Int´egration et probabilit´es

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Fon ions cara ´eri iques

0 – Petites questions

E

^{xercice 1.}

. Calculer la fonion cara´eriique de la loi de probabilit´e de densit´e (− |x|)1^|x|<?

. Quelle ela fonion cara´eriique de la loi de probabilit´e de densit´e (−cos(x))/(πx^) ?

E

^{xercice 2.} (Queues de variables al´eatoires) SoitX une variable al´eatoire r´eelle. On d´efinit laqueuede Xpar

ψ(x) =P(|X|> x).

. SiXeint´egrable, montrer que

xlim→∞xψ(x) =.

. SiXedansL^pavecp≥, montrer que

xlim→∞x^pψ(x) =.

. Donner un ´equivalent de la queue de la loi d’une variable al´eatoire gaussienne centr´ee r´eduite.

1 – Fonctions caract´eristiques

Notation.SiXeune variable al´eatoire r´eelle, on noteraφ_X sa fonion cara´eriique, d´efinie parφ_X(t) =E

he^itXi

pourt∈R. LorsqueXe`a valeurs dansN, sa fonion g´en´eratrice epar d´efinition z7→E

hz^Xi .

E

^{xercice 3.}

. Calculer les fonions g´en´eratrices des lois suivantes : (a) Bernoulli de param`etrep∈[,].

(b) Binomiale de param`etres (n, p), avecn∈N, p∈[,].

(c) G´eom´etrique de param`etrep∈],[.

(d) Poisson de param`etreλ >.

. Calculer les fonions cara´eriiques des lois suivantes : (a) Exponentielle de param`etreθ >.

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



(b) Uniforme sur [,].

E

^{xercice 4. SoitX}une variable al´eatoire r´eelle.

. On suppose queXadmet un moment d’ordren∈N^∗. Montrer queφ_Xede classeC^ket que pour tout entier≤k≤n, on a

∀t∈R, φ_X^(k)(t) =i^kE

hX^kexp(itX)i . En particulier :

φ^(k)_X () =i^kE hX^ki

()

. On suppose queφ_X efois d´erivable en. Montrer queXadmet un moment d’ordreet que E[X^] =−φ^()_X ().

Indication.On pourra consid´erer ^φX(t)+φ_t^{X(−t)−}.

. Soitk≥entier. On suppose queφ_Xekfois d´erivable en. Montrer queXadmet des moments jusqu’`a l’ordrebk/c(icibxcela partie enti`ere dex) donn´es par ().

. Faire l’exercice.

E

^{xercice 5. Soit (Xn)n≥}une suite de variables al´eatoires r´eelles. On noteφ_n(t) =φ_Xn(t) pour simplifier, et on suppose qu’il exie une fonionφ:R→C, continue en, telle que

∀t∈R, φ_n(t) −→

n→∞ φ(t).

. Prouver que pour touta >on a P

|X_n|> a

≤ a

Z_a

−a

(−Re(φ_n(u)))du= a

Z _a

−a

(−φ_n(u))du.

. Montrer que pour tout >, il exieu >etn_tels que pourn > n_on ait

 u

Z_u

−u

|−φ_n(t)|dt < .

. En d´eduire que la suite (Xn)_n≥etendue, c’e-`a-dire que pour tout >, il exiea >tel que

∀n≥, P[|X_n|> a]<.

2 – ` A chercher pour la prochaine fois

E

^{xercice 6. SoitX}une variable al´eatoire r´eelle.

. On suppose queXadmet un moment d’ordren∈N^∗. (a) Montrer que pour toutt∈R:

φ_X(t) =

n−

X

k=

(it)^k k! E

hX^ki

+ (it)ⁿ (n−)!E

"

Xⁿ Z_

 (−u)^n−exp(ituX)du

# .



(b) Montrer que

φ_X(t) = Xn k=

(it)^k k! E

hX^ki +(it)ⁿ

n! _n(t), o `u|_n(t)| ≤E[|X|ⁿ] et lim

t→_n(t) =.

. On suppose queXadmet des moments de tous ordres et que lim sup

n→∞

kXk_n n = 

R <∞.

Ici,kXk_n=E[|X|ⁿ]^/n. Montrer qu’alorsφ_X ed´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de tout r´eel, le rayon de convergence ´etant≥R/e. En d´eduire que :

∀t∈

−R e,R

e

, φ_X(t) =

∞

X

k=

(it)^k k! E

hX^ki .

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 7. SoitX} une variable al´eatoire r´eelle de loiP_X =P

k∈Za_kδ_k sym´etrique (c`ada_k =a−k) et telle que P

k≥ka_k =∞. Le moment d’ordre  de X e-il fini ? Trouver une suite (ak)_k≥ telle que φ_X soit d´erivable en. Comparer avec l’exercice.

E

^{xercice 8.} (Probl`eme des moments)On consid`ere la fonionf :R^∗

+→R: f(x) = sin(πlnx) 

x

√πexp −lnx^



! . CalculerR

R+x^kf(x)dxpour toutk∈N.Que peut-on dire des v.a.XetY de densit´e respeives

 x√

πexp −lnx^



!

et (+ sin(πlnx))  x√

πexp −lnx^



!

?

Fin

