Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2013-2014TD — Tribus, mesures – Corrig´e
0 – Exercice du TD 1 `a pr´eparer
E
xercice 0. Soitf :E→R+∪ {+∞}une fonion. Pour toutn≥et touti∈ {,, . . . , nn−}on note An={x∈E; f(x)≥n}, Bn,i={x∈E; i−n≤f(x)<(i+)−n)},et pour un entiern≥on posefn=
nn−
X
i=
i
n1Bn,i+n1An.Soitx∈Efix´e.Que dire de la suitefn(x) lorsque n→ ∞?
Corrig´e :
La suitefn(x) tend en croissant versf(x). En effet, six∈Bn,i, on v´erifie que fn+(x) =
fn(x) si in+ ≤f(x)<i+n+
fn(x) +n+ si i+n+ ≤f(x)< (i+)n+ , et que six∈Analors
fn+(x) =
n+ sif(x)≥n+
nn++l
n+ si nn+n++l ≤f(x)<nn+n++l+;≤l≤n+−.
Il en d´ecoule que la suitfn(x) ecroissante.
D’autre part, par conruion, six∈ {f < n}alors≤f(x)−fn(x)≤−n pourn≥n. On en d´eduit quefn(x)→f(x) lorsquex∈ {f <+∞}=∪k≥{f < k}.
D’autre part, six∈ {f = +∞}=∩k≥{f ≥k}, alorsfn(x) =n→+∞.
Remarque.Sif ≤M, alors≤f(x)−fn(x)≤−npourn≥Met la convergence euniforme.
1 – Petites questions
) E-ce que l’ensemble des ouverts deReune tribu ?
) Si on noteλla mesure de Lebesgue, rappeler pourquoiλ({x}) =pour toutx∈R. Alors : λ(R) =λ
[
x∈R
{x}
=X
x∈R
λ({x}) =X
x∈R
=.
Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.
O `u ele probl`eme ?
) SiF etGsont deux tribus, e-ce queF ∪ Getoujours une tribu ?
) Si (an)n≥et (bn)n≥sont deux suites de nombres r´eels, a-t-on toujours lim sup
n→∞
(an+bn) = lim sup
n→∞
an+ lim sup
n→∞
bn? Et si les deux suites sont born´ees ? Et sibnconverge ?
Corrig´e :
) Non, car le compl´ementaire de ]−∞,[ n’epas ouvert.
) Non, pas toujours. Par exemple si, en notant Ω ={,,}, on prend F ={∅,{},{,},Ω} etG = {∅,{},{,},Ω}? En effet, on a alors F ∪ G ={∅,{},{},{,},{,},Ω}, qui n’e pasable par union ( {} ∪ {}<F ∪ G).
) On aλ({x)}) = limn→∞λ([x−/n, x+/n]) =. Par ailleurs l’´egalit´eλ(S
x∈R{x}) =P
x∈Rλ({x}) n’e pas v´erifi´ee carRn’epas d´enombrable.
) Ce n’epas toujours vrai (prendre par exemplean=−bn=n). En revanche, le terme de gauche e inf´erieur ou ´egal au terme de droite lorsque les deux suites sont born´ees, et l’´egalit´e ev´erifi´ee lorsque
bnconverge.
2 – Mesures
E
xercice 1. (Lemme de Borel-Cantelli) (E,A, µ) eun espace mesur´e (µeune mesure positive) et que (An)n≥eune suite d’´el´ements deA. On rappelle que l’on notelim inf
n→∞ An=[
n≥
\
k≥n
Ak, lim sup
n→∞ An=\
n≥
[
k≥n
Ak.
. Montrer que
µ
lim inf
n→∞ An
≤lim inf
n→∞ µ(An), et que siµ(∪n≥An)<∞, alors
µ lim sup
n→∞
An
!
≥lim sup
n→∞
µ(An). Qu’e-ce qui se passe siµ(∪n≥An) =∞?
. (Lemme de Borel-Cantelli.)On suppose queP
n≥µ(An)<∞. Montrer que µ lim sup
n→∞
An
!
