Ph´enom`enes de dispersion

Ph´enom`enes de dispersion

I Propagation dans un pavillon exponentiel

I.1 Description et mod´ elisation du probl` eme

On ´ etudie la propagation d’une onde acoustique dans un fluide ` a l’int´ erieur d’un cornet ` a sym´ etrie de r´ evolution et de section d’aire S p x q lentement variable. Au repos, le fluide est ` a la pression p 0 et a une masse volumique ρ ₀ . On n´ eglige les effets de la pesanteur. La compressibilit´ e isentropique du fluide est not´ e χ _S . l’onde sonore est d´ ecrite par une surpression p ₁ p x, t q et une vitesse ~ v ₁ p x, t q v ₁ p x, t q ~ u _x . la masse volumique est ρ 0 ρ 1 p x, t q . On se place dans l’approximation adiabatique.

Dans ce cas, l’´ equation v´ erifi´ ee par la surpression est la suivante (voir ex III du TD ondes sonores) : ρ 0 χ S B ² p 1

B t ² B ² p 1

B x ² 1 a

B p 1

B x 0 I.2 Onde pseudo-progressive harmonique

Si l’onde est plane harmonique on peut l’´ ecrire en notation complexe p ₁ p ₀₁ exp p i p ωt kx qq , donc B ² p ₁

Bt ² ω ² p ₁ , B ² p ₁

Bx ² k ² p ₁ et B p ₁

Bx ikp ₁ On a donc

ρ 0 χ S ω ² p ₁ k ² p ₁ ¹ _a ikp ₁ 0 ρ 0 χ _S ω ² k ² ik

a 0

ce qui donne

k ² ik

a ρ 0 χ S ω ²

k est alors ` a priori complexe, donc k k ¹ ik” avec k ¹ et k” r´ eels, ce qui donne comme solution p ₁ p ₀₁ exppipωt kxqq p ₀₁ exppipωt pk ¹ ik”qxqq

donc

p ₁ p ₀₁ exp p i p ωt k ¹ x qq exp p k”x q On a par ailleurs

p k ¹ ik” q ^{2 i p k}

_a ^{ik” q} ρ 0 χ S ω ² k ^{1 2} k” ² 2ik ¹ k” ^ik _a

^k” _a ρ 0 χ S ω ² En identifiant les parties r´ eelles et imaginaires de chaque membre, on a

"

2k ¹ k” ^k _a

0

k ^{1 2} k” ^{2 k”} _a ρ 0 χ S ω ²

I.3 Dispersion-absorption

Si k ¹ 0, alors k” 1 { 2a et k ^{1 2} ρ 0 χ S ω ² _4a ¹

ce qui n’est possible que si ω ¡ c { 2a avec c ² ρ 0 χ S . On a donc une solution comportant un terme d’absorption k” et un terme de propagation exp p i p ωt k ¹ x qq pour lequel la vitesse de phase

v _ϕ ω k ¹

d´ epend de la fr´ equence. Cette d´ ependance caract´ erise le ph´ enom` ene de dispersion dont nous ´ etudierons les effets dans la partie suivante.

I.4 Conclusion

Une ´ equation de propagation lin´ eaire a pour solution une superposition d’ondes planes pseudo- progressives harmoniques de la forme

y p x, t q A exp p i p ωt kx qq o` u k k ¹ pωq ik”pωq et donc

y p x, t q A exp p i p ωt k ¹ x qq exp p k”x q qui comporte un terme de propagation et un terme d’absorption.

La propagation se fait avec une vitesse de phase v _ϕ ω { k qui d´ epend ` a priori de ω.

II Propagation dispersive d’une onde non harmonique

Dans cette section, on n´ egligera le ph´ enom` ene d’absorption.

II.1 Limites de la description en OPPH

Une onde physique est n´ ecessairement limit´ ee dans le temps et dans l’espace, ce qui n’est pas le cas d’une onde plane progressive harmonique. La notion de paquet d’onde permet de rendre compte des limitations temporelle et spatiale de l’onde.

