TD Ph´enom`enes d’interf´erences

I Biprisme de Fresnel

1. La largeur du champ d’interf´ erence est ´ egale ` a la longueur J K “ 2d

sin D » 2d

D. Num´ eriquement J K “ 2 ¨

¨

“ 5.8 mm

S

J

K

2. Tout se passe comme si les ondes interf´ erant ´ etaient ´ emises par les sources ponctuelles S

et S

,

distante de l “ S

S

et observ´ ees ` a la distance d ` d

.

S

F

I J

K P

S2

S1

On peut alors reprendre la formule des fentes d’Young δ “ ax

D “ S

S

x d ` d

S

s’obtient ` a partir de S par une rotation de centre O et d’angle D, donc S

S “ d sin D » dD. Il en va de mˆ eme pour S

S, donc finalement

δ “ 2dDx d ` d

Le d´ ephasage vaut alors

∆ϕ “ 2π λ

δ

et les franges brillantes sont obtenues pour ∆ϕ “ 2nπ, donc pour des positions x

“ nλ

d ` d

2dD et l’interfrange vaut alors

i “ λ

d ` d

2dD “ 0, 545 ¨ 10

2

2 ¨

¨

“ 1.87 ¨ 10

m

3. Le nombre de franges observables est donc N “ J K

i “ 5.8 0.187 “ 31

II Fentes d’Young dans le plan focal d’une lentille

S •

S

S

z x

L

• M

1. Comme S est sur la m´ ediatrice de S

S

, les sources secondaires sont en phases, et la diff´ erence de marche se r´ esume ` a calculer

δ “ S

M ´ S

M

Il est difficile de calculer ces distances, dans la mesure o` u il est compliqu´ e de savoir o` u le rayon issu de S

et arrivant en M frappe la lentille.

S

S1

S2

M O

Pour obtenir ` a la diff´ erence de marche, on revient ` a la d´ efinition des ondes planes. Les ondes planes

´

emergeant de la lentille et correspondant aux ondes ´ emises par S

et S

s’´ ecrivent en notation complexe, en un point M rep´ er´ e par le vecteur ~ r

s

p~ rq “ s

exppipωt ´ ~ k

¨ ~ r ` ϕ

qq et s

p~ rq “ s

exppipωt ´ ~ k

¨ ~ r ` ϕ

qq

Le point O ´ etant un point de la m´ ediatrice de S

S

, on le choisit comme origine. En O, compte tenu de

la sym´ etrie du probl` eme, les ondes sont en phase, ce qui permet d’´ ecrire ϕ

“ ϕ

. On calcule alors le

d´ ephasage qui est l’´ ecart entre les phases

∆ϕ “ ωt ´ ~ k

¨ ~ r ` ϕ

´ pωt ´ ~ k

¨ ~ r ` ϕ

q “ p ~ k

´ ~ k

q ¨ ~ r “ p ~ k

´ ~ k

q ¨ ÝÝÑ OM

Cette formule est ` a connaitre et est tr` es utile quand on doit calculer un d´ ephasage entre des ondes planes, en n’oubliant pas que le point O est un point de d´ ephasage nul entre les deux ondes. Si on note θ l’angle entre l’onde plane issue de S

et l’axe horizontal, alors

k ~

“ 2π

λ

pcos θ~ e

` sin θ~ e

q et ~ k

“ 2π

λ

pcosp´θq~ e

` sinp´θq~ e

q et donc

∆ϕ “ 2π

λ

2 sin θ~ e

¨ ÝÝÑ OM “ 4π

λ

x sin θ La diff´ erence de marche vaut alors

δ “ λ

2π ∆ϕ “ λ

2π

4π λ

x sin θ “ 2x sin θ

soit, dans l’approximation des petits angles (n´ ecessaire ` a l’application des conditions de Gauss !) δ “ 2xθ et ∆ϕ “ 4π

λ

xθ Notons que θ peut s’exprimer en fonction de a

tan θ » θ “ a 2f et donc

δ “ xf

a et ∆ϕ “ 2πax λ

f 2. Les franges brillantes sont telles que

∆ϕ “ 2nπ ñ 2πax

λ

f “ 2nπ ñ x

“ nλ

f a ce qui donne une interfrange

i “ λ

f a

3. Qualitativement, le d´ eplacement va produire un syst` eme de franges qui se d´ eplace, en raison de la diff´ erence de marche suppl´ ementaire δ

entre les trajets SS

et SS

. Par contre, l’interfrange ne va pas changer puisqu’elle ne d´ epend a priori que de la distance entre les fentes.

