TD  — Fon ions mesurables – Corrig´e

(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Fon ions mesurables – Corrig´e

0 – Exercice du TD 2 `a pr´eparer

E

^{xercice 0.} ^{Soit (Ω,}^F, µ) un espace mesur´e tel queµ(Ω) =. Soient A,B ⊂ P(Ω) deux sous-ensembles deP(Ω) conitu´e d’ensembles mesurables. On suppose queAetBsontables par interseions finies et que pour tousA∈ A, B∈ B:µ(A∩B) =µ(A)·µ(B).Montrer que pour tousU ∈σ(A) etV ∈σ(B) on a : µ(U∩V) =µ(U)·µ(V).

Corrig´e :

Premi`ere ´etape. On introduit

G_={U ∈ F;∀B∈ B, µ(U∩B) =µ(U)·µ(B)}.

G_ e une classe monotone contenant A, qui e able par interseions finies. Donc, d’après le théorème de la classe monotone,σ(A)⊂G_.

Deuxi`eme ´etape.On introduit

G_={V ∈ F; ∀U ∈σ(A), µ(U∩V) =µ(U)·µ(V)}.

G_eune classe monotone contenantB (d’après la première étape), qui e able par interseions finies. Donc, d’après le théorème de la classe monotone,σ(B)⊂G_, ce qui conclut.

1 – Petites questions

) Soient (X, d) un espace m´etrique (par exempleR), etf :X→Rune fonion continue. Pourquoif e-elle mesurable ?

) Soient (X, d) un espace m´etrique (par exempleR), et (f_n)_n≥une suite de fonionsX→Rmesu- rables. Pourquoi la fonion lim sup_n→∞f_ne-elle mesurable ?

) Soitf : ],[→Rune fonion dérivable. Pourquoi la fonion dérivéef⁰ e-elle mesurable ? Corrigé :

) Pour tout ouvertOdeR,f⁻^(O) eouvert (carf continue), donc mesurable. Comme l’ensemble des ouverts deRengendre la tribue bor´elienne,f⁻^econtinue.

Remarque.Plus généralement, pour montrer quef : (X,A)→(Y ,B) emesurable, il suffit de montrer quef⁻^(C) emesurable pour toutCappartenant à une ensemble de parties mesurables engendrant B. En effet,{B∈ B;f⁻^(B)∈ A}eune tribu. Ainsi, si elle contient une partieC, elle contient alorsσ(C).

Pour des queions, demande de précisions ou explications, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à [email protected] , ou bien à venir me voir au bureau V.



(2)

) Comme lim sup_n→∞f_n= inf_n≥sup_k≥nf_n , il suffit de montrer que sup_n≥f_n et inf_n≥f_n sont mesurables. Faisons le pour sup_n≥f_n (l’autre cas étant similaire, ou bien se fait en considérant −f_n) en appliquant la remarque précédente (rappelons que {]a,∞[;a∈R} engendre B(R)) : il suffit de montrer que pour touta >,{x; sup_n≥f_n(x)> a}emesurable. Ceci découle de l’écriture :

( x; sup

n≥f_n(x)> a )

=[

n≥

{x;f_n(x)> a}.

C’eun ensemble mesurable, étant une union dénombrable d’ensembles mesurables (car{x;f_n(x)> a}= f_n⁻^(]a,∞[) emesurable,f_n étant mesurable).

Remarque.En toute rigueur, comme lim sup_n→∞f_neà valeurs dansR, il faut montrer que lim sup_n→∞f_n: X→(R,B(R)) emesurable. Pour cela, on fait la même chose en se rappelant que les boréliens deRsont les boréliens deRauquels on ajoute éventuellement +∞et/ou−∞, et que{]a,∞];a∈R}engendreB(R).

) Pourx∈],[,

f⁰(x) = lim

n→∞

f(x+/n)−f(x)

/n ,

ainsif⁰ emesurable comme une limite simple de fonions mesurables.

2 – Fonctions mesurables

E

^{xercice 1.} (Tribus image et r´eciproque) Soitf :X→Y une application. SoientF une tribu surXetG une tribu surY.

. Montrer que{B⊂Y;f⁻^(B)∈ F }eune tribu surY. Elle eappel´eetribu image parf.

. (a) Montrer quef⁻^(G) :={f⁻^(B), B∈ G}eune tribu surX. On l’appelletribu engendr´ee parf outribu r´eciproque parf et on la note parfoisσ(f).