=.
. (Une application du lemme de Borel-Cantelli.)Soitε >. Montrer que pour presque-toutx∈[,]
(pour la mesure de Lebesgue), il n’exie qu’un nombre fini de rationnelsp/qavecpetqpremiers entre eux tels que
x−p q
< q+ε,
i.e.presque toutxe“mal approchable par des rationnels `a l’ordre+ε”.
Corrig´e :
. On remarque que, pour toutn≥et pour toutk≥n,
µ
\
p≥n
Ap
≤µ(Ak).
Ainsi,
µ
\
k≥n
Ak
≤inf
k≥nµ(Ak). ()
Or la suite (∩k≥nAk)n≥ e croissante. Le r´esultat s’obtient donc en passant `a la limite quand n→+∞dans (). De mˆeme, on a
µ
[
k≥n
Ak
≥sup
k≥n
µ(Ak). ()
Or la suite (∪k≥nAk)n≥ed´ecroissante etµ(∪n≥An)<+∞. Le r´esultat s’obtient donc en passant
`a la limite quand n→+∞dans (). On peut aussi utiliser le r´esultat pr´ec´edent et raisonner en passant au compl´ementaire. En effet, posonsF=∪n≥An. On a alors
F\lim sup
n→∞
An= lim inf
n→∞ (F\An).
Donc,
µ F\lim sup
n→∞ An
!
≤lim inf
n→∞ µ(F\An), c’e-`a-dire,
µ(F)−µ lim sup
n→∞
An
!
≤µ(F)−lim sup
n→∞
µ(An).
Commeµ(F)<∞, cela implique le r´esultat.
. On a, pour toutn≥,
µ
[
k≥n
Ak
≤X
k≥n
µ(Ak).
Or µ(lim supk→∞Ak) ≤µ(∪k≥nAk) pour tout n≥ etP
k≥nµ(Ak) ele ree d’une s´erie conver- gente et donc tend versquandn→+∞. On obtient ainsi le r´esultat.
. Pour toutq≥, on note
Aq= [,]∩
q
[
p=
"
p q −
q+ε,p q+
q+ε
# .
Ainsi,λ(Aq)≤/q+ε. Par cons´equent, X
q≥
λ(Aq)<+∞.
D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli,λ(lim supq→∞Aq) =, or l’ensemble lim supq→∞Aq contient l’ensemble des r´eels bien approchables par des rationnels `a l’ordre+ε. Voir
http://en.wikipedia.org/wiki/Thue-Siegel-Roth_theorem
E
xercice 2. (Mesure surZ) Exie-t-il une mesure de masse finie sur (Z,P(Z)) invariante par translation ? Corrig´e :Oui, mais seulement la mesure nulle. En effet, soitµune mesure non nulle de masse finie sur (Z,P(Z)) invariante par translation. Commeµenon nulle, il exien∈Ztel quec:=µ({n})>. Par invariance par translation, il vientµ({k}) =cpour toutk∈Z. Mais alors, commeZed´enombrable :
µ(Z) =µ(∪k∈Z{k}) =X
k∈Z
µ({k}) =X
k∈Z
c=∞,
ce qui contredit le fait queµede masse finie.
3 – Tribus
E
xercice 3. (Op´erations sur les tribus). SoitF une tribu deΩetBun ´el´ement deF. Montrer que l’ensembleF
B:={A∩B, A∈ F }eune tribu deB.
. Soit (X×Y ,F) un espace-produit mesur´e etπ:X×Y −→Xla projeion canonique. L’ensemble FX:={π(F), F∈ F }e-il une tribu ?
. On consid`ere surN, pour chaque n≥, la tribu Fn=σ({},{}, . . . ,{n}). Montrer que la suite de tribus (F
n, n≥) ecroissante mais queS
n≥F
nn’epas une tribu.
Indication :On pourra raisonner par l’absurde et utiliser le sous-ensembleN.
. (Partiel) Soit (E,A) un espace mesurable. SoitCune famille de parties deE, et soitB∈σ(C).
