TD1 – Espaces mesur´es – Corrig´e

Int´egration et probabilit´es

TD1 – Espaces mesur´es – Corrig´e

2012-2013

1 – Petites questions

1) Est-ce que l’ensemble des ouverts deRest une tribu ?

R´eponse :Non, car le compl´ementaire de]−∞, 0[n’est pas ouvert.

2) SiFetGsont deux tribus, est-ce queF∪Gest toujours une tribu ?

R´eponse :Non, pas toujours. Par exemple si, en notantΩ={1, 2, 3}, on prendF={∅,{1},{2, 3},Ω}etG= {∅,{2},{1, 3},Ω}? En effet, on a alorsF∪G={∅,{1},{2},Ω}, qui n’est pas stable par union ({1}∪{2}6∈F∪G).

3) Si on noteλla mesure de Lebesgue, on sait queλ({x}) =0pour toutx∈R. Donc :

λ(R) =λ [

x∈R

{x}

!

=X

x∈R

λ({x}) =X

x∈R

0=0.

o O! O`u est le probl`eme ? ? R´eponse :L’´egalit´eλ S

x∈R{x}

=P

x∈Rλ({x})n’est pas v´erifi´ee carRn’est pas d´enombrable.

2 – Tribus, mesures

Exercice 1(Pr´eliminaires). Soit(a_n)_n>0une suite de r´eels. On d´efinit les deux nombres suivants dans R=R∪{±∞}:

lim sup

n→∞ an = lim

n→∞

sup

k>n

ak

et lim inf

n→∞ an = lim

n→∞

k>ninf ak

.

1. V´erifier que ces deux d´efinitions ont bien un sens.

2. V´erifier les assertions suivantes : – lim sup

n→∞ a_n < α⇒ ∃n>0,∀k>n,a_k < α. – ∃n>0,∀k>n,a_k < α ⇒lim sup

n→∞ a_n 6α. – lim sup

n→∞ a_n > α⇒ ∀n>0,∃k>n,a_k > α. – ∀n>0,∃k>n,a_k > α ⇒lim sup

n→∞ a_n >α.

´Ecrire des assertions similaires faisant intervenirlim inf

n→∞ a_n. 3. V´erifier quea_nconverge versl∈Rsi et seulement silim sup

n→∞ a_n =lim inf

n→∞ a_n=l.

Pour des questions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V4.

Corrig´e :

1. La suite de terme g´en´eralsup_k>na_kest d´ecroissante, donc elle a bien une limite dansR. De mˆeme pour lalim inf et la limite croissante.

2. V´erifions la premi`ere assertion :

lim sup

n→∞ a_n< α ⇒ ∃n>0, sup

k>n

a_k < α

⇒ ∃n>0,∀k>n,a_k < α.

Le reste des assertions se d´emontre de la mˆeme fac con.

3. On remarque tout d’abord que sup_k>na_k > a_n > inf_k>n. La suite a_n est encadr´ee par une suite d´ecroissante et une croissante et silim sup

n→∞ a_n =lim inf

n→∞ a_n=l∈Ralors par le principe des gendarmes la suitea_nconverge versl. Le casl=±∞est similaire. Prouvons maintenant l’autre sens : silima_n = l ∈ Ralors pour toutε > 0il existeNtel que pour toutn > N,a_n ∈ [l−ε,l+ε]. On a donc aussi pour toutn > N,sup_k>na_k, inf_k>na_k ∈ [l−ε,l+ε], et le r´esultat s’ensuit. Encore une fois, le cas infini se fait de la mˆeme mani`ere.

Exercice 2(lim inf etlim supde suites d’ensembles mesurables).

1. On consid`ere un ensemble E, et(A_n)_n>1 une suite de sous-ensembles deE. SiA ⊆ E, on note 1A sa fonction caract´eristique (1A(x) =1six∈Aet1A(x) =0sinon).