(b) Montrer que c’ela plus petite tribu surXqui rendef :X→(Y ,G) mesurable.

(c) SoitB ⊂ P(Y). Alexandra dit : alors n´ecessairement,σ(f⁻^(B)) =f⁻^(σ(B)). A-t-elle raison ?

. On supppose quef :X→(R,B(R)). Montrer que toute foniong : (X, σ(f))−→(R,B(R)) mesurable s’´ecritg=h◦f avech: (R,B(R))−→(R,B(R)) mesurable.

Indication :commencer par le cas o ùg eétagée.

. (Exemple.) Soitf :R−→(R,B(R)) d´efinie parf(x) =x^.

(a) Montrer que la tribu r´eciproque parf eσ(f) :={A∈ B(R), A=−A}.

(b) D´eterminer l’ensemble des fonions mesurables de (R, σ(f)) dans (R,B(R)).

. Soient (Yi,B_i)_i∈I une famille d’espaces mesurables,Y un ensemble, des fonionsf_i:Y →Y_i etB la tribu engendr´ee par la famille de fonions (fi)_i∈I, i.e. la plus petite tribu sur Y rendant lesf_i mesurables. On la notera aussiσ(f_i, i∈I).

(a) Prouver queσ(f_i, i∈I) =σ





 [

i∈I

f_i⁻^(B_i)





 .

(b) Montrer que f : (X,A) → (Y ,B) e mesurable si, et seulement si, pour tout i ∈ I, f_i ◦f : (X,A)→(Y_i,B_i) emesurable.

Corrig´e :

. Il s’agit d’une simple v´erification des trois points de la d´efinition d’une tribu.

. (a) Il s’agit d’une simple v´erification des trois points de la d´efinition d’une tribu.



(3)

(b) Il eclair queσ(f) rendf mesurable (car pour toutB∈ G, on a bienf⁻^(B)∈σ(f)). D’autre part, toute tribu rendantf mesurable contientσ(f), car elle doit contenir les ensembles de la formef⁻^(B) pourB∈ G. Le r´esultat s’ensuit.

(c) Alexandra a raison. Montrons la double inclusion. Tout d’abord, il e clair que f⁻^(A) ⊂ f⁻^(σ(A)), ce qui implique queσ(f⁻^(A))⊂f⁻^(σ(A)). Ensuite, notons

B={B⊂Y;f⁻^(B)⊂σ(f⁻^(A))}.

CommeA ⊂ B, on en d´eduit queσ(A)⊂σ(B) =BcarBeune tribu. Il s’ensuit quef⁻^(σ(A))⊂ σ(f⁻^(A)), ce qui clˆot la preuve.

. Soitg: (X, σ(f))−→(R,B(R)) mesurable et ´etag´ee,g=Pn

i=λ_iA_i,avecλ_i∈RetA_i∈σ(f). Comme A_iappartient `a la tribu r´eciproque def, il exieB_i∈ B(R) tel queA_i=f⁻^(B_i). Et donc

g=

Xn i=

λ_iB_i

| {z }

mesurable(R,B(R))−→(R,B(R))

◦f .

Traitons maintenant le cas général :gs’écrit comme limite simple de fonions étagéesg = lime_n. Donc si l’on écrite_n=h_n◦f on obtientg = limh_n◦f avech_n: (R,B(R))−→(R,B(R)) mesurable.

Si l’on pose

h(x) =

( limh_n(x) quand la limite exie,

sinon.

Maish=1^|lim sup_n→∞h_n|<∞lim sup_n→∞h_n emesurable comme produit de fonions mesurables, et de plusg=h◦f.

. (a) Ceci provient ais´ement du fait quef⁻^(A) =

√

A∩R₊∪(−

√

A∩R₊) pourA∈ B(R).

(b) D’apr`es la queion. ce sont les fonions de la forme f(x^) avecf : (R,B(R))→(R,B(R)) mesurable.

. (a) La plus petite tribu surY rendant lesf_imesurables contient forc´ementS

i∈If_i⁻^(B_i), de sorte que

σ(f_i;i∈I)⊃σ





 [

i∈I

f_i⁻^(B_i)





 .

