1 – Lemmes de Borel–Cantelli

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

TD  presque s ˆurement – Lemmes de Borel–Cantelli Corrig´e

0 – Exercice `a chercher du TD 10

E

^{xercice 0. Soit (Ω,F,P}) un espace probabilis´e etXune variable al´eatoire r´eelle d´efinie sur (Ω,F,P).

. Si deux tribusA_etA_ sur (Ω,F,P) sont ind´ependantes et ont un ´el´ement commun A, montrer queP(A) =ouP(A) =.

. SoitCune sous-tribu deF telle que siC ∈ C, alorsP(C) =ou P(C) =. Montrer que siX eC mesurable, alorsXeconante presque s ˆurement.

Indication : on pourra introduire la fonion de r´epartitionFdeXet consid´ererx_= inf{x∈R;F(x) =

}.

. Soitf :R→Rune fonion bor´elienne. On suppose quef(X) etX sont ind´ependantes. Montrer quef(X) econante presque s ˆurement.

Corrig´e :

. On aP(A∩A) =P(A)^=P(A). D’o `uP(A) =ouP(A) =.

. Pour toutx∈R,{X≤x} ∈ Cet doncF(x) =P[X≤x] =ou. Comme lim

x→∞F(x) =et lim

x→−∞F(x) =, on ax_ := inf{x∈ R;F(x) =} ∈(−∞,∞). Comme F ecroissante, sia < x_ < b, on a F(a) = et F(b) =. En particulier,P(x_−/n < X≤x_+/n) =pourn≥. Or :

{x_}=\

n≥

x_−

n;x_+ n

.

Cette interseion ´etant d´ecroissante etP ´etant finie, on a donc P(X=x_) = lim

n→∞P

x_− n;x_+

n

=.

Ainsi,X=x_p.s.

. PosonsY =f(X) et notonsC=σ(Y). Par hypoth`ese, les tribus engendr´ees parY etXsont ind´ependantes.

Or siC∈ C, alorsC ∈σ(X) carf emesurable. Ainsi, pour toutC ∈ C,C eind´ependant de lui- mˆeme, et doncP(C) =ouP(C) =. Le r´esultat en d´ecoule d’apr`es la deuxi`eme queion.

1 – Lemmes de Borel–Cantelli

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



E

^{xercice 1. Soitα >}, et soit, sur (Ω,A,P), (Z_n, n≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi donn´ee par

P(Z_n=) = 

n^α et P(Z_n=) =−  n^α. Montrer queZ_n→dansL^mais que, p.s.,

lim sup

n→∞

Z_n=

(  si α≤

 si α > .

Corrig´e : On a,

E(|Z_n|) =E(Z_n) =  n^α −→

n→∞, ce qui signifie queZ_n→dansL^.

Pour tout n≥, on note A_n ={Z_n =}. Si α > alors P

n≥P(A_n) <∞. D’apr`es le lemme de Borel- Cantelli, on a doncP(lim supA<sub>n</sub>) =c’e-`a-dire p.s., il exien_≥tel que pour toutn≥n_,Z_n=et ainsi lim supZ_n=.

Si α ≤  alors P

n≥P(A_n) =∞. Les A_n ´etant ind´ependants, d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, on a donc P(lim supA<sub>n</sub>) =  c’e-`a-dire p.s., pour tout n_ ≥ , il exie n ≥ n_ tel que Z_n =  et ainsi

lim supZ_n=.

E

^{xercice 2. Soit (Xn)n≥} une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement diribu´ees.

On noteFla fonion de r´epartition deX_et on suppose queX_n’epas p.s. conante.

. Soita∈Rtel que< F(a)<. Montrer que p.s., lim inf

n→∞ X_n≤a≤lim sup

n→∞

X_n.

. On poseα= inf{x∈R:F(x)>}etβ= sup{x∈R:F(x)<}. Montrer queα < β, queα,+∞et que β,−∞.

