A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.
G. D
EMARTRESMémoire sur les surfaces qui sont divisées en carrés par une suite de cercles et leurs trajectoires orthogonales
Annales scientifiques de l’É.N.S. 3e série, tome 4 (1887), p. 145-158
<http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1887_3_4__145_0>
© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1887, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l’É.N.S. » (http://www.
elsevier.com/locate/ansens) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systé- matique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi- chier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
MÉMOIRE
SUR LES
SURFACES QUI SONT DIVISÉES EN CARRÉS
PAR UNE SUITE DE CERCLES ET LEURS TRAJECTOIRES OÏtTlIOGOXALES,
PAR M. G. DEMARTRES.
P R E M I È R E PARTIE.
1. On sait combien il est u t i l e de c o n n a î t r e , sur une surface donnée, un double système de courbes divisant cette surface en carrés infini- m e n t petits; il est m a l h e u r e u s e m e n t fort rare qu'on puisse obtenir (Fune manière effective un tel système de courbes coordonnées; aussi pensons-nous qu'on trouvera q u e l q u e intérêt à la s o l u t i o n , que nous a l l o n s exposer, d u problème s u i v a n t :
Trouver toutes les surfaces réelles cjiii sont divisées en carrés par une suite de cercles et leurs trajectoires orthogonales.
Dans un Mémoire a n t é r i e u r (1), nous avons indiqué une méthode pour mettre le problème en équations et résolu la question dans deux cas particuliers, assez étendus, il est vrai, pour comporter l'un et l'autre une fonction arbitraire; c'est la même méthode que nous suivrons ici, mais en a b o r d a n t le problème dans toute sa généralité.
Nous désignerons pour abréger, sous le nom de sur/ace isocyclique, toute surface a d m e t t a n t u n e telle suite de cercles isothermes.
(1) Sur les mr/acei à génératrice,'! circulaires ( Annales de l'Ecole Normale, p. 173;
i885).
Afin. de î'Êc. Normale. 3° Série. Tome IV.— MAI 1887. Ï Q
l A 6 G . DEMÀRTRES.
2. Dans cette première Partie, n o u s rappellerons succinctement quelques-uns des résultats obtenus dans le Mémoire cité plus liaut et nous montrerons c o m m e n t le problème se r a m è n e a Finlég'ration de cinq équations différentielles du premier ordre; dans la seconde, nous commencerons cette intégration en établissant que les surfaces isocycliques sont des a n a l l a g m a l i q u e s à déférente réglée; dans la troi- sième et dernière Partie, nous la compléterons en m o n t r a n t que la focale, intersection de la directrice et de la d é f é r e n t e , doit être u n e ligne asymptotique de cette dernière; n o u s o b t i e n d r o n s en même temps, p o u r chaque surface isocyclique, un facteur r e n d a n t i n t é g r a b l e l'équa- tion des lignes de distance n u l l e , ce qui p e r m e t , c o m m e on sait, d'ob- t e n i r tous les réseaux isométriques (1).
3. Soient
/ le paramètre d o n t dépendent les équations du cercle variable;
R son rayon;
0 son centre;
Oz son a x e ;
Ooc, Oy deux diamètres rectan-gulaires, liés invariablement a son p l a n . Lorsqu'on passe (Pune génératrice circulaire (/) à la génératrice infi- niment voisine ( l - + - d l ) ^ le centre 0 prend un certain déplacement, d o n t les projections sur OoCy Oy, Os sont désignées par udl, v d l , w dl\
en même temps, le trièdre Qxyz subit une rotation d o n t nous appe- lons p d l , qdl, rdi les composantes a u t o u r de ces mêmes axes. Enfin, un point quelconque M du cercle (7) est défini par Pangle y que f a i t le rayon OM avec Qx, les deux variables l et ç c o n s t i t u a n t notre sys- tème de coordonnées.
