Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2013-2014TD — Lemmes de Borel–Cantelli
0 – Petites questions
Soit, sur (Ω,A,P), (Zn, n≥) une suite de variables al´eatoires telle que pour tout entiern≥,Zne une variable al´eatoire exponentielle de param`etren.
. Montrer queZnconverge presque s ˆurement verslorsquen→ ∞.
. Montrer que presque s ˆurement, `a partir d’un certain rang,Zn< Z.
. On suppose ici que les variables al´eatoires (Zn)n≥sont ind´ependantes. CalculerP
n≥P[Zn> Z].
Commenter.
1 – Lemmes de Borel–Cantelli
E
xercice 1. Soitα >, et soit, sur (Ω,A,P), (Zn, n≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi donn´ee parP(Zn=) =
nα et P(Zn=) =− nα. Montrer queZn→dansLmais que, p.s.,
lim sup
n→∞
Zn=
( si α≤
si α > .
E
xercice 2. Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement diribu´ees.On noteFla fonion de r´epartition deXet on suppose queXn’epas p.s. conante.
. Soita∈Rtel que< F(a)<. Montrer que p.s., lim inf
n→∞ Xn≤a≤lim sup
n→∞
Xn.
. On poseα = inf{x∈R:F(x)>}etβ= sup{x∈R:F(x)<}. Montrer queα < β, queα ,+∞et queβ,−∞.
. Montrer que p.s.,
lim sup
n→∞ Xn=β et lim inf
n→∞ Xn=α.
Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.
E
xercice 3. SoientX, X, . . .des variables al´eatoires i.i.d. telles queP(X=) =P(Xn=) =/. Posons : Ln:= max{k≥; il exiei≤n−ktel queXi+=· · ·=Xi+k=}.. Montrer que p.s. lim supn→∞Ln/ln(n)≤/ln().
. Montrer que p.s. lim infn→∞Ln/ln(n)≥/ln().
. Conclure.
E
xercice 4. Soit (Xn, n≥) une suite de variables al´eatoires r´eelles positives, ind´ependantes et de mˆeme loi d´efinies sur (Ω,A,P).. Montrer que p.s.P∞
n=Xn=∞, sauf dans un cas `a pr´eciser.
. Montrer que pour toutα >on a l’´equivalence suivante : E[X]<∞ ⇐⇒ X
n≥
P[X≥αn]<∞. Indication. On pourra montrer que
X
n≥
αnP(αn≤X < α(n+))≤E[X]≤X
n≥
α(n+)P(αn≤X < α(n+)).
En d´eduire la dichotomie suivante : p.s.
lim supXn n =
( siE[X]<∞
∞ siE[X] =∞ .
E
xercice 5. (LFGN cas non int´egrable) Soit (Xn)n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi. On pose, pour toutn≥,Sn=X+. . .+Xn.. Montrer que
E(|X|)≤+X
n≥
P(|Xn| ≥n).
. En d´eduire que siXn’epas int´egrable alors la suite (n−Sn)n≥diverge p.s.
E
xercice 6. Montrer qu’il n’exie pas de mesure de probabilit´e surN∗:={,, . . .} telle que, pour tout n≥, la probabilit´e de l’ensemble des multiples densoit ´egale `a/n.E
xercice 7. Soit (Yn)n≥une suite de v.a. de Bernoulli ind´ependantes d´efinies parP(Yn=) =petP(Yn=−) =−pavec< p <etp,/. On consid`ere la marche al´eatoireZn=Y+Y+· · ·+Yn(avecZ=).
On noteAn={Zn=}.
a) Que repr´esente l’´ev´enement lim supn→∞An? b) Montrer queP(lim supn→∞An) =.
2 – Loi du 0–1 de Kolmogorov
E
xercice 8. Montrer que si les variables al´eatoires r´eelles (Xn)n≥ sont ind´ependantes, la s´eriePn≥Xn converge ou diverge presque s ˆurement.
E
xercice 9. On suppose que les variables al´eatoires r´eelles (Xn)n≥sont ind´ependantes.a) Montrer que le rayon de convergenceRde la s´erie enti`ereP
n≥Xnznepresque s ˆurement conant.
b) On suppose maintenant que les variables al´eatores (Xn)n≥ont mˆeme loi. Montrer que siE
ln(|X|)+
=
∞, alorsR=p.s. , et que siE
ln(|X|)+
<∞, alorsR≥p.s.
3 – ` A chercher pour la prochaine fois
E
xercice 10. Soit (Xn, n≥) une suite de v.a. i. i.d. de loi exponentielle de param`etre.. Montrer que lim supn→∞Xn/ln(n) =p.s.
. On poseZn= max(X, ..., Xn)/ln(n), montrer que lim infn→∞Zn≥p.s.
. Montre que pour une suite (nk)k≥bien choisie, lim supk→∞Znk ≤p.s. En d´eduire que limn→∞Zn=
p.s.
– Compl´ements (hors TD)
E
xercice 11. Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes positives, de mˆeme loi. On consid`ere l’´ev´enementF d´efini par :F={ω; il exie une suite infinie croissante (nk)k≥pouvant d´ependre deωpour laquelleXnk(ω)> nk}. a) Montrer queP(F) =ou.
b) Montrer queP(F) ne d´epend que deE[X].
E
xercice 12. ( ) Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi donn´ee par :P[Xn=] =P[Xn=−] =/, n=,, . . . .
Montrer qu’avec probabilit´e , il n’exie aucun point z du cercle de convergence de la s´erie enti`ere F(z) =P
n≥Xnzntel queFse prolonge autour dezen une fonion d´eveloppable en s´erie enti`ere autour dez.
Fin
