Un problème d'existence de mesure invariante

A NNALES DE L ’I. H. P., SECTION B

A. B RUNEL

N. D ANG -N GOC

J.-P. T HOUVENOT

Un problème d’existence de mesure invariante

Annales de l’I. H. P., section B, tome 10, n

^o

2 (1974), p. 211-227

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Un problème d’existence de

mesure

invariante

A. BRUNEL, N. DANG-NGOC et J.-P. THOUVENOT ^{- -} (*)~ "

Université Paris VI. Laboratoire de Probabilités, Tour 56. 9, quai Saint-Bernard, ^{Paris 5e} (France)

Ann. Inst. Henri Poincaré, Vol. X, ^n° 2, 1974, p. 21 -227.

Section B : Calcul des Probabilités et Statistique.

SUMMARY. - _{We say} that the action of a group G ^{on a measure} space

(X, d, m)

^{where m is 6 finite is}

relatively

^{invariant if} g. ~c ⁼

where X

^{is a real character of G.}

We are concerned here with the

following question :

^{Is it true that}

given

any

relatively

^invariant action of G on

(X, d, m)

there exists

a

6-finite measure J1

equivalent

^{to m and invariant}

by

the action of G ?

We prove here that if G ⁼ Z or G ⁼ R the answer to the

question

^is yes.

Extending

^an

example of Hajian

Ito and Kakutani which _proves that the

answer to the

question

^{is no if G =}

7~2,

^we

give examples

^which prove that the answer is still no for G ⁼ H ^x Z on H with a non trivial real character on H.

Moreover,

other results of

independent

^{interest on induced transfor-}

mations associated with a group of

transformations (instead

^{of with one}

transformation)

^{are obtained}

generalizing

^{that of}

Hajian-Ito-Kakutani.

1. On donne un espace

mesuré, a-fini, (E, 6, ~c)

^{et un} groupe G ⁼ Zm x

[~, opérant

^sur

E,

tel que

soit une

application

^mesurable

lorsque

^{G x E est} muni de la tribu pro- duit

PÀG Q ~~ désignant

^{la tribu} Borélienne de G.

(*)

Équipe

^{de Recherche n° 1 « Processus} stochastiques ^et applications » dépendant ^de

la section n° 1 « Mathématique, Informatique » ^{associée au} C. N. R. S.

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B - Vol.

211

212 A. BRUNEL, ^N. DANG-NGOC ET J.-P. THOUVENOT

On suppose aussi donné un caractère

positif /

^de

G : ~ :

^{G -}

vérifiant la condition :

’

x n’étant _pas trivial.

A propos de cette

situation,

^{J. Dixmier a}

posé

^la

question

^{suivante :}

les conditions

précédentes

entraînent-elles l’existence d’une mesure

a-finie, équivalente à

^sur

l’espace (E, E)

^et

qui

^soit invariante _{par G?}

Nous commençons par ^montrer que si ^{m + n =}

1,

^la

réponse

^{est oui.}

Puis nous donnerons dans le cas

général

^une condition nécessaire et suffi-

sante d’existence d’une telle mesure invariante. Une autre

partie

^{de ce}

travail est consacrée à la construction des

contre-exemples,

^en

particulier

dans le cas n +

m >_

^2.

Cependant

^la

réponse

^{est encore} affirmative si l’on

ajoute

^des

hypothèses supplémentaires

^sur

(E, @)

^{et sur} l’action de G.

Ce dernier résultat était

déjà

^connu

[5]

^et

[10]

^{et a été}

généralisé

par

Dang-Ngoc

^{au cas}

où

^{est seulement}

quasi-invariante,

^G étant abélien

quelconque

^ou groupe de Lie

nilpotent

^connexe

[3].

2. SOLUTION DU

PROBLÈME

DANS LE CAS G ⁼ (~

Il sera commode de noter le transformé de x e

E par

^{t E R. Le}

caractère ~

^est de la forme : ⁼ ct où c > 1.

Soit g

^une

application

~-mesurable de E dans l’intervalle

]0,1].