(a) Que repr´esentent les ensembles suivants, [

n>1

\

k>n

A_k, \

n>1

[

k>n

A_k ?

Le premier est not´elim infn→∞A_n, le secondlim sup_n→∞A_n. Relier les fonctions caract´eristiques 1lim infn→∞An,1lim sup_n→∞An aux fonctions1An,n>1.

(b) Calculerlim infA_netlim supA_nlorsqueA_n= [sin(n) −1, sin(n) +1].

On suppose dans les questions (b) et (c) que(E,A, µ)est un espace mesur´e (µest une mesure positive) et que(A_n)_n>1est une suite d’´el´ements deA.

(c) Montrer que

µ lim inf

n→∞ A_n

6lim inf

n→∞ µ(A_n), et que siµ(∪_n>1An)<∞, alors

µ

lim sup

n→∞ A_n

>lim sup

n→∞ µ(A_n). Qu’est-ce qui se passe siµ(∪_n>1A_n) =∞?

(d) (Lemme de Borel-Cantelli.)On suppose queP

n>1µ(A_n)<∞. Montrer que µ

lim sup

n→∞ A_n

=0.

2. (Une application du lemme de Borel-Cantelli.)Soit ε > 0. Montrer que pour presque-toutx ∈ [0, 1](pour la mesure de Lebesgue), il n’existe qu’un nombre fini de rationnelsp/qavecpetq premiers entre eux tels que

x−p q

< 1 q^2+ε,

i.e.presque toutxest “mal approchable par des rationnels `a l’ordre2+ε”.

Corrig´e :

1. L’ensemble lim inf_n→∞A_n est l’ensemble des ´el´ements qui appartiennent `a tous les A<sub>n</sub> `a partir d’un certain rang et l’ensemblelim sup_n→∞A_nest l’ensemble des ´el´ements qui appartiennent `a une infinit´e deA_n. On a l’´egalit´e

1lim infn→∞An =lim inf

n→∞ 1An. (1)

En effet,

x∈lim inf

n→∞ A_n ⇔ ∃n₀ ∈N: x∈A_n,∀n>n₀,

⇔ ∃n₀ ∈N: inf

n>n0

1An(x) =1,

⇔ lim inf

n→∞ 1An(x) =1.

L’´egalit´e

1lim sup_nAn =lim sup

n 1An

se d´emontre de fac¸on similaire `a (??) ou en passant au compl´ementaire dans (??) en remarquant que

lim sup

n→∞ An

c

=lim inf

n→∞ (An)^c.

2. On a lim supAn =] −2, 2[ et lim infAn = {0}. En effet,(sin(n))n∈N est dense dans ] −1, 1[ (pour le voir, utiliser par exemple le fait que le sous-groupe additif Z+2πZ de R n’est pas monog`ene car π est irrationel, donc dense dans R), donc pour tout 0 < x < 2, il existe une infinit´e d’entiers n tels que sin(n) > x −1 et aussi une infinit´e de n tels que sin(n) < x−1. La premi`ere famille montre que x ∈ lim supA_n et la deuxi`eme famille que x /∈ lim infA_n. Il est ensuite facile de v´erifier que

±2∈/ lim supA_n(carπest irrationnel) et0∈lim infA_n. 3. On remarque que, pour toutn>0et pour toutk>n,

µ \

p>n

A_p

!

6µ(A_k).

Ainsi,

µ \

k>n

A_k

!

6 inf

k>nµ(A_k). (2)

Or la suite(∩_k>nA_k)_n>0est croissante. Le r´esultat s’obtient donc en passant `a la limite quandn→+∞ dans (??). De mˆeme, on a

µ [

k>n

Ak

!

> sup

k>n

µ(Ak). (3)

Or la suite(∪_k>nA_k)_n>0 est d´ecroissante etµ(∪_n>0A_n) <+∞. Le r´esultat s’obtient donc en passant

`a la limite quandn→+∞dans (??). On peut aussi utiliser le r´esultat pr´ec´edent et raisonner en passant au compl´ementaire. En effet, posonsF=∪n>0An. On a alors

F\lim sup

n→∞ A_n =lim inf

n→∞ (F\A_n).

