TD  — Lemmes de Borel–Cantelli – Corrig´e

(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Lemmes de Borel–Cantelli – Corrig´e

Exercice à chercher du TD précédent

E

^{xercice 0.} Sur un espace de probabilité (Ω,A,P), on considère deux variables aléatoires exponentielles indépendantes de paramètre, notéesE_etE_.

. Que vautP(E_>E_) ?

. Quelle ela loi de ln (+E_/E_) ?

. On considère également une famille (Pt)_t≥ de variables aléatoires réelles (définies aussi sur (Ω,A,P)) telle que P_t suit la loi de Poisson de paramètre t pour tout t >  et on suppose que (P_t)_t≥eindépendante du couple (E_,E_). Soit finalement une variable aléatoire réelleX(définie aussi sur (Ω,A,P)), caraérisée par le fait que

E[F(X)] = E

hF(PE_−E_)1^{E_>E_}

i

P[E_>E_] pour toute fonionF:R→R₊mesurable.

Trouver la loi deX.

Corrig´e :

. Comme les deux couples (E_,E_) et (E_,E_) ont mˆeme loi et queP[E_=E_] =, on en d´eduit que

=P[E_<E_] +P[E_=E_] +P[E_>E_] =P[E_>E_]. DoncP[E_>E_] =/.

. Pourx≥, on calcule :

P[ln (+E_/E_)≥x] =P[+E_/E_≥e^x] =P[E_≥ E_(e^x−)] =P

he^−E^^(e^x⁻^)i .

En effet, rappelons que pour toute fonionnelle mesurableF:R^→R⁺,E[F(E_,E_)] =E[G(E_)], o `uG(x) =E[F(E_, x)] carE_etE_sond ind´ependantes. Or

P

he^−E^^(e^x⁻^)i

= Z∞

 du e⁻^u·e⁻^u(e^x⁻^)= Z ∞

 du e⁻ûe^x=e⁻^x. On en déduit que ln (+E_/E_) eune loi exponentielle de paramètre.

Pour des queions, demande de précisions ou explications, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à igor.kortchemski@ens.fr , ou bien à venir me voir au bureau V.



(2)

. PosonsG:R^R⁺×R→R₊d´efinie parG((x_t)_t≥, u) =F(x_u)1_u>. Comme (P_t)_t≥eind´ependante de E_− E_et que

G((P_t)_t≥,E_− E_) =F(PE_−E_)1^{E_>E_}, on en d´eduit que

E

hF(PE_−E_)1^{E_>E_}

i=E

hH(E_− E_)1^{E_>E_}

i,

o `uH(x) =E[F(P_x)]. Mais E

hH(E_− E_)1^{E_>E_}

i= Z

dxdy H(x−y)1^{x>y≥}e⁻^x⁻^y= Z

dudyH(u)1^{u,y≥}e⁻^u⁻^y

en utilisant le changement de variablex=u+y. Ainsi E

hH(E_− E_)1^{E_>E_}

i=

 Z ∞

 du H(u)e⁻^u.

Pour trouver la loi deX, calculons plutôt sa fonion caraériique. CommeE heîtP^xi

=e^x(eît⁻^⁾, d’après ce qui précède on a

E he^itXi

= Z ∞

 du eû(eît⁻^)e⁻û= 

−e^it.

On reconnaˆıt la fonion caraériique d’une variable aléatoire géométrique de paramètre/. En effet, siP[Y =k] =/^k+pourk≥, on a

E he^itYi

=X

k≥

e^itk

^k+ =

· 

−e^it/ = 

−e^it.

Remarque. SiX e une variable aléatoire et A_ un événement de probabilitériement positive, alors la mesureµ définie parµ(A) =µ({X∈A} ∩A_)/µ(A_) eappelée loi conditionnelle deX sachant A_, et ecaraérisée par le fait que siY eune variable aléatoire suivant cette dernière loi, alors pour toute fonionF:R→R₊mesurable on aE[F(Y)] =E

hF(X)1A_

i/P[A_].

0 – Petites questions

Soit, sur (Ω,A,P), (Z_n, n≥) une suite de variables aléatoires telle que pour tout entiern≥,Z_ne une variable aléatoire exponentielle de paramètren.