^On

peut

_{Posons :}^{trouver un} tel élément _g tel _que

fgdJl

^{= 1.}

F est > 0 et ~-mesurable. Montrons

qu’elle

^{est finie} p-pp. Pour cela cal- culons On a :

_ -

Mais

Donc

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

213

UN PROBLÈME D’EXISTENCE DE MESURE INVARIANTE

On a

ensuite,

pour ^{tout ,s} e R

et par

conséquent,

^en

posant f ~

⁼

(F)2

La mesure v

= f v ~c

^{a bien les}

propriétés voulues.

Il est clair que le ^cas où G ⁼ Z se traite comme le

précédent

^{avec des}

modifications évidentes.

3. PASSONS MAINTENANT AU CAS

GÉNÉRAL :

Commençons

par ^une remarque

qui

^nous conduira à une condition nécessaire. La formule

(2)

^montre que l’ensemble A

= {

^{1 ~}

/

^ca

},

où a est un nombre

positif donné,

^est ~-mesurable et est un ensemble

errant relativement à la transformation T ⁼ Cela

signifiant

que les

ensembles {TnA ; n ~ Z}

^sont

disjoints

^{deux à deux. De}

plus

si l’on pose

et

on a H. BeA en

désignant

par H . B

l’ensemble ~ hb ~ ^h

^E

^H,

^{b E}

B ~

^en

reprenant

^{la notation}

(g, x)

^- gx introduite au début de l’article. En outre

x(H)

^{est un}

voisinage

^{de 1 sur}

f~4.

Cela nous conduit à poser les définitions suivantes :

DÉFINITION 1. - Un ensemble A sera dit

large

pour x s’il existe une

partie

^{H de G et un >}

0,

^tels que

( 1 )

^{H contienne}

l’image réciproque

par x d’un

voisinage

^{de 1 dans}

(2)

^{H . B c A.}

DÉFINITION 2. ^- Un

élément g

^{E G sera dit}

dissipatif

pour x si ^tout ensemble de

é,

^non

-négligeable

^{et invariant} par

G,

^{contient une}

partie large

et errante pour g.

Ceci étant

posé,

^{on a les}

équivalences

suivantes : THÉORÈME. - Les énoncé,s suivants sont

équivalents

(i) g

^{E G}

/(g) 7~

^{1 ==>} g ^est

dissipatif

pour x.

Vol. n° 2 - 1974.

214 A. BRUNEL, ^N. DANG-NGOC ET J.-P. THOUVENOT

(ii)

^{ll existe un} g ^E G

qui

^soit

dissipatif

pour f.

(iii)

^{Il existe} une mesure

a-finie

^v, invariante et

équivalente

^à ,u.

Démonstration. ^-

(i)

^~

(ii)

^{est évident}

puisque

x n’est pas trivial.

(ii)

^~

(iii).

^Soit go

dissipatif

pour x ^et A un ensemble

large

et errant pour go. On ^a donc

La définition 1 montre l’existence de B > 0 et d’un _a, 0 a

1,

tels _que

en

posant

^{c =}

y(go)

^{et l’on}

peut

supposer

x(go(

^{> 1.}

Montrons ensuite _{que la} fonction :

où G’ = Zm x

Q~,

^{est bornée.}

1 En effet si _{p -} 1 est la

partie

^entière

de -,

^{on a}

a

g

1 étant

^choisi dans G’ de sorte que soit très voisin de c". Les rela- tions

(3)

^et

(5)

^{montrent que la} fonction définie _par

(4)

^est

majorée

par p + ^1.