II.2 Superposition de deux OPPH

On commence par ´ etudier la superposition de deux OPPH de mˆ eme amplitude, non d´ ephas´ ees, de pulsations proches ω ₁ et ω ₂ et de mˆ eme direction de propagation, dans le sens des x croissants. On consid` ere que le milieu est peu dispersif ce qui nous permettra de faire des d´ eveloppements au premier ordre. On note donc ω 0 ^ω

₂ ^ω

et δω ω 2 ω 1 ¡ 0 avec δω ! ω. On note les nombre d’onde k 0 k p ω 0 q

et #

k ₁ k ω ₀ ^δω ₂

k p ω ₀ q ^δω _{2 dω} ^dk

ω

k ₀ ^δω _{2 dω} ^dk

ω

k ₂ k ω ₀ ^δω ₂

k p ω ₀ q ^δω _{2 dω} ^dk

ω

k ₀ ^δω _{2 dω} ^dk

ω

L’onde s’´ ecrit alors

y p x, t q y 0 cos p ω 1 t k 1 x q y 0 cos p ω 2 t k 2 x q En utilisant la relation cos p a q cos p b q 2 cos p ^{a b} ₂ q cos p ^a ₂ ^b q , on obtient

y p x, t q 2y ₀ cos

ω ₁ t k ₁ x ω ₂ t k ₂ x 2

cos

ω ₁ t k ₁ x p ω ₂ t k ₂ x q 2

soit en d´ eveloppant

y p x, t q 2y 0 cos

2ω 0 t pk 1 k 2 qx 2

cos

δωt pk 1 k 2 qx 2

En utilisant les d´ eveloppements limit´ es au premier ordre de k ₁ et k ₂ k ₁ k ₂ 2k ₀ ; k ₁ k ₂ δω

dk dω

ω

on obtient

y p x, t q 2y 0 cos p ω 0 t k 0 x q cos

δωt pδω _dω ^dk

ω

qx 2

que l’on r´ e´ ecrit

y p x, t q 2y ₀ cos

ω ₀

t k ₀ ω ₀ x

cos

δω

2

t dk

dω

ω

x

Le premier terme repr´ esente une propagation vers les x croissants, avec une pulsation ω ₀ et une vitesse de propagation ^ω _k

0

. le second terme repr´ esente une propagation vers les x croissants, avec une pulsation δω { 2 et une vitesse de propagation ^dω _dk

k

.

L’onde se pr´ esente donc comme un signal sinuso¨ıdal ` a haute fr´ equence ω ₀ modul´ e par un signal sinuso¨ıdal

`

a basse fr´ equence δω{2. Le signal ` a haute fr´ equence se propage ` a la vitesse ^ω _k

0

, le signal ` a basse fr´ equence

`

a la vitesse ^dω _dk

k

.

x y p x, t q

Remarque On peut retrouver ce r´ esultat en utilisant les notations complexes et en faisant apparaˆıtre les termes en 1 { 2 dans les exponentielles complexes. En effet

cos p a q cos p b q ¹ ₂ r exp p ia q exp p ia q exp p ib q exp p ib qs

¹ ₂ r exp p ia { 2 ia { 2 ib { 2 ib { 2 q exp p ia { 2 ia { 2 ib { 2 ib { 2 q exp p ib { 2 ib { 2 ia { 2 ia { 2 q exp p ib { 2 ib { 2 ia { 2 ia { 2 qs ¹ ₂ r exp p ia { 2 ib { 2 q exp p ia { 2 ib { 2 q exp p ia { 2 ib { 2 q exp p ia { 2 ib { 2 q

exppib{2 ia{2q exppib{2 ia{2q exppib{2 ia{2q exppib{2 ia{2qs ¹ ₂ r exp p ia { 2 ib { 2 qp exp p ia { 2 ib { 2 q exp p ib { 2 ia { 2 qq

exppia{2 ib{2qpexppia{2 ib{2q exppib{2 ia{2qqs ¹ ₂ r exp p ia { 2 ib { 2 qp 2 cos p a { 2 b { 2 qq

