TD  — Approximations – Corrig´e

(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Approximations – Corrig´e

0 – Exercices `a pr´eparer

E

xercice -1. (D’apr`es Partiel) ´Etudier la convergence de la suiteu_n=R

],∞[ sin(tⁿ)

tⁿ(+t)dt. On pr´ecisera la limite si elle exie et on juifiera soigneusement la r´eponse.

Corrig´e : On ´ecrit

u_n= Z

],[

sin(tⁿ) tⁿ(+t)dt+

Z

],∞[

sin(tⁿ)

tⁿ(+t)dt=I_n+J_n et on étudie séparément les deux intégralesI_netJ_n.

Pour la premi`ere, on remarque que sur ],[ la quantit´e _t^sin(tn(+t)ⁿ⁾ tend simplement vers_+t^ 1t∈],[, en

étant dominée en valeur absolue par/(+t), qui eune fonion intégrable sur ],[ indépendante de n. Ainsi, d’après le théorème de convergence dominée,I_n→R

],[ 

+tdt= ln().

Pour la seconde, pourn≥, on remarque que sur ],∞[ la quantité_t^sin(tn(+t)ⁿ⁾ tend simplement vers, en étant dominée en valeur absolue par _t(_^_+t), qui eune fonion intégrable sur ],∞[ indépendante de n. Ainsi, d’après le théorème de convergence dominée,J_n→. On conclut queu_n→ln().

E

^{xercice 0.} ^Soit^f ^{: ([}^^,⁺^∞^[,^B^([^^,⁺^∞^[)^→^([^^,⁺^∞^[,^B^([^^,⁺^∞[)) une fonion mesurable.

. Montrer que l’on d´efinit une fonion continueF: [,+∞[→Rpar la formule F(x) =

Z∞



aran(xf(t))

+t^ dt , x≥.

. Calculer la limite deF(x) quandx→ ∞.

. Montrer queFed´erivable sur ],+∞[.

. Donner une condition n´ecessaire et suffisante surf pour queF soit d´erivable en.

Corrig´e :

. On pose g(x, t) = aran(xf(t))/(+t^) pour x ≥  et t ≥ . Alors pour tout t ≥  la fonion x7→g(x, t) econtinue. De plus pour toutx≥la foniont7→g(x, t) eintégrable et|g(x, t)| ≤ π/((+t^)). Donc d’après le théorème de continuité sous le signe intégrale, la fonion F e continue sur [,+∞[.

Pour des queions, demande de précisions ou explications, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à igor.kortchemski@ens.fr , ou bien à venir me voir au bureau V.



(2)

. Soit (x_n)_n≥une suite de r´eels positifs convergeant vers +∞. Alorsg(x_n, t)→π/((+t^))1^{f(t),}

pour toutt≥. La domination utilisée à la queion précédente permet d’utiliser le théorème de convergence dominée et d’obtenir que

nlim→∞F(x_n) = Z ∞



π

(+t^)1^{f(t),}dt.

Ainsi

xlim→∞F(x) = Z ^∞



π

(+t^)1^{f(t),}dt.

. Pour toutt≥la fonionx7→g(x, t) edérivable de dérivée

∂g(x, t)

∂x = f(t)

(+t^)(+x^(f(t))^). Soita >. Pour toutx≥aon a

f(t)

(+t^)(+x^(f(t))^)

≤  a(+t^).

Donc d’après le théorème de dérivation sous le signe intégrale, la fonion F edérivable sur [a,+∞[ et ceci pour touta >, elle edonc dérivable sur ],+∞[.

. On va montrer queF ede classeC^sur [,+∞[ si et seulement si la foniont7→f(t)/(+t^) e int´egrable. Supposons que la foniont7→f(t)/(+t^) soit int´egrable. Alors pour toutx≥on a

f(t)

(+t^)(+x^(f(t))^)

≤ f(t) (+t^).

Donc d’après le théorème de dérivation sous le signe intégrale, la fonion F edérivable sur [,+∞[. Supposons maintenant que la foniont7→f(t)/(+t^) ne soit pas intégrable. Soit (x_n)_n≥

une suite de r´eels positifs convergeant vers. Alors pour toutt≥, aran(xnf(t))

x_n(+t^) −→

n→∞

f(t) (+t^). Donc d’apr`es le lemme de Fatou,

lim inf

n→∞

Z∞



aran(xnf(t))

x_n(+t^) dt=∞.