Alexandra dit : alors n´ecessairement, il exie une famille d´enombrableD ⊂ Ctelle queB∈σ(D).
A-t-elle raison ?
. SoientX, Y deux ensembles et f :X →Y une application. Soit A ⊂ P(Y). Alexandra dit : alors n´ecessairement,σ(f−(A)) =f−(σ(A)). A-t-elle raison ?
Corrig´e :
. — B=Ω∩B∈ FB,
— SoitC=B∩D∈ FBavecD∈ F. AlorsDc∈ F etCBc =B∩Dcappartient `aFB.
— SoitCn=B∩Dn∈ F
BavecDn∈ F. AlorsS
nDn∈ F etS
nBn=B∩S
nDnappartient `aF
B. L’ensembleFBedonc bien une tribu surB.
. On consid`ere pourX=Y ={,}la tribuF engendr´e par l’´el´ement (,)∈X×Y. Il eclair que F ={∅, X×Y ,{(,)}, X×Y\{(,)}}.
On v´erifie queFX={∅,{}, X}, ce qui n’epas une tribu.
. Posons
F = [
n∈N
Fn, et supposons queF soit une tribu. On a
{n} ∈ Fn⊂ F et N=[
n≥
{n}.
Ainsi,N∈ F i.e.il exien∈Ntel queN∈ Fn
. Or, les seuls ´el´ements de cardinal infini de Fn
sont de la formeN\A, o `uAeune partie de{,, . . . , n}. On obtient donc une contradiion.
. Alexandra a raison. En effet, soitG={B∈σ(C) ;∃D ⊂ Cd´enombrable tel queB∈σ(D)}. Montrons queGeune tribu.
Il eclair queE∈ G.
SiA∈ G, alors il exieD ⊂ Cd´enombrable tel queA∈σ(D), et doncAc∈σ(D) : on aAc∈ G. Si (An) ⊂ G, alors pour tout n il exie D
n ⊂ C d´enombrable tel que An ∈ σ(D
n), et donc
∪nAn ∈ σ(D), o `u D := ∪nDn ⊂ C ed´enombrable (´etant une union d´enombrable d’ensembles d´enombrables) : on a∪nAn∈ G.
En conclusion,Geune tribu.
OrC ⊂ G, ce qui implique queσ(C)⊂σ(G) =G ⊂σ(C), d’o `u le r´esultat.
. Ceci sera revu lors du TD.
E
xercice 4. Prouver queB(R) =B(R)⊗ B(R).Corrig´e :
On fera cet exercice lors du TD.
4 – Divers
E
xercice 5.. Montrer que pour tout >, il exieOun ouvert dense deRde mesure (de Lebesgue) λ(O)≤.
. En d´eduire que pour tout >, il exieF un ferm´e d’int´erieur vide tel que pour toutA∈ B(R) : λ(A∩F)≥λ(A)−.
Corrig´e :
. Soit >. NotonsQ={qn, n≥}les rationnels et posons : O=[
n≥
]qn−−n−, qn+−n−[. AlorsOeun ouvert deR, dense (car il contientQ). De plus,
λ(O)≤X
n≥
λ(]qn−−n−, qn+−n−[) =X
n≥
−n < .
. PosonsF=Oc. AlorsF eun ferm´e deRd’int´erieur vide. De plus, pour toutA∈ B(R), on a λ(A) =λ(A∩F) +λ(A∩O)≤λ(A∩F)≤λ(A∩F) +.
E
xercice 6. (Ensembles de Cantor)Soit (dn, n≥ ) une suite d’´el´ements de ],[, et soit K = [,]. On d´efinit une suite (Kn, n≥) de la fac¸on suivante : connaissant Kn, qui eune r´eunion d’intervalles ferm´es disjoints, on d´efinitKn+ en retirant dans chacun des intervalles deKnun intervalle ouvert centr´e au centre de chaque intervalle, de longueurdnfois celle de l’intervalle. On poseK=T
n≥Kn.
. Montrer queK eun companon d´enombrable d’int´erieur vide dont tous les points sont d’ac- cumulation.
