Int´egration et probabilit´es TD1 – Espaces mesur´es

Int´egration et probabilit´es TD1 – Espaces mesur´es

2012-2013

1 – Petites questions

1) Est-ce que l’ensemble des ouverts deRest une tribu?

2) SiFetGsont deux tribus, est-ce queF∪Gest toujours une tribu?

3) Si on noteλla mesure de Lebesgue, on sait queλ({x}) =0pour toutx∈R. Donc:

λ(R) =λ [

x∈R

{x}

!

=X

x∈R

λ({x}) =X

x∈R

0=0.

o O! O`u est le probl`eme ??

2 – Tribus, mesures

Exercice 1(Pr´eliminaires). Soit(a_n)_n>0 une suite de r´eels. On d´efinit les deux nombres suiv- ants dansR=R∪{±∞}:

lim sup

n→∞ a_n= lim

n→∞

sup

k>n

a_k

et lim inf

n→∞ a_n = lim

n→∞

inf

k>na_k .

1. V´erifier que ces deux d´efinitions ont bien un sens.

2. V´erifier les assertions suivantes :

• lim sup

n→∞ a_n < α⇒ ∃n>0,∀k>n,a_k < α.

• ∃n>0,∀k>n,a_k < α ⇒lim sup

n→∞ a_n 6α.

• lim sup

n→∞ an > α⇒ ∀n>0,∃k>n,ak > α.

• ∀n>0,∃k>n,a_k > α ⇒lim sup

n→∞ a_n >α.

´Ecrire des assertions similaires faisant intervenirlim inf

n→∞ a_n. 3. V´erifier quea_nconverge versl∈Rsi et seulement silim sup

n→∞ a_n =lim inf

n→∞ a_n=l.

Pour des questions, demande de pr´ecisions ou explications,

n’h´esitez pas

Exercice 2(lim inf etlim supde suites d’ensembles mesurables).

1. On consid`ere un ensembleE, et(A_n)_n>1 une suite de sous-ensembles deE. SiA⊆E, on note1A sa fonction caract´eristique (1A(x) =1six∈Aet1A(x) =0sinon).

(a) Que repr´esentent les ensembles suivants, [

n>1

\

k>n

A_k , \

n>1

[

k>n

A_k?

Le premier est not´e lim infn→∞A_n, le second lim sup_n→∞A_n. Relier les fonctions caract´eristiques1lim infn→∞An,1lim supn→∞An aux fonctions1An,n>1.

(b) Calculerlim infAnetlim supAnlorsqueAn= [sin(n) −1, sin(n) +1].

On suppose dans les questions (b) et (c) que(E, A, µ)est un espace mesur´e (µest une mesure positive) et que(An)_n>1est une suite d’´el´ements deA.

(c) Montrer que

µ lim inf

n→∞ A_n

6lim inf

n→∞ µ(A_n), et que siµ(∪_n>1A_n)<∞, alors

µ

lim sup

n→∞ A_n

>lim sup

n→∞ µ(A_n). Qu’est-ce qui se passe siµ(∪_n>1A_n) =∞?

(d) (Lemme de Borel-Cantelli.) On suppose queP

n>1µ(A_n)<∞. Montrer que µ

lim sup

n→∞ A_n

=0.

2. (Une application du lemme de Borel-Cantelli.) Soit ε > 0. Montrer que pour presque- toutx ∈ [0, 1](pour la mesure de Lebesgue), il n’existe qu’un nombre fini de rationnels p/qavecpetqpremiers entre eux tels que

x− p q

< 1 q^2+ε,

i.e.presque toutxest “mal approchable par des rationnels `a l’ordre2+ε”.

Exercice 3(Op´erations sur les tribus).

• SoitFune tribu deΩetBun ´el´ement deF. Montrer que l’ensembleFB:= {A∩B,A∈F}

est une tribu deB.

• Soit (X×Y,F) un espace-produit mesur´e et π : X×Y −→ X la projection canonique.

L’ensembleFX :={π(F),F∈F}est-il une tribu ?

• On consid`ere surN, pour chaquen>0, la tribuFn =σ({0},{1}, . . . ,{n}). Montrer que la suite de tribus(Fn,n>0)est croissante mais queS

n>0Fnn’est pas une tribu.

Indication:On pourra raisonner par l’absurde et utiliser le sous-ensemble2N.

• (Partiel 2010) Soit(E,A)un espace mesurable. SoitCune famille de parties deE, et soit B ∈ σ(C). Michel dit: alors n´ecessairement, il existe une famille d´enombrableD ⊂ C telle queB∈σ(D). A-t-il raison?

Exercice 4(Mesure surZ). Existe-t-il une mesure de masse finie sur (Z,P(Z)) invariante par translation ?

Exercice 5.

