Commen¸cons par nous rappeler la d´ efinition de la densit´ e de particules n et la densit´ e ρ :

RELATIVITE ET COSMOLOGIE II

Rappel sur g

29 avril 2008

Commen¸cons par nous rappeler la d´ efinition de la densit´ e de particules n et la densit´ e ρ :



 



 



n

= g (2π)

Z

d

p 1 e

∓ 1 ρ

= g

(2π)

Z

d

p E

e

∓ 1

C’est ici qu’apparaˆıt pour la premi` ere fois le nombre de degr´ es de libert´ e g. On sait que g vaut respectivement 1, 2, 3 et 4 pour une particule scalaire, un photon, un boson massif et un fermion de Dirac. Le cas des neutrinos est particulier : il a deux degr´ es de libert´ e uniquement : il ne poss` ede qu’une seule h´ elicit´ e.

Prenons deux limites :

– Limite relativiste : Comme nous l’avons calcul´ e ` a la s´ erie 7, on a n

= g ζ(3)

π

T

n

= 3

4 n

ρ

= g π

30 T

ρ

= 7

8 ρ

s

= g 2π

45 T

s

= 7

8 s

– Limite non-relativiste : Dans ce cas le ∓1 de la statistique peut ˆ etre ignor´ e et l’on obtient la mˆ eme expression pour bosons et fermions (cf s´ erie 3) :

n = g mT

2π

exp

µ − m T

ρ = mn

1

Comparons maintenant la densit´ e de deux esp` eces, l’une relativiste, l’autre non ; supposons de plus qu’elles sont en ´ equilibre thermique :

n

n

=

g

g

√ π 2 √

2ζ(3) m

T

exp

µ

− m

T

On constate donc que comme m

T la constribution des esp` eces non relativistes est exponentiellement supprim´ ee par rapport aux esp` eces relativistes, sauf si le po- tentiel chimique est suffisament grand par rapport ` a T , ce qui n’arrivera jamais dans les situations que nous consid´ erons.

Il est important de noter que la densit´ e de particule dans un volume comobile n’est pas conserv´ ee si des interactions ont lieu. On peut par contre montrer que la den- sit´ e d’entropie est toujours conserv´ ee dans un volume comobile ! On peut de plus prouver que, tout comme pour la densit´ e de particule, l’entropie des particules non- relativistes est exponentiellement supprim´ ee. On a donc conservation de

s(T ) = 2π

45 g

T

dans un volume comobile, c’est ` a dire conservation de g

T

a

o` u g

est donn´ e par g

= X

bosons rel.

g

+ 7 8

X

fermions rel.

g

On voit donc que lorsque g

est conserv´ e, n l’est aussi. Mais n n’est pas conserv´ e en g´ en´ eral puisqu’il diff` ere quelque peu de s :

n = ζ(3) π

X

bosons rel.

g

+ 3 4

X

fermions rel.

g

! T

Exemple : Temp´ erature des neutrinos

On a montr´ e au cours que la temp´ erature de d´ ecouplage des neutrinos est d’environ 2 MeV. Pour ce faire on a compar´ e le rythme des interactions (σnv) au rythme d’expansion de l’Univers (2H). Apr` es le d´ ecouplage les neutrinos conservent leur entropie. Le produit T

a est donc exactement constant. Ceci est dˆ u au fait que les neutrinos ayant d´ ecoupl´ e, ils n’interagissent plus avec le plasma et donc un transfert d’entropie entre les neutrinos et le plasma est impossible.

2

Ecrivons maintenant l’entropie ` a divers moments :

– Avant d´ ecouplage des neutrinos s = 2π

45 g

T

o` u g

= 2 + 7

8 (2 × 2 + 6) = 10.75 – Apr` es d´ ecouplage des neutrinos (T ∼ 2 M eV )

s = s

+ s

= 2π

45

2 + 7

8 (2 × 2)

T

+ 2π

45

7 8 × 6

T

– Apr` es l’annihilation des positrons (T ∼ 0.5 M eV ) s = s

+ s

= 2π

45 (2)T

+ 2π

45

7 8 × 6

T

Comme l’entropie est conserv´ ee individuellement pour des esp` eces d´ ecoupl´ ees, on doit identifier l’entropie du plasma apr` es d´ ecouplage des neutrinos avec celle apr` es l’annihilation des positrons. Pour le plasma on trouve donc :

11

2 (T a)

= 2(T a)

On voit donc que pendant l’annihilation des positrons T ne se comporte pas comme a

. Ceci est dˆ u au changement de g

: T a augmente pour compenser la perte des degr´ es de libert´ e. Pour les neutrinos on a :

(T

a)

= (T

a)

Notons que la temp´ erature des neutrinos apr` es leur d´ ecouplage est la mˆ eme que celle du plasma et que la temp´ erature finale du plasma est la temp´ erature des photons.

En combinant le tout on trouve T

T

apr`es

= 4

11

3