. Montrer que p.s.,

lim sup

n→∞

X_n=β et lim inf

n→∞ X_n=α.

Corrig´e :

. On a lim sup{X_n> a} ⊂ {lim sup_n→∞X_n ≥a}etP(X_n> a) =−F(a)∈],[. DoncP

n≥P(X_n> a) = +∞et d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli (les ´ev´enements{X_n> a} ´etant ind´ependants), on a

P(lim sup{X_n> a}) =.

Ainsi p.s., lim sup_n→∞X_n≥a.

De mˆeme, lim sup{X_n≤a} ⊂ {lim inf_n→∞X_n ≤a}, et on montre comme pr´ecedemment que p.s.

lim inf_n→∞X_n≤a.

. On raisonne comme dans l’exercice `a pr´eparer. On aα ≤β car F e croissante. Supposons que α=β. Alors par continuit´e `a droiteF(α) =etF ela fonion de r´epartition de la mesureδ_α ce qui contredit l’hypoth`ese de l’´enonc´e. Siβ= +∞cela signifie queF≡ce qui n’epas possible car F(x)→quandx→ −∞. De mˆemeα,+∞.



. Soit (β_k)_k≥ une suite croissante qui tend versβ telle que α < β_k < β. D’apr`es la queion (), on a pour tout k ≥, p.s., lim sup_n→∞X_n ≥ β_k. Ainsi, p.s., lim sup_n→∞X_n ≥ β. Supposonsβ < +∞. Soitk≥. On a{lim sup_n→∞X_n> β+/k} ⊂lim sup{X_n> β+/k}. OrF(β+/k) =, le lemme de Borel-Cantelli assure donc que

P(lim sup{X_n> β+/k}) =.

Ainsi pour toutk≥, p.s., lim sup_n→∞X_n≤β+/kpuis, p.s., lim sup_n→∞X_n≤β.

Soit (α_k)_k≥une suite d´ecroissante qui tend versα telle queα < β_k < β. D’apr`es la queion (), on a pour toutk≥, p.s., lim sup_n→∞X_n≤α_k. Ainsi, p.s., lim sup_n→∞X_n≤α. Supposonsα >−∞. Soitk≥. On a{lim inf_n→∞X_n< α−/k} ⊂lim sup{X_n< α−/k}. CommeF(α−/k) =pour tout k≥, on conclut comme pr´ecedemment que, p.s., lim infn→∞X_n≥α.

E

^{xercice 3. SoientX}, X_, . . .des variables al´eatoires i.i.d. telles queP(X_=) =P(X_n=) =/. Posons : L_n:= max{k≥; il exiei≤n−ktel queX_i+=· · ·=X_i+k=}.

. Montrer que p.s. lim sup_n→∞L_n/ln(n)≤/ln().

. Montrer que p.s. lim infn→∞L_n/ln(n)≥/ln().

. Conclure.

Corrig´e :

. Pourj≥, on a

P(L_n≥j) = P











n−j

[

i=

{X_i+=· · ·=X_i+j =}











≤

n−j

X

i=

P({X_i+=· · ·=X_i+j =}) =

n−j

X

i=



^j =n−j+

^j ≤ n

^j.

Soient > etj =j(n) :=b(+) ln(n)/ln()c. Alors P(L_n ≥j_n)≤/n. Posonsn =n_k =bk^/cde sorte queP

kP(L_nk ≥j(n_k))<∞. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutksuffisamment grand on aL_nk < j(n_k)≤(+) ln(n_k)/ln().

Soitn∈[n_k−, n_k[ suffisamment grand. Alors L_n≤L_nk <(+)ln(n_k)

ln() ≤(+)ln(n_k−)

ln() ≤(+)ln(n) ln(), d’o `u le r´esultat.