Pour l’autre inclusion, il suffit de remarquer queσS

i∈If_i⁻^(B_i)

rend mesurables lesf_i. (b) Tout d’abord, sif : (X,A)→(Y ,B) emesurable, alorsf_i◦f emesurable comme compos´ee

de fonions mesurables.

Réciproquement, supposons que toutes les fonionsf_i◦f soient mesurables. D’après la ques- tion précédente, pour montrer quef emesurable, il suffit de montrer que siB∈S

i∈If_i⁻^(B_i) alorsf⁻^(B)∈ A. Soit doncB∈S

i∈If_i⁻^(B_i). Il exie donci∈I etB_i∈ B_i tels queB=f_i⁻^(B_i).

Mais alorsf⁻^(B) =f⁻^(f_i⁻^(B_i)) = (f ◦f_i)⁻^(B_i)∈ A, ce qui conclut.

E

^{xercice 2.} (Tribus produits) Soient (X,A) et (Y ,B) deux espaces mesurables. On appelle tribu produit de AetB la tribu not´eeA ⊗ B d´efinie parA ⊗ B=σ({A×B, A∈ A, B∈ B}).On note π_X :X×Y →Xet π_Y :X×Y →Y les projeions canoniques surXetY.



(4)

. Prouver queA ⊗ B=σ(π_X, π_Y), autrement dit queA ⊗ B ela plus petite tribu rendantπ_X etπ_Y mesurables.

. Soitf : (Z,C)→(X×Y ,A ⊗ B) une application. On ´ecritf(z) = (f_X(z), f_Y(z)). Prouver que f e (C,A ⊗ B) mesurable si et seulementf_X etf_Y sont respeivement (C,A) et (C,B) mesurables.

. Prouver queB(R^) =B(R)⊗ B(R). On pourra admettre que siO(R^) d´esigne l’ensemble des ouverts deR^, on a :

O(R^) =









 [

i∈I

U_i×V_i;U_i, V_i ouverts deR, Id´enombrable.











Corrig´e :

. D’apr`es la queion(a) de l’exercice,A ⊗ B=σ({A×Y , X×B}, A∈ A, B∈ B). Il eclair que σ({A×Y , X×B}, A∈ A, B∈ B)⊂σ({A×B, A∈ A, B∈ B}).

Pour l’autre inclusion, il suffit de remarquer que pourA∈ AetB∈ Bon aA×B= (A×Y)∩(X×B).

. C’eune cons´equence de la queion(b) de l’exercice.

. On établit la double inclusion. Montrons tout d’abord queB(R)⊗ B(R)⊂ B(R^). Pour tous ouverts O, O⁰ deR,O×O⁰ eun ouvert deR^. Ensuite, considérons la classeG_définie par :

G_={A∈ B(R);A×B∈ B(R^) pour tout ouvertBdeR}.

Il efacile de voir queG_eune tribu. CommeG_contient les ouverts deR,G_=B(R). Ensuite, on consid`ere la classeG_d´efinie par :

G_={B∈ B(R);A×B∈ B(R^) pour toutA∈ B(R)}.

Il efacile de voir queG_ eune tribu. D’après ce qu’on a fait précédemment,G_ contient les ouverts deR, et donc G_=B(R). Ainsi,F × G ∈ B(R^) pourF,G ∈ B(R), et doncB(R)⊗ B(R)⊂ B(R^). En effet, rappelons que par définitionB(R)⊗ B(R) =σ(F × G;F,G ∈ B(R)).

Réciproquement, montrons queB(R^)⊂ B(R)⊗ B(R). D’après le résultat admis, commeB(R^) = σ(O(R^)), il suffit de montrer que siI edénombrable et U_i, V_i (i ∈ R) sont des ouverts deR, alors

[

i∈I

U_i×V_i∈ B(R)⊗ B(R).

Ceci eclairement le cas, carU_i, V_i∈ B(R) etIed´enombrable.

Remarque. Cette preuve montre que B(X×Y) =B(X)⊗ B(Y) lorsque X et Y sont deux espaces métriques à base dénombrable d’ouverts (ou, de manière équivalente, s’ils sont séparables).

E

^{xercice 3.}

. Soit (E,A) un espace mesurable et (f_n:E −→R)_n≥ une suite de fonions mesurables. Montrer que l’ensemble desxtels que (f_n(x))_n≥admette une limite finie emesurable.

Indication :Pensez au crit`ere de ——.