De mani` ere quantitative, si on d´ eplace la source S sur l’axe x d’une distance d, la situation est la

suivante

z x

S • • S

pa{2, 0q

• S

p´a{2, 0q

En posant Spx

, z

q, S

pa{2, 0q et S

p´a{2, 0q on peut calculer SS

“ || Ý Ý Ñ

SS

|| “ c

´ x

´ a

2

¯

` z

“ c

x

` a

4 ´ ax

` z

de mˆ eme

SS

“ || Ý Ý Ñ SS

|| “

c

´ x

` a

2

¯

` z

“ c

x

` a

4 ` ax

` z

calcul bien connu ! En effectuant les d´ eveloppements limit´ es, la diff´ erence de marche suppl´ ementaire devient

δ

“ SS

´ SS

“ ´ ax

z

Le d´ ephasage total vaut alors

∆ϕ

“ ∆ϕ ` ∆ϕ

“ 2πax λ

f ´ 2π

λ

ax

z

Les franges brillantes sont telles que (voir question pr´ ec´ edente)

∆ϕ “ 2nπ ñ 2πax λ

f ´ 2π

λ

ax

z

“ 2nπ ñ x

“ nλ

f

a ` ax

2z

θ On observe donc un syst` eme de franges d´ ecal´ ees vers le haut. L’interfrange

i “ λ

f a est inchang´ e.

4. Si la source est une source ´ etendue, les sources ponctuelles ´ el´ ementaires la constituant vont donner des syst` emes de franges d’interf´ erences d´ ecal´ ees, et donc un brouillage. On met en ´ evidence la coh´ erence spatiale de la source avec cette exp´ erience.

Quantitativement, lorsque le maximum d’interf´ erence central avec la source plac´ ee au centre est su- perpos´ e pour la premi` ere ` a un minimum d’interf´ erence pour une source d´ ecal´ ee d’une longueur l

, le contraste de la figure d’interf´ erence devient minimal. On trouve le premier minimum dans la seconde figure d’interf´ erence pour

∆ϕ

“ π ñ 2πax λ

f ´ 2π

λ

ax

z

“ π

1. attention ` a calculer la diff´ erence de marche dans le mˆ eme sens que dans la question pr´ ec´ edente !

donc pour

x

“ λ

f 2a ` f x

z

Cette abscisse est ´ egale ` a 0 pour

x

z

“ ´ λ

2a soit

l

“ λ

2a z

qui est appel´ ee longueur de coh´ erence spatiale de la source.

III Mesure de l’indice de l’air

S •

L

F

F

z x

L

• M T

T

1. L’´ ecran se trouve dans le plan focal image de la lentille. Le point M est donc l’image d’une onde

plane ayant pour inclinaison θ par rapport ` a l’axe optique

Compte tenu de la g´ eom´ etrie

tan θ » θ “ x f

o` u x est l’abscisse de M et f la distance focale de la lentille L

. L’angle θ ´ etant petit (conditions de Gauss), on peut consid´ erer au premier ordre que le trajet dans chaque tube a pour longueur l.

Lorsque les deux tubes sont remplis d’air, la diff´ erence de marche au point M px, f q vient de la g´ eom´ etrie suivante

T1

T2

M

O

o` u T

pa{2, 0q et T

p´a{2, 0q sont les points o` u l’onde plane arrive sur la lentille L

. On peut alors exprimer T

M “ || ÝÝÑ

T

M || “ c

´ x ´ a

2

¯

` f

“ c

x

` a

4 ´ ax ` f

et

T

M “ || ÝÝÑ T

M || “

c

´ x ` a

2

¯

` f

“ c

x

` a

4 ` ax ` f

calcul bien connu ! En effectuant les d´ eveloppements limit´ es, la diff´ erence de marche suppl´ ementaire devient

δ “ npT

M ´ T

M q “ n ˆ ax

f

˙

o` u n est l’indice de l’air dans les tubes et dans le reste du montage. La frange centrale, d’ordre 0 et situ´ ee en x “ 0, est brillante.

Si on vide le tube T

et que l’indice y devient n

, alors une diff´ erence de marche suppl´ ementaire apparait

δ

“ pF 2T

q ´ pF

T

q “ n

l ´ nl et la diff´ erence de marche totale est donc

δ

“ n ˆ ax

f

˙

` lpn

´ nq

2. attention ` a calculer la diff´ erence de marche dans le mˆ eme sens que dans la question pr´ ec´ edente !

La frange pr´ ec´ edemment en x “ 0, correspondant ` a δ “ 0 est d´ esormais telle que n

ˆ ax f

˙

` lpn

´ nq “ 0 ñ x “ lf

na pn ´ n

q pn ´ n

q ´ etant positif, la frange se retrouve d´ ecal´ ee vers le haut.