. Posonsk_n:=b(−) ln(n)/ln()c. Soit

A_i:={X_(i−)k_n+=X_(i−)k_n+=· · ·=X_ikn=}, ≤i≤N_n:=bn/k_nc. Alors∪^Nn

i=A_i ⊂ {L_n≥k_n}. Puisque les ´ev´enementsA_i,≤i≤N_n sont ind´ependants, ceci entraˆıne que

P(L_n< k_n)≤P









N_n

\

i=

A^c_i









=

N_n

Y

i=

P(A^c_i) =P(A^c_)^Nn= − 

^kn

!N_n

,

qui esommable enn. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutnsuffisamment grand, L<sub>n</sub>≥k<sub>n</sub>≥(−) ln(n)/ln()−, d’o `u le r´esultat.



. Ainsi, p.s. lim_n→∞L_n/ln(n) =/ln().

E

^{xercice 4. Soit (X}n, n≥) une suite de variables al´eatoires r´eelles positives, ind´ependantes et de mˆeme loi d´efinies sur (Ω,A,P).

. Montrer que p.s.P∞

n=X_n=∞, sauf dans un cas `a pr´eciser.

. Montrer que pour toutα >on a l’´equivalence suivante : E[X]<∞ ⇐⇒ X

n≥

P[X≥αn]<∞. Indication. On pourra montrer que

X

n≥

αnP(αn≤X < α(n+))≤E[X]≤X

n≥

α(n+)P(αn≤X < α(n+)).

En d´eduire la dichotomie suivante : p.s.

lim supX_n n =

(  siE[X_]<∞

∞ siE[X_] =∞ . Corrig´e :

. Tout d’abord, siX_ epresque s ˆurement nulle, alorsP

nX_n=p.s. Supposons que X_ n’epas nulle, alors on peut trouverε >tel que P[X_> ε]>. On a trivialement queP

nP[X_n> ε] =∞, et lesX_nsont ind´ependants, donc par Borel-Cantelli, p.s. lesX_nsont sup´erieurs `aεune infinit´e de fois, doncP

nX_n=∞.

. SoitXune v.a. positive etα >. En ´ecrivantX=P

n≥X1αn≤X≤α(n+), on obtient les encadrements deXsuivants :

X

n≥

αn1αn≤X<α(n+)≤X≤X

n≥

α(n+)1αn≤X<α(n+). En prenant l’esp´erance de la ligne pr´ec´edente on obtient

X

n≥

αnP(αn≤X < α(n+))≤E[X]≤X

n≥

α(n+)P(αn≤X < α(n+)). () PosonsA_n={X_n≥αn}.

Montrons d’abord la r´eciproque en supposant queP

P(A_n) converge. On remarque que XN

n=

(n+)(P(A_n)−P(A_n+)) = XN n=

P(A_n)−(N+)P(A_N+)≤ XN n=

P(A_n).

En passant `a la limite lorsqueN → ∞et en utilisant (), on obtientE[X]<∞. Montrons maintenant le sens direen supposant queE[X]<∞et en ´ecrivant

N

X

n=

n(P(A_n)−P(A_n+)) =

N

X

n=

P(A_n)−NP(A_N+) ()

≥ XN n=

P(A_n)−(N+)P(X > N+)≥ XN n=

P(A_n)−E[X1_X>N+]. ()



D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee,E[X1_X>N+]→lorsqueN → ∞. En prenant l’esp´erance de la ligne pr´ec´edente on obtient

αX

n≥

P[X≥αn]≤E[X]< αX

n≥

P[X≥αn] +α, dont il efacile de d´eduire que

E[X]<∞ ⇐⇒ X

n≥

P[X≥αn]<∞.

Soit α > , lim sup^X_nⁿ ≥ α ssi il exie une infinit´e de n tels que X_n ≥ αn. D’apr`es la queion pr´ec´edente,

X

n≥

P[X≥αn]

( <∞ siE[X_]<∞

=∞ siE[X_] =∞ , donc par Borel-Cantelli

P

lim supX_n n ≥α

=

(  siE[X_]<∞

 siE[X_] =∞ et par cons´equent

lim supX_n n =

(  siE[X_]<∞

∞ siE[X_] =∞ p.s.