exppia{2 ib{2qp2 cospa{2 b{2qqs

2 cos ^{a b} ₂

cos ^a ₂ ^b

II.3 Paquet d’onde

x y p x, t q

Un paquet d’onde est une superposition d’un nombre infini d’OPPH dont les pulsations sont comprises dans l’intervalle r ω ₀ ^∆ω ₂ , ω ₀ ^∆ω ₂ s . Le caract` ere continu de l’intervalle de pulsation transforme l’op´ eration de sommation en int´ egrale et fait apparaitre la version continue de la s´ erie de Fourier, la transform´ ee de Fourier :

ypx, tq ? 1 2π

» ₈

8 ypωq ˆ exppipωt kxqq dω ? 1 2π

» _ω

2

ω

ypωq ˆ exppipωt kxqq dω

o` u le terme ˆ ypωq est math´ ematiquement la transform´ ee de Fourier de ypx, tq et est appel´ e densit´ e spectrale d’amplitude. ˆ y p ω q d´ epend du processus d’´ emission et caract´ erise le caract` ere plus ou moins monochroma- tique de la source (donc sa coh´ erence temporelle !).

En supposant la largeur spectrale ∆ω petite et le milieu faiblement dispersif, on peut lin´ eariser la relation de dispersion au voisinage de ω 0

k p ω q k p ω 0 q p ω ω 0 q dk

dω

ω

k 0 p ω ω 0 q dk

dω

ω

On peut alors r´ e´ ecrire le terme exponentiel de l’int´ egrale exp p i p ωt kx qq exp

i

ωt

k ₀ p ω ω ₀ q ^dk _dω

ω

x

exp

i

ωt ω ₀ t ω ₀ t k ₀ x p ω ω ₀ q _dω ^dk

ω

x

exp p i p ω 0 t k 0 x qq exp

i pp ω ω 0 q t p ω ω 0 q _dω ^dk

ω

x exp p i p ω 0 t k 0 x qq exp

i p ω ω 0 q

t _dω ^dk

ω

x Le terme exp p i p ω 0 t k 0 x qq peut ˆ etre sorti de l’int´ egrale puisqu’il ne d´ epend pas de ω, d’o` u

ypx, tq ? 1

2π exppipω 0 t k 0 xqq

» ₈

8 y ˆ exp

ipω ω 0 q

t dk

dω

ω

x

o` u on peut mettre l’int´ egrale sous la forme

» ₈

8 y ˆ exp

ipω ω 0 q

t dk

dω

ω

x

F

t x

dω dk

k

On a alors

y p x, t q 1

? 2π exp p i p ω ₀ t k ₀ x qq F

t x

dω dk

k

II.4 Vitesse de phase et vitesse de groupe

On retrouve le terme en exponentielle correspondant ` a une propagation ` a la vitesse de phase v _ϕ ω ₀

k ₀

La fonction F correspond ` a l’enveloppe, dont la vitesse, qui correspond ` a la vitesse de d´ eplacement du paquet d’onde, est appel´ ee vitesse de groupe

v _g dω dk II.5 Etalement du paquet d’onde ´

Si on d´ ecompose le paquet d’onde en OPPH, chacune va se propager ` a une vitesse donn´ ee par la relation de dispersion. Il va donc y avoir d´ eformation qui va donner un ´ etalement du paquet d’onde lors de la propagation.

x ypx, tq

III Propagation d’une onde EM dans un plasma

Un plasma est un gaz partiellement ou totalement ionis´ e compos´ e d’´ electrons et de cations que l’on peut rencontrer par exemple dans la haute atmosph` ere (ionosph` ere et magn´ etosph` ere). Le vent solaire, flux de particules charg´ ees ´ emis par le Soleil peut aussi ˆ etre consid´ er´ e comme un plasma. Ces deux types de plasmas sont des plasmas dilu´ es. Des plasmas denses constituent le Soleil et le cœur des exp´ eriences de fusion nucl´ eaires bas´ ees sur la technologie tokamak. De mani` ere plus proche de nous, les lampes dites au n´ eon et les ´ ecrans plasma sont bas´ e sur cet ´ etat de la mati` ere appel´ e parfois quatri` eme ´ etat.