. Montrer queZ_nconverge presque s ˆurement verslorsquen→ ∞.

. Montrer que presque s ˆurement, `a partir d’un certain rang,Z_n< Z_.

. On suppose ici que les variables al´eatoires (Z_n)_n≥sont ind´ependantes. CalculerP

n≥P[Z_n> Z_].

Commenter.

Corrig´e :

. Soit >. On aP[Z_n> ] =e⁻ⁿ. Donc X

n≥

P[Z_n> ]<∞.

D’après le lemme Borel Cantelli, pour tout >, presque s ûrement, à partir d’un certain rang on aZ_n≤. Donc presque s ûrement, pour entierk≥, à partir d’un certain rang≤Z_n≤/k. On en déduit queZ_nconverge presque s ûrement vers.



(3)

. SoitA={ω∈Ω;Z_n(ω)→etZ_>}. Soitω∈A. Alors `a partir d’un certain rangZ_n(ω)< Z_(ω).

CommeP[A] =, ceci conclut.

. On aP[Z_n> Z_] =/(n+) pourn≥. Ainsi X

n≥

P[Z_n> Z_] =∞.

Ici le théorème de Borel Cantelli ne s’applique pas car les événements {Z_n > Z_} ne sont pas indépendants.

1 – Lemmes de Borel–Cantelli

E

^{xercice 1.} ^Soit^{α >}, et soit, sur (Ω,A,P), (Z_n, n≥) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi donnée par

P(Z_n=) = 

n^α et P(Z_n=) =−  n^α. Montrer queZ_n→dansL^mais que, p.s.,

lim sup

n→∞

Z_n=

(  si α≤

 si α > .

Corrig´e : On a,

E(|Z_n|) =E(Z_n) =  n^α −→

n→∞, ce qui signifie queZ_n→dansL^.

Pour toutn≥, on noteA_n={Z_n=}. Siα >alorsP

n≥P(A_n)<∞. D’apr`es le lemme de Borel- Cantelli, on a doncP(lim supA_n) =c’e-`a-dire p.s., il exien_≥tel que pour toutn≥n_,Z_n=et ainsi lim supZ_n=.

Siα ≤ alors P

n≥P(A_n) =∞. LesA_n étant indépendants, d’après le lemme de Borel-Cantelli, on a donc P(lim supA_n) =  c’e-à-dire p.s., pour tout n_ ≥, il exien ≥n_ tel que Z_n =et ainsi

lim supZ_n=.

E

^{xercice 2.} ^{Soit (X}n)_n≥ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement diribuées.

On noteFla fonion de r´epartition deX_et on suppose queX_n’epas p.s. conante.

. Soita∈Rtel que< F(a)<. Montrer que p.s., lim inf

n→∞ X_n≤a≤lim sup

n→∞

X_n.

. On poseα = inf{x∈R:F(x)>}etβ= sup{x∈R:F(x)<}. Montrer queα < β, queα ,+∞et queβ,−∞.

. Montrer que p.s.,

lim sup

n→∞

X_n=β et lim inf

n→∞ X_n=α.

Corrig´e :



(4)

. On a lim sup{X_n> a} ⊂ {lim sup_n→∞X_n≥a}etP(X_n> a) =−F(a)∈],[. DoncP

n≥P(X_n> a) = +∞et d’après le lemme de Borel-Cantelli (les événements{X_n> a} étant indépendants), on a

P(lim sup{X_n> a}) =. Ainsi p.s., lim sup_n→∞X_n≥a.

De mˆeme, lim sup{X_n ≤a} ⊂ {lim inf_n→∞X_n≤a}, et on montre comme pr´ecedemment que p.s.

lim inf_n→∞X_n≤a.

. On aα≤βcarFecroissante. Supposons queα=β. Alors par continuité à droiteF(α) =etF ela fonion de répartition de la mesureδ_αce qui contredit l’hypothèse de l’énoncé. Siβ= +∞ cela signifie queF≡ce qui n’epas possible carF(x)→quandx→ −∞. De mêmeα,+∞.