E

^{xercice 5.} (LFGN cas non int´egrable) Soit (X_n)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi. On pose, pour toutn≥,S_n=X_+. . .+X_n.

. Montrer que

E(|X_|)≤+X

n≥

P(|X_n| ≥n).

. En d´eduire que siX_n’epas int´egrable alors la suite (n^−S_n)_n≥diverge p.s.

Corrig´e :

. On utilise la relation

E(|X_|) = Z ∞



P(|X_|> t)dt, pour obtenirE(|X_|)≤+P

n≥P(|X_| ≥n) (ou bien on fait comme `a l’exercice pr´ec´edent). Puis on aP(|X_| ≥n) =P(|X_n| ≥n).

. SiX_n’epas int´egrable alorsP

n≥P(|X_n| ≥n) = +∞. Les ´ev´enements{|X_n| ≥n}´etant ind´ependants, on aP(lim sup{|X_n| ≥n}) =d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli. On remarque que

S_n

n → une limite reelle

⊂ S_n

n − S_n+

n+ → \( S_n

n(n+) → )

.

Donc S_n

n → une limite reelle

⊂ X_n

n →

⊂(lim sup{|X_n| ≥n})^c.

DoncS_n/ndiverge p.s.



E

^{xercice 6.} Montrer qu’il n’exie pas de mesure de probabilit´e surN^∗:={,, . . .} telle que, pour tout n≥, la probabilit´e de l’ensemble des multiples densoit ´egale `a/n.

Corrig´e : Voir le poly de cours (Application () en bas de la page).

E

^{xercice 7. Soit (Y}n)_n≥une suite de v.a. de Bernoulli ind´ependantes d´efinies parP(Y_n=) =petP(Y_n=

−) =−pavec< p <etp,/. On consid`ere la marche al´eatoireZ_n=Y_+Y_+· · ·+Y_n(avecZ_=).

On noteA_n={Z_n=}.

a) Que repr´esente l’´ev´enement lim sup_n→∞A_n? b) Montrer queP(lim sup_n→∞A_n) =.

Corrig´e :

a) lim sup_n→∞A_nrepr´esente l’ensemble des trajeoires deZ_nqui repassent une infinit´e de fois par. b) D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, il suffit de montrer queP

P(A_n) converge. OrP(A_n) enul si neimpair et

P(A_n) =P(Z_n=) = n n

!

pⁿ(−p)ⁿ.

OrP(A_n+)/P(A_n) =^(n+_(n+^)(_^₎ⁿ⁺ ^)p(−p)→p(−p) quandn→ ∞. Orp(−p)<puisquep,/,

d’o `u la convergence de la s´erie.

2 – Loi du 0–1 de Kolmogorov

E

^{xercice 8.} Montrer que si les variables al´eatoires r´eelles (X_n)_n≥ sont ind´ependantes, la s´erieP

n≥X_n converge ou diverge presque s ˆurement.

Corrig´e : Notons (Ω,F,P) l’espace probabilis´e sur lequel les variables al´eatoires (X_n)_n≥sont d´efinies.

Notons F_N = σ(X_N, X_N+, . . .). La s´erie P

n≥X_n converge si et seulement si la s´erie P

n≥NX_n converge pour toutN ≥. Or











ω∈Ω;X

n≥N

X_n(ω) converge











∈ F_N. ()

On a donc 









ω∈Ω;X

n≥

X_n(ω) converge











= \

N≥











ω∈Ω;X

n≥N

X_n(ω) converge











∈ \

N≥

F_N. On conclut en utilisant la loi du–de Kolmogorov.

Remarque.Dans un but p´edagogique, expliquons d’o `u vient () en d´etail. D’apr`es le crit`ere de Cauchy,











ω∈Ω; X

n≥N

X_n(ω) converge











=\

k≥

[

k≥N

\

p,q≥k









 ω∈Ω;

q

X

n=p

X_n(ω)

<  k









 .