De là on en déduit que la fonction

est ~-mesurable et que 0

h _

p ⁺ 1 sur l’ensemble G’-invariant

B engendré

^{par B.}

Posons alors

Les conditions satisfaites _{par h} ^montrent que

1 )

^{F est} 6-mesurable

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

UN PROBLÈME D’EXISTENCE DE MESURE INVARIANTE 215

1 )

^est

évident ; 2)

résulte du fait que la

fonction,

^{à valeur} 0 ^ou 1

~c._

_

x étant

donné,

^est nulle hors d’un compact

dépendant

^{de x.}

3)

^Soit g ^E G’. Ecrivons

x(g)

^{sous la forme}

cp,

^{a E R. On a}

est donc une mesure G’-invariante et

équivalente

^à Jl ^sur

B. Puisque

G’ est dense dans G un argument

classique

de continuité montre que est G-invariante et

équivalente à

^sur l’ensemble

B

G-invariant

engendré

par B. Si le

complémentaire

^de

^B

n’est pas

négligeable,

^{la défi-}

nition

2)

^montre que l’on

peut

déterminer une mesure G-invariante

gère

^à

Fjn

^et

portée

par

B‘.

Un argument

d’extrémalité

au sens de la

théorie

de la mesure montre alors

qu’il

^existe une mesure

a-finie, équivalente à

^et G-invariante.

(iii)

^=>

(i). Supposons

l’existence d’une telle mesure invariante. Il _y a

donc une fonction ~-mesurable

F,

^{0 F + oo} telle _que

Soit

go é G avec X(go)

^{= c > 1}

(sinon

^on

prendrait g~ 1 ).

^Soit

pour ^{un a E} R choisi de telle sorte que

J1(B)

^{> 0. Soit}

de telle sorte que soit un

voisinage

de 1. Alors

et A est

large

^et

dissipatif

pour go.

Il

Vol. X, n° ^{2 - 1974.}

216 A. BRUNEL, ^N. DANG-NGOC ET J.-P. THOUVENOT

4.

SYSTÈMES DYNAMIQUES ASSOCIÉS

AUX

CARACTÈRES RÉELS

D’UN GROUPE

DÉNOMBRABLE

I. Notations.

Dans un article récent

(cf. [7]),

^A.

Hajian,

^Y.

Ito,

^{et S. Kakutani ont} démontré le résultat suivant : à tout caractère réel _y du groupe G ⁼ Z

(i.

^e. y ^{est un}

morphisme

^{de G dans le} groupe

multiplicatif R + )

^on

peut

associer un espace de

Lebesgue (M, é0, m)

^{avec m-finie}

infinie, diffuse,

une

représentation

^{n de G x Z dans} le groupe Aut

(M, ~, m)

^{des auto-}

morphismes

^de

(M, ~, m)

tels que :

(i)

L’action de

7c({ 0}

^x

^Z)

^est

ergodique

^et

préserve

^{la mesure m.}

(ii)

^{Pour tout} g ^E

G,

^{on a}

n((g, 0))m

⁼

y(g)m.

Le but de ce travail est d’étendre ce résultat à un groupe G dénom- brable

quelconque,

^la démonstration

s’appuie

^{sur la méthode de}

Hajian,

Ito et Kakutani et sur les résultats de

Krieger (cf. [8]).

Nous remarquons que si y ^{est non} trivial

(i.

^e.

y ~ 1 )

^le

système dyna- mique ergodique (M, n(G

^x

Z))

^{est de}

type

^{III i. e.} n’admettant

aucune mesure invariante a-finie

équivalente

^{à m}

(cf. [4] ; [7]).

Notations. Soient

T,

^{T’ E Aut}

(M, é3, m),

^{on définit la mesure} Tm par

On vérifie alors

II. Construction

d’automorphismes

associée à un

système

^discret.

Nous allons

généraliser

^une construction de

Hajian,

^{Ito et Kakutani}

qui

^{nous sera utile} dans la suite : soit

(M, é3,

m ;

0)

^un

système dynamique séparable

^discret

(cf. [4]

^déf.

III.2)

^{soit Y un} G-atome donc le

G-support

soit

égal

^{à M}

(cf. [4]

^{Th. III.}

1),

alors pour m-presque ^{tout xe}

M, OrbG

^x

rencontre Y exactement en un

point (cf. [4] Prop. VII-2)

^{en enlevant ensemble}

négligeable

^nous supposons que c’est le cas pour ^{tout x E} M.