. (a) On munitRde la diance discrète définie pard(x, y) =1x,y.Quelle ealors la tribu borélienne ? E-ce que les tribus engendrées par les boules ouvertes et les boules fermées sont la tribu borélienne ?



(5)

(b) (?) Soient (E,A) un espace mesurable, (X, d) un espace m´etrique et (f_n: (E,A)→(X,B(X))_n≥

une suite de fonions mesurables. On suppose que (fn)_n≥ converge simplement vers une fonionf :E→X(c’e-`a-dire que pour toutx∈E,f_n(x) converge versf(x) lorsquen→ ∞.

Montrer quef : (E,A)→(X,B(X)) emesurable.

Corrig´e :

. ´Ecrivons le crit`ere de Cauchy :

(f_n(x)) converge ⇐⇒ ∀ε >∃N ∈N∀n, m≥N ,|f_n(x)−f_m(x)|< ε (f_n(x)) converge ⇐⇒ x∈\

ε>





 [

N∈N







\

n,m≥N

{x∈E,|f_n(x)−f_m(x)|< ε}













L’ensemble{x∈E,|f_n(x)−f_m(x)|< ε}ebien mesurable puisquef_netf_msont mesurables. Il ree encore un problème, on a seulement le droit de faire des unions et interseions dénombrables d’ensemble mesurables : on ne peut pas faire l’interseion pour tous les ε >, mais on peut prendre une suiteε_k qui converge vers. Plus précisément :

(f_n(x)) converge ⇐⇒ x∈\

k>





 [

N∈N







\

n,m≥N

(

x∈E,|f_n(x)−f_m(x)|< 

^k )









 .

. (a) La tribu borélienne ela discrète de toutes les parties deR. En revanche, les tribus engendrées par les boules ouvertes ou fermées sont la tribu{A⊂R;AouA^cedénombrable}, qui eainsi différente de la tribu borélienne.

(b) Il suffit de montrer que f⁻^(F) emesurable pour tout ferméF (cf la remarque des petites queions). On rappelle que la diance à un fermé eune application-lipschitzienne (c’e-

`a-dire quex→d(x, F) e-lipschitzienne) et quex∈F ssid(x, F) =. On ´ecrit alors : f⁻^(F) = {x∈X;d(f(x), F) =}=

x∈X; lim

n→∞d(f_n(x), F) =

= \

p≥

[

N∈N

\

n≥N

(

x∈X;d(f_n(x), F)≤  p )

,

qui emesurable comme unions et interseions dénombrables d’ensembles mesurables. En effet,x→d(f_n(x), F) emésurable, étant la composée de la fonion mesurablef_npar la fonc- tion-lipschitzienney→d(y, F) (donc continue, donc mesurable).

ATTENTION :Il ne suffit pas de montrer que les images réciproques des boules (ouvertes ou fermées) sont mesurables. En effet, ce n’eque dans un espace métriqueséparablequ’on peut affirmer que la tribu engendrée par les boules ela tribu borélienne (cf queion a)).

E

^{xercice 4.} ^{Soient (X,}^A, µ) un espace mesur´e etf : (X,A)→(R,B(R)) une fonion mesurable.

a) Montrer que siµ(X),, il exieA∈ Atel queµ(A)>etf soit born´ee surA.

b) Montrer que si µ({f ,}),, alors il exieA∈ Atel que µ(A)>et|f| soit minor´ee surApar une conanteriement positive.

Corrig´e :



(6)

a) SoitA_n={|f| ≤n} (de mani`ere plus formelle,A_n ={x;|f(x)| ≤n}), qui emesurable. Il eclair queA_neune suite croissante d’ensembles et que∪_n_≥_A_n=X. Ainsi,

nlim→∞µ(A_n) =µ





 [

n≥

A_n







=µ(X)>.

Il exie doncn≥tel queµ(A_n)>, ce qui conclut.

b) SoitA_n ={|f| ≥/n} (de mani`ere plus formelle, A_n ={x;|f(x)| ≥/n}), qui emesurable. Il e clair queA_neune suite croissante d’ensembles et que∪_n_≥_A_n={f ,}. Ainsi,

nlim→∞µ(A_n) =µ





 [

n≥

A_n







=µ({f ,})>.

Il exie doncn≥tel queµ(A_n)>, ce qui conclut.