Si oc, y , z sont les coordonnées relatives d'un p o i n t q u e l c o n q u e , fonc- tions de / e t y, on aura, en désignant p a r r f u n e d i f f é r e n t i e l l e totale et par S les projections du déplacement absolu de ce p o i n t ,
( Sx ^::: dx -h (u -h (/z — r y ) dl, ( i ) { rîy == dy 4- ( P -h r x — p z ) dl, 83 =: ds "i~ (w -4- py " - f] ûc} dl;
(]) Liouville. Note 111 à la suite do l'Àiialyso de Moiig'o.
SUR LES SURFACES QUI SONT DIVISÉES EN CAimÉS, ETC. 147
de même, A, B, C é t a n t les cosinus directeurs d'une droite quelconque, suivant les mêmes axes,
o A = : r / À 4 - ( < 7 C — r B ) d l ,
( 2 ) • oB =: JB 4- ( rA — p G ) dl, oC -=--: cIC 4- (pK — <7Â) ^.
Appliquons les formules (i) au point x- == Rcoso, y = R s i n o , ^ = o, et posons
( 3 )
M == R7 4- ^ cosy 4- v siny (1), N --= rK4- <•' ces 9 •—• u sinep,
Q =: w + / ? R s i n 9 — ç R coso -= (ï-' -t-/-?R sinç —' ( / R C O S O , IP^M'-i-Q2;
nous aurons alors
( Ô.z11 •= M. cos y ^ — (N 6^/ 4- R ^9) sin 9, ( 4) • ) Sy =:: M sin 9 c^ 4- ( N <^ 4" R do ) cos 9,
( <5^ = Q ^^.
La distance de deux points infiniment voisins Ss sera donnée par la f o r m u l e
f 3) o^ = H2 d^ 4- (N ^ 4- R ^9):î,
et l'équation des trajectoires orthogonales des génératrices circulaires sera
f 6 ) N dl 4- R d^ -=•- o.
Cette équation est réductible à une équation de Riccati et conduit, comme nous l'avons fait voir (/oc. où., p. 149)» à des conséquences inté- ressantes.
4. Pour que la surface soit isocyclique, il faut et il suffit que Féqua-
m / i \
tion (6) admette un facteur d'intégrabilité de la forme -^-; on voit
('1) Ici et dans la suite, un accent désigne une dérivée prise par rapport à /.
ï 4 8 G. DEMARTHES.
d'ailleurs i m m é d i a t e m e n t q u e , si l'on peut obtenir ce facteur,
— ( i 4- \/— i) sera un facteur d'intégrabililé de l ' é q u a t i o n
^/~Z~i n: cil -h N dl 4- R ^? == o,
qui convient aux lignes de distance n u l l e ; le problème sera donc com- plètement résolu.
Tout se r é d u i t a l o r s à t r o u v e r u n e fonction de /, F(Q, telle qu'on a i t , quel que soitç,
<^) ^)
()f ~ ai
ou, en développant et posant
(7) / = = R ' + R ^ ( • ) , H ^ - N ^ / H - R ^
à^ à^ ai
* o u , en m u l t i p l i a n t par H et t e n a n t compte de la r e l a t i o n H'"i==M2+•Q2,
M (M <m - N f -. R<m - /M) + Q (0 ^ - N ^ + R àQ- - /o) -- o.
\ ^o dy ai " ) \ .()Q ào, ( j l u " )
Or, si l'on remplace MN par leurs expressions (3), les d e u x paren- thèses se réduisent à des fonctions linéaires de sino, coso; en eficc- t u a n t cette r é d u c t i o n et posant
(8)
T = (R u' — r R v — R' a — fu ) cos 9 '
4- (rR u 4" rR ^ — R'ç — jv ) sin cp + RW — ^/•iî (/ — R/^ — A^ qin ^ .4- R'R^ _ //2 .._ t,2.2 — ^ --/IV,
1 S = (/<7R ~- ^^R3— yRR^ /7— wu —prit2) coso
i +(7yR2+7^IW—^/•R,â--w—.//^R)sin9+R(ï/—/^R+^
réqualion précédente se r é d u i t à
(9) . . M T + S Q r = o .
(1) 11 est évident que, /et R une fois connus, la fonction ¥ s'obtiendra par une qua- drature.