Soit T E Aut

(M, ~, m)

tel que

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

217 UN PROBLÈME D’EXISTENCE DE MESURE INVARIANTE

ce

qui équivaut

^à dire

(cf. [8], [4])

que pour m-presque ^{tout x e} M on ait

L’ensemble des T E Aut

(M, é0, m) possédant

^les

propriétés équiva-

lentes

(1)

^et

(2)

est le groupe

%([G])

des normalisateurs de

[G]

^dans

Aut

(M, é0, m),

^{il est} clair que

%([G])

^contient

[G]

^{et tout}

automorphisme

commutant avec les éléments de G.

Sur le G-atome Y ^on considère

l’espace

mesurable induit cano-

nique (Y, my).

DÉFINITION 1. ^- Soit T E

%([G]),

^{on définit un}

automorphisme ^T

de

(Y, my)

par :

L’automorphisme T

^est

appelé l’automorphisme

^{G-induit de T sur}

_{Y ;}

il est clair que si

T,

^{T’ E}

~1~’([G]),

^alors

L’application ~ :

^{T -~}

^T

^{est donc un}

morphisme

du groupe

%([G])

dans le groupe

(Aut Y, my),

^le noyau Ker

( ~ )

^est l’ensemble des T E

~([G])

tel que Tx ^E

Orbe

^x pour m-presque ^{tout x} de M i. e.

n= oo

Soit M

= à ^Mn

^la

partition canonique

^de

l’espace

^{M telle} que le _sys-

n= 1

tème induit

(M, G)Mn

^{soit de}

type In (cf. [4] Prop. VII-1 ), chaque Mn

est G-invariant et pour m-presque ^{tout x E}

Mn

^card

(Orb~ x)

^{= n}

(cf. [4]

Th.

1 ).

^Soit

Yn

⁼

Mn n Y.

Il est clair que si T E

N([G])

^alors

TMn

⁼

Mn,

^et

TYn

⁼

Yn,

^{Vn =}

1,2,

^{..., oo.}

Considérons le _groupe

produit

03A0

^Aut

^{(Yn, mYn) qu’on}

^identifie

n= i

à ^un sous-groupe de ^Aut

(Y, my) ; d’après

^ce

qui précède,

^{si T E}

~V’(G)

alors

et

réciproquement

^soit

218 A. BRUNEL, N. DANG-NGOC ET J.-P. THOUVENOT

en utilisant le théorème de la structure d’un

système

^de

type In (cf. [4],

Th.

VII-1 ),

^on peut ^{trouver un}

automorphisme

^{T E}

~([G])

tel que

T

⁼ U.

En

résumé,

nous avons démontré :

THÉORÈME 1.

- L’application - qui

^{à un}

automorphisme

^{T E}

7~ ([G])

associe

l’automorphisme

^G-induit

^T

^{sur Y est un}

morphisme

de groupe

et a

avec

Yn

⁼

Mn

^{n Y où}

Mn désigne

^la

partie

^de

type In

^{de M. En}

particulier,

le

morphisme -

^est

surjectif

^{si et} seulement si le

système (M, 36, m; G)

est

homogène

^{i. e. de}

type !~

^{avec un n}

e { 0, 1,

^{..., oo}

}.

Nous allons

généraliser

^un résultat de

Hajian,

^{Ito et Kakutani}

(cf. [7],

Th.

1 ).

^{Si H et G sont} deux sous-groupes ^de Aut

(M, ~, m)

^{on notera H V G}

le sous-groupe

engendré algébriquement

par H et G.

THÉORÈME 2. ²⁰¹⁴ Soit H un sous-groupe de

~([G]), ^H = { T/T

Le

système (Y,

my ;

[A])

^{est le}

système

^induit

(M, 36,

^{m ; G V}

H)y

^du

système (M, ~,

m, G V

H)

^{sur Y}

(cf. [4]-IV) ;

^{il en} résulte que le sys- tème

(Y, 36y, fi)

^{est semi-fini}

(resp. purement infini, discret, continu)

si et seulement si le

système (M, ~, m ;

^{H V}

G)

^{est semi-fini}

(resp.