AinsiF(x_n)/x_n→ ∞quandn→ ∞.

1 – Petite question

Soitµune mesure positive sur (R,B(R)) etg:R→R₊une fonion mesurable.

. On suppose que pour toute fonion mesurablef :R→R₊on a Z

f(x)µ(dx) = Z

f(x)g(x)dx.

Que dire deµ?



(3)

. On suppose maintenant queµefinie et que pour toute fonion continue born´eef :R→R₊on

a Z

f(x)µ(dx) = Z

f(x)g(x)dx.

Que dire deµ? Corrig´e :

. Si on prendf =1AavecA∈ B(R), on voit que µ(A) =

Z

A

g(x)dx.

Ainsiµela mesure de densit´eg par rapport `a la mesure de Lebesgue.

. On va montrer que la conclusion ela mˆeme. Sia < b∈R, consid´eronsφ_k(x) = (kd(x,]a, b[^c))∧, qui eune fonion lipschitzienne tendant simplement en croissant vers1]a,b[. Ainsi,

Z

φ_n(x)µ(dx) = Z

φ_n(x)g(x)dx, et d’après le théorème de convergence monotone, ceci implique

µ(]a, b[) = Z

]a,b[

g(x)dx.

En particulier, ceci impose queg eint´egrable. En utilisant le lemme de la classe monotone, on conclut que

µ(A) = Z

A

g(x)dx

pour tout borélienA∈R. Ainsiµeencore la mesure de densitég par rapport à la mesure de Lebesgue.

1 – Calculer en cent leco¸ns

E

^{xercice 1.} (Formule des compl´ements) On noteΓ la fonion d´efinie pourx >par Γ(x) =

Z ^∞

 t^x⁻^e⁻^tdt.

. Calculer la mesure image de la mesure

x^a⁻^y^b⁻^e⁻^(x+y)1^{x,y≥}dx dy, par l’application (x, y)∈(R₊)^7→(x+y, x/(x+y)).

. En d´eduire la formule des compl´ements : Γ(a)Γ(b)

Γ(a+b) = Z _

 t^a⁻^(−t)^b⁻^dt.

Corrig´e :



(4)

. Soitf :R^₊→R₊une fonion bor´elienne. On veut calculer Z

(R^∗₊)^

f x+y, x x+y

!

x^a⁻^y^b⁻^e⁻^(x+y)dx dy.

Soitφ: (x, y)∈(R^∗₊)^7→(x+y, x/(x+y)),qui eunC^-diff´eomorphisme surR^∗₊×],[ de jacobien Jac(φ)(x, y) =− 

x+y. D’apr`es la formule du changement de variables, on a

Z

(R^∗₊)^

f x+y, x x+y

!

x^a⁻^y^b⁻^e⁻^(x+y)dx dy

= Z

(R^∗

+)^

f x+y, x x+y

!

(x+y) x x+y

!a−

(x+y)−(x+y) x x+y

!b−

(x+y)e⁻^(x+y)(x+y)⁻^dx dy

= Z

R^∗₊×],[f(u, v)(uv)^a⁻^(u−uv)^b⁻^ue⁻^udu dv

= Z

R^∗

+×],[f(u, v)e⁻ûuâ+b⁻^vâ⁻^(−v)^b⁻^du dv.

Donc la mesure image par (x, y)7→(x+y, x/(x+y)) de la mesurexâ⁻^y^b⁻^e⁻^(x+y)1{x,y>}dx dye e⁻ûuâ+b⁻^vâ⁻^(−v)^b⁻^1^{u>,<v<}.

. D’après le théorème de Fubini-Tonelli la masse totale de cette mesure e Z

(R^∗₊)^

x^a⁻^y^b⁻^e⁻^(x+y)dx dy=Γ(a)Γ(b),

et Z

R^∗

+×],[e⁻ûuâ+b⁻^vâ⁻^(−v)^b⁻^du dv=Γ(a+b) Z _

 d t^a⁻^(−t)^b⁻^. On trouve donc la formule des compl´ements.

2 – Approximations

E

^{xercice 2.} ^Soit^f ^{: (}^R^,^B⁽^R⁾⁾^→⁽^R^,^B⁽^R^{)) une fon}ion int´egrable pour la mesure de Lebesgue. On suppose que pour tousa < b,

Z

]a,b[

f(x)λ(dx) =. Montrer quef =λ-p.p.