SUR LES SURFACES QUI SONT DIVISÉES EN CARRÉS, ETC. ï49
En la développant, on aurait une équation de la forme
a cos2 c? -h 2 b sin <p cos cp 4- c sin2 ç -4- 2 ^ ces o -{- a g sin ç> 4- A == o
et, en écrivant qu'elle a lieu, quel que soit ç,
a -4- /^ "=• b == <:/ -=r g -=. a — c ~=- o,
ce qui d o n n e un système de cinq équations différentielles du premier ordre entre les fonctions u, P, ^»J°» ^ r? R-
Nous ne développerons pas ces équations dont les intégrales peuvent s'obtenir par des considérations géométriques.
D E U X I È M E P A R T I E .
1. Rappelons d'abord quelques-uns des résultats obtenus dans le Mémoire déjà cité.
La caractéristique du plan d u cercle et l'axe radical de deux cercles i n f i n i m e n t voisins o n t respectivement pour é q u a t i o n s
(Y. 4- p y- — q^ -r o, RIV "4- u x -\- (\r •=- o,
Leur point d'intersection P est le centre radical des deux génératrices : c'est le centre d ' u n e sphère orthogonale à toutes les sphères qu'on
peut mener par le cercle (7) et qui sont tangentes à la surface en deux points de ce cercle; lorsque P est fixe dans l'espace, le rayon de cette sphère orthogonale devient, c o n s t a n t , et la surface devient une anal- l a g m a t i q u e ayant p o u r déférente la surface formée par les axes des génératrices circulaires.
Si les deux droites précédentes se confondent, la surface est u n e en- veloppe de sphères; le problème qui nous occupe a été résolu dans ce cas p a r t i c u l i e r (foc. cit., p. 176); en se r e p o r t a n t a la solution q u e nous avons d o n n é e , on reconnaît sans peine que les théorèmes énoncés au début du présent Mémoire se vérifient dans ce cas particulier, que nous pourrons dès lors laisser de côté.
Si l'axe radical et la caractéristique se c o u p e n t sur le cercle, chaque génératrice a un p o i n t c o m m u n P avec la génératrice infiniment voi- sinê;ies surfaces qui présentent ce caractère forment une classe inter-
î 5 û G. DEMÀRTRES.
médiaire entre les enveloppes de sphères et le cas général où deux cercles voisins n'ont aucun p o i n t c o m m u n .
Ceci posé, nous écrirons les équations d u problème, d'abord p o u r les surfaces intermédiaires, puis dans le cas général.
2. Surfaces intermédiaires. — I/axe des oc étant i n d é t e r m i n é d a n s le plan du cercle, faisons-le passer par le point P dont les coordonnées sont oc = R, y == o, z == o; nous aurons
çy — <y R == o, u. 4- R/ r== o.
Les fondions M, Q, envisagées comme fonctions homogènes de sin 2, ces 2, ont alors en commun le facteur s s i n9; si nous remplaçons w et u par yR, — R' dans les expressions (3) et (8), il vient
M == 2 sin t- { c cos 2 4- IV sin î ) ?
2 \ 2 2 /
Q = 2 s i n ^ ( ^ R c o s ^ -+-<7R sin-î ), 2 \ 2 ' 2 / T = (- RIV-- rR(. + R/2+ /IV) cosy
•+- ( R ^ — Wv— rïW^fv) siny + R i r — R ^ — ^ — / R ^ S = (/^/R — ^ R 2 — r7?R2) cosy
-4- (^R2^ RIVp — ^/rR2— (-P(,.> --/pR) s î n y + q ' K ^ —/?pR ~"/yR.
L'identité (9) étant débarrassée du facteur ^ s i n9; faisons o ) = o ; nous aurons
^ ( — • r R p — ^2) + p R ( — r ^ R2~ / ? ^ B , ) = o
OU
( P2• 4 - / ?2R2) ( ^ 4 - r R ) = = o .
Nous ne nous occupons ici que des surfaces à génératrices réelles ; en annulant le premier facteur, nous devons donc poser p = o, (î= o , mais alors M et Q se réduisent respectivement à ^R'sin2 9. a y R s i n2^ l'axe radical et la caractéristique se confondent, et l'on retombe dans le cas des enveloppes de sphères.