^pure-

ment

infini, discret, continu) (cf. [4],

^Th.

IV-4),

^la

03C3-algèbre

des ensembles mesurables sur Y invariants _par

H

est exactement la trace de la

03C3-algèbre

des éléments 36 invariants _{par G V H.}

Démon.st ration. ^- Nous démontrons seulement _que

or par construction de

H

on a

.

OrbH y

^{= Y n}

OrbH ~ G y

pour m-presque ^tout

y E Y.

Il en résulte _que

Donc

(Y,

my;

H)

^{est bien le}

système

^{induit sur Y du} sys- tème

(M, é3, m ;

^{G V}

H) ;

^{le reste du théorème} résulte des

propriétés géné-

rales des

systèmes

^induits

(cf. [4])

q. ^e. d.

Il

III. Construction

d’exemples.

Nous allons maintenant construire les

systèmes

annoncés dans l’intro-

duction,

^nous utiliserons les notations de

[7]

^et

[8].

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

UN PROBLÈME D’EXISTENCE DE MESURE INVARIANTE 219

1 )

^{Soit A un} sous-groupe dénombrable de R _+,

d’après

^{un résultat de}

Krieger (cf. [8],

^Corol.

4-2)

^{il existe un} espace de

Lebesgue

et un

TEAut

_{tels que}

a) T

contient _my

(cf. [8],

p.

84)

^{i. e.}

-

opère ergodiquement.

- Pour tout S E

[T]

il existe une suite E

R +

^{et une}

partition

^Yn

de Y telles _{que :}

b)

^Le

groupe A

^est

égal

^au sous-groupe

my) engendré

par les

bn(S),

^{S E}

[T],

^{dans R + .}

c)

^{On a}

avec les

Ya

^{formant une}

partition

^{de Y et >}

0,

^{V(5 E 0.}

Toujours d’après Krieger (cf. [8],

^Lemma

^{5 . 1 ),}

^{soit -}

Alors pour niy-presque

tout y

^{E Y on a}

On

peut

^{alors définir}

l’automorphisme

^{V E}

[T] :

(7) Vy

⁼

T"~‘’~y

pour presque

tout y

^{E Y.}

On a le résultat suivant

Comme le

groupe {S ~ [T]/Smy = opère ergodiquement,

^{il en est}

de même _pour V.

2)

On munit A de sa

a-algèbre

^{discrète et de la mesure a-finie infi-}

nie _mo définie _par

pour ^tout 5 E A Soit

(M, ~, m) = (Y, my)

^x

(0~ ~e~ ma).

Chaque

^{élément ~ de A}

opère

^{dans A} par :

2 - 1974.

220 A. BRUNEL, ^N. DANG-NGOC ET J.-P. THOUVENOT

Il en résulte une action

canonique

^{de c5 dans}

(M, ~, m)

Il est clair que n ^{est une}

représentation fidèle

^{de 0394 dans Aut}

(M, é3, m)

etona:

3)

On définit la transformation T ^sur

(M, ~, m)

par :

d’après (5) l’application

^{T est bien}

définie,

^{mesurable non}

singulière

^{et il}

en est de _{même pour}

T-

¹ défini _{par :}

Il est clair que ⁼

7r(5)T,

^{Vb e A.}

Montrons que Tm = m : comme M est union

disjointe

^{des Y x}

{5},

⁵

^{e A,}

il suffit de montrer que si E ^e alors

m(T(E

^x

{~ }))=~(E

^x

{5 }),

soit

,.. -~ "

D’après (5)

^{on a}

Or pour

tout y

^E

E~-

Donc

Donc

d’où

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

UN PROBLÈME D’EXISTENCE DE MESURE INVARIANTE 221

4)

^La

propriété 1 )-c), 3)

^et

l’ergodicité

^de

T

montrent que pour ^tout

x e M et tout 5 il existe un n 0 tel que T"x ^E Y

X {5 } .

