PC  –  juin  – Fon ions cara ´eri iques, convergence en loi

X  – MAP 

PC  –  juin  – Fon ions cara ´eri iques, convergence en loi

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

E ^{xercice 1.}

(Petites queions)

() Soit (Xn)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles qui converge en loi vers une variable al´eatoire r´eelleX. Montrer quef(X_n) converge en loi versf(X) pour tout fonion conti- nuef :R→R.

() Soit (Xn)_n≥ une suite de variables al´eatoires telle queP(X_n=n) = ^_n et P(X_n=) =−

n. Montrer que X_n converge en loi vers une certaine variable al´eatoire X. E-ce que E[f(X_n)]→E[f(X)] pour toute fonion continuef :R→R?

() Soit (Xn)_n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles. On suppose que X etY sont deux variables al´eatoires r´eelles telles queX_nconverge en loi versX et telles queX_nconverge en loi versY. E-ce queX=Y presque s ˆurement ?

() SoitXune variable al´eatoire r´eelle. On poseφ(t) =E he^itXi

pourt∈R. Montrer queφe continue surR. SiXeint´egrable, montrer queφed´erivable surR(mais la r´eciproque efausse, cf l’exercice).

 Fon ions cara ´eri iques

E ^{xercice 2.}

() Calculer la fonion cara´eriique d’une loi de Poisson de param`etreλ.

() Soient (Xi)_≤i≤ndes variables al´eatoires ind´ependantes telles queX_i suit une loi de Pois- son de param`etre λ<sub>i</sub>. Montrer que X<sub></sub>+· · ·+X<sub>n</sub> suit une loi de Poisson de param`etre λ_+· · ·+λ_n. Ce r´esultat ree-t-il vrai si les variables al´eatoires ne sont plus suppos´ees ind´ependantes ?

E ^{xercice 3.}

On rappelle qu’une loi de Cauchy a pour densit´e par rapport `a la mesure de Le- besguex7→ ^

π(+x^). On peut d´emontrer (en utilisant les transform´ees de Fourier) qu’elle aφ(t) = exp(−|t|) pour fonion cara´eriique. Soient (X_i)_≤i≤ndes variables al´eatoires ind´ependantes qui suivent une loi de Cauchy.Quelle ela loi de

X_+· · ·+X_n

n ?

La loi des grands nombres s’applique-t-elle ?



 Convergence en loi

E ^{xercice 4.}

^{Pour toutn≥}, on consid`ere la fonionF_nd´efinie par F_n(x) =











 six < n

 six≥n.

Montrer que, pour tout n ≥ , exie une variable al´eatoire X_n dont F_n e une fonion de r´epartition. E-ce que la suite (Xn)_n≥ converge en loi ?

E ^{xercice 5.}

^{Soient (Xi)≤i≤n} des variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [,].

Montrer quenmin(X_, . . . , X_n) converge en loi vers une limite qu’on identifiera.

E ^{xercice 6.}

^{Pour toutn≥}, on consid`ere la fonionF_nd´efinie par F_n(x) = e^nx

e^nx+, x∈R.

Montrer que, pour tout n ≥, il exie une variable al´eatoire X_n dont F_n e une fonion de r´epartition. Montrer que la suite (X_n)_n≥ converge en loi, et identifier la loi limite.

E ^{xercice 7.}

^{Soitθ >}. On consid`ere une suite (Tn)n≥n<sub></sub>de variables al´eatoires o `uTnsuit une loi g´eom´etrique de param`etrepn= ^θ_n. Montrer que la suite (Tn/n)n≥n_converge en loi et d´eterminer sa limite.

E ^{xercice 8.}

( ´Equivalence de la convergence en probabilit´e et en loi vers une variable al´eatoire conante) Soient (X_n)_n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles et c ∈ R. Montrer que X_n converge en probabilit´e versc si et seulement siX_nconverge en loi versc.

Indication.Pour la r´eciproque, on pourra commencer par ´ecrireP(|X_n−c| ≥)≤P(X_n≥c+)+

P(X_n≤c+).

E ^{xercice 9.}

^{Soient (Xn)n≥, (Yn)n≥} deux suites de variables al´eatoires r´eelles, et X, Y deux variables al´eatoires r´eelles telles queXn→X en loi etYn→Y en loi.

() On suppose dans cette queion que les variablesX_netY_nsont ind´ependantes pour tout n≥ et que les variablesX et Y sont ind´ependantes. Montrer que (X_n, Y_n)→(X, Y) en loi.

() (Lemme de Slutsky) On suppose que Y =aeconante. Montrer que (Xn, Y_n)→(X, a) en loi.

Indications. On pourra utiliser le faitY_n→Y en probabilit´e (exercice) et ´ecrire

|E[F(X_n, Y_n)]−E[F(X, a)]| ≤ |E[F(X_n, a)]−E[F(X, a)]| + E

h|F(X_n, Y_n)−F(X_n, a)|1^{|Y_n−a|≥}

i

+ E

h|F(Xn, Yn)−F(Xn, a)|1{|Y_n−a|<}

i.

On admettra ´egalement que si Z_n e une suite de variables al´eatoires `a valeurs dans R^k, alors Z_n converge en loi vers Z si et seulement si pour toute fonion lipschitzienne born´ee f :R^k →Ron aE[f(Z_n)]→E[f(Z)].



() E-il toujours vrai que (Xn, Y_n)→(X, Y) en loi ?

 Exercice `a chercher pour la prochaine fois (  juin)

E xercice 10.