Nous devrons donc poser v + rR == o ; en transportant p === — rR dans
SUR LES SURFACES QUI SONT DIVISÉES EN CARRÉS, ETC. 151
les expressions générales d e T , S, ces expressions sont également divi- sibles par ;2sin 2- L'équation (9) prend alors la forme
M i T , , 4 - Q i S , = = o ,
^1<» T\, Q|, S, étani des fonctions linéaires de s i n ^ c o s ^ ; c o m m e M ,
2 2
e t Q , ne d o i v e n t plus avoir de facteurs communs, il doit exister une fonction g de /, telle qu'on ait i d e n t i q u e m e n t
T^-Qn Si——A
Développons ces identités : nous aurons en résumé, pour les surfaces intermédiaires, le système s u i v a n t d'équations, o ù / e t g* sont des fonc- tions indétenninées de /,
//, -= — IV, v _-. -- /•R, (.F = r/R;
fW 4- gq R - Rr -4- IV2 + r2 R2 = o,
(ïo) < //•R, —ffpR — R2^'— RR'/- = o,
^R „„ ^.R/ ^ ^R2 _ ^,.Râ ^ o^
fp R -f- ^7' R -i- // R2 + p RR7 = o.
11 serait aisé d'obtenir une combinaison intégrable de ces équations;
mais nous pouvons nous en dispenser, comme on le verra plus loin.
3. Cas général, — Les fonctions M, Q n'ont aucun facteur com- muns : alors M doit diviser S et Q diviser T; en d'autres termes, il doit exister une fonction À de l, telle qu'on ait identiquement
Ï=7.Q, 8 = - À M:.
Ces d e u x identités développées donnent immédiatement les équations cherchées, savoir
, j'H 4- À q R — R u'+r R v + Wii == o, fq R — À u — q' W — q RIV— wii — pr R-2 = o, (i i) ) jv-7.p^-rRu -4- R^-R^o,, f/}R+Ï^^qrRΗpflV-pW{—w-~o.
( yp/._ }. ^ ^ R R// -..i-, ^ ^ (,2 ..^ o, fw -4- À R^ + (y? R — R n'^ — q R ^ -= o.
L'axe des x élan! indéterminé, faisons-le passer par le point P; en é c r i v a n t q u e l'axe radical et la caraclérislique se c o u p e n t sur OX, nous
132 G. DEMARTRES.
aurons, en désignant par a l'abscisse de ce p o i n t P,
f R I V + ^ a ^ o , ( j a ) < ( Y ' — < / a = = o,
( tï'^ 4- çRÎ.V== o.
Si le point P est à l ' i n f i n i , on aura q == o, u = o. Simplifions d'abord les équations (i i) dans ce cas p a r t i c u l i e r , la première et la quatrième se réduisant à
, ! /T •== 0, pf == 0.
Si /'^o, on aura p == o, P == o; alors l'axe radical et la caractéris- tique seront l'un et l'autre rejetés h l'infini, et la surface sera de révo- lution, c'est-à-dire un cas particulier d'enveloppes de sphères. On devra donc supposer r = o, ce qui r é d u i t le système (i i) a u x é q u a t i o n s sui- vantes :
/ (f ==. o, r = o, u = o;
( 1 3 ) 1 fr _„ ^R 4. R/ ^ _ R^ ^ o, fpÏ\ 4- A t1 —p' R2 — pRÏV — nr = o, j yR/ _ ^ (,, _ RR^ + ç,,^ — o, /(T + À IV + r/? R — R ^' ^ o.
4. Supposons m a i n t e n a n t que a soit f i n i ; revenons aux équa- t i o n s ( t i ) , ajoutons la première et la troisième, multipliées respective- ment par IV et — u, et de même la q u a t r i è m e et la sixième, m u l t i p l i é e s par — ^P, yR : f s'élimine et \ d i s p a r a î t de c h a c u n e de ces c o m b i n a i - sons, à cause de l'égalité wa 4- yRR' === o, et l'on a, en s i m p l i f i a n t ,
„ RR/ u' 4- /•RiV v. 4- u R72 4- u ÏW — ^ — u^ = o,, wqi R2 ^_ ^p^ 'RR_/ ^_ çyî ^ ^. ^yrR2 4- vpq R2 —• ïï-'' (f R2 -- z^72 R2 ^ o
ou, en y remplaçant RB/ par — z/a, w par y a,
^ [c ( /• a 4- v ) -+- u{ u 4- a'')] •--=: o,
<7[/>(r + /'a)— cf{u -"h a')] r= o.