5)

^La

transformation

induite de T ^sur Y

{ 1 } :

pour

simplifier

^les

notations,

^{on identifie Y à Y x}

{ 1 } ;

^soit

y E Y x {

¹

}, d’après

^{la for-}

mule

( 11 )

définissant

T,

^dire que

Tpy ~

^Y

x { 1 }

revient à dire que

en

effet,

^{on a :}

or

d’après

la formule

(0).

On obtient donc

en utilisant la formule

(0)

pour T’ =

T~ ~

^{on obtient} par récurrence :

d’où le résultat annoncé.

Donc

d’après

les formules

(6), (7)

^et

(8),

^{V est la}

transformation

^induite

de T sur Y : V ⁼

Ty

^{et V}

opère ergodiquement.

^La transformation induite de T sur Y

x ~ ~ ~

^{est donnée par}

^opère

^donc

ergod iquement

^{sur Y}

{ 03B4 },

^{pour tout 03B4 ~ 0394.}

6)

^Il résulte de

4)

^{et de}

5)

que T est

ergodique.

^{Nous avons démontré.}

le résultat suivant :

LEMME 1. - A tout sous-groupe dénombrable 0394 de

R +

^on

peut

^associer

un espace de

Lebesgue (M, ~, m),

^m a-finie infinie diffuse et une

représen-

tation fidèle n de A ^x Z dans Aut

(M, ~, m)

tels que :

(i)

L’action de

n(( 1 }

^x

Z)

^est

ergodique

^et

préserve

^{la mesure m.}

(ii)

Pour tout (5 on a ⁼ ~m.

THÉORÈME 3. - Soit G ^un groupe

dénombrable ;

^{à tout} caractère réel _y de

G,

^on

peut

^{associer un} espace de

Lebesgue (M, ~, m)

^{avec m a-finie}

Vol. 2 - 1974.

222 A. BRUNEL, ^N. DANG-NGOC ET J.-P. THOUVENOT

infinie diffuse et une

représentation

^{n de G x Z dans Aut}

(M, m)

pos- sédant les

propriétés

suivantes :

(i)

L’action de

7r({

^x

^Z)

^est

ergodique

^et

préserve

^{la mesure m,}

eG étant l’élément neutre de G.

(ii)

^Pour

tout g

^E

G,

^{on a =}

y(g)m.

Il en résulte que si _y n’est pas

trivial,

^le groupe

n(G

^x

Z)

^n’admet pas de mesure a-finie invariante

équivalente

^{à m.}

Démonstration. ^- Soit ~ ⁼

y(G) ;

considérons

l’espace (M, m)

^{et la}

représentation ^yc

^{de A x Z donnés} par le lemme

1,

^on

prend

^{alors n =}

y q. e. d .

Il

IV. Généralisation de la construction.

Dans la construction

précédente, l’automorphisme

^{T commute avec}

les

n(g), g

^E

G,

^{et T conserve la mesure} m, ^nous allons construire des exem-

ples

^{où T commute avec les}

n(g), g

^{E G et T n’admet} aucune mesure inva- riante

équivalente

^{à m.}

1 )

^Soient

On, n

⁼

0, 1,2...

^{une suite de} sous-groupes dénombrables de

R + A~ 7~ { 1 }

^b’n

e N,

^{A le} groupe

(dénombrable) engendré

par les

E N. On dit _{que la}

suite {

^est

indépendante

si la relation

sauf pour ^un nombre fini de n

implique ~

⁼

^1,

Pour tout sous ensemble J de

N,

^on considère le groupe

Aj engendré

par les

On, n E

^{J. Il est clair} que si les

Jk, k E N,

^{forment une}

partition

^{de N}

alors la

suite { ~Jk

^est

indépendante.

On identifie à

An"

Considérons la construction de

Krieger

^{associée à A dans}

II I-1 ),

^nous utilisons encore les notations de

111-1).

^{Soit J ci}

N,

tout (5e A admet une

décomposition canonique unique :

On note la composante de b dans

~J .