Donc,

µ

F\lim sup

n→∞ A_n

6lim inf

n→∞ µ(F\A_n), c’est-`a-dire,

µ(F) −µ

lim sup

n→∞ A_n

6µ(F) −lim sup

n→∞ µ(A_n).

Commeµ(F)<∞, cela implique le r´esultat.

4. On a, pour toutn>0,

µ [

k>n

A_k

!

6 X

k>n

µ(A_k).

Orµ(lim sup_k→∞Ak)6 µ(∪_k>nAk)pour toutn >0etP

k>nµ(Ak)est le reste d’une s´erie conver- gente et donc tend vers0quandn→+∞. On obtient ainsi le r´esultat.

5. Pour toutq>1, on note

A_q= [0, 1]∩

q

[

p=0

p q − 1

q^2+ε,p q + 1

q^2+ε

.

Ainsi,λ(Aq)62/q^1+ε. Par cons´equent, X

q>1

λ(A_q)<+∞.

D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, λ(lim sup<sub>q→∞</sub>A<sub>q</sub>) = 0, or l’ensemble lim sup<sub>q→∞</sub>A<sub>q</sub> contient l’ensemble des r´eels bien approchables par des rationnels `a l’ordre2+ε. Voir

http://en.wikipedia.org/wiki/Thue-Siegel-Roth_theorem

Exercice 3(Op´erations sur les tribus).

– SoitFune tribu deΩetBun ´el´ement deF. Montrer que l’ensembleFB := {A∩B,A∈ F}est une tribu deB.

– Soit(X×Y,F)un espace-produit mesur´e etπ : X×Y −→ Xla projection canonique. L’ensemble FX :={π(F),F∈F}est-il une tribu ?

– On consid`ere surN, pour chaque n > 0, la tribuFn = σ({0},{1}, . . . ,{n}). Montrer que la suite de tribus(Fn,n>0)est croissante mais queS

n>0Fnn’est pas une tribu.

– (Partiel 2010) Soit(E,A)un espace mesurable. SoitCune famille de parties deE, et soitB∈σ(C).

Michel dit : alors n´ecessairement, il existe une famille d´enombrableD ⊂ C telle que B ∈ σ(D). A-t-il raison ?

Corrig´e :

1. – B=Ω∩B∈FB,

– SoitC=B∩D∈FBavecD∈F. AlorsD^c ∈FetC^c_B=B∩D^c appartient `aFB.

– SoitC_n=B∩D_n ∈FBavecD_n∈F. AlorsS

nD_n∈FetS

nB_n =B∩S

nD_nappartient `aFB. L’ensembleFBest donc bien une tribu surB.

2. On consid`ere pourX=Y ={0, 1}la tribuFengendr´e par l’´el´ement(0, 0)∈X×Y. Il est clair que F={∅,X×Y,{(0, 0)},X×Y\{(0, 0)}}.

On v´erifie queFX ={∅,{0},X}, ce qui n’est pas une tribu.

3. Posons

F= [

n∈N

Fn,

et supposons queFsoit une tribu. On a

{2n}∈F2n⊂F et 2N= [

n>0

{2n}.

Ainsi,2N ∈ Fi.e.il existen0 ∈ Ntel que2N ∈ Fn0. Or, les seuls ´el´ements de cardinal infini deFn0

sont de la formeN\A, o`uAest une partie de{0, 1, . . . ,n₀}. On obtient donc une contradiction.

4. Michel a raison. En effet, soitG = {B ∈ σ(C); ∃D ⊂ Cd´enombrable tel queB ∈ σ(D)}. Montrons queGest une tribu.

Il est clair queE ∈ G. SiA ∈ G, alors il existe D ⊂ C d´enombrable tel queA ∈ σ(D), et donc A^c ∈σ(D): on aA^c ∈G.