(i4)
Il y a ici plusieurs cas à distinguer :
t ° îi=o^ q^a. — On a d'abord ^ = = 0 , puisque a est fini (121);
la première et la troisième équation (n) donnent alors
7.q 4- /•(/' =~; o, — îti^ "h" t^ ==- 0
SUR LES SURFACES QUI SONT DIVISÉES EN CARRÉS, ETC. l33
d'où, en éliminant 'X,
wrv -— qç^ == Ç-(?(P 4- ra) == o.
O r y ^ o ; siç^ = o, comme on a déjà ?z == o, l'axe radical est indéterminé et la surface est un canal, c'est-à-dire un cas particulier d'enveloppes de sphères, que nous devons laisser de côté. Nous aurons donc simple- ment 9 4- roc = o et, en tenant compte de la dernière équation (i4)»
u -j~ a' = o.
^° ^ == o, <7==o. —- Alors ^p=== 0(1.2); la quatrième et la sixième équation (n) deviennent
ou
-+- À 4- pr R == o, À IV -4- cy R, =- o --prRIV-4- PpR==/?R((,? -4- a / ' ) == o ;
mais/? ne peut être nul, car la caractéristique et l'axe radical sont pa- rallèles toutes les fois qu'on a pu-+-qv==o; on devra donc avoir
^ - 4 ~ r a = = o et, par suite, à cause de la première équation (i4), ^-h-a'^o.
3° u-^.o, q-yÉo. — Comme le facteur up -+- ^q ne peut être nul dans le cas actuel, nous aurons encore ici
u -+- o^ == o, v -(- r a == o,
et ces deux équations remplacent dans tous les cas les équations (i4)"
Ceci posé, si nous remplaçons dans (n) u, ç, w par — a ' , — roc,
"h- ya, ces équations se réduisent à quatre ; il est clair qu'on peut sup- primer la troisième et la sixième d'après la marche que nous avons suivie. On obtient alors les équations définitives qui conviennent au cas général
/ u =. -— a! y v •= — r a, w •==- q a, , f^~- Ï.çR — Ra" -+- r^Ra -+- ÎV ^ = o,
( î 5 ) , — ^ R - ^ } , a/- ^ - R ^/4 - R R/ç — < 7 a a/- 4 - / ^ • R2= o , fra 4- ÀT?R — a r R ^ - h - R^ r / x — R a r ^ == o, y 7 ) r - - - À ^ a + « 7 r R2— ^ R2- - - / > R R/• - - ^ r a2= = o .
5. Il s'agit maintenant d'intégrer séparément les systèmes (10), ( i 3 ) , ( ï 5 ) .
1° Surfaces intermédiaires.' — Si l'on considère le point P, x == R,
Aiïn. de l ' E c . Normale. 3e Série. Tome IV. -- MAI 1887. 20
l54 G. DEMARTRES.
y == o, z = o ; les équations générales (i) d o n n e n t , pour son déplace- ment,
to == (IV-j- ^) ^, 8y == ( t> -h r R ) rfZ, o^ =: (w — y R ) ^;
donc les trois premières équations équivalent à Sx == oy == â^= o.
Le point P est fixe, la surface est anallagmatique. Toutes les généra- trices circulaires passent par ce point fixe, qui est en même temps une sphère de rayon nul, orthogonale à toutes les sphères bitangentes.
2° Équations (i3), — Ici le point P est à l ' i n f i n i ; les conditions y = r= o m o n t r e n t que le plan du cercle est parallèle à u n e direction fixe, celle de l'axe Ox; en même temps, u == o exprime que le déplace- m e n t du centre s'effectue perpendiculairement à cette direction. On en conclut immédiatement que le cercle mobile a son centre dans un plan fixe k, son plan perpendiculaire au plan (/c), qui est, par suite, ortho- gonal à tontes les sphères bitangentes. La surface est donc anallagma- tique, la directrice ayant un rayon i n f i n i .