Comme dans

I I I-1 )-c)

^{on définit}

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

UN PROBLÈME D’EXISTENCE DE MESURE INVARIANTE 223

Il est clair _{que si J} ^ci K ^{c -} N alors

comme

n(y)

⁰⁰ pour mY-presque

partout

y ^E Y, on a :

On

peut

alors définir

Il est clair _que si J ci K e N alors

2)

^{Nous nous} intéressons

particulièrement

^à

Do :

^{on définit comme}

dans

III-2) l’espace (M, ~, m) _

^{x où est}

la tribu des

parties

^de

Ao

^{et la mesure} discrète définie _par

On définit de même la

représentation ~

^de

Ao

^{dans Aut}

(M, ~, m)

^vérifiant

3)

^{Pour tout J c N on définit}

Tj

^{E Aut}

(M, é3, m)

par

D’après ( 17) Tj

^{J est bien}

définie,

^{mesurable non}

singulière

^{et il en est}

de même pour

TJ

^{1 définie} par

Il est clair _que

4)

^{Nous nous} intéressons aux sous-ensembles J c

N + = N B ~ 0 } ;

un raisonnement

analogue

^à

III-3), 4), 5), 6)

^montre que

est

^eigo-

dique

^{et laisse la mesure m} invariante.

5) D’après (27), 4) et la définition des TJ, si J ~ N - {0}

^alors

^Tj

^contient

la mesure m au sens de

Krieger

^et

224 A. BRUNEL, ^N. DANG-NGOC ET J.-P. THOUVENOT

6)

^Soit

maintenant

_y un caractère réel non trivial d’un groupe dénom- brable G soit

Ao

⁼

y(G)

^{on trouve} par récurrence une suite

indépen-

dante de sous-groupes

dénombrables

non triviaux de

R + (par exemple

^{on choisit}

Ai

^{1 dans on note} encore n la

représentation 03C0 03B3

^{de G. Soit}

#(N + )

l’ensemble des

parties

^de

N +.

On peut énoncer :

THÉORÈME 4. - Soit G un groupe

dénombrable ;

^{à tout caractère} réel

non trivial _y de

G,

^on

peut

^{associer un} espace de

Lebesgue (M, ~, m)

avec m a-finie infinie

diffuse,

^une

d’automorphismes

de

(M, B, m),

^une

famille {0394J }J~P(N+)

^de sous-groupes

dénombrables

de

R +

^tels que :

(viii)

^Si

J; , i E I

^{est une}

partition

^de

N +,

^{alors la famille est}

une famille

indépendante

de sous-groupes de ^R + .

5.

CONSTRUCTION

DE FLOTS

SPÉCIAUX

On se donne ^un

système dynamique (M, 86, m ; Zn)

^{où m est une mesure}

a-finie relativement invariante

qui

^n’admet pas de mesure invariante

équivalente (ce qui peut

^{être fait}

d’après

^{le théorème}

3).

^Soient

Sl,

^...,

Sn

les

générateurs

de l’action de Z". On ^a alors _par définition _que

Soit K ⁼

[0, 1J".

^{On munit K de sa tribu} borélienne

B~

^{et de la mesure}

où

d (s1

^...

sn) désigne

^{la mesure de}

Lebesgue

^{sur le cube K.}

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

UN PROBLÈME D’EXISTENCE DE MESURE INVARIANTE 225

On considère le flot

(Q, ^d,

^{v ;}

R")

^{défini comme suit :}

et où l’action de R" est donnée _par

l’application

L’action est mesurable et on a le

LEMME 1. - La mesure v est relativement invariante i. e.

Démonstration.

LEMME 2. ^- Si le

système (Q, si,

v ;

R")

^{admet une mesure a-finie v’}

équivalente

^{à v et} invariante par l’action de

Rn ;

^{alors il existe une mesure m’}

sur

M, équivalente

^{à m et} invariante _par l’action de Zn sur M.