. Soit (βk)_k≥une suite croissante qui tend versβ telle queα < β_k< β. D’apr`es la queion (), on a pour toutk ≥, p.s., lim sup_n→∞X_n ≥β_k. Ainsi, p.s., lim sup_n→∞X_n ≥β. Supposonsβ <+∞. Soitk≥. On a{lim sup_n→∞X_n> β+/k} ⊂lim sup{X_n> β+/k}. OrF(β+/k) =, le lemme de Borel-Cantelli assure donc que

P(lim sup{X_n> β+/k}) =.

Ainsi pour toutk≥, p.s., lim sup_n→∞X_n≤β+/kpuis, p.s., lim sup_n→∞X_n≤β.

Soit (α_k)_k≥une suite décroissante qui tend versαtelle queα < β_k< β. D’après la queion (), on a pour toutk≥, p.s., lim sup_n→∞X_n≤α_k. Ainsi, p.s., lim sup_n→∞X_n≤α. Supposonsα >−∞. Soitk≥. On a{lim inf_n→∞X_n< α−/k} ⊂lim sup{X_n< α−/k}. CommeF(α−/k) =pour tout k≥, on conclut comme précedemment que, p.s., lim infn→∞X_n≥α.

E

^{xercice 3.} ^Soient^X, X_, . . .des variables al´eatoires i.i.d. telles queP(X_=) =P(X_n=) =/. Posons : L_n:= max{k≥; il exiei≤n−ktel queX_i+=· · ·=X_i+k=}.

. Montrer que p.s. lim sup_n→∞L_n/ln(n)≤/ln().

. Montrer que p.s. lim infn→∞L_n/ln(n)≥/ln().

. Conclure.

Corrig´e :

. Pourj≥, on a

P(L_n≥j) = P







n−j

[

i=

{X_i+_=· · ·=X_i+j=}







≤

n−j

X

i=

P({X_i+=· · ·=X_i+j=}) =

n−j

X

i=



^j =n−j+

^j ≤ n

^j.

Soient >etj=j(n) :=b(+) ln(n)/ln()c. Alors P(L_n≥j_n)≤/n. Posonsn=n_k =bk^^/cde sorte que P

kP(L_n_k ≥j(n_k))<∞. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutksuffisam- ment grand on aL_n_k < j(n_k)≤(+) ln(n_k)/ln().

Soitn∈[n_k−, n_k[ suffisamment grand. Alors L_n≤L_n_k <(+)ln(n_k)

ln() ≤(+)ln(n_k−)

ln() ≤(+)ln(n) ln(), d’o `u le r´esultat.



(5)

. Posonsk_n:=b(−) ln(n)/ln()c. Soit

A_i:={X_(i−)kn+=X_(i−)kn+=· · ·=X_ik_n=}, ≤i≤N_n:=bn/k_nc. Alors∪^Nⁿ

i=A_i⊂ {L_n≥k_n}. Puisque les événementsA_i,≤i≤N_nsont indépendants, ceci entraˆıne que

P(L_n< k_n)≤P







N_n

\

i=

A^c_i







=

N_n

Y

i=

P(A^c_i) =P(A^c_)^Nⁿ = − 

^kⁿ

!N_n

,

qui esommable enn. D’après le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutnsuffisamment grand, L_n≥k_n≥(−) ln(n)/ln()−, d’o ù le résultat.

. Ainsi, p.s. lim_n→∞L_n/ln(n) =/ln().

E

^{xercice 4.} ^{Soit (X}n, n≥) une suite de variables aléatoires réelles positives, indépendantes et de même loi définies sur (Ω,A,P).

. Montrer que p.s.P∞

n=X_n=∞, sauf dans un cas `a pr´eciser.

. Montrer que pour toutα >on a l’´equivalence suivante : E[X]<∞ ⇐⇒ X

n≥

P[X≥αn]<∞. Indication. On pourra montrer que

X

n≥

αnP(αn≤X < α(n+))≤E[X]≤X

n≥

α(n+)P(αn≤X < α(n+)).

