PC 7 : Convergence en loi & Théorème de la limite centrale

École Polytechnique MAP 361 2019/2020

PC 7 : Convergence en loi & Théorème de la limite centrale

On corrigera les exercices (1), (7) et (9).

Exercice 1. On suppose Xn

−→L c pour des v.a. (Xn) à valeurs réelles et c ∈R. Soitφ: R⁺ →R définie parφ(x) = min(x,1).

1. Soit >0. Quelle est la limite deE[φ(|Xn−c|/)]quandn→ ∞? 2. En déduire queXn→cen probabilité quandn→ ∞.

Solution. 1. Pour >0fixé, la fonctionx7→φ(|x−c|/)est continue et bornée. Par la convergence en loi deXn versc, on alim_n→∞E[φ(|Xn−c|/)] =E[φ(|c−c|/)] = 0.

2. On a

E

φ

|Xn−c|

=E

φ

|Xn−c|

1{|X_n−c|≤}

+E

1{|X_n−c|>}

=E

φ

|Xn−c|

1{|Xn−c|≤}

+P(|Xn−c|> ).

Dans la question 1, on a montré que le terme à gauche tend vers 0 pour tout > 0 lorsque n→ ∞. Comme les deux termes à droite sont positifs, cela implique qu’ils tendent tous les deux vers 0 lorsquen→ ∞. La convergence deP(|X_n−c|> )vers 0 quelque soit >0implique la convergence en probabilité deXn versc.

Exercice 2. SoitXn telle queP(Xn = 0) =pn et P(Xn=n) = 1−pn.

1. Donner une CNS sur (p_n)pour que, quelle que soit la fonction f continue à support compact, E[f(X_n)]converge dansRquand n→ ∞.

2. Donner une CNS sur(p_n)pour queX_n converge en loi et donner sa limite.

Exercice 3. Soit(Xn)_n≥1 une suite de v.a.r. i.i.d. de carré intégrable, de moyennemet de variance σ²>0. En notantX¯n= ¹_nPn

i=1Xietˆσ_n²= _n−1¹ Pn

i=1(Xi−X¯n)², étudier la limite deσˆ_n²puis montrer que

√n

X¯n−m ˆ σn

−→L

n→∞N(0,1).

Exercice 4. 1. Etudier la convergence en loi de la suite ^X_nⁿ

n≥1, oùXn suit une loi géométrique de paramètre p_n =^λ_n et λ >0 est fixé.

2. SoitXn une v.a. de loi uniforme sur{0,_n¹,_n², . . . ,ⁿ⁻¹_n ,1}.

(a) Trouver la limite en loi de la suite(Xn)n≥1. On noteraX une v.a. ayant cette loi.

(b) Montrer queP(Xn∈Q)ne converge pas versP(X∈Q). Comparer avec la définition de la convergence en loi.

Exercice 5 (Convergence en loi, convergence des densités ?). Pour tout n≥1, on définit une fonctionFn sur[0,1]par

F_n:x7→x−sin(2πnx) 2πn .

1. Montrer que pour tout n≥1, la fonctionFn (prolongée par0 pourx≤0 et par1pour x≥1) est la fonction de répartition d’une variableXn à densité.

2. Montrer que Xn converge en loi vers une variable à densitéX, mais que la densité de Xn ne converge pas au sens de la convergence simple.

1

Exercice 6. Soient(Xn)n des v.a. i.i.d. de loi de Poisson de paramètre λ >0.

1. Calculer la fonction caractéristiqueφX₁ et en déduire la loi deSn=Pn i=1Xi. 2. En utilisant le théorème limite central déterminer la limite de la suite

un= e⁻ⁿ

n

X

k=0

n^k k!.

Exercice 7 (Le TCL n’est pas une convergence en probabilité). Soit (X_n)_n≥1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi. On suppose que E[X₁²] < ∞, et on note m=E[X₁], σ²= Var(X₁)et Z_n= ^√1_nPn

k=1(X_k−m).

(1) Rappeler la convergence en loi de la suite(Z_n)_n≥1.

(2) Montrer que la suite(Z_2n−Z_n)_n≥1 converge en loi vers une limite qu’on identifiera.

Indication. On pourra écrireZ2n−Zn = aZn+bZ_n⁰ pour a, b ∈ R choisis de sorte Zn et Z_n⁰ soient indépendantes et de même loi.