III.1 Mod´ elisation du plasma

Dans le cadre du programme, on se limitera ` a un mod` ele simple du plasma :

– on consid` ere un milieu dilu´ e dans lequel on n´ eglige les interactions entre particules charg´ ees par rapport ` a l’interaction avec le champ ´ electromagn´ etique,

– les ions sont consid´ er´ es comme immobiles, et donc ne participent pas ` a la conductivit´ e du plasma, – le plasma est constitu´ e d’ions de masse M , de densit´ e de particules n _i et de charge e, et d’´ electrons de masse m, de densit´ e de particules n e et de charge e. En l’absence d’onde, la charge totale est nulle et le milieu est localement neutre, ce qui impose n _i n _e n ₀ ,

– On consid` ere la propagation d’une onde plane pseudo-harmonique transversale dans le plasma,

– le mouvement des ´ electrons est d´ ecrit par le champ de vitesse eul´ erien v e p M, t q .

III.2 Propagation d’une onde plane

On consid` ere une onde plane se propageant vers les x croissants, de type pseudo-harmonique Ý

Ñ E pM, tq Ý Ñ E ₀ exppipωt kxqq

o` u k peut ˆ etre complexe et Ý Ñ E ₀ ~ e _x 0 (transversalit´ e).

Conductivit´ e du plasma On peut consid´ erer dans le cas d’´ electrons non relativistes que la force de Lorentz se r´ eduit ` a Ý Ñ F eE. On peut donc ´ ecrire le PFD pour une particule fluide de masse m

m D ~ v e

Dt e Ý Ñ E

La force de Lorentz est dirig´ ee perpendiculairement ` a la propagation. Les ´ electrons initialement au repos ont donc un mouvement colin´ eaire au champ ´ electrique. Par ailleurs, le champ Ý Ñ E est invariant par translation sur ~ e y et ~ e z , donc

~ v _e p M, t q v _y p x, t q ~ e _y v _z p x, t q ~ e _z ce qui fait que le terme de d´ eriv´ ee convective est nul

p ~ v e ÝÝÑ grad q ~ v e v y p x, t q B ~ v e p x, t q

B y v z p x, t q B ~ v e p x, t q B z 0 On peut donc r´ e´ ecrire le PFD

m B ~ v e

B t e Ý Ñ E

En notation complexe, la vitesse d´ epend du temps de mani` ere harmonique, donc iωm~v _e e Ý Ñ E

Le vecteur densit´ e de courant est donn´ e par ~j n ₀ e~v _e , donc

~j i n ₀ e ² mω

Ý Ñ E

ce qui permet d’obtenir la conductivit´ e complexe

γ i n ₀ e ² mω

Le fait que la conductivit´ e est complexe entraine le fait que ~j et Ý Ñ E sont en quadrature, ce qui implique que la puissance c´ ed´ ee aux charges x ~j Ý Ñ E y est nulle.

Relation de dispersion L’´ equation de Maxwell Faraday s’´ ecrit en notation complexe ik~ e x ^ Ý Ñ E iω Ý Ñ B soit

k~ e _x ^ Ý Ñ E ω Ý Ñ B La relation de Maxwell-Amp` ere s’´ ecrit

ik~ e _x ^ Ý Ñ B

i µ ₀ n ₀ e ² mω

Ý Ñ E iω

c ² Ý Ñ E

soit

k~ e _x ^ Ý Ñ B

µ ₀ n ₀ e ²

mω ω

c ² Ý Ñ E

Des ´ equations pr´ ec´ edentes, on d´ eduit µ ₀ n ₀ e ²

mω ω

c ²

Ý Ñ E k~ e _x ^ k

ω ~ e _x ^ Ý Ñ E

k ²

ω ~ e _x ^ p ~ e _x ^ p α~ e _y β~ e _z q E q ce qui donne

~ e x ^ p ~ e x ^ p α~ e y β~ e z q E q ~ e x ^ pp α~ e z β~ e y q E q p α~ e y β~ e z q E Ý Ñ E

donc

µ 0 n 0 e ² m ω ²

c ²

Ý Ñ E k ² Ý Ñ E

On en d´ eduit la relation de dispersion

k ² ω ²

c ² µ ₀ n ₀ e ² m On peut r´ e´ ecrire cette relation de dispersion

k ² ω ^{2 c}

^µ

_m ⁿ

^e

c ² ω ^{2 n} _ε

^e _m

c ² ω ² ω _p ² c ²

qui fait apparaitre une grandeur homog` ene ` a une pulsation, la pulsation plasma (ou pulsation de Lang- muir)