E

^{xercice 5.} (Théorème d’Egoroff) Soit (E,A, µ) un espace mesuré tel que µ(E) < ∞. On considère une suite (f_n)_n≥ de fonions réelles mesurables sur E etf une fonion réelle mesurable surE telles que f_n→f µ-p.p. quandn→ ∞.

. Montrer que pour toutk≥et pour toutη >il exien≥tel queµ





 [

j≥n

x∈E:|f_j(x)−f(x)|>  k







≤

η.

. En d´eduire que pour toutε >, il exieA∈ Ade mesureµ(A)≤εtel quef_n→f uniform´ement surE\A.

. Donner un contre-exemple à ce résultat si l’on suppose queµ(E) =∞. Corrigé :

. La suite de fonions (f_n)_n≥convergeµ-p.p. versf ce qui implique que pour toutk≥, µ







\

n≥

[

j≥n

x∈E:|f_j(x)−f(x)|>  k







=.

Pour tout k ≥ , la suite (S

j≥n

nx∈E:|f_j(x)−f(x)|> ^_ko

)_n≥ e d´ecroissante pour l’inclusion et µ(E)<∞donc

µ







\

n≥

[

j≥n

x∈E:|f_j(x)−f(x)|>  k







= lim

n→∞µ





 [

j≥n

x∈E:|f_j(x)−f(x)|>  k





 .

Ainsi

nlim→∞µ





 [

j≥n

x∈E:|f_j(x)−f(x)|> k







=, et l’on obtient le r´esultat.

. Fixonsε >. D’apr`es la queion (), pour toutk≥, on peut trouvern_k≥tel que µ





 [

j≥n_k

x∈E:|f_j(x)−f(x)|> k







≤⁻^kε.

Posons A=[

k≥

[

j≥n_k

x∈E:|f_j(x)−f(x)|>  k

. Alors µ(A)≤ εet sur E\A, f_n →f uniform´ement quandn→ ∞.



(7)

. On se place sur (R,R, λ). Consid´erons la suite de fonions (f_n)_n≥ = (1[−n,n])_n≥. Alors (f_n)_n≥

converge simplement vers1^R. SoitB∈ B(R) de mesure finie tel que (f_n)_n≥converge surB uni- formément vers1^R. Alorsλ(R\B) = +∞, ce qui implique queR\Bcontient des réels arbitraire- ment grands en valeur absolue et donc qu’on ne peut pas avoir convergence uniforme surR\B. Le théorème d’Egoroffne peut donc pas être démontré si l’on ne suppose pasµ(E)<∞.

E

^{xercice 6.} ^{Soient (E,}^A, µ) un espace mesur´e avec µ non nulle etf : (E,A) →(R,B(R)) une fonion mesurable. Montrer que pour tout ε >il exie un ensemble A∈ A de mesureµ(A)>tel que pour tousx, y∈Aon ait|f(x)−f(y)|< ε.

Corrig´e :

Pour tout r∈R, on noteA_r =f⁻^(]r−ε/, r+ε/[). La fonionf ´etant mesurable, chaque ensemble A_r e mesurable. De plus, S

r∈QA_r = f⁻^(R) = E. Supposons que µ(A_r) =  pour tout r ∈ Q. Alors µ(E) =P

r∈Qµ(A_r) =.Orµ(E)>. Donc il exier_∈Qtel queµ(A_r_)>. De plus|f(x)−f(y)|< εpour

tousx, y∈A_r_.

E

^{xercice 7.} ^Soit^C⁼^C([,],^R) l’espace des fonions continues sur [,] `a valeurs dans (R,B(R)), muni de la topologie de la convergence uniforme. On noteC_la tribu bor´elienne deCetC_la plus petite tribu deC rendant les applications de “projeion”f 7→f(x) mesurables pour toutx. Comparer les tribusC_ etC_.

Corrig´e :

L’ensemble C emuni de la topologie de la convergence uniforme. Ainsi, pour tout x∈[,], l’application f ∈ C 7→ f(x) ∈ R e continue et donc mesurable par rapport à la tribu C_. On en déduit l’inclusion C_ ⊂ C_. Montrons réciproquement que C_ ⊂ C_. Soit une fonion f_ ∈ C fixée. Pour tout x∈[,]∩Q, l’applicationf ∈C 7→ |f(x)−f_(x)|emesurable par rapport à la tribuC_. Donc l’applicationf ∈C 7→sup_x∈Q|f(x)−f_(x)|emesurable par rapport à la tribuC_car c’eun sup dénombrable de fonions mesurables. Orkf −f_k_∞ = sup_x∈Q|f(x)−f_(x)|. Ainsi la fonion f ∈ C 7→ kf −f_k_∞ e mesurable par rapport à la tribuC_ce qui implique que toutes les boules ouvertes deCsont mesurables par rapport àC_. L’espaceC étant séparable, tous les ouverts deC sont donc mesurables par rapport à

C_.