^{Soit (X}i)_i≥ des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi. On suppose queX_ede carr´e int´egrable et queE[X_] =. ´Etudier la convergence en loi de√

n· P_n

i=(X_i−) P_n

i=X_i .

 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 11.

Cet exercice pr´esente un mod`ele pour la contamination au mercure.

() Soit (Xn)_n≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi. On suppose qu’il exie deux r´eels α, λ > tels que P(X_> x) ∼ ^α

x^λ lorsque x → ∞. D´emontrer que la suite (Z_n)_n≥ d´efinie par Z_n = n^−λmax(X_, . . . , X_n) converge en loi vers une variable al´eatoire dont la fonion de r´epartition e e^−αy−λ1_y> (loi de Fr´echet de param`etre (α, λ)).

() Le mercure, m´etal lourd, epr´esent dans peu d’aliments. On le trouve essentiellement dans les produits de la mer. L’Organisation Mondiale de la Sant´e fixe la dose journali`ere admissible en mercure `a .µg par jour et par kilo de poids corporel. Des ´etudes a- tiiques^ donnent la forme de la queue de diribution empirique de la contamination globale annuelle en gramme de mercure pour un individu dekg :P(X > x) = ^α

x^λ pour x assez grand avec α = .·^− et λ = .. Seriez-vous ´etonn´e–e qu’au moins une personne soit expos´ee `a ce risque sanitaire en France ? `A Palaiseau (Recensement:

personnes ) ? Dans une promotion de cinq cents ´etudiants ? `A partir de quelle va- leur denpouvez-vous affirmer, avec seulement% de chances de vous tromper :Parmi ces n personnes, au moins une a un niveau de mercure trop ´elev´e?

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 12.

^{Soient (X}i)_≤i≤n des variables al´eatoires ind´ependantes qui suivent une loi de Cauchy. On poseS_n=X_+· · ·+X_n. ´Etudier les convergences en loi et en probabilit´e des suites suivantes.

() S_n

√ n

!

n≥ () S_n

n^

n≥ () S_n

n

n≥.

. P. Bertail. Evaluation des risques d’exposition ˘n contaminant alimentaire : quelques outilsatiiques.www.

crest.fr/doctravail/document/-.pdf().



Indication. Pour la troisi`eme suite, on pourra d´eterminer la loi de ^S_n^n − ^Sn

n, raisonner par l’absurde et montrer qu’alors la suite ^S_n^n −^Sn

n converge en probabilit´e vers.

E xercice 13.

(Loi faible, non forte) Soit (X_n)_n≥une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi donn´ee par P(X_n=) = − ^

nln(n+) et P(X_n=n) = P(X_n=−n) = _{ln(n+)n}^ . On pose Y_n=^X+···_n^+Xn.

() Montrer queY_nconverge en probabilit´e vers.Indication.On pourra ´etudierE[Y_n^].

() Montrer que presque s ˆurement,Y_nne converge pas.

E xercice 14.

D´eterminer la limite dee⁻ⁿP_n

k=n^k

k! lorsquen→ ∞. Indication.On pourra utiliser le th´eor`eme central limite.

E xercice 15.

(Le TCL n’epas une convergence en probabilit´e) Soit (Xn)n≥ une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi. On suppose queE[X_^]<∞, et on note m=E[X_],σ^= Var(X_) etZ_n=^√_nP_n

k=(X_k−m).

() Rappeler la convergence en loi de la suite (Zn)_n≥.

() Montrer que la suite (Z_n−Z_n)_n≥ converge en loi vers une limite qu’on identifiera.

Indication.On pourra ´ecrire Z_n−Z_n=aZ_n+bZ_n⁰ pour a, b∈Rchoisis de sorteZ_n etZ_n⁰ soient ind´ependantes et de mˆeme loi.

() En d´eduire que siσ^>alors la suite (Z_n)_n≥ ne converge pas en probabilit´e.

E xercice 16.

(Sommes al´eatoires) Soit (X_n)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi, centr´ees, de variance finie σ^ >. On poseS_n =P_n

m=X_m. Soit (N_k)_k≥ une suite de variables al´eatoires `a valeurs dans N_∗, toutes ind´ependantes de la suite (X_n)_n≥. On pose finalement

Z_k = √ N_kS_Nk.

On suppose queN_k → ∞p.s. lorsquek→ ∞. Montrer queZ_k converge en loi vers une variable al´eatoire que l’on d´eterminera.

E xercice 17.

^SoitX une variable al´eatoire `a valeurs dansZdont la loi edonn´ee par P(X=) =P(X=) =P(X=−), P(X=k) = c

|k|^·ln|k| pour|k| ≥, avec c = ^_(P

k≥ 

k^lnk). Montrer que φ(t) = E he^itXi

e d´erivable sur R mais que X n’e pas int´egrable.

E xercice 18.

^{Soitλ >}fix´e et soit (X_t)_t≥une famille de variables al´eatoires telle que, pour tout t ≥,X_t suit une loi g´eom´etrique de param`etre e<sup>−t</sup>, c’e-`a-dire que P(X_t=k) =e^−t(−e^−t)^k− pour tout k ≥ . Soit (Un)_n≥ une suite de variables al´eatoires telle que λU_n−ln(n) converge presque s ˆurement vers−ln(E) lorsquen→ ∞, o `uE eune variable al´eatoire exponentielle de param`etre. On suppose de plus que les deux familles (Xt)_t≥ et (U_n)_n≥ sont ind´ependantes.

Montrer que, lorsquen→ ∞,X_Un/n^/λconverge en loi vers une variable al´eatoire exponen- tielle, dont le param`etre eal´eatoire et vautE^/λ.