Si (A_n) ⊂ G, alors pour tout n il existe Dn ⊂ C d´enombrable tel que A_n ∈ σ(Dn), et donc

∪_nA_n ∈ σ(D), o`u D := ∪_nD_n ⊂ C est d´enombrable (´etant une union d´enombrable d’ensembles d´enombrables) : on a∪_nA_n ∈G.

En conclusion,Gest une tribu, c’est-`a-direG=σ(C).

Exercice 4(Mesure surZ). Existe-t-il une mesure de masse finie sur(Z,P(Z))invariante par transla- tion ?

Corrig´e : Oui, mais seulement la mesure nulle. En effet, soit µ une mesure non nulle de masse finie sur (Z,P(Z)) invariante par translation. Comme µ est non nulle, il existen ∈ Ztel que c := µ({n}) > 0. Par invariance par translation, il vientµ({k}) =cpour toutk∈Z. Mais alors, commeZest d´enombrable :

µ(Z) =µ(∪k∈Z{k}) =X

k∈Z

µ({k}) =X

k∈Z

c=∞,

ce qui contredit le fait queµest de masse finie.

Exercice 5.

1. Montrer que pour tout > 0, il existeO un ouvert dense deRde mesure (de Lebesgue) λ(O)6.

2. En d´eduire que pour tout > 0, il existeF un ferm´e d’int´erieur vide tel que pour tout A ∈ B(R):

λ(A∩F)>λ(A) −.

Corrig´e :

1. Soit >0. NotonsQ={qn,n>1}les rationnels et posons :

O = [

n>1

q_n−2⁻ⁿ⁻¹,q_n+2⁻ⁿ⁻¹ .

AlorsO est un ouvert dense deR. De plus,

λ(O)6 X

n>1

λ

q_n−2⁻ⁿ⁻¹,q_n+2⁻ⁿ⁻¹

=X

n>1

2⁻ⁿ < .

2. PosonsF =O^c. AlorsFest un ferm´e deRd’int´erieur vide. De plus, pour toutA∈B(R), on a λ(A) =λ(A∩F) +λ(A∩O)6λ(A∩F)6λ(A∩F) +.

Exercice 6(Ensembles de Cantor).

Soit(d_n,n>0)une suite d’´el´ements de]0, 1[, et soitK₀ = [0, 1]. On d´efinit une suite(K_n,n>0)de la fac¸on suivante : connaissantKn, qui est une r´eunion d’intervalles ferm´es disjoints, on d´efinitKn+1en retirant dans chacun des intervalles deK_nun intervalle ouvert centr´e au centre de chaque intervalle, de longueurd_nfois celle de l’intervalle. On poseK=T

n>0K_n.

1. Montrer que K est un compact non d´enombrable d’int´erieur vide dont tous les points sont d’accumulation.

2. Calculer la mesure de Lebesgue deK.

3. On noteK₃l’ensemble de Cantor obtenu en posantd_n = ¹₃ pour toutn. V´erifier que

K3 = X

n>1

an

3ⁿ ; (a_n)∈{0, 2}^N

et qu’il est mesure de Lebesgue nulle.

Corrig´e :

1. Chaque ensemble K_n est ferm´e donc K est ferm´e. De plus, K ⊂ [0, 1] donc K est compact. Montrons que l’on peut construire une bijection ϕ : K → {0, 1}^N. Si x est dansK, alors x est dans un des deux intervalles composant K₁. On pose ϕ(x)₀ = 0 si x est dans l’intervalle de gauche et ϕ(x)₀ = 1 si x est dans l’intervalle de droite. En r´ep´etant ce proc´ed´e, on construit une suiteϕ(x) ∈ {0, 1}^N. On v´erifie facilement que ϕ est une bijection. Ainsi, K n’est pas d´enombrable. Par construction de ϕ, pour tous x,y∈Ketn>0,xetysont dans le mˆeme intervalle composantK_n+1si et seulement siϕ(x)_k =ϕ(y)_k pour toutk 6 n. Supposons qu’il existe un intervalleIde [0, 1]inclus dansKet non r´eduit `a un point.