2. Pour passer d’une frange brillante ` a la suivante en O, il faut un d´ ephasage qui change de 2π, donc une diff´ erence de marche qui change de λ et un ordre d’interf´ erence p qui change de 1. Pour passer d’une frange brillante ` a la frange sombre imm´ ediatement voisine, il faut un d´ ephasage de π, une diff´ erence de marche qui change de λ{2 et un ordre d’interf´ erence p qui change de 1{2. On a donc une diff´ erence de marche en x “ 0

δ

“ ´101.5λ “ lpn

´ nq

qui est n´ egative puisque la frange d’ordre 0 ou de diff´ erence de marche nulle s’est d´ eplac´ ee vers le haut.

On a donc num´ eriquement n

“ 1 et n “ 1 ` 101.5λ

l “ 1 ` 101.5 ¨ 0.577 ¨ 10

0.2 “ 1.000293

IV Miroir de Lloyd

1. La position du miroir qui permet d’observer le maximum de franges est le milieu du miroir.

A B

´ ecran

2. La diff´ erence de marche au point M pxq vaut δ “ pSMq

´ pSM q

“ SIM ` λ

2 ´ SHM “ SA ` IM ` λ

2 ´ SH ´ HM “ IM ` λ

2 ´ HM

I B A

α M H

α S

La longueur IM est telle que

sin α “ x IM

Dans le triangle rectangle HIM , l’hypot´ enuse est IM et l’angle en M vaut 2α, donc cos 2α “ HM

IM On a donc

IM “ x sin α et

HM “ IM cos 2α “ x

sin α pcos

α ´ sin

αq “ x

sin α p1 ´ 2 sin

αq La diff´ erence de marche vaut donc

δ “ x

sin α ` λ

2 ´ x

sin α p1 ´ 2 sin

αq “ x

sin α p2 sin

αq ` λ

2 et finalement

δ “ 2x sin α ` λ

2 On trouve des franges brillantes pour des valeurs du d´ ephasage

∆ϕ “ 2kπ ñ 2π λ

2x sin α ` π “ 2kπ ñ x

“ p2k ´ 1qπ λ

4π sin α donc

x

“ ˆ

k ´ 1 2

˙ λ

2 sin α L’interfrange vaut donc

i “ λ

2 sin α

La hauteur maximale du champ d’interf´ erence sur l’´ ecran h (voir figure question 1) est telle que tan α “ h

l 2

“ 2h

l ñ h “ l 2 tan α Le nombre de franges sombres observables est donc

N “ 1 ` E ˆ h

i

˙

le 1 comptant pour la premi` ere frange sombre en x “ 0, due au d´ ephasage ` a la r´ eflexion m´ etallique. On a alors

N “ 1 ` E

˜

tan α

λ0

2 sinα

¸

“ 1 ` E

˜

sin α λ

cos α

¸

2 sin α “ 1 ` E

ˆ l sin

α λ

cos α

˙

soit, dans l’approximation des petits angles

N “ 1 ` α

l λ

V Miroirs de Fresnel ´ eclair´ es par une source ` a l’infini

1.

A B

C

ε β

2θ

pM1q pM2q

2. Le vecteur ~ k fait un angle θ avec la verticale. L’angle entre ~ k et ~ k

vaut donc 2θ. L’angle entre ~ k et la normale au miroir pM

q est appel´ e β et vaut θ ` ε. L’angle entre ~ k et ~ k

vaut donc 2pθ ` εq. Finalement, l’angle entre les deux vecteurs ~ k

et ~ k

vaut donc 2ε.

3. On projette les vecteurs sur la bissectrice et sa perpendiculaire

# ~ k

“ k

cos ε~ e

` k

sin ε~ e

~ k

“ k

cos ε~ e

´ k

sin ε~ e

Le d´ ephasage entre deux ondes planes est donn´ e par (voir fentes d’Young ex 2.)

∆ϕ “ p ~ k

´ ~ k

q ¨ ÝÝÑ AM Comme k

“ k

“ k “ 2π{λ

∆ϕ “ pk cos ε~ e

` k sin ε~ e

´ pk cos ε~ e

´ k sin ε~ e

qq ¨ ÝÝÑ AM donc

∆ϕ “ 2k sin ε~ e

¨ ÝÝÑ

AM “ 2kx sin ε Comme l’angle ε est petit

∆ϕ “ 2kxε

L’intensit´ e lumineuse est donn´ ee par la formule des interf´ erences ` a deux ondes de mˆ eme intensit´ e IpMq “ 2I

„ 1 ` cos

ˆ 4π λ

xε

˙

4. Les franges brillantes d’interf´ erences sont situ´ ees ` a des abscisses x telles que

∆ϕ “ 4π λ

xε “ 2nπ ñ x

“ n λ

2ε et l’interfrange vaut alors

i “ x

´ x

“ λ

2ε