TD  — Fon ions cara ´eri iques – Corrig´e

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Fon ions cara ´eri iques – Corrig´e

Exercice `a chercher du TD pr´ec´edent

E

^{xercice 0.} On consid`ere une source lumineuse ponuelle situ´ee au point (−,) dans le plan. Soitθune variable al´eatoire d´efinie sur un espace de probabilit´es (Ω,A,P), uniforme sur ]−π/, π/[. On suppose que la source ´emet un rayon lumineux en direion de l’axe des ordonn´ees en faisant un angle θavec l’axe des abscisses. D´eterminer la loi de l’ordonn´ee du point d’impadu rayon avec l’axe des ordonn´ees.

Corrig´e :

Le point d’impadu rayon lumineux sur l’axe des ordonn´ees eY = tan(t). Orφ :t ∈]−π/, π/[7→

tan(t)∈Reun C^-diff´eomorphisme de Jacobien+ tan^(t). Donc, pourF :R→R₊bor´elienne, on a, d’apr`es la formule du changement de variables,

 π

Z _π/

−π/F(tan(t))dt=  π

Z ₊∞

−∞

F(y) dy

+y^.

La variable al´eatoireY suit donc la loi de Cauchy.

0 – Petites questions

E

^{xercice 1.}

. Calculer la fonion cara´eriique de la loi de probabilit´e de densit´e (− |x|)1^|x|<?

. Quelle ela fonion cara´eriique de la loi de probabilit´e de densit´e (−cos(x))/(πx^) ? Corrig´e :

. On calcule, en int´egrant par parties pourt,: Z

R

(− |x|)1^|x|<e^itxdx= Z_

 (−x) cos(tx)dx=−cos(t) t^ . Pourt=, la premi`ere int´egrale vaut(normal, c’eune densit´e de probabilit´e !).

. D’apr`es le cours, siµeune mesure de probabilit´es dont la fonion cara´eriiquebµeint´egrable par rapport `a la mesure de Lebesgueλ, alorsµeabsolument continue par rapport `aλ, et sa den- sit´e edonn´eeλ-p.p. par

x7→ 

π Z

R

bµ(t)e^−itxdt.

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



On en d´eduit que pour presque toutx∈R: (− |x|)1^|x|<= 

π Z

R

dt−cos(t) t^ e^−itx.

Les deux membres ´etant des fonions continues enx, on a l’´egalit´e pour toutx∈R. En faisant le changement de variablex=−x, il s’ensuit que la fonion cara´eriique de la loi de probabilit´e de densit´e (−cos(x))/(πx^) ex7→(− |x|)1^|x|<.

E

^{xercice 2.} (Queues de variables al´eatoires) SoitX une variable al´eatoire r´eelle. On d´efinit laqueuede Xpar

ψ(x) =P(|X|> x).

. SiXeint´egrable, montrer que

xlim→∞xψ(x) =.

. SiXedansL^pavecp≥, montrer que

xlim→∞x^pψ(x) =.

. Donner un ´equivalent de la queue de la loi d’une variable al´eatoire gaussienne centr´ee r´eduite.

Corrig´e :

. On a

E(|X|) = Z ∞



P(|X| ≥x)dx.

Donc la fonionx 7→P(|X| ≥ x) eint´egrable. Elle ede plus d´ecroissante ce qui implique le r´esultat. En effet,tP[|X| ≥t]≤R_t

t P[|X| ≥x]dx→quandx→.

. On ´ecrit similairement

E(|X|^p) = Z ∞



P(|X| ≥x^/p)dx, de sorte quexP(|X| ≥x^/p)→quandx→ ∞.

Remarque.Une autre mani`ere ede faire ed’´ecrirex^pP[|X| ≥x] =E

hx^p1^|X|≥x

i≤E

h|X|^p1^|X|≥x

i→

quandx→ ∞par convergence domin´ee.

. SiN d´esigne une variable al´eatoire gaussienne centr´ee r´eduite, on a P[N ≥x] =√

π Z ∞

x

due^−u/≤√

π Z ∞

x

duu

xe^−u/=  x√

πe^−x/. Pour une minoration, on int`egre par parties :

Z ∞ x

e^−u/du=e^−x/

x −

Z ∞ x

e^−u/

u^ du.

On r´eint`egre par parties : Z ∞

x

e^−u/

u^ du= 

x^e^−x/− Z∞

x

e^−u/

u^ du.

Ainsi

√

π Z ∞

x

e^−u/du=√

π 

x −  x^

e^−x/+√

π Z ∞

x

e^−u/

u^ du≥√

π 

x−  x^

e^−x/. On en d´eduit que

P[N ≥x] ∼

x→∞

 x√

πe^−x/.



