Universit´e de Rouen Facult´e des Sciences
Licence de Math´ematiques. Topologie 1993-1994 Contrˆole du Devoir No 2
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Exercice 1 :
SoitEun espace localement compact et Ωn
n∈Nune suite d’ouverts denses dansE.
a) Montrer que siO0 est un ouvert non vide, on peut construire une suite On
n∈N∗ d’ouverts non vides relativement compacts telle que∀n∈N On+1⊂On∩Ωn.
b) Montrer que \
n∈N
On6=∅. En d´eduire que \
n∈N
Ωn est dense dansE.
c) Montrer que siE est r´eunion d´enombrable de ferm´es, alors un au moins de ces ferm´es est d’int´erieur non vide.
Exercice 2 :SoientEun espace vectoriel norm´e,Aune partie compacte etBune partie ferm´ee de E. Montrer que :
• A+B est ferm´e dansE.
• si de plusB est compacte, alorsA+B est compacte.
Exercice 3 :SoientEun espace topologique,Fun espace topologique s´epar´e etf,gdeux applications continues deE dansF. Montrer que :
x∈E/f(x) =g(x) est un ferm´e deE.
Exercice 4 :
SoitEun espace m´etrique compact. Soitf une application deE dansE v´erifiant :
∀x, y∈E d f(x), f(y)
≥d(x, y) a) Soitx, y∈E. Montrer que :
∀ε >0 ∃k∈N∗ tel que
d x, fk(x)
≤ε d y, fk(y)
≤ε b) En d´eduire quef(E) est dense dansE et que∀x, y∈E d f(x), f(y)
=d(x, y).
c) Montrer quef est une isom´etrie deE surE.
d) En d´eduire que tout sous espace deE isom´etrique `aE est identique `a E.