(3) En déduire que siσ²>0alors la suite(Zn)_n≥1 ne converge pas en probabilité.

Solution. (1) D’après le TCL (les v.a. sont de carré intégrable), Zn converge en loi versN(0, σ²) siσ²>0 et0sinon.

(2) On a

Z2n−Zn= 1

√2−1

Zn+ 1

√2Z_n⁰ avec Z_n⁰ = 1

√n

2n

X

k=n+1

(Xk−m).

CommeZ_n⁰ est indépendant deZ_n et a la même loi queZ_n, on en déduit que

φZ_2n−Zn(t) =φZ_n

1

√2 −1

u

·φZ_n

1

√2u

−→ φ_σN(0,1) 1

√2−1

u

·φ_σN(0,1) 1

√2u

= exp −u² 2 σ²

1

√2−1 ²

+1 2

!!

.

DoncZ2n−Zn converge en loi versN(0, σ²2(1−^√1

2))siσ²>0 et0 sinon.

(3) Soit σ² >0 et supposons par l’absurde que Zn converge en probabilité vers une v.a. Z. Alors la suite (Z2n−Zn) converge en probabilité vers 0 (et donc en loi). En effet pour tout >0, P(|Z2n−Zn|>)6P(|Z2n−Z|>/2∪|Z−Zn|>/2)6P(|Z2n−Z|>/2)+P(|Z−Zn|>/2).

On déduit de la question précédente que σ= 0, absurde.

Exercice 8 (Mesure uniforme sur la sphère). Soient(X1, . . . , Xn)des variables aléatoires i.i.d gaussiennes centrées réduites. On poseX = (X1, . . . , Xn). SoitP ∈Mn(R)une matrice orthogonale.

Montrer queXetP X ont la même loi. En déduire que la loi de _kXk^X est une mesure de probabilité sur la sphère unitéSⁿ⁻¹deRⁿinvariante par toute transformation orthogonale (cette propriété caractérise la mesure uniforme surSⁿ⁻¹).

Exercice 9 (Théorème de Cochran). Soit Z un vecteur gaussien de Rⁿ d’espérance nulle et de matrice de covariance In où In est la matrice identité de dimension n. Supposons queRⁿ s’écrit comme la somme directe deJsous-espaces vectoriels orthogonauxV₁,· · ·, V_Jde dimensions respectives p₁,· · ·, p_J. On désigne parΠ_Vj la matrice de projection orthogonale surV_j.

1. Montrer queΠ_V1Z,· · · ,Π_VkZ sont des vecteurs aléatoires indépendants. Déterminer leurs lois.

2. Montrer quekΠVjZk² suit la loiχ²(pj)pour tout1≤j≤J.

3. Application. SoientXi, i= 1, . . . , ndes variables aléatoires indépendantes de loi normaleN(µ, σ²) avec µ∈R et σ >0. On pose X¯ = _n¹Pn

i=1Xi et S²_n = _n¹Pn

i=1(Xi−X¯n)². Déterminer la loi jointe du vecteur aléatoire( ¯Xn, S²_n).

2

Solution. 1. Formons d’abord une grande matriceAavec toutes les matrices de projections :

A=









 Π_V1 Π_V2 ... Π_VJ









 .

PuisqueZest un vecteur gaussien,



 ΠV₁Z

· · · Π_VJZ



=AZl’est aussi comme transformation affine d’un vecteur gaussien. Sa moyenne est E[AZ] =AE[Z] = 0et sa matrice de variance-covariance est Cov(AZ) =ACov(Z)A^T =AA^T.

Rappel sur les projecteurs orthogonaux : on a pour toutj,ΠV_j = Π^T_V

j (symétrie) etΠ²_V

j = ΠV_j, et par orthogonalité des sous-espaces vectorielsVj on aΠV_jΠV_l = 0pour toutj 6=l.

Donc, la matrice de variance-covariance de AZ est diagonale par block :

Cov(AZ) =













Π_V1 0 · · · 0 0 Π_V2 . .. ...

... . .. 0 · · · ΠV_J











 .