Soientx,y ∈ Itels quex 6= y. Alors, pour toutn > 0, x etysont dans le mˆeme intervalle composant K_ndonc ϕ(x) = ϕ(y) ce qui est absurde. Ainsi,K est d’int´erieur vide. Enfin, soitx ∈ K. L’ensemble {y ∈ K : ϕ(y)_k = ϕ(x)_k ∀k 6 n} est infini et est constitu´e de points de K tous `a distance au plus 1/2ⁿ⁺¹ dex. Doncxest un point d’accumulation.

2. On montre par r´ecurrence que λ(K_n) = (1 − d₀). . .(1 −d_n−1). Or λ([0, 1]) = 1 donc λ(K) = limn→∞λ(K_n). On a donc :

X

n>0

dn<∞ ⇒ λ(K) =Y

n>0

(1−dn), X

n>0

dn=∞ ⇒ λ(K) =0.

3. Il suffit de regarder la bijection construite dans la question 1 entre K et {0, 1}^N et v´erifier que si x = ϕ((b_n)_n), alorsx=P_2bn

3ⁿ . Pour la mesure on utilise la question 2.

Exercice 7. Prouver queB(R²) =B(R)⊗B(R). Corrig´e :

Montrons tout d’abord queB(R)⊗B(R)⊂B(R²). Pour tous ouvertsO,O⁰deR,O×O⁰est un ouvert deR², et doncO×O⁰ ∈B(R²). On en tire queF×G∈B(R²)pourF,G∈B(R), et doncB(R)⊗B(R)⊂B(R²).

En effet, rappelons que par d´efinition :

B(R)⊗B(R) =σ(F×G;F,G∈B(R)).

R´eciproquement, montrons queB(R²)⊂B(R)⊗B(R). `A cet effet, on aura besoin du lemme suivant, qui dit queR×Rest `a base d´enombrable d’ouverts (voir le cours de topologie pour une preuve) :

Lemme.SiO(R²)d´esigne l’ensemble des ouverts deR², on a : O R²

=

[

i∈I

U_i×V_i; U_i,V_iouverts deR,Id´enombrable.

Finissons maintenant l’exercice. D’apr`es le lemme, commeB(R²) = σ(O(R²)), il suffit de montrer que siI est d´enombrable etU_i,V_i(i ∈R) sont des ouverts deR, alors

[

i∈I

U_i×V_i∈B(R)⊗B(R).

Ceci est clairement le cas, carU_i,V_i∈B(R)etIestd´enombrable.

Remarque.Cette preuve montre queB(X×Y) = B(X)⊗B(Y)lorsqueXetYsont deux espaces m´etriques `a base d´enombrable d’ouverts (ou, de mani`ere ´equivalente, s’ils sont s´eparables).

4 – Compl´ements (hors TD)

Exercice 8(“Cardinal” d’une tribu). Le but de l’exercice est de montrer qu’il n’existe pas de tribuA infinie d´enombrable. Soit(E,A)un espace mesurable. On d´efinit, pour toutx ∈E, l’atome de la tribu Aengendr´e parxpar,

˙

x= \

{A∈A:x∈A}

A.

1. Montrer que les atomes deAforment une partition deE.

2. Montrer que si Aest au plus d´enombrable alorsAcontient ses atomes et que chaque ´el´ement deAs’´ecrit comme une r´eunion au plus d´enombrable d’atomes.

3. Conclure.

4. Donner une nouvelle d´emonstration de la derni`ere question de l’exercice 4.

Corrig´e :

1. On remarque quex∈x˙ pour toutx∈E, donc [

x∈E

x˙ =E.

