Problème Une suite de carrés

(1)

Problème

Une suite de carrés

On considère la suite infinie

 

cn de carrés juxtaposés comme sur la figure

 

^{1 :}

c0, c₁, c₂, c₃, c₄…

On a c₁ à droite de c₀, c₂ au-dessus de c₁, c₃ à gauche de c₂, c₄ en dessous de c₃ et le cycle continue indéfiniment : droite, dessus, gauche, dessous etc.

Deux carrés ainsi juxtaposés ont toujours un sommet en commun, le carré c₀ a pour côté 1, les carrés suivants ont pour côté : 1

2, 1 4, 1

8, …

c₀

c₁ c₂ c₃ c₄

Figure

 

¹

Pour tout entier naturel n, on note



xn^;yn



les coordonnées du centre du carré c_n dans le repère orthonormé d’origine O dont les axes Ox et Oy sont indiqués sur la figure

 

^{2 .}

c0

c1 c₂ c₃ c₄

O x

y

Figure

 

²

1°) Démontrer les formules :

4 4 4 4 1 4 3 4 5

1 1 1

2 2 2

n n n n n

x _  x  _  _  _

4 4 4 4 5

21

n n 2n

x _  x  _

2°) En déduire par addition qu’on a ₄ 6 7 1₄ 5–10 2

n n

x   et en déduire les expressions analogues pour x₄_n_₁, x₄_n_₂ et x₄_n_₃.

3°) En déduire que la suite

 

xn est convergente et calculer sa limite.

4°) Déterminer simplement en introduisant une droite convenable que la limite de

 

yn est 3 5.