3° Cas général. — Le déplacement du p o i n t x == %, y == o, s == o étant donné par les formules
w—.{it^}-^')dl\ o/::= { c + r y . ) d l , Sz := (^ — g a) cil,
les trois premières é q u a t i o n s ( î 5 ) expriment que ce point est fixe; on d é d u i t d ' a i l l e u r s de ces mêmes é q u a t i o n s et des é q u a t i o n s (12) ay/— RFT --=0; d'où, en intégrant,
W • , a^R2^2,
À étant une constante égale au rayon de la directrice; la surface est donc, dans tous les cas, u n e a n a l l a g m a t i q u e à déférente réglée* Nous allons achever l'intégration.
TROISIÈME PARTIE.
1. Si l'on considère un des trois systèmes (10), (i3), ( î 5 ) , il ne reste plus que les fonctions inconnues p , q, r, R f o u a , en t e n a n t compte de h relation (16)]. Nous commencerons par é t a b l i r que, bien
SUR LES SURFACES QUI SONT DIVISÉES EN CARRÉS, ETC. là 5
que chacun de ces systèmes ait été établi à l'exclusion des deux autres, ils sont tous les trois renfermés complètement d a n s le dernier (i5).
D'abord, si nous faisons h == o, a == R dans les équations ( r 5 ) , elles reproduiront immédiatement le système (10), où g serait remplacé p a r ) ^ ; nous pourrons d o n c nous dispenser de considérer à part les surfaces intermédiaires.
Supposons m a i n t e n a n t que h devienne infini, a étant lui-même in- fini à cause de l'équation générale ay/--RIV==o; on devra faire en même temps <7/=o. Introduisons dans les équations ( i 5 ) ces deux hypothèses a == oo, a ' = = o ; elles deviennent
u -= o, r -=:o, q = o, fr — IpR -h IVi' — R v' = o, /IV _ }, (,p _ RR// _ p2 -^ ^
//? R -+- À c — ^/ R2 — yj RIV — wp =o,
/(^ -h /. R'-h ^ R — R w' =r- o,
ce qui reproduit le système ( i3). On pourra, d'après cela, considérer u n i q u e m e n t les équations (i5) qui embrassent tous les cas possibles.
Nous laissons figurer dans ces équations R et a pour éviter les radi- caux; mais il faut se souvenir qu'une seule de ces deux fonctions est inconnue.
2. Si nous prenons sur l'axe Oz un point coïncidant avec une des deux sphères de rayon nul qui passent par la génératrice, ses coordon- nées seront x —- o,y = o, z = R? (i = \/— i ) .
Le lieu de ce p o i n t imaginaire et de son conjugué constitue la focale dont nous avons parlé, intersection de la directrice et de la déférente ou surface des axes.
Si nous appliquons les formules générales (i) au déplacemeût de ce point, nous avons
â^== {—cxr~^qï{i)€ll=Adl, ( 1 7 ) f y = = — { r ( X - + - p R i ) c l l = ' B c i l ,
§z =, (^ + R^') dl == C dl.
Il convient d'introduire ces trois fonctions A, B, C dans les ctuatre dernières équations (i5). On obtient i m m é d i a t e m e n t , à l'aide de la
l56 G . DEMÂRTRES,
quatrième et de la cinquième,
( ï 8 ) ( / — À O A ^ R A ' — r K B — a ^ ' C ;
les deux dernières donnent de même
(19) (/--- X Q B == rRA + RB7— ï / - a C ;
observons qu'on a d'ailleurs
(20) ' CR:=—oaA.