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 9.} (Exemples et contre-exemples) Répondre aux queions suivantes, si la réponse epositive donner une démonration, si la réponse e négative donner un contre-exemple. On munit R de la mesure de Lebesgue :

. Un ouvert deRde mesure finie e-il born´e ?

. Un bor´elien de mesureriement positive e-il d’int´erieur non vide ?

. Un ouvert dense de [,] a-t-il une mesure?

. Deux compas homéomorphes ont-ils même mesure ? L’un peut-il être de mesure nulle et l’autre de mesure positive ?

. (?) Exie-t-il un borélienAdeRtel que pour tout intervalle ouvert borné non videI, on ait les inégalitésries< λ(A∩I)< λ(I) ?

Corrig´e :



(8)

. Non, par exempleO=S

n∈N]n−/ⁿ, n+/ⁿ[.

. Non, l’ensemble [,]\Qede mesureet ed’int´erieur vide.

. Non, cf TD précédent : si on numérote (q_n)_n≥ tous les rationnels de [,], et qu’on conruit A_ε=S

n]q_n− ^ε

ⁿ, q_n+_^εn[ on obtient un ouvert de mesure inf´erieure `aεet dense (puisqu’il contient tous les rationnels).

. Non (facile). Oui, les espaces de Cantor sont tous hom´eomorphes, et certains sont de mesure nulle, d’autres non (voir TD).

. Oui, mais il n’epas facile `a conruire : il faut prendre un ensemble de Cantor de mesure non nulle, puis dans chaque trou glisser un ensemble de Cantor plus petit, etc.

E

xercice 10. Soitf : [,]−→Rune fonion continue. Pour touty∈R, on noteN(y)∈Rle nombre de solutions de l’´equationf(x) =y. Montrer queN eune fonion mesurable.

Corrig´e :

L’équationf(x) =ypossède une solution dans [k⁻ⁿ,(k+)⁻ⁿ[ siy∈f([k⁻ⁿ,(k+)⁻ⁿ[).Puisquef econtinue, le théorème des valeurs intermédiaires implique quef([k⁻ⁿ,(k + )⁻ⁿ[) eun intervalle et edonc mesurable. Ainsi la suite de fonions

N_n=

ⁿ−

X

k=

y∈f([k⁻ⁿ,(k+)⁻ⁿ[)+y=f(),

emesurable etend en croissant versN qui edonc mesurable.

E

xercice 11. (?) Soitf : (R,B(R))→(R,B(R)) une fonion mesurable telle quef(x+y) =f(x)+f(y) pour toutx, y∈R. Montrer quef elin´eaire.

On pourra admettre le r ésultat suivant (théorème de Lusin, prouvé ultérieurement) : si une foniong: ([a, b],B([a, b])→(R,B(R)) emesurable, pour tout >, il exie un compaK⊂[a, b] tel queµ([a, b]∩K^c)≤et la reriion deg àK econtinue.

Corrig´e :

Il eclair quef() =. Il suffit de prouver quef econtinue en(f sera alors continue sur toutRet donc linéaire). Soit >. D’après le théorème de Lusin, il exie un compaK⊂[,] tel queµ(K)>/

et sur lequelf econtinue. Puisquef ealors uniform´ement continue surK, il exieδ∈(,/) tel que|f(x)−f(y)|< d`es que|x−y| ≤δ. Soith∈(, δ). Alors les ensemblesKetK−h={x−h;x∈K}ne sont pas disjoints. En effet, dans le cas contraire, on aurait :

+h=µ([−h,])≥µ(K∪(K−h)) =µ(K) +µ(K−h)>/,

ce qui contredit le fait queh < δ </. Il exie doncx_∈K∩(K−h), ce qui implique que|f(x_)−f(x_+h)|<

, et donc|f(h)|< .

Fin

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