. Calculer la mesure de Lebesgue deK.
. On noteKl’ensemble de Cantor obtenu en posantdn=pour toutn. V´erifier que
K=
X
n≥
an
n ; (an)∈ {,}N
et qu’il emesure de Lebesgue nulle.
Corrig´e :
. Chaque ensembleKneferm´e doncKeferm´e. De plus,K⊂[,] doncKecompa. Montrons que l’on peut conruire une bijeionϕ:K→ {,}N. SixedansK, alorsxedans un des deux intervalles composantK. On poseϕ(x)=sixedans l’intervalle de gauche etϕ(x)=six edans l’intervalle de droite. En r´ep´etant ce proc´ed´e, on conruit une suiteϕ(x)∈ {,}N. On v´erifie facilement queϕeune bijeion. Ainsi,K n’epas d´enombrable. Par conruion deϕ, pour tousx, y ∈K etn≥,xetysont dans le mˆeme intervalle composantKn+si et seulement si ϕ(x)k=ϕ(y)kpour toutk≤n. Supposons qu’il exie un intervalleIde [,] inclus dansK et non r´eduit `a un point. Soientx, y ∈I tels quex,y. Alors, pour toutn≥,x ety sont dans le mˆeme intervalle composantKndoncϕ(x) =ϕ(y) ce qui eabsurde. Ainsi,K ed’int´erieur vide. Enfin, soitx∈K. L’ensemble{y∈K :ϕ(y)k=ϕ(x)k∀k≤n}einfini et econitu´e de points deK tous
`a diance au plus/n+dex. Doncxeun point d’accumulation.
. On montre par r´ecurrence queλ(Kn) = (−d). . .(−dn−). Orλ([,]) =doncλ(K) = limn→∞λ(Kn).
On a donc :
X
n≥
dn<∞ ⇒ λ(K) =Y
n≥
(−dn), X
n≥
dn=∞ ⇒ λ(K) =.
. Il suffit de regarder la bijeion conruite dans la queionentreK et{,}N et v´erifier que si x=ϕ((bn)n), alorsx=Pbn
n . Pour la mesure on utilise la queion.
E
xercice 7. Soit (Ω,A) un espace mesurable tel que{ω} ∈ Apour toutω∈Ω. Soitµune mesure positive surA. On dit queµeport´ee parS∈ Asiµ(Sc) =, queω∈Ωeun atome ponuel pourµsiµ({ω}),, queµediffuse si elle n’a pas d’atomes ponuels, que µepurement atomique si elle eport´ee par l’ensemble de ses atomes ponuels.. Donner des exemples de mesures diffuses et de mesures purement atomiques.
. Que peut-on dire d’une mesure qui ediffuse et purement atomique ?
. Soit µ une mesure positive sur A. Montrer qu’il exie une mesure diffuse µd et une mesure purement atomiqueµasurAtelles queµ=µd+µa.
. Montrer que l’ensemble des atomes ponuels d’une mesureσ-finieµed´enombrable.
Corrig´e :
. La mesure de Lebesgue ediffuse, et la mesure de comptage surNepurement atomique.
. Elle ealors port´ee par l’ensemble de ses atomes ponuels, qui evide car elle ediffuse. Cette mesure edonc nulle.
. Soit D l’ensemble des atomes ponuels de µ. Pour tout A∈ A, on pose µd(A) = µ(A∩Dc) et µa(A) =µ(A∩D). Ainsiµdediffuse,µaeatomique etµ=µd+µa.
. Soit (En)n≥ une suite d’ensembles de Ade µ-mesure finie et d’unionΩ. Pour tous n, k ≥, on poseDn,k={ω∈En;µ({ω})≥/k}. Alors Card(Dn,k)≤kµ(En). CommeDel’union des ensemble Dn,k pourk, n≥, il en r´esulte queD ed´enombrable.
– Compl´ements (hors TD)
E
xercice 9. (“Cardinal” d’une tribu) Le but de l’exercice ede montrer qu’il n’exie pas de tribu A infinie d´enombrable. Soit (E,A) un espace mesurable. On d´efinit, pour toutx∈E, l’atome de la tribuA engendr´e parxpar,x˙= \
{A∈A:x∈A}
A.