Or, pourp, q≥N,









 ω∈Ω;

q

X

n=p

X_n(ω)

<  k











∈σ(X_p, X_p+, . . . , X_q)⊂ F

N,

ce qui ´etablit () carF_N eune tribu.



E

^{xercice 9.} On suppose que les variables al´eatoires r´eelles (X_n)_n≥sont ind´ependantes.

a) Montrer que le rayon de convergenceRde la s´erie enti`ereP

n≥X_nzⁿepresque s ˆurement conant.

b) On suppose maintenant que les variables al´eatores (X_n)_n≥ont mˆeme loi. Montrer que siE

ln(|X_|)⁺

=

∞, alorsR=p.s. , et que siE

ln(|X_|)⁺

<∞, alorsR≥p.s.

Corrig´e :

a) Le rayon de convergeRedonn´e par la formule

R= 

lim sup

n→∞

|X_n|^/n.

Mais la variable al´eatoire lim sup_n→∞|X_n|^/nemesurable par rapport `a la tribu queue des (X<sub>n</sub>)<sub>n</sub>≥, elle edonc presque s ˆurement conante d’apr`es l’exercice qui ´etait `a pr´eparer.

b) On ´ecrit

|X_n|^/n= exp ln(|X_n|)⁺ n

!

exp −ln(|X_n|)⁻ n

! . SiE

ln(|X_|)⁺

<∞, alors d’apr`es l’Exercice: lim sup_n→∞ln(|X_n|)⁺/n=et donc ln(|X_n|)⁺/n→

. On a alorsR≥car exp

−^ln(|Xn|)

−

n

≤. SiE

ln(|X_|)⁺

=∞, alors d’apr`es l’Exercice, lim sup_n→∞ln(|X_n|)⁺/n=∞. Ceci implique que lim sup_n→∞ln(|X_n|)/n=∞et doncR=presque s ˆurement.

 – Compl´ements (hors TD)

E

xercice 10. Soit (X_n)_n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes positives, de mˆeme loi. On consid`ere l’´ev´enementF d´efini par :

F={ω; il exie une suite infinie croissante (n_k)_k≥pouvant d´ependre deωpour laquelleX_nk(ω)> n_k}. a) Montrer queP(F) =ou.

b) Montrer queP(F) ne d´epend que deE[X_].

Corrig´e :

a) En posantA_n={X_n> n}, on voit ais´ement que F= lim sup

n→∞ A_n=\

k≥

[

n≥k

A_k.

Or∪_n≥kA_k∈σ(X_k, X_k+, . . .). DoncF appartient `a la tribu asymptotique des (X<sub>n</sub>)<sub>n</sub>≥. D’apr`es la loi du–de Kolmogorov,P(F) =ou.

b) Supposons d’abord E[X_] = ∞. D’apr`es la queion  de l’exercice  (avec α = ), P

P(A_n) di- verge. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, les variables al´eatoires (X_n)_n≥ ´etant ind´ependantes, il en d´ecoule queP(lim sup_n→∞A_n) =et doncP(F) =.

Supposons maintenant E[X_]<∞. D’apr`es la queion de l’exercice (avec α =), P P(A<sub>n</sub>) converge. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli,P(lim sup_n→∞A_n) =et doncP(F) =.



E

xercice 11. ( ) Soit (X_n)_n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi donn´ee par :

P[X_n=] =P[X_n=−] =/, n=,, . . . .

Montrer qu’avec probabilit´e , il n’exie aucun point z_ du cercle de convergence de la s´erie enti`ere F(z) =P

n≥X_nzⁿtel queFse prolonge autour dez_en une fonion d´eveloppable en s´erie enti`ere autour dez_.