1. Montrer que pour tout > 0, il existeOun ouvert dense deRde mesure (de Lebesgue) λ(O)6.

2. En d´eduire que pour tout > 0, il existeF un ferm´e d’int´erieur vide tel que pour tout A∈B(R):

λ(A∩F)>λ(A) −.

Exercice 6(Ensembles de Cantor).

Soit(d_n,n>0)une suite d’´el´ements de]0, 1[, et soitK₀ = [0, 1]. On d´efinit une suite(K_n,n >

0) de la fac¸on suivante : connaissantK_n, qui est une r´eunion d’intervalles ferm´es disjoints, on d´efinitK_n+1 en retirant dans chacun des intervalles deK_n un intervalle ouvert centr´e au centre de chaque intervalle, de longueurd_nfois celle de l’intervalle. On poseK=T

n>0K_n. 1. Montrer queK est un compact non d´enombrable d’int´erieur vide dont tous les points

sont d’accumulation.

2. Calculer la mesure de Lebesgue deK.

3. On noteK₃ l’ensemble de Cantor obtenu en posantd_n = ¹₃ pour toutn. V´erifier que K₃ =

X

n>1

an

3ⁿ ; (a_n)∈{0, 2}^N

et qu’il est mesure de Lebesgue nulle.

Exercice 7. Prouver queB(R²) =B(R)⊗B(R).

3 – ` A pr´eparer pour la prochaine fois

Exercice 8. Soit(Ω,F,µ)un espace mesur´e tel queµ(Ω) =1. SoientA,B⊂P(Ω)deux sous- ensembles de P(Ω) constitu´e d’ensembles mesurables. On suppose queAet B sont stables par intersections finies et que pour tousA∈A,B∈B:

µ(A∩B) =µ(A)·µ(B).

Montrer que pour tousU∈σ(A)etV ∈σ(B)on a:

µ(U∩V) =µ(U)·µ(V).

4 – Compl´ements (hors TD)

Exercice 9(“Cardinal” d’une tribu). Le but de l’exercice est de montrer qu’il n’existe pas de tribuA infinie d´enombrable. Soit (E,A) un espace mesurable. On d´efinit, pour toutx ∈ E, l’atome de la tribuAengendr´e parxpar,

x˙ = \

{A∈A:x∈A}

A.

1. Montrer que les atomes deAforment une partition deE.

2. Montrer que si A est au plus d´enombrable alors A contient ses atomes et que chaque

´el´ement deAs’´ecrit comme une r´eunion au plus d´enombrable d’atomes.

3. Conclure.

4. Donner une nouvelle d´emonstration de la derni`ere question de l’exercice 4.

Exercice 10 (Support). Soit µ une mesure bor´elienne sur Rⁿ (ou plus g´en´eralement sur un espace m´etrique s´eparable localement compact). On pose

S:={x ∈Rⁿ,µ(B(x,r))>0, pour toutr >0}.

Montrer queS est ferm´e, queµ(Rⁿ\S) = 0, et que µ(S\F) = µ(Rⁿ\F) > 0pour tout ferm´eF strictement contenu dansS. (On appelleSle support de la mesureµ.)

Exercice 11(?– Mesure atomique). Soit (X,F,µ)un espace mesur´e. Un ensemble A ∈ Fest un atome pourµsi0< µ(A) <∞et pour toutB ⊂ Amesurable,µ(B) =0ouµ(B) =µ(A).

Soit (X,F,µ)un espace mesur´e avec µ(X) = 1 et tel queµ n’ait pas d’atomes. Montrer que l’image deµest[0, 1](c’est-`a-dire que pour toutt∈[0, 1], il existeA∈Ftel queµ(A) =t).

Exercice 12(Un probl`eme d’additivit´e).

On note l^∞ = {a = (a_n)n∈N ∈ R^N,||a||_∞ := sup_n∈Na_n < ∞}, l’ensemble des suites r´eelles born´ees.

1. Montrer que(l^∞,||.||_∞)est un espace vectoriel norm´e complet.

On admet (th´eor`eme de Hahn-Banach) qu’il existe une forme lin´eaire F : l^∞ −→ R continue qui satisfait les deux propri´et´es suivantes : Soita= (a_n)n∈N∈l^∞

• F(a)6||a||∞,

• Silimn→∞an=αexiste alorsF(a) =α.

2. SoitA ⊂ N et 1_A ∈ l^∞ d´efinie par

1_A(n) =1, sin∈A,

0sinon . SiP(A) = F(1_A), montrer que

• P(∅) =0, P(N) =1,

• P(A^c) =1−P(A),

• P(A∪B) =P(A) +P(B)siA∩B=∅. 3. Montrer quePn’est pas une mesure.

Exercice 13(?). Est-ce queB(X×Y) =B(X)⊗B(Y)pour tous espaces m´etriquesX,Y?

Fin