. Montrer que les atomes deAforment une partition deE.
. Montrer que siAeau plus d´enombrable alorsAcontient ses atomes et que chaque ´el´ement de As’´ecrit comme une r´eunion au plus d´enombrable d’atomes.
. Conclure.
. Donner une nouvelle d´emonration de queionde l’exercice.
Corrig´e :
. On remarque quex∈x˙ pour toutx∈E, donc [
x∈E
˙ x=E.
Montrons maintenant que
x˙∩y˙,∅ ⇒ x˙= ˙y.
Soientx, y, z∈Etels quez∈x˙∩y. Alors chaque ensemble˙ A∈ Acontenantxcontientz. Supposons qu’il exieB∈ Acontenantzmais ne contenant pasx. AlorsBc∈ Aet contientx. AinsiBccontient zce qui econtradioire. Donc ˙x= ˙zet de mˆeme ˙y= ˙z. Donc ˙x= ˙y.
. Supposons queAsoit finie ou d´enombrable. Alors chaque atome ˙xs’´ecrit comme une r´eunion au plus d´enombrable d’´el´ements deAet donc appartient `aA. De plus, siA∈ A, alors
A= [
x:x∈A
˙ x
et cette r´eunion eau plus d´enombrable car les atomes appartiennent `aA. De plus, les atomes formant une partition deE, cette ´ecriture eunique.
. Soit B l’ensemble des atomes de A suppos´ee finie ou d´enombrable. D’apr`es la queion ., on d´efinit une bijeionϕ deP(B) dansApar,
ϕ:B∈ P(B)7−→[
˙ x∈B
˙ x.
SiBefini, alorsAefinie. Sinon,Ane peut pas ˆetre d´enombrable.
. Les tribusFnsont toutes finies doncS
n≥Fneinfinie d´enombrable. D’apr`es la queion pr´ec´edente, il n’exie pas de tribu infinie d´enombrable, doncS
n≥Fnn’epas une tribu.
E
xercice 10. (Support) Soitµune mesure bor´elienne surRn(ou plus g´en´eralement sur un espace m´etrique s´eparable localement compa). On poseS:={x∈Rn, µ(B(x, r))>, pour toutr >}.
Montrer queS eferm´e, queµ(Rn\S) =, et queµ(S\F) =µ(Rn\F)>pour tout ferm´eF riement contenu dansS. (On appelleS le support de la mesureµ.)
Corrig´e :
Soitx<S, alors par d´efinition il exie unrx>tel queµ(B(x, rx)) =,a fortioripour toutzcontenu dans la boule ouverte de centrexet de rayonrx
B(z, rx− |z−x|)⊂B(x, rx) et doncµ(B(z, rx− |z−x|)) =, ce qui d´emontre queB(x, rx) eincluse dansSc. L’ensembleF edonc ferm´e.
On sait que pour toutx<S, il exierx >tel queµ(B(x, rx)) =. SiK eun compainclu dansSc il exie un recouvrement ouvert
K⊂[
x∈K
B(x, rx),
duquel on peut extraire un recouvrement fini (Borel-Lebesgue). De plus Sc peut ˆetre vu comme une r´eunion d´enombrable de compas, par exemple
Sc=[
n,k
x:d(x, F)≥ k,|x| ≤n
,
ainsiSceune union d´enombrable de boules ouvertesSc=S
i∈NB(xi, rxi) et µ(Sc)≤X
i∈N
µ(B(xi, rxi)) =X
=.
SiFeun ferm´e contenu dansS alors
Rn\F=Rn\StS\F,
et chacun de ces ensembles emesurable, le r´esultat s’obtient en prenant la mesure de l’´egalit´e.