Démonstration. Soit

l’identité ...,

sn)dv’ =

dv’ entraîne alors _{que pour} tout ...,

sn)

^{E R"}

il existe c Q tel que

v’(Q -

^{= 0 et} tel que

l’égalité

soit satisfaite pour ^tout

(x, ui

Vol. X, n° 2 - 1974.

226 A. BRUNEL, ^N. DANG-NGOC ET J.-P. THOUVENOT

En

appliquant

^le théorème de Fubini à

(Q

^x

R",

^v’

(x) dsi

^{1 ...}

dsn)

^{on a}

qu’il

^{existe un ensemble Q’ c Q tel} que

v’(Q - Q’)

^{= 0 et} tel que pour tout

(x,ï~,...,MjeQ’

il existe un ensemble de

complé-

mentaire

négligeable (pour

^{la mesure de}

Lebesgue)

tel que

(3)

^{soit vrai}

pour ^tout

(x, u)

^{E Q’ et} pour ^tout

(sl ,

^...,

sn)

^E

Le théorème de Fubini

appliqué

^{à Q’ montre} l’existence d’un ensem-

ble M’ ^c M tel que

m(M - M’)

^{= 0 et} tel que pour ^{tout x E}

M’,

^{on ait}

Soit

(x, u 1,

^où

x e M’,

^alors

si

Donc pour ^{tout x E}

M’, g(x,

ui 1 ^...

un)

est constante pour presque tout

(u

1 ^... est donc

égale

presque sûrement

égale

^{à une fonc-}

tion g’ qui

^ne

dépend

que de la variable x.

L’égalité (3) appliquée

^à

g’

entraîne _{que la} mesure dm’ =

g’dm

^est invariante par l’action de Zn.

THÉORÈME 5. - Soit G un groupe localement

compact séparable

^admet-

tant R ou Z comme facteur direct. Soit _x ^un caractère réel sur G trivial

sur ce facteur. Alors il existe ^un

système dynamique (M, 88,

^{m ;}

G)

tel que

qui

n’admet pas de mesure invariante

équivalente

^{à m.}

Démonstration. Soit G ⁼ H x R

(resp.

^{H x}

Z).

^{Comme G est}

sépa-

rable

x(G)

^{est soit}

R;

^tout

^entier,

^{soit un} sous-groupe dénombrable de

R; .

Alors ^on

peut appliquer

les résultats du théorème 3 et du lemme 2

(éven-

tuellement en construisant le flot

spécial

^{sur certaines} directions

seulement).

Remarque.

^{- Dans tous les}

exemples

construits

jusqu’à présent,

^le

caractère associé à la mesure relativement invariante était non

injectif.

En fait on a le

LEMME 3. - Il existe un

système dynamique (M, 34, m ; Z3)

^{avec m rela-}

tivement invariante : _gme

VgeG

n’admettant aucune mesure

équivalente

invariante avec un

caractère / injectif.

Annales de l’Institut Henri Poincaré - Section B

227 UN PROBLÈME D’EXISTENCE DE MESURE INVARIANTE

Démonstration. Prenons ^un

exemple

^{du théorème 0 dans le cas de}

^Z2

en

changeant

éventuellement les

générateurs

^on peut supposer que

En utilisant la construction du lemme 2

appliquée

^{au second}

facteur,

on obtient une action de Z x R sur

(Q, d, v)

^{avec une mesure v relati-}

vement

invariante,

^{et sans mesure}

équivalente

invariante et avec un carac-

tère ~

^vérifiant

On

prend t

¹

et t2

rationnellement

indépendants

^{dans R tels} que les trois nombres _y,

tl)

^et

t2)

^soient rationnellement

indépendants (pour

^la

multiplication)

^dans

R;.

Le groupe

engendré

par

(1,0), ( l, tl)

^et

( l, t2)

^{est dense dans Z x R et}

est

isomorphe

^à

^Z3

^{et la} restriction de _x à ce groupe ^est

injectif.

^Le

système

ainsi obtenu

possède

^les

propriétés requises.

BIBLIOGRAPHIE

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(Manuscrit reçu le 21 mars 1974)

Vol. X, n° ^{2 - 1974.}