La variable ^ n'étant nullement fixée et pouvant être choisie réelle, si l'on élimine f—^i entre (ï8) et (19), on aura une équation unique, équivalente aux deux équations réelles qu'on aurait obtenues en éli- m i n a n t / e t \ entre les quatre dernières équations ( r 5 ) ; on aura donc à considérer l'équation unique
RA'B — rRB2— a^'CB == rRA2-!- RB/ A — zraAC
ou, en remplaçant G par son expression (20),
" A^- B/A — r ( A24 - B2) + C ( p A + B y ) = : o • ,
qu'on peut écrire, en adoptant les notations des équations (^ ),
(21) ' A Ô B — B ( Î A = : O .
Telle est l'équation dans laquelle se condensent les quatre dernières des équations (i5).
3. Revenons à la focale. Si nous posons
_ _ _ _ A _ _ _ , ^ B ^,_ G
^.^B^G2'- v ^ + ^ + G2 ^^^...^^.^
a, 6, c seront les cosinus directeurs de la tangente à cette courbe ; en dé- signant par p- le radical \/A2 + B2 4- G2, on aura, d'après les équations générales (2),
a§b—b ôa= aÇWG + BG^- rGA.~-pGC) — b^G 4- (i'A + yGG — rGB), a§b—b â ^ A C E ^ r A -pC) - B(A^- yC - ^B) == A â B - b SA ;
d'où Fon conclut que l'équation (21) peut s'écrire
, , ! ! ! ' ! , ! , • <% ô^ — b Sa == o..
SUR LES, SURFACES QUI SOINT DIVISÉES EN CARRÉS, ETC. Ï.57
D'autre part, les cosinus directeurs de la binormale à la focale sont évi- demment proportionnels à
b Se — c ôby c ôa — a ôc, aSb — b Sa ;
donc, enfin, les conditions complémentaires cherchées sont toutes con- tenues dans ce fait géométrique que la binormale de la focale doit être perpendiculaire à Oz et, par suite, normale à la déférente. On est donc c o n d u i t à la solution suivante :
THÉORÈME. — Les surfaces isocycliques sont les surfaces anallagmatiques ayant pour déférente une surface réglée, telle que la focale, intersection de la directrice et de la déférente, soit une ligne asymptouque de cette der-
nière.
4. Ce théorème donne, en termes finis, les intégrales du problème proposé; il y subsiste une fonction arbitraire, et non pas deux, ainsi que nous l'avions dit, par erreur, dans une Note précédente {Comptes rendus, 2^ janvier 1887). On traduit, en effet, la solution en Analyse de la manière suivante.
Ayant choisi une sphère directrice, on prendra pour focale u n e courbe imaginaire quelconque, tracée sur cette sphère; on peut tou- jours supposer les coordonnées de cette courbe exprimées en fonction d'une variable réelle /; l'équation du plan osculateur sera alors de la forme P - 4 - Q ï = o , P et Q étant à coefficients réels. Or l'axe du cercle, devant être réel et situé dans ce plan osculateur, devra coïn- cider avec la droite P = o, Q = o : il suffira d'éliminer / entre ces deux équations pour avoir celle de la déférente; dans cette dernière figure- ront la fonction arbitraire et ses dérivées des deux premiers ordres^.
On a supposé le cercle réel, et la focale est alors nécessairement imaginaire; on peut lever cette restriction.
Supposons, en effet, le cercle mobile imaginaire ; les équations (i5) sont toujours celles du problème; mais la combinaison (21), qui en est encore une conséquence, ne suffit plus à en tenir l i e u ; on doit y joindre une seconde combinaison de ces mêmes équations (i5); si l'on pose
Ai = -~ a^ qRi, Bt==— ra ^jpRi, Ci = ça — ÎV i,
l58 G. DEMÂRTRES. — SUR LES SURFACES QUI SONT DIVISÉES EN CARRÉS, ETC.
on trouve très aisément une nouvelle combinaison indépendante de / et X, savoir
' A i < $ B i — B i M i = = ô .
Cette condition s'interprète absolument comme la condition (^21);
elle a un sens géométrique identique, mais s'applique au point dont les Réordonnées relatives sont x '== o, y == o, z == — R?', c'est-à-dire au second foyer; donc l'axe de la déférente devra être, en chacun des deux foyers, perpendiculaire à la binormale de la focale; celle-ci peut d^ailleurs être imaginaire ou réelle, suivant les cas.