En d´eduire la dichotomie suivante : p.s.

lim supX_n n =

(  siE[X_]<∞

∞ siE[X_] =∞ . Corrig´e :

. Tout d’abord, siX_epresque s ˆurement nulle, alorsP

nX_n=p.s. Supposons queX_ n’epas nulle, alors on peut trouverε >tel queP[X_> ε]>. On a trivialement queP

nP[X_n> ε] =∞, et lesX_n sont indépendants, donc par Borel-Cantelli, p.s. lesX_nsont supérieurs àεune infinité de fois, doncP

nX_n=∞.

. SoitXune v.a. positive etα >, il efacile de v´erifier les encadrements deXsuivants : X

n≥

αn1αn≤X<α(n+)≤X≤X

n≥

α(n+)1αn≤X<α(n+). En prenant l’espérance de la ligne précédente on obtient

αX

n≥

P[X≥αn]≤E[X]< αX

n≥

P[X≥αn] +α, dont il efacile de d´eduire que

E[X]<∞ ⇐⇒ X

n≥

P[X≥αn]<∞.



(6)

Soit α > , lim sup^X_nⁿ ≥ α ssi il exie une infinité den tels que X_n ≥ αn. D’après la queion précédente,

X

n≥

P[X≥αn]

( <∞ siE[X_]<∞

=∞ siE[X_] =∞ , donc par Borel-Cantelli

P

lim supX_n n ≥α

=

(  siE[X_]<∞

 siE[X_] =∞ et par cons´equent

lim supX_n n =

(  siE[X_]<∞

∞ siE[X_] =∞ p.s.

E

^{xercice 5.} (LFGN cas non intégrable) Soit (X_n)_n≥une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi. On pose, pour toutn≥,S_n=X_+. . .+X_n.

. Montrer que

E(|X_|)≤+X

n≥

P(|X_n| ≥n).

. En d´eduire que siX_n’epas int´egrable alors la suite (n⁻^S_n)_n≥diverge p.s.

Corrig´e :

. On utilise la relation

E(|X_|) = Z ∞



P(|X_|> t)dt, pour obtenirE(|X_|)≤+P

n≥P(|X_| ≥n). Puis on aP(|X_| ≥n) =P(|X_n| ≥n).

. SiX_n’epas int´egrable alorsP

n≥P(|X_n| ≥n) = +∞. Les événements{|X_n| ≥n}étant indépendants, on aP(lim sup{|X_n| ≥n}) =d’après le lemme de Borel-Cantelli. On remarque que

S_n

n → une limite reelle

⊂ S_n

n − S_n+

n+→ \( S_n

n(n+) → )

.

Donc S_n

n → une limite reelle

⊂ X_n

n →

⊂(lim sup{|X_n| ≥n})^c. DoncS_n/ndiverge p.s.

E

^{xercice 6.} Montrer qu’il n’exie pas de mesure de probabilité surN^∗:={,, . . .} telle que, pour tout n≥, la probabilité de l’ensemble des multiples densoit égale à/n.

Corrig´e :

Voir le polycopi´e de Jean-Franc¸ois Le Gall (Application () en bas de la page).

E

^{xercice 7.} ^{Soit (Y}n)_n≥une suite de v.a. de Bernoulli ind´ependantes d´efinies parP(Y_n=) =petP(Y_n=

−) =−pavec< p <etp,/. On consid`ere la marche al´eatoireZ_n=Y_+Y_+· · ·+Y_n(avecZ_=).

On noteA_n={Z_n=}.

a) Que représente l’événement lim sup_n→∞A_n?



(7)

b) Montrer queP(lim sup_n→∞A_n) =. Corrig´e :

a) lim sup_n→∞A_nrepr´esente l’ensemble des trajeoires deZ_n qui repassent une infinit´e de fois par

.

b) D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, il suffit de montrer queP

P(A_n) converge. OrP(A_n) enul sineimpair et

P(A__n) =P(Z__n=) = n n

!

pⁿ(−p)ⁿ. Or P(A_n+)/P(A_n) = (n+)(n+)

(n+)^ p(−p) →p(−p) quand n → ∞. Or p(−p) <  puisque p,/, d’o `u la convergence de la s´erie.

2 – Loi du 0–1 de Kolmogorov

E

^{xercice 8.} Montrer que si les variables aléatoires réelles (X_n)_n≥ sont indépendantes, la sérieP

n≥X_n converge ou diverge presque s ˆurement.