1 – Fonctions caract´eristiques

Notation.SiXeune variable al´eatoire r´eelle, on noteraφ_X sa fonion cara´eriique, d´efinie parφ_X(t) =E

he^itXi

pourt∈R. LorsqueXe`a valeurs dansN, sa fonion g´en´eratrice epar d´efinition z7→E

hz^Xi .

E

^{xercice 3.}

. Calculer les fonions g´en´eratrices des lois suivantes : (a) Bernoulli de param`etrep∈[,].

(b) Binomiale de param`etres (n, p), avecn∈N, p∈[,].

(c) G´eom´etrique de param`etrep∈],[.

(d) Poisson de param`etreλ >.

. Calculer les fonions cara´eriiques des lois suivantes : (a) Exponentielle de param`etreθ >.

(b) Uniforme sur [,].

Corrig´e :

. Soits∈[,]. On a (a) G(s) =−p+ps, (b) G(s) = (−p+ps)ⁿ,

(c) G(s) = −p

−sp,

(d) G(s) = exp(−λ(−s)).

. Soitt∈R. On a (a) φ(t) = θ

θ−it, (b) φ(t) =exp(it)−

it .

E

^{xercice 4. SoitX}une variable al´eatoire r´eelle.

. On suppose queXadmet un moment d’ordren∈N^∗. Montrer queφ_Xede classeC^ket que pour tout entier≤k≤n, on a

∀t∈R, φ_X^(k)(t) =i^kE

hX^kexp(itX)i . En particulier :

φ^(k)_X () =i^kE hX^ki

()

. On suppose queφ_X efois d´erivable en. Montrer queXadmet un moment d’ordreet que E[X^] =−φ⁽_X^)().

Indication.On pourra consid´erer ^φX(t)+φ_t^{X(−t)−}.



. Soitk≥entier. On suppose queφ_Xekfois d´erivable en. Montrer queXadmet des moments jusqu’`a l’ordrebk/c(icibxcela partie enti`ere dex) donn´es par ().

. Faire l’exercice.

Corrig´e :

. Ceci provient imm´ediatement du th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egral en utilisant la domination

i^kX^kexp(itX)

≤ |X|^k∈L^pour≤k≤n.

. La fonionφ_X ´etant deux fois d´erivable en, la formule de Taylor-Young garantit un d´eveloppement limit´e `a l’ordre:

φ_X(t) =+φ⁰_X()t+φ⁰⁰_X()t^

 +o(t^).

On en d´eduit que :

limt→

φ_X(t) +φ_X(−t)−

t^ =φ⁰⁰(). ()

Orφ_X(t) +φ_X(−t) =Re(φX(t)) =E[cos(tX)]. Il s’ensuit par () que limt→E

"

−cos(tX) t^

#

=−

φ⁰⁰_X().

Or ^{−cos(tX)}_t ≥. Le lemme de Fatou fournit donc : E[X^] =E

"

lim inf

t→

−cos(tX) t^

!#

≤lim inf

t→ E

"

−cos(tX) t^

#

=−φ⁰⁰_X()<∞. La queion. permet de conclure queE[X^] =−φ_X^()().

. Raisonner par r´ecurrence en adaptant la preuve de la queion pr´ec´edente.

. L’exercicemontre qu’en g´en´eral il n’epas vrai queXadmet un moment d’ordrelorsqueφ_X ed´erivable en.

E

^{xercice 5. Soit (X}n)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles. On noteφ_n(t) =φ_Xn(t) pour simplifier, et on suppose qu’il exie une fonionφ:R→C, continue en, telle que

∀t∈R, φ_n(t) −→

n→∞ φ(t).

. Prouver que pour tou ta >on a P

|X_n|> a

≤ a

Z_a

−a

(−Re(φ_n(u)))du= a

Z _a

−a

(−φ_n(u))du.

. Montrer que pour tout >, il exieu >etn_tels que pourn > n_on ait

 u

Z_u

−u

|−φ_n(t)|dt < .

. En d´eduire que la suite (Xn)_n≥etendue, c’e-`a-dire que pour tout >, il exiea >tel que

∀n≥, P[|X_n|> a]<.



. D’apr`es le th´eor`eme de Fubini–Tonelli,

 a

Z _a

−a

(−φ_n(t))dt =  a

Z _a

−a

Z

R

(−e^itx)P_X

n(dx)

! dt=

a Z

R

Za

−a

(−e^itx)dt

! P_X

n(dx)

= 

Z

R

−sin(ax) ax

! P_X

n(dx)≥ Z

|x|>/u

− 

|ax|

P_X

n(dx) car pour tout r´eelton a−sin(t)/t≥et−sin(t)/t≥−/|t|. Comme

 Z

|x|>/a

− 

|ax|

P_X

n(dx)≤ Z

|x|>/a

−



P_X

n(dx) =P[|X_n|>/a], ceci conclut.