Corrig´e : On dira qu’une fonion d´efinie sur un ouvertU deCet `a valeurs complexes eanalytique surU si elle ed´eveloppable en s´erie enti`ere autour de chaque point deU. On rappelle qu’une s´erie enti`ere eanalytique en tout point de son disque ouvert de convergence.

Notons S={z ∈C;|z|=}, D ={z∈C;|z| <} et pourζ∈ D, r >notons D_ζ(r) ={z ∈C;|z−ζ|< r}. Finalement notons

A_F={z∈S;F se prolonge autour dezen une fonion d´eveloppable en s´erie enti`ere autour dez}. Raisonnons par l’absurde en supposant que P(A<sub>F</sub> , ∅) > . On commence par se ramener (par un argument de densit´e) `a montrer une propri´et´e presque s ˆur pourunpoint et non pas tous les points de S. Pour cela, soit (q_n)_n≥une suite dense dansS. D’apr`es le rappel,A_Feouvert p.s. et donc

{ω;A_F,∅} ⊂ {ω;∃q_ntqq_n∈ A_F}. On a donc

P(∃q_ntqq_n∈ A_F)>.

Or

P(∃q_ntqq_n∈ A_F})≤X

n≥

P(q_n∈ A_F) Il exie doncn≥tel queP(q_n∈ A_F)>. Pour simplifier, notonsq_n=q.

Or siF se prolonge en une fonion d´eveloppable en s´erie enti`ere autour de q, on peut trouver une suite de points r<sub>n</sub> ∈ C tels que |r<sub>n</sub>| <  tels que q appartienne au disque ouvert de convergence du d´eveloppement en s´erie enti`ere enr_n. En raisonnant de la mˆeme mani`ere qu’au paragraphe pr´ec´edent, on en d´eduit l’exience deζ∈Detr >tel queD_ζ(r)1Det :

P(Fse prolonge en une fonion analytique surD∪D_ζ(r))>.

Pour simplifier, notonsA={ω;Fse prolonge en une fonion analytique surD∪D_ζ(r)}. Montrons d’abord queP(A) =. Pour cela, on ´ecrit pour|u|<− |ζ|:

F(ζ+u) =

∞

X

n=

X_n(ζ+u)ⁿ=

∞

X

m=

u^m









∞

X

n=m

n m

!

X_nζ^n−m







. Pour simplifier, notonsa_m=P^∞

n=m n m

X_nζ^n−m qui sont donc les coefficients du d´eveloppement en s´erie enti`ere deF autour deζ. F eanalytique surD<sub>ζ</sub>(r) si le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere e au moinsr. Ainsi,{F eanalytique surD_ζ(r)}eun ´ev´enement de la tribu asymptotique des (X_n)_n≥, et doncP(A) =ou. CommeP(A)>, on a forc´ementP(A) =.

Par conruion, l’arcD_ζ(r)∩Senon vide. Soit donck≥un entier suffisamment grand tel que cet ait une longueur au moins ´egale `aπ/k. Posons alors :

Y_n(ω) =











X_n(ω) sin. modk

−X_n(ω) sin≡ modk



et introduisons

G(z) =

∞

X

n=

Y_nzⁿ

Comme la suite (Y_n)_n≥et la suite (X_n)_n≥a la mˆeme loi, on a donc

P(Gse prolonge en une fonion analytique surD∪D_ζ(r)) =.

Or

F(z)−G(z) =

∞

X

m=

X_mkz^mk.

En remplac¸ant z par ze^πi/k, cette expression ne change pas. Ainsi, en posons D_ζ^(l)(r) = {ze^πil/k;z ∈ D_ζ^(l)} pour tout l ≥ , il s’ensuit que F(z)−G(z) peut-ˆetre prolong´ee presque s ˆurement en une fonc- tion analytique sur{|z|<+}pour un certain >(on utilise ici le fait qu’une union fini d’ensembles d’´ev´enements de probabilit´e  ree de probabilit´es ). Ceci e clairement absurde, car le rayon de

convergence deF−Gepresque s ˆurement.

Fin