ω _p ² n ₀ e ² ε 0 m Relation de dispersion

k ² ω ² ω _p ² c ² Pulsation plasma (ou pulsation de Langmuir)

ω _p ² n 0 e ² ε 0 m III.3 Propagation, dispersion et absorption

Propagation La propagation ne peut se faire que si k est r´ eel, c’est ` a dire si k <sup>2</sup> ¡ 0. Ceci n’est possible que si ω ¡ ω <sub>p</sub> . dans le cas contraire, on observe dans le plasma une onde ´ evanescente et une onde arrivant sur le plasma est r´ efl´ echie (voir chapitre suivant). La pulsation plasma agit donc comme la pulsation de coupure d’un filtre passe haut. Ce caract` ere est mis ` a profit dans la propagation des ondes radios dites

”grandes ondes”.

Dispersion Dans le cas ou la propagation est possible, on peut alors calculer la vitesse de phase. En effet

k ² ω ² ω _p ²

c ² donc k ²

ω ² 1 ^ω _ω

c ²

donc

v _ϕ ω

k c

b 1 ^ω _ω

et la vitesse de groupe que l’on peut calculer de deux mani` eres

ω ² k ² c ² ω _p ² donc

2ω dω c ² 2k dk d’o` u

dω dk k

ω c ² ce qui donne la relation v g _v ^c

et

v g

b ω

ω

c

ω c ²

ω ² k ² c ² ω _p ² c ² donc

ω b

k ² c ² ω ² _p c c

k ² ω ² _p c ² d’o` u

dω

dk c 2k b

k ^{2 ω} _c

1 2 ce qui donne

v _g c

b ω

ω

c

b ω

ω

c

ω

c

c g f f e ^ω

2

ω

c

ω

c

Finalement

v g dω dk c

c 1 ω _p ²

ω ²

On constate que v ϕ est sup´ erieure ` a c ce qui ne contredit pas la relativit´ e restreinte dans la mesure o` u la phase d’une onde ne transporte pas d’information. L’information (et l’´ energie) de l’onde sont transport´ ees

`

a la vitesse v _g qui elle est bien inf´ erieure ` a c.

Absorption Dans le cas o` u la propagation est possible, k est r´ eel, il n’y a donc pas d’absorption, ce qui correspond au fait que la puissance c´ ed´ ee aux charges est nulle en moyenne. Cette situation d´ ecoule de la non prise en compte des interactions internes au plasma.

IV R´ eflexion d’une onde EM ` a la s´ eparation de 2 di´ electriques

IV.1 Indice d’un milieu

On consid` ere un milieu dans lequel se propage une onde plane pseudo-progressive harmonique, ca- ract´ eris´ ee par un nombre d’onde complexe k k ¹ ik”. On d´ efinit l’indice complexe n d’un milieu par

k n ω c o` u c est la vitesse de propagation de l’onde dans le vide.

On peut d´ ecomposer l’indice en partie r´ eelle et partie complexe n n ¹ in”

n ¹ k ¹ c

ω

est appel´ e indice de dispersion. Dans la mesure o` u v ϕ ω { k ¹ , on retrouve pour l’indice de dispersion n ¹ c

v ϕ

soit la relation donnant l’indice de r´ efraction d’un milieu transparent, la vitesse de phase correspondant

`

a la vitesse de propagation d’une onde monochromatique.

La partie complexe de l’indice

n” k” c ω

est appel´ e indice d’absorption. Si n” 0, le milieu est transparent.