La structure de la matrice Cov(AZ) implique que les sous-vecteurs ΠV_jZ sont des vecteurs gaussiens indépendants. EtΠV_jZest de moyenne nulle et Cov(ΠV_jZ) = ΠV_j pour toutj. Donc, ΠV_jZ∼ Np_j(0,ΠV_j).

2. CommeΠV_j est symétrique, il existe une matriceΓorthogonale telle queΠV_j = ΓΛΓ^T, oùΛ = Diag(λ1, . . . , λp)est la matrice diagonale des valeurs propres deΠV_j. Alors,

kΠV_jZk²=Z^TΠ^T_VjΠV_jZ =Z^TΠV_jZ= (Z^TΓ)Λ(Γ^TZ) =U^TΛU =

k

X

i=1

λiU_i²,

oùU = Γ^TZ= (U1, . . . , Un)^T. En utilisant l’orthogonalité de Γ, on vérifie queU est un vecteur normal de loi Nk(0, Ik). En effet,

E[U] = Γ^TE[Z] = 0 et Cov(U) = Γ^TCov(Z)Γ = Γ^TΓ =Ik .

Or,ΠV_j est un projecteur orthogonal, doncλj∈ {0,1}et Card{j:λj = 1}=Rang(ΠV_j) =pj. Donc,

kΠV_jZk²= X

i:λi=1

U_i²∼χ²_pj.

3. Le vecteur aléatoireX= (X₁, . . . , X_n)^T est de loi normale de moyenne(µ, . . . , µ)^T et de matrice de varianceσ²I_n. PosonsZ =^X−µ_σ . AlorsZest un vecteur gaussien centré de varianceI_n. Notons V1= Vect(1ⁿ)le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur 1ⁿ=





 1 ... 1





∈Rⁿ. La projection orthogonale Π_V1Z deZ surV₁est donnée par

h 1

√n1n, Zi 1

√n1n = 1

n1^TnZ1n= ¯Z_n1n,

oùZ¯_n= ( ¯X_n−µ)/σ. On en déduit que la projection orthogonale deZ surV₂=V₁^⊥ est donnée parZ−Π_V1Z=Z−Z¯_n1n. Par le théorème de Cochran,Z¯_n1n et Z−Z¯_n1n sont des vecteurs gaussiens indépendants. De plus,kZ−Z¯n1ⁿk²=^nS_σ2ⁿ² suit la loi de khi-deux dont le nombre de degrés de liberté est dim(V₂) =n−dim(V₁) =n−1. On en déduit l’indépendance deX¯_n et S_n² avecX¯n∼ N(µ, σ²)et ^nS_σ2ⁿ² ∼χ²_n−1.

3

Exercice 10 (Stabilité gaussienne). Pour une constantem∈R, on notera N(m,0) la masse de Dirac enm, que l’on verra comme une loi gaussienne dégénérée.

1. Soit X une v.a. gaussienne centrée réduite ; rappeler sa fonction caractéristique t 7→ φX(t) = E[e^itX]et en donner le développement en série entière en0; en déduire l’expression des moments deX :E[X^k]pour toutk≥0.

2. Soit (Xn)n≥1 une suite de v.a. gaussiennesN(mn, σn)qui converge en loi vers une v.a. X qui est finie presque sûrement. Montrer successivement que :

(a) la suite (mn)n≥1 est bornée ; on pourra raisonner par l’absurde et considérer une suite extraite de (m_n)_n≥1 qui converge vers +∞ou vers −∞;

(b) la suite(σn)n≥1converge vers une limite σ∈[0,∞[; (c) la suite(mn)n≥1 converge vers une limitem∈R; (d) la variableX suit la loiN(m, σ).

Exercice 11. Soit un vecteur gaussienX = [X1, X2, X3]^T ∼ N3(0,Id). On pose

U =X₁−X₂+X₃, Y₁=X₁+X₂, Y₂=X₂+X₃, Y₃=X₁−X₃. 1. Quelle est la loi deU?

2. Montrer que U est indépendant du vecteur Y = [Y₁, Y₂, Y₃]^T et indépendant de Y_i pour tout i∈ {1,2,3}.

3. On poseV =Y₁²+Y₂²+Y₃²=kYk². Quelle est la loi deV /3?

Indications : on pourra commencer par écrire le vecteurY sous la forme AX, puis calculer les valeurs propres deA^TA.

4. Quelle est la loi du couple (U, V)?

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