayon de la surface mouill´ ee th´ eorique estim´ e par le mod` ele de Wagner (sans gravit´ e) est ´ egalement trac´ e ` a titre de comparaison. Les r´ esultats sont tr` es proches malgr´ e la pr´ esence de la gravit´ e dans les essais. A noter que nous avons pu observer sur les images que la maquette ne touchait pas l’eau ` a t = 3 s, mais ` a t=3.036 s. Ce retard s’explique tout d’abord par le fait que l’hexapode n’est pas parfaitement synchronis´ e avec le syst` eme de mesure. De ce fait, nous avons identifi´ e la valeur exp´ erimentale de t 0 (voir eq.
2) en faisant une analyse de corr´ elation entre la mesure de l’acc´ el´ eration et l’acc´ el´ eration th´ eorique, ce qui donne une valeur exp´ erimentale de t 0 ≈ 3.031 s. Nous imputons le retard suppl´ ementaire au fait que la maquette ne touche pas l’eau pour une ´ el´ evation th´ eorique de z = 0. La diff´ erence d’´ el´ evation th´ eorique |z(t = 3, 036s)|, (avec t 0 = 3, 031 s), a donc ´ et´ e retranch´ ee ` a la profondeur de p´ en´ etration th´ eorique pour le calcul de la sur- face mouill´ ee par le mod` ele de Wagner. Pour la phase de sortie d’eau, l’estimation du rayon de la surface de contact par une approche dite de “von Karman modifi´ ee” [10] est
´
egalement trac´ ee. Les diff´ erences notables entre les r´ esultats du mod` ele de von Karman modifi´ e montrent la n´ ecessit´ e du d´ eveloppement de mod` eles plus complexes. L’´ evolution de l’effort hydrodynamique (F hydro ) mesur´ e durant un essai d’entr´ ee-sortie avec le cˆ one est trac´ ee sur la figure 10b. L’effort mesur´ e en air (F air ) et l’effort total mesur´ e en eau (F hydro + F air ) sont ´ egalement pr´ esent´ es ` a titre d’information. On voit ainsi que l’effort li´ e
`
a l’inertie de la maquette est relativement important au regard de l’effort hydrodynamique
mesur´ e, malgr´ e une position des capteurs d’effort au plus pr` es de la maquette. L’ensemble
des r´ esultats exp´ erimentaux d’effort pr´ esent´ es ici et pr´ ec´ edemment ont ´ et´ e filtr´ es par un
filtre de Fourier passe bas avec une fr´ equence de coupure de 30 Hz. Une comparaison de
l’acc´ el´ eration th´ eorique et de l’acc´ el´ eration th´ eorique filtr´ ee (fig. 11) montre que ce filtre
n’est pas incompatible avec la dynamique du ph´ enom` ene.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Figure 8 – Evolution du rayon de la surface mouill´ ee c(t) adimensionnalis´ e par rapport au rayon initial c 0 en fonction de l’´ el´ evation adimensionnalis´ ee en similitude de Froude
A titre de comparaison, nous pr´ esentons ´ egalement sur la figure 10b l’estimation de l’effort par le Mod` ele de Logvinovich Modifi´ e (F M LM ) pr´ ec´ edemment utilis´ e par [10] dans le cas de l’entr´ ee/sortie de corps 2D et ´ etendu ici au cas axisym´ etrique (voir [8]). A noter que ce mod` ele n’est valide que durant la phase d’entr´ ee et qu’il ne tient pas compte de la gravit´ e. Au niveau de la transition entre les phases d’entr´ ee et sortie d’eau (o` u la courbe MLM s’arrˆ ete), la diff´ erence entre l’effort hydodynamique mesur´ e (F hydro ) et l’effort estim´ e par le mod` ele MLM est relativement importante. Afin d’am´ eliorer les r´ esultats du mod` ele MLM, nous avons ajout´ e la composante hydrostatique de la pression au mod` ele MLM initial de la fa¸con suivante :
F stat = Z
SM
p stat (r)dS = Z
SM
−ρg(z − z 0 )dS, (7)
o` u F stat repr´ esente l’effort hydrostatique et z 0 repr´ esente la hauteur de r´ ef´ erence pour l’application de l’´ equation de Bernoulli. Les r´ esultats obtenus en prenant z 0 = 0 (niveau initial de la surface libre au repos) et z 0 = tan(15 ◦ )c − z(t) (altitude du point de contact) sont superpos´ es aux r´ esultats exp´ erimentaux sur la figure 10b. On peut voir que la contri- bution de la composante hydrostatique est non n´ egligeable. Une application correcte de l’´ equation de Bernoulli implique de prendre une valeur de z 0 = 0, mais on peut observer que les r´ esultats sont bien meilleurs lorsque l’on prend une valeur de z 0 = tan(15 ◦ )c− z(t).
Il est encore difficile de justifier clairement le choix de la meilleure valeur de z 0 , mais la
n´ ecessit´ e de cette modification du niveau de r´ ef´ erence pourraˆıt venir du fait que l’on ne
tiend pas compte de la gravit´ e lors du calcul du potentiel des vitesses de Wagner. On
pourrait ´ egalement justifier le choix de z 0 par le fait que la pression est nulle au point de
contact pour z 0 = tan(15 ◦ )c − z(t) alors que celle-ci est non nulle pour z 0 = 0. Une com-
paraison entre un calcul 2D avec la condition de surface libre modifi´ ee et des simulations num´ eriques pourraˆıt potentiellement permettre de r´ epondre ` a cette question.
H=20.998-frame=1636
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Front du jet
Ligne de contact
(a) t=67 ms
H=38.913-frame=1673
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(b) t=104 ms
H=49.902-frame=1766
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(c) t=197 ms
H=-25.515-frame=1918
0 200 400 600 800 1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(d) t=349ms
Figure 9 – S´ equence d’images obtenues durant un essai d’entr´ ee (a,b) et de sortie d’eau (c,d) avec le cˆ one
3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 0
50 100 150 200 250
(a) Evolution du rayon de la surface mouill´ ee lors de l’entr´ ee-sortie d’eau du cˆ one et du disque circulaire
2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40