IV.2 Position du probl` eme

On consid` ere deux milieux transparents d’indices n <sub>1</sub> (x   0) et n <sub>2</sub> (x ¡ 0) r´ eels, s´ epar´ es par un plan Σ en x 0, appel´ e dioptre. Une onde plane progressive harmonique incidente se propage dans le milieu 1 selon la direction ~ e i . Elle donne naissance ` a une onde transmise de direction ~ e t et ` a une onde r´ efl´ echie de direction ~ e <sub>r</sub> . les deux milieux sont consid´ er´ es comme homog` enes et isotropes, isolants et non charg´ es.

Champ ´ electrique L’onde incidente, de vecteur d’onde ~ k i n 1 ω

c ~ e i a pour expression complexe Ý

Ñ E _i p M, t q Ý Ñ E _i0 exp p i p ωt ~ k i ÝÝÑ OM qq L’onde r´ efl´ echie, de vecteur d’onde ~ k _r n ₁ ^ω _c ~ e _r a pour expression complexe

Ý

Ñ E _r pM, tq Ý Ñ E _r0 exppipωt ~ k r ÝÝÑ OMqq L’onde transmise, de vecteur d’onde ~ k t n 2 ω

c ~ e t a pour expression complexe Ý

Ñ E _t p M, t q Ý Ñ E _t0 exp p i p ωt ~ k _t ÝÝÑ OM qq Le champ ´ electrique total s’´ ecrit donc

Ý

Ñ E p M, t q " Ý Ñ E ₁ p M, t q Ý Ñ E _i p M, t q Ý Ñ E _r p M, t q x   0 Ý

Ñ E ₂ p M, t q Ý Ñ E _t p M, t q x ¡ 0

Champ magn´ etique Les champs magn´ etiques associ´ es ` a chaque onde peuvent se calculer avec la formule pour les OPPH

Ý

Ñ B ~ k ^ Ý Ñ E

ω n

c ~ u ^ Ý Ñ E ce qui donne les expressions des champs magn´ etiques

Ý

Ñ B _i pM, tq n 1

c ~ e i ^ Ý Ñ E i pM, tq Ý

Ñ B _r p M, t q n ₁

c ~ e _r ^ ÝÑ E _r p M, t q Ý

Ñ B _t p M, t q n 2

c ~ e t ^ Ý E Ñ t p M, t q Le champ magn´ etique total s’´ ecrit donc

Ý

Ñ B p M, t q " Ý Ñ B ₁ p M, t q Ý Ñ B _i p M, t q Ý Ñ B _r p M, t q x   0 Ý

Ñ B ₂ p M, t q Ý Ñ B _t p M, t q x ¡ 0

IV.3 Conditions aux limites

La composante tangentielle du champ ´ electrique est continue ` a la travers´ ee de la surface Σ Ý

Ñ E _{{{ 2} pI, tq Ý Ñ E _{{{ 1} pI, tq @ I P Σ

Compte tenu de l’absence de courant surfacique (mat´ eriau isolant), on peut aussi ´ ecrire Ý

Ñ B ₂ p I, t q Ý Ñ B ₁ p I, t q @ I P Σ On peut r´ e´ ecrire la continuit´ e du champ ´ electrique sous la forme

Ý

Ñ E _{{{ i0} exppipωt ~ k i ÝÝÑ OMqq Ý Ñ E _{{{ r0} exppipωt ~ k r ÝÝÑ OMqq Ý Ñ E _{{{ t0} exppipωt ~ k t ÝÝÑ OMqq donc Ý Ñ E _{{i0 exp p i~ k i ÝÝÑ OM q Ý Ñ E _{{r0 exp p i~ k r ÝÝÑ OM q Ý Ñ E _{{t0 exp p i~ k t ÝÝÑ OM q

soit en divisant par exp p i~ k i ÝÝÑ OM q Ý

Ñ E _{{{ i0} Ý Ñ E _{{{ r0} exp p i p ~ k _r k ~ _i q ÝÝÑ OM q Ý Ñ E _{{{ t0} exp p i p ~ k _t k ~ _i q ÝÝÑ OM q Pour que cette relation soit vraie @ M, il faut que les produits scalaires suivants soient nuls

p ~ k _r k ~ _i q ÝÝÑ OM 0 et p ~ k _t k ~ _i q ÝÝÑ OM 0 Comme M P Σ, OM est sur la surface Σ et donc

~ k r k ~ i a~ n 12 et ~ k t k ~ i b~ n 12

IV.4 Lois de Descartes

Premi` ere loi de Descartes Le plan d’incidence est le plan d´ efini par les vecteurs ~ k _i et ~ n ₁₂ . Les vecteurs

~ k r et ~ k t sont donc compris dans le plan d’incidence.