Montrons maintenant que

˙

x∩y˙ 6=∅ ⇒ x˙ =y.˙

Soientx,y,z ∈Etels que z∈ x˙ ∩y. Alors chaque ensemble˙ A∈ Acontenantxcontientz. Supposons qu’il existeB∈Acontenantzmais ne contenant pasx. AlorsB^c ∈Aet contientx. AinsiB^ccontientz ce qui est contradictoire. Doncx˙ =z˙ et de mˆemey˙ =z. Donc˙ x˙ =y.˙

2. Supposons que Asoit finie ou d´enombrable. Alors chaque atomex˙ s’´ecrit comme une r´eunion au plus d´enombrable d’´el´ements deAet donc appartient `aA. De plus, siA∈A, alors

A= [

x:x∈A

x˙

et cette r´eunion est au plus d´enombrable car les atomes appartiennent `aA. De plus, les atomes formant une partition deE, cette ´ecriture est unique.

3. SoitBl’ensemble des atomes deAsuppos´ee finie ou d´enombrable. D’apr`es la question 2., on d´efinit une bijectionϕdeP(B)dansApar,

ϕ:B∈P(B)7−→ [

˙ x∈B

x.˙

SiBest fini, alorsAest finie. Sinon,Ane peut pas ˆetre d´enombrable.

4. Les tribus Fn sont toutes finies doncS

n>0Fn est infinie d´enombrable. D’apr`es la question pr´ec´edente, il n’existe pas de tribu infinie d´enombrable, doncS

n>0Fnn’est pas une tribu.

Exercice 9 (Support). Soit µ une mesure bor´elienne sur Rⁿ (ou plus g´en´eralement sur un espace m´etrique s´eparable localement compact). On pose

S:= {x ∈Rⁿ,µ(B(x,r))>0, pour toutr >0}.

Montrer queSest ferm´e, que µ(Rⁿ\S) = 0, et queµ(S\F) = µ(Rⁿ\F) > 0pour tout ferm´eFstricte- ment contenu dansS. (On appelleSle support de la mesureµ.)

Corrig´e :Soitx /∈S, alors par d´efinition il existe unrx >0tel queµ(B(x,rx)) = 0,a fortioripour toutz contenu dans la boule ouverte de centrexet de rayonr_x

B(z,r_x−|z−x|)⊂B(x,r_x)et doncµ(B(z,r_x−|z−x|)) =0, ce qui d´emontre queB(x,r_x)est incluse dansS^c. L’ensembleFest donc ferm´e.

On sait que pour toutx /∈ S, il exister_x > 0 tel que µ(B(x,r_x)) = 0. Si Kest un compact inclu dans S^c il existe un recouvrement ouvert

K⊂ [

x∈K

B(x,r_x),

duquel on peut extraire un recouvrement fini (Borel-Lebesgue). De plus S^c peut ˆetre vu comme une r´eunion d´enombrable de compacts, par exemple

S^c = [

n,k

x:d(x,F)> 1

k,|x|6n

,

ainsiS^c est une union d´enombrable de boules ouvertesS^c =S

i∈NB(x_i,r_xi)et µ(S^c)6X

i∈N

µ(B(xi,rx_i)) =X 0=0.

SiFest un ferm´e contenu dansSalors

Rⁿ\F=Rⁿ\StS\F,

et chacun de ces ensembles est mesurable, le r´esultat s’obtient en prenant la mesure de l’´egalit´e.

Exercice 10(?– Mesure atomique). Soit(X,F,µ)un espace mesur´e. Un ensembleA∈Fest un atome pourµ si0 < µ(A) < ∞et pour tout B ⊂ Amesurable,µ(B) = 0ouµ(B) = µ(A). Soit(X,F,µ)un espace mesur´e avec µ(X) = 1 et tel que µ n’ait pas d’atomes. Montrer que l’image de µ est [0, 1]

(c’est-`a-dire que pour toutt ∈[0, 1], il existeA∈Ftel queµ(A) =t).