Corrig´e :

Solution. On vérifie aisément que la classe des boréliensAtels queR

Af(x)λ(dx) =eune classe monotone (pour laabilité par union croissante on peut utiliser le théorème de convergence dominée).

Elle contient les intervalles ouverts, qui forment une classe able par interseions finies engendrant



(5)

la tribu bor´elienne. On a donc R

Af(x)λ(dx) =  pour tout bor´elien A d’apr`es le lemme de la classe monotone. En particulier,

Z

{f >}

f dλ=.

Or f1^{_{f >}^} eune fonion positive doncf1^{_{f >}^} = λ-p.p. De mˆeme, f1^{_{f <}^} = λ-p.p. Donc f = λ-p.p.

Solution. Soient f⁺ et f⁻ respeivement les parties positive et négative de f, et les mesures positivesdν₊=f⁺dλetdν−=f⁻dλ. On a, pour tous a < b, ν₊(]a, b[) =ν−(]a, b[). Orν₊ etν−sont des mesures boréliennes positives de masse finie, donc le théorème d’unicité des mesures impliqueν₊=ν−. Ainsi,

∀A∈ B(R), Z

A

f dλ=.

On conclut comme dans la solution.

E

^{xercice 3.} On se donne deux mesures positives bor´eliennesµetν surR, et on suppose que pour tout choix dea < b∈R

µ(]a, b[)≤ν(]a, b[)<∞. Montrer alors queµ(A)≤ν(A) pour tout bor´elienA.

Corrig´e :

Tout d’abord, on remarque queµ(]a, b[)≤ν(]a, b[) si a, b ∈R∪ ±∞ (pour le voir, on peut par exemple utiliser la sigma additivit´e deµetν.

SoitOun ouvert deR. Montrons queµ(O)≤ν(O). Il exie une suite d’intervalles (]a_n, b_n[)_n≥, avec a_n, b_n∈R∪ ±∞telle que

O=[

n≥

]a_n, b_n[ o `u l’union edisjointe. Ainsi

µ(O) =X

n≥

µ(]a_n, b_n[)≤X

n≥

ν(]a_n, b_n[) =ν(O).

Puis, les mesures finies sur (R,B(R) étant régulières extérieurement, on a pour toutA∈ B(R) : µ(A) = inf{µ(O);A⊂O, Oouvert deR}= inf{ν(O);A⊂O, Oouvert deR}=ν(A).

Cela conclut.

E

^{xercice 4.} (Fonion de r´epartition d’un ensemble) SoitAun ensemble bor´elien deRde mesure finie.

Montrer que la fonionf :R−→Rd´efinie parf(x) =λ(]− ∞, x]∩A) econtinue.

Corrig´e :

Elle e-Lipschitzienne ! SiA∈ B(R) alors

|f(x)−f(y)| ≤λ([x, y]∩A)≤ |x−y|.



(6)

E

^{xercice 5.} ⁽ – Théorème de Lusin) Soitf : [,]−→Rune fonion borélienne. Montrer que pour tout ε >il exie une fonion continueg: [,]−→Rtelle que

λ({x, f(x),g(x)})≤ε.

Indication.On pourra commencer par le cas o `uf =AavecAbor´elien de [,].

Corrig´e :

Commençons par le cas o ùf =AavecAborélien de [,]. Par régularité de la mesure de Lebesgue, il exie un ferméFet un ouvertOtels que

F⊂A⊂Oetλ(O\F)≤ε.

Il exie alors une fonion continue à valeur dans [,] qui vautsur F eten dehors deO, en effet d(F, O^c) = η > par compacité et on vérifie que la fonion

f_F,O:x7→sup

−d(x, F) η

! ,

! ,

v´erifie bien les conditions requises. Donc la fonionf_F,O econtinue et λ({x, f(x),f_F,O(x)})≤λ(O\F)≤ε.

Dans le cas général, on peut supposer que≤f ≤et on définit par récurrence

— f_=^_f≥/

— f_=^_(f−f_)≥/

— f_=^_(f−f_−f_)≥/

— ...