. Comme|φ(t)|= lim_n→∞|φ_n(t)| ≤pour toutt∈R,φ() = lim_n→∞|φ_n()|=et queφecontinue en, si >efix´e, il exieu >tel que|−φ(t)|< /pour|t|< u. Ainsi

 u

Z _u

−u

|−φ(t)|dt < .

Or|−φ_n(t)| ≤et|−φ_n(t)| → |−φ(t)|quandn→ ∞. Par convergence domin´ee, il s’ensuit que

 u

Z _u

−u

|−φ_n(t)|dt −→

n→∞

 u

Z _u

−u

|−φ(t)|dt < . Le r´esultat d´esir´e en d´ecoule.

. D’apr`es la premi`ere queion, pourn ≥n_, P

h|X_n|>_u^i

>. Comme les variables al´eatoires X_i sont r´eelles, il exie des r´eels positifsa_, a_, . . . , a_n−tels que

P[|X_i|> a_i]<, ≤i≤n_−.

En posanta= max(/u, a_, a_, . . . , a_n−), on a bien

P[|X_n|> a]< pour tout entiern≥.

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 7. SoitX} une variable al´eatoire r´eelle de loiP_X =P

k∈Za_kδ_k sym´etrique (c`ada_k =a−k) et telle que P

k≥ka_k =∞. Le moment d’ordre  de X e-il fini ? Trouver une suite (ak)_k≥ telle que φ_X soit d´erivable en. Comparer avec l’exercice.

Corrig´e :

On calcule ais´ementE[|X|] =X

k>

ka_k= +∞. D’autre part :

φ_X(t) =a_+

∞

X

k=

a_kcos(kt).

Choisissonsa_=a_=a−=et pourk≥: a_k=a−k= c

k^lnk, o `uc=











∞

X

k=

 k^lnk









−

,



de sorte que :

≤−φ_X(t) t =c

t

∞

X

k=



k^lnk(−cos(tk)).

On v´erifie ensuite que cette quantit´e tend verslorsquet→en d´ecomposant cette derni`ere somme suivant quek≥/touk </t. Tout d’abord :

X

k≥/t

 k^lnk

(−cos(tk))

t ≤ − 

tln(t) X

k≥/t



k^ ≤ −  tln(t)

Z

b/tc−



x^dx=− 

t(b/tc −) ln(t) −→

t→ .

Ensuite, en utilisant l’in´egalit´e−cos(x)≤ ^x

 pourx∈R:

 t

X

≤k</t

 k^lnk

(−cos(tk))

t ≤t X

≤k</t



ln(k) ≤ t ln()+t

Z_/t



 ln(x)dx.

Une int´egration par parties donne Z y



 ln(x)dx=

"

x ln(x)

#y



+ Z y



 (ln(x))^dx.

Mais lorsquex→ ∞,/(lnx)^=o(/ln(x)) et donc lorsquey→ ∞: Z_y



 ln(x)dx=

"

x ln(x)

#y



+o Z y



 ln(x)dx

!

de sorte que

Z _/t





ln(x)dx ∼

t→ −  tln(t) Il s’ensuit que

t Z _/t





ln(x)dx −→

t→ .

Ceci ach`eve de d´emontrer que (−φ_X(t))/t→lorsquet→.

E

^{xercice 8.} (Probl`eme des moments)On consid`ere la fonionf :R^∗₊→R: f(x) = sin(πlnx) 

x

√πexp −lnx^



! . CalculerR

R+x^kf(x)dxpour toutk∈N.Que peut-on dire des v.a.XetY de densit´e respeives

 x√

πexp −lnx^



!

et (+ sin(πlnx))  x√

πexp −lnx^



!

?

Corrig´e :

Soitn≥. La fonion x7→xⁿsin(πln(x))_x^√_πexp−ln(x)^



eint´egrable surR₊, et le changement de variableu= ln(x) aboutit `a

I= Z ∞

 sin(πln(x))  x√

πexp −ln(x)^



! dx=

Z ₊∞

−∞

exp −u^

 +nu

!

sin(πu) 

√πdu.



En remarquant que−u^/+nu=−/(u−n/)^+n^/, le changement de variablev=u−n/donne I=Cste.

Z ₊∞

−∞

sin(πv) exp −v^



!

dv=.

Ainsi pourα∈[−;] les moments des loisK(+αsin(πln(x))) ^

x

√πexp_−ln(x)



avec

K^−= Z ^∞

  

x

√πexp −ln(x)^



! dx

sont ´egaux sans que ces lois ne soient ´egales.

Fin