Corrig´e :

Notons (Ω,F,P) l’espace probabilisé sur lequel les variables aléatoires (X_n)_n≥sont définies.

NotonsF_N =σ(X_N, X_N_+, . . .). La s´erieP

n≥X_nconverge si et seulement si la s´erieP

n≥NX_nconverge pour toutN ≥. Or











ω∈Ω;X

n≥N

X_n(ω) converge











∈ F_N. ()

On a donc











ω∈Ω;X

n≥

X_n(ω) converge











= \

N≥











ω∈Ω;X

n≥N

X_n(ω) converge











∈ \

N≥

F_N. On conclut en utilisant la loi du–de Kolmogorov.

Remarque. Dans un but pédagogique, expliquons d’o ù vient () en détail. D’après le critère de Cauchy,











ω∈Ω; X

n≥N

X_n(ω) converge











=\

k≥

[

k≥N

\

p,q≥k









 ω∈Ω;

q

X

n=p

X_n(ω)

<  k









 . Or, pourp, q≥N,









 ω∈Ω;

q

X

n=p

X_n(ω)

<  k











∈σ(X_p, X_p+_, . . . , X_q)⊂ F_N,

ce qui ´etablit () carF_N eune tribu.

E

^{xercice 9.} On suppose que les variables aléatoires réelles (X_n)_n≥sont indépendantes.

a) Montrer que le rayon de convergenceRde la s´erie enti`ereP

n≥X_nzⁿepresque s ˆurement conant.

b) On suppose maintenant que les variables al´eatores (X_n)_n≥ont mˆeme loi. Montrer que siE

ln(|X_|)⁺

=

∞, alorsR=p.s. , et que siE

ln(|X_|)⁺

<∞, alorsR≥p.s.

Corrig´e :



(8)

a) Le rayon de convergeRedonn´e par la formule

R= 

lim sup

n→∞

|X_n|^/n.

Mais la variable aléatoire lim sup_n→∞|X_n|^^/nemesurable par rapport à la tribu queue des (X_n)_n≥, elle edonc presque s ûrement conante d’après l’exercicedu TD.

b) On ´ecrit

|X_n|^^/n= exp ln(|X_n|)⁺ n

!

exp −ln(|X_n|)⁻ n

! . SiE

ln(|X_|)⁺

<∞, alors d’apr`es l’Exercice: lim sup_n→∞ln(|X_n|)⁺/n=et donc ln(|X_n|)⁺/n→

. On a alorsR≥car exp

−^ln(^|^Xⁿ^|⁾

−

n

≤.

SiE

ln(|X_|)⁺

=∞, alors d’apr`es l’Exercice, lim sup_n→∞ln(|X_n|)⁺/n=∞. Ceci implique que lim sup_n→∞ln(|X_n|)/n=∞et doncR=presque s ˆurement.

 – Compl´ements (hors TD)

E

xercice 11. Soit (X_n)_n≥ une suite de variables aléatoires indépendantes positives, de même loi. On considère l’événementF défini par :

F={ω; il exie une suite infinie croissante (nk)_k≥pouvant d´ependre deωpour laquelleX_n_k(ω)> n_k}. a) Montrer queP(F) =ou.

b) Montrer queP(F) ne d´epend que deE[X_].

Corrig´e :

a) En posantA_n={X_n> n}, on voit ais´ement que F= lim sup

n→∞

A_n=\

k≥

[

n≥k

A_k.

Or∪_n_≥_kA_k∈σ(X_k, X_k+, . . .). DoncFappartient `a la tribu asymptotique des (X_n)_n≥. D’apr`es la loi du–de Kolmogorov,P(F) =ou.

b) Supposons d’abordE[X_] =∞. D’apr`es la queionde l’exercice(avecα=),P

P(A_n) diverge.

D’après le lemme de Borel-Cantelli, les variables aléatoires (X_n)_n≥ étant indépendantes, il en découle queP(lim sup_n→∞A_n) =et doncP(F) =.

Supposons maintenantE[X_]<∞. D’apr`es la queionde l’exercice(avecα =),P P(A_n) converge. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli,P(lim sup_n→∞A_n) =et doncP(F) =.