E
xercice 11. (? – Mesure atomique) Soit (X,F, µ) un espace mesur´e. Un ensemble A∈ F eun atome pourµ si< µ(A)<∞ et pour toutB⊂Amesurable,µ(B) =ouµ(B) =µ(A). Soit (X,F, µ) un espace mesur´e avecµ(X) =et tel queµn’ait pas d’atomes. Montrer que l’image deµe[,] (c’e-`a-dire que pour toutt∈[,], il exieA∈ F tel queµ(A) =t).Corrig´e :
ll s’agit d’un tr`es bel exercice `a zornette, voir
http://en.wikipedia.org/wiki/Atom_(measure_theory)#Non-atomic_measures
E
xercice 12. (Un probl`eme d’additivit´e)On notel∞={a= (an)n∈N∈RN,||a||∞:= supn∈Nan<∞}, l’ensemble des suites r´eelles born´ees.
. Montrer que (l∞,||.||∞) eun espace veoriel norm´e complet.
On admet (th´eor`eme de Hahn-Banach) qu’il exie une forme lin´eaireF :l∞ −→R continue qui satisfait les deux propri´et´es suivantes : Soita= (an)n∈N∈l∞
— F(a)≤ ||a||∞,
— Si limn→∞an=αexie alorsF(a) =α.
. SoitA⊂NetA∈l∞d´efinie par
( A(n) =, sin∈A,
sinon . Si P(A) =F(A), montrer que
— P(∅) =,P(N) =,
— P(Ac) =−P(A),
— P(A∪B) = P(A) + P(B) siA∩B=∅.
. Montrer que P n’epas une mesure.
Corrig´e :
Pour la premi`ere queion, voir le cours de topologie. Pour la deuxi`eme queion, exo :-). Pour la troisi`eme queion, il suffit de voir que :
=P(N) =P
[
i≥
{i}
,
X
i≥
P({i}) =X
i≥
=.
E
xercice 13. (?) E-ce queB(X×Y) =B(X)⊗ B(Y) pour tous espaces m´etriquesX, Y ? Corrig´e :La r´eponse enon. PrenonsX=Y = (l∞(R),|| · ||∞), c’e-`a-dire l’espace m´etrique des suites born´ees index´ees parRmuni de la norme infinie.
Lemme. Soit U un ensemble mesurable deB(X)⊗ B(X). Alors il exie des ensembles mesurables (Ai, Bi)i∈Rtels que
U =[
i∈R
Ai×Bi.
D´emonration. D’apr`es la queionde l’exercice, il exie une suite (Am)m≥d’ensembles mesurables tels que U ∈ σ
(Am×An)m,n≥
. En effet, on se rappelle qu’on a B(X)⊗ B(X) = σ(A×A0;A, A0 ∈ B(R)).
Maintenant, pour une suitex= (xn)∈ {,}N, posons Bx=\
n≥
Cn,
o `uCn=An sixn=etCn=Acnsixn=. Mais l’ensemble des ´elements qui s’´ecrivent comme union des ensembles de la formeBx×Bx0eune tribu (le v´erifier ! !) contenantU (car il contient lesAi×Aj). On en tire :
U =[ n
Bx×Bx0;Bx×Bx0⊂Uo . Ceci ach`eve la preuve du lemme, car{,}NetRsont en bijeion.
Revenons `a la preuve de l’exercice. Il e clair que la diagonale ∆ ={(x, x) ;x ∈ l∞(R)} ∈ B(X×X).
Supposons par l’absurde que∆∈ B(X)⊗ B(X). D’apr`es le lemme, il exie une suite (Ai, Bi)i∈Rtelle que
∆=[
i∈R
Ai×Bi.
CommeP(R) s’injee dansl∞, il exiei∈R et deux ´el´ements diins (u, u),(v, v)∈∆ tels que (u, u),(v, v)∈Ai×Bi(sinon, il exierait une injeion deP(R) dansR).
Mais alors (u, v)∈Ai×Bi, ce qui implique (u, v)∈∆. Absurde caru,v.
Remarque.Cette preuve montre que siX, Y sont deux espaces m´etriques dont le cardinal e rie- ment plus grand que celui deR, alorsB(X×Y),B(X)⊗ B(Y).
Fin