Ainsi f =P∞

n=f_n et pour toutn, ⁿf_n eune fonion indicatrice d’un borélien de [,]. D’après les résultats précédents pour chaquen≥, il exie une fonion≤h_n≤continue telle queλ(x, h_n(x),

ⁿf_n(x))≤ε⁻ⁿ.La fonion continueh=P^∞

n=⁻ⁿh_nr´epond alors `a la queion.

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 7.} ⁽ ^{) Soit} ^µ une mesure positive sur (R,B(R)) et g :R →R₊ une fonion mesurable. On suppose queµede masse infinie et que pour toute fonion continue born´eef :R→R₊on a

Z

f(x)µ(dx) = Z

f(x)g(x)dx.

E-ce que forc´ementµ(A) =R

Ag(x)dxpour tout bor´elienA∈R? Corrig´e :

Si la mesure µ n’epas finie mais finie sur tous les compas (ce qui revient à fire que g e locale- ment intégrable), il eaisé d’adapté le raisonnement de la petite queion pour obtenir une réponse affirmative.

En revanche, si on ne fait aucune hypothèse surµ, le résultat tombe en défaut, comme le montre le contre-exemple suivant (d û à Omar Mohsen). On commence par conruire une fonion positive mesurablegd’intégrale infinie (pour la mesure de Lebesgue) sur tout intervalle ouvert. Soit (r_n)_n≥une

énumération des rationnels, et considérons la fonion mesurable h(x) =X

n≥



ⁿ

√ 

x−r_n1_<x⁻r_n<.



(7)

Posonsg=h^. On vérifie queheintégrable, ce qui impliqueh <∞p.p. et doncg <∞p.p. En revanche, on vérifie que pour tousa < b:

Z

]a,b[

g(x)dx=∞.

Soit alorsµla mesure de comptage surR, de sorte que pour tousa < b:

∞=µ(]a, b[) = Z

]a,b[

g(x)dx. ()

Maintenant, sif :R→R₊eune fonion continue born´ee, ´ecrivonsf comme limite croissante de fonions en escalier :

f = lim

n→∞

nⁿ

X

k=−nⁿ i_kinf

n,^k+_n

hf ·1ⁱk

n,^k+__nh. Le th´eor`eme de convergence monotone et () fournissent

Z

f(x)µ(dx) = Z

f(x)g(x)dx.

Cependant il n’epas vrai queµ(A) =R

Ag(x)dxpour tout bor´elienA∈R. En effet :

=µ({}), Z

{}

g(x)dx=.

E

^{xercice 8.} ⁽ ) Trouver un espace topologiqueT et une mesureµsur (T ,B(T)) de masse totalequi ne soit pas tendue.

Corrig´e :

SoitXun ensemble non dénombrable, qu’on munit de la topologie co–dénombrableτ_x (les ouverts sont par définition∅et les sous-ensemblesB⊂X pour lesquelsB^c edénombrable). La tribu borélienne de Xealors conituée par les élémentsBtels queBouB^csoit dénombrable (en effet, on vérifie aisément que ces éléments forment une tribu).

Remarquons tout de suite que siB⊂Xeinfini, alorsBn’epas compa. En effet, soit (an)_n≥une suite d’´el´ements deB, posonsA={a_, a_, . . . ,}etB_n=A^c∪ {a_, . . . , a_n}. Alors∪_n_≥_B_n eun recouvrement ouvert deBduquel on ne peut pas extraire un recouvrement fini.

Soitµla mesure d´efinie sur (X, τ_X) par : µ(B) =











 siBed´enombrable

 siB^ced´enombrable.

Vérifions queµeune mesure. À cet effet, considérons une suite (B_n)_n≥de sous-ensembles disjoints de X et posons B=∪_n_≥_B_n. Si tous lesB_n sont dénombrables, µ(B_n) = pour tout n ≥ etµ(B) = ; on a bien µ(B) = P

n≥µ(B_n). Si un des B_n e de complémentaire dénombrable, tous les autres sont dénombrables car ils sont disjoints (s’en convaincre). Dans ce cas on a bien aussiµ(B) =P

n≥µ(B_n).

Il eclair en revanche queµn’epas tendue car d’après ce qu’on a vu précédemment les compas ont mesure nulle.

Et si on veut une mesure de masse totalenon tendue sur la tribu bor´elienne d’un espace m´etrique

... ?



(8)

Fin