Deuxi` eme loi de Descartes

milieu 2 milieu 1

~ k i

~ k r

~ k t

i ₁

r i ₂

En projetant dans le plan du dioptre la relation pr´ ec´ edente, r   0, i 1 ¡ 0 et i 2 ¡ 0 k r sin p r q k i sin p i 1 q 0 et k t sin p i 2 q k i sin p i 1 q 0 Comme k _r k _i , alors

sin p r q sin p i 1 q donc i 1 r ce qui donne la loi de Descartes pour la r´ eflexion. Par ailleurs,

k _t sin p i ₂ q k _i sin p i ₁ q 0 ñ n ₂ ω

c sin p i ₂ q n ₁ ω

c sin p i ₁ q 0 ce qui permet de retrouver la deuxi` eme loi de Descartes pour la r´ efraction

n ₁ sin i ₁ n ₂ sin i ₂ Remarques

– Dans le cas d’un dioptre non plan, les mˆ emes r´ esultats sont obtenus en utilisant le plan tangent au dioptre au point d’incidence,

– on a suppos´ e que les pulsations ´ etaient les mˆ eme pour tous les champs, mais cette condition n’est pas n´ ecessaire puisqu’on peut la d´ emontrer au cours de la d´ emonstration des lois de Descartes.

IV.5 Coefficients de r´ eflexion et de transmission en amplitude sous incidence normale Relation de passage On consid` ere l’onde arrivant en incidence normale au point I, donc i 1 i 2 r 0. Le champ ´ electrique n’a pas de composante normale, le champ total est donc continu ` a la travers´ ee de la surface

Ý

Ñ E _i pI, tq Ý Ñ E _r pI, tq Ý Ñ E _t pI, tq

De mˆ eme, en l’absence de courant surfacique, la relation de passage du champ magn´ etique est Ý

Ñ B _i p I, t q Ý Ñ B _r p I, t q Ý Ñ B _t p I, t q

L’onde est en incidence normale ce qui permet d’avoir les directions de propagation ~ e _i ~ e _x , ~ e _r ~ e _x et

~ e _t ~ e _x . On peut alors r´ e´ ecrire la relation de passage pour le champ magn´ etique n 1

c ~ e x ^ Ý Ñ E _i pI, tq n 1

c p~ e x q ^ Ý Ñ E _r pI, tq n 2

c ~ e x ^ Ý Ñ E _t pI, tq

Pour obtenir une relation ne faisant plus intervenir de produit vectoriel, on multiplie vectoriellement par

~ e x la relation

n ₁ ~ e _x ^ p ~ e _x ^ Ý Ñ E _i p I, t qq n ₁ ~ e _x ^ p ~ e _x ^ Ý Ñ E _r p I, t qq n ₂ ~ e _x ^ p ~ e _x ^ Ý Ñ E _t p I, t qq

et on utilise la formule du double produit vectoriel Ý Ñ A ^ pÝ Ñ B ^ Ý Ñ C q pÝ Ñ A Ý Ñ C qÝ Ñ B pÝ Ñ A Ý Ñ B qÝ Ñ C . Ici, les ondes

´

etant transverses, les termes ~ e _x Ý Ñ E _i p I, t q , ~ e _x Ý Ñ E _r p I, t q et ~ e _x Ý Ñ E _t p I, t q sont nuls. On a donc n ₁ ~ e _x ^ p ~ e _x ^ Ý Ñ E _i p I, t qq n ₁ p ~ e _x Ý Ñ E _i p I, t qq ~ e _x n ₁ p ~ e _x ~ e _x qÝ Ñ E _i p I, t qq n ₁ Ý Ñ E _i p I, t q ce qui nous donne la relation de passage pour le champ magn´ etique

n 1 Ñ Ý E _i pI, tq n 1 Ý Ñ E _r pI, tq n 2 Ý Ñ E _t pI, tq

Remarque La multiplication vectorielle et l’utilisation du double produit vectoriel nous a permis de

”simplifier” par ~ e _x ^ .