Corrig´e :Il s’agit d’un tr`es bel exercice `a zornette, voir

http://www.math.osu.edu/˜leibman.1/6211/zorn.pdf

Exercice 11(Un probl`eme d’additivit´e).

On notel^∞ ={a= (a_n)n∈N∈R^N,||a||∞ := sup_n∈Na_n <∞}, l’ensemble des suites r´eelles born´ees.

1. Montrer que(l^∞,||.||∞)est un espace vectoriel norm´e complet.

On admet (th´eor`eme de Hahn-Banach) qu’il existe une forme lin´eaireF:l^∞ −→Rcontinue qui satisfait les deux propri´et´es suivantes : Soita= (a_n)n∈N∈l^∞

– F(a)6||a||∞,

– Silimn→∞a_n=αexiste alorsF(a) =α.

2. SoitA⊂Net1_A ∈l^∞d´efinie par

1_A(n) =1, sin∈A,

0sinon . SiP(A) =F(1_A), montrer que – P(∅) =0, P(N) =1,

– P(A^c) =1−P(A),

– P(A∪B) =P(A) +P(B)siA∩B=∅.

3. Montrer quePn’est pas une mesure.

Corrig´e :Pour la premi`ere question, voir le cours de topologie. Pour la deuxi`eme question, exo :-). Pour la troisi`eme question, il suffit de voir que :

1=P(N) =P [

i>0

{i}

! 6=X

i>0

P({i}) =X

i>0

0=0.

Exercice 12(?). Est-ce queB(X×Y) =B(X)⊗B(Y)pour tous espaces m´etriquesX,Y?

Corrig´e :la r´eponse est non. Prenons X = Y = (l^∞(R),||·||_∞), c’est-`a-dire l’espace m´etrique des suites born´ees index´ees parRmuni de la norme infinie.

Lemme.SoitUun ensemble mesurable deB(X)⊗B(X). Alors il existe des ensembles mesurables(A_i,B_i)_i∈R tels que

U= [

i∈R

A_i×B_i.

D´emonstration. D’apr`es la derni`ere question de l’exercice 3, il existe une suite(A_m)_m>0 d’ensembles mesurables tels que U ∈ σ (A_m×A_n)_m,n>0

. En effet, on se rappelle qu’on a B(X) ⊗ B(X) = σ(A×A⁰; A,A⁰ ∈B(R)). Maintenant, pour une suitex = (x_n)∈{0, 1}^N, posons

B_x= \

n>0

C_n,

o `uC_n = A_n si x_n = 1 et C_n = A^c_n six_n = 0. Mais l’ensemble des ´elements qui s’´ecrivent comme union des ensembles de la formeBx×Bx⁰ est une tribu (le v´erifier ! !) contenantU(car il contient les A_i×A_j). On en tire :

U=[

{Bx×Bx⁰; Bx×Bx⁰ ⊂U}. Ceci ach`eve la preuve du lemme, car{0, 1}^NetRsont en bijection.

Revenons `a la preuve de l’exercice. Il est clair que la diagonale ∆ = {(x,x);x ∈ l^∞(R)} ∈ B(X× X).

Supposons par l’absurde que∆∈B(X)⊗B(X). D’apr`es le lemme, il existe une suite(A_i,B_i)_i∈Rtelle que

∆= [

i∈R

A_i×B_i.

Comme P(R) s’injecte dans l^∞, il existe i ∈ R et deux ´el´ements distincts (u,u),(v,v) ∈ ∆ tels que (u,u),(v,v)∈Ai×Bi(sinon, il existerait une injection deP(R)dansR).

Mais alors(u,v)∈A_i×B_i, ce qui implique(u,v)∈∆. Absurde caru6=v.

Remarque.Cette preuve montre que si X,Y sont deux espaces m´etriques dont le cardinal est strictement plus grand que celui deR, alorsB(X×Y)6=B(X)⊗B(Y).

Fin