E

xercice 12. ( ) Soit (X_n)_n≥ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi donnée par :

P[X_n=] =P[X_n=−] =/, n=,, . . . .

Montrer qu’avec probabilité , il n’exie aucun point z_ du cercle de convergence de la série entière F(z) =P

n≥X_nzⁿtel queFse prolonge autour dez_en une fonion développable en série entière autour dez_.



(9)

Corrig´e :

On dira qu’une fonion définie sur un ouvert U de C et à valeurs complexes eanalytique surU si elle edéveloppable en série entière autour de chaque point deU. On rappelle qu’une série entière e analytique en tout point de son disque ouvert de convergence.

NotonsS={z∈C;|z|=},D={z∈C;|z|<}et pourζ∈D, r >notonsD_ζ(r) ={z∈C;|z−ζ|< r}. Finalement notons

A_F={z∈S;F se prolonge autour dezen une fonion développable en série entière autour dez}. Raisonnons par l’absurde en supposant queP(A_F ,∅)>. On commence par se ramener (par un argument de densité) à montrer une propriété presque s ûr pourunpoint et non pas tous les points de S. Pour cela, soit (q_n)_n≥une suite dense dansS. D’après le rappel,A_Feouvert p.s. et donc

{ω;A_F,∅} ⊂ {ω;∃q_ntqq_n∈ A_F}. On a donc

P(∃q_ntqq_n∈ A_F)>.

Or

P(∃q_ntqq_n∈ A_F})≤X

n≥

P(q_n∈ A_F) Il exie doncn≥tel queP(q_n∈ A_F)>. Pour simplifier, notonsq_n=q.

Or si F se prolonge en une fonion développable en série entière autour de q, on peut trouver une suite de pointsr_n ∈Ctels que |r_n|<tels que q appartienne au disque ouvert de convergence du développement en série entière enr_n. En raisonnant de la même manière qu’au paragraphe précédent, on en déduit l’exience deζ∈Detr >tel queD_ζ(r)1Det :

P(Fse prolonge en une fonion analytique surD∪D_ζ(r))>.

Pour simplifier, notonsA={ω;Fse prolonge en une fonion analytique surD∪D_ζ(r)}. Montrons d’abord queP(A) =. Pour cela, on ´ecrit pour|u|<− |ζ|:

F(ζ+u) =

∞

X

n=

X_n(ζ+u)ⁿ=

∞

X

m=

u^m







∞

X

n=m

n m

!

X_nζⁿ⁻^m





. Pour simplifier, notonsa_m=P∞

n=m n m

X_nζⁿ⁻^m qui sont donc les coefficients du développement en série entière deF autour deζ. F eanalytique surD_ζ(r) si le rayon de convergence de cette série entière e au moinsr. Ainsi,{F eanalytique surD_ζ(r)}eun événement de la tribu asymptotique des (X_n)_n≥, et doncP(A) =ou. CommeP(A)>, on a forcémentP(A) =.

Par conruion, l’arcD_ζ(r)∩Senon vide. Soit donck≥un entier suffisamment grand tel que cet ait une longueur au moins ´egale `aπ/k. Posons alors :

Y_n(ω) =











X_n(ω) sin. modk

−X_n(ω) sin≡ modk et introduisons

G(z) =

∞

X

n=

Y_nzⁿ

Comme la suite (Y_n)_n≥et la suite (X_n)_n≥a la mˆeme loi, on a donc

P(Gse prolonge en une fonion analytique surD∪D_ζ(r)) =.



(10)

Or

F(z)−G(z) =

∞

X

m=

X_mkz^mk.

En remplaçant z par ze^πi/k, cette expression ne change pas. Ainsi, en posons D_ζ^(l)(r) = {ze^πil/k;z ∈ D_ζ^(l)} pour tout l ≥ , il s’ensuit que F(z)−G(z) peut-être prolongée presque s ûrement en une fonc- tion analytique sur{|z|<+}pour un certain >(on utilise ici le fait qu’une union fini d’ensembles d’événements de probabilité  ree de probabilités ). Ceci e clairement absurde, car le rayon de

convergence deF−Gepresque s ˆurement.

Fin