Coefficient de r´ eflexion et de transmission Pour obtenir r, il faut ´ eliminer Ý Ñ E _t p I, t q , ce qui donne n ₁ Ý Ñ E _i p I, t q n ₁ Ý Ñ E _r p I, t q n ₂ pÝ Ñ E _i p I, t q Ý Ñ E _r p I, t qq

soit

p n ₁ n ₂ qÝ Ñ E _i p I, t q p n ₂ n ₁ qÝ Ñ E _r p I, t qq et donc

Ý

Ñ E _r p I, t qq n 1 n 2

n ₂ n ₁ Ý

Ñ E _i p I, t q n 1 n 2

n ₁ n ₂ Ý Ñ E _i p I, t q

avec le coefficient de r´ eflexion pour le champ ´ electrique r n ₁ n ₂

n ₁ n ₂

De la mˆ eme mani` ere, on ´ elimine Ý Ñ E _r p I, t q pour avoir la coefficient de transmission du champ ´ electrique, ce qui donne

Ý

Ñ E _t p I, t qq 2n ₁ n ₁ n ₂

Ý Ñ E _i p I, t q

avec le coefficient de transmission pour le champ ´ electrique t 2n ₁

n 1 n 2

Remarques

– Le coefficient de transmission est toujours positif : le champ transmis est en phase avec le champ incident

– le coefficient de r´ eflexion peut ˆ etre :

– positif si n 1 ¡ n 2 , il n’y a alors pas de d´ ephasage du champ r´ efl´ echi par rapport au champ incident – n´ egatif si n ₁   n ₂ , il y a alors d´ ephasage de π du champ r´ efl´ echi par rapport au champ incident

(opposition de phase)

– on peut calculer les coefficients de r´ eflexion et de transmission pour le champ magn´ etique

IV.6 Coefficients de r´ eflexion et de transmission en intensit´ e sous incidence normale Pour une direction de propagation ~ u

Ý

Ñ Π Ý Ñ E ^ Ý Ñ B µ 0

Ý

Ñ E ^ p ⁿ _c ~ u ^ Ý Ñ E q µ 0

On utilise l’identit´ e vectorielle Ñ Ý A ^ pÝ Ñ B ^ Ý Ñ C q pÝ Ñ A Ý Ñ C qÝ Ñ B pÝ Ñ A Ý Ñ B qÝ Ñ C on obtient Ý

Ñ Π n

µ 0 c pÝ Ñ E Ý Ñ E q ~ u pÝ Ñ E ~ u qÝ Ñ E Le deuxi` eme terme est nul puisque l’onde est transversale, on a donc

Ý Ñ Π n

µ 0 c E ² ~ u n

µ 0 c E ² ₀ cos ² p ωt kx q ~ u

En valeur moyenne, on obtient donc

xÝ Ñ Π y n 2µ 0 c E ₀ ² ~ u On a donc pour les ondes incidente, r´ efl´ echie et transmise :

xÝ Ñ Π i y n 1

2µ ₀ c E _0i ² ~ e x xÝ Ñ Π r y n 1

2µ ₀ c E _0r ² ~ e x xÝ Ñ Π t y n 2

2µ ₀ c E _0t ² ~ e x

On peut alors calculer les coefficients de r´ eflexion et de transmission en puissance (ou en intensit´ e) d´ efinis par

R ||xÝ Ñ Π r y||

||xÝ Ñ Π _i y|| r ² et

T ||xÝ Ñ Π t y||

||xÝ Ñ Π _i y|| n 2

n 1

t ² et donc

R

n 1 n 2

n ₁ n ₂ 2

et T 4n 1 n 2

p n ₁ n ₂ q ²

Remarque R T 1 ce qui exprime la conservation de l’´ energie.