PC  –  juin  – Intervalles de confiance Corrig´e des que ions non abord´ees en PC

X  – MAP 

PC  –  juin  – Intervalles de confiance Corrig´e des que ions non abord´ees en PC

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrig´e des exercices non trait´es surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu apr`es la PC.

 Plus appliqu´e

E ^{xercice 5.}

^(Enquˆete)On effeue une enquˆete, durant une ´epid´emie de grippe, dans le but de connaˆıtre la proportion pde personnes pr´esentant ensuite des complications graves. On observe un ´echantillon repr´esentatif depersonnes et pour un tel ´echantillonpersonnes ont pr´esent´e des complications.

() Donner un intervalle de confiance pourpau risque%.

() On d´esire que la valeur eim´eebpdiff`ere de la proportion inconnue exaepde moins de.avec une probabilit´e

´egale `a%.Quel sera l’effeif d’un tel ´echantillon ?

() Quel devrait ˆetre le risque pour obtenir le mˆeme intervalle qu’`a la queion pr´ec´edente en conservant l’effeif n=?Quelle conclusion peut-on en tirer ?

Corrig´e : Commenc¸ons par une in´egalit´e qui sera utile dans toutes les queions. NotonsbPn la proportion ob- serv´ee de personnes pr´esentant des complications dans un ´echantillon denpersonnes. D’apr`es l’in´egalit´e de Bie- namy´e-Tchebychev, on a

P

|bP_n−p|> r

≤p(−p) r^n ≤ 

r^n pour toutr >.

() En prenantrtel que _r^n =., on trouver' ^.√

n , et donc, avecn=etbP_n=., l’intervalle de confiance

obtenu e "

.−√.

,.+√.



#

= [−.,.].

() Dans ce cas, on veutr=.et_r^n =.. On trouven=·^.

() Dans ce cas, on ar=.,n=et on trouve que_r^n =>. L’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev donne donc une in´egalit´e triviale, et on ne peut donc pas eimer le risque avec un effeifn=un intervalle de demi-largeur.en utilisant l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev.

 Pour aller plus loin

E ^{xercice 6.}

(Stabilisation de la variance)On dispose d’un ´echantillonX_, . . . , X_nde variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi de Bernoulli de param`etre< θ <.

() On noteXn=^X+···_n^+Xn la moyenne empirique desXi.Que donne la loi forte des grands et le TCL ? () Trouver une foniongtelle que√

n(g(X_n)−g(θ)) converge en loi vers une loi loi gaussienne centr´ee r´eduite.

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



() On notez_αle quantile d’ordre−α/de la loi normale (P(Z≥z_α) =α/siZeune loi normale centr´ee r´eduite).

En d´eduire un intervalle de confiance asymptotiquebIn,α (qui d´epend dezα,netXn) tel que limn→∞P

θ∈bIn,α

=

−α.

Corrig´e :

() La loi forte des grands nombres nous dit queX_n converge presque s ˆurement versE[X_] =θ. Le th´eor`eme central limite nous dit que√

n(Xn−θ) converge en loi vers une loi normaleN(, θ(−θ)).

() On essaye d’appliquer la m´ethode delta : sigeune fonion d´erivable enθtelle queg⁰(θ),, alors

√ n

g(X_n)−g(θ) (d)

−→

n→∞

N(, θ(−θ)g⁰(θ)^).

On cherche doncg telle queθ(−θ)g⁰(θ)^=, ou encoreg⁰(θ) =√ ^

θ(−θ)pour toutθ∈(,). On trouve ainsi (`a conante additive pr`es)g(θ) =arcsin(

√ θ).

() On a

P

θ∈bI_n,α

=P

√

n(g(X_n)−g(θ)) ≤z_α

−→

n→∞

P(−z_α≤Z≤z_α) =−α avecZune loi normale centr´ee r´eduite. Ainsi, on prend

bI_n,α=

"

sin arcsin((X_n)^/)− z_α

√ n

!_

,sin arcsin((X_n)^/) + z_α

√ n

!_# .

Rappel (th´eor`eme de Cochran, extension de la proposition..du poly).SoitX un veeur colonne al´eatoire deRⁿ de loiN(m, σ^In) (avecm∈Rⁿ,σ >) etRⁿ=E_⊕ · · · ⊕Epune d´ecomposition deRⁿ en somme diree depsous-espaces veoriels orthogonaux de dimensionsd_, . . . , d_p avecd_+· · ·+d_p=n. SoitP_k la matrice du projeeur orthogonal surE_k etYk=P_kXla projeion orthogonale deXsurEk. Alors :

() les veeurs al´eatoires (Y_, . . . , Y_p) sont ind´ependants etY_k suit la loiN(P_km, σ^P_k) ;

() les variables al´eatoires r´eelles (kY_i−P_imk^)_≤i≤psont ind´ependantes etkY_k−P_kmk^/σ^suit la loiχ^(d_k).

E ^{xercice 7.}

( ´Etalonnage)On consid`ere que la r´eponse d’un appareil de mesure `a un signal d´eterminieξe´egale `aaξ plus un bruit gaussien centr´e de varianceb, o `u (a, b)∈R×R^∗₊. On se propose d’´etalonner l’appareil (c’e-`a-dire eimer les valeurs deaetb) en envoyant une suitex= (x_, x_, . . . , x_n) de signaux connus. On noteY_i =ax_i+

√

bU_i la r´eponse au i-i`eme signal o `u on suppose que les coordonn´ees du veeurU = (U_, U_, . . . , U_n) sont des variables al´eatoires gaussiennes centr´ees r´eduites ind´ependantes. On noteY= (Y_, Y_, . . . , Y_n),

Ab_n= Pn

i=x_iY_i Pn

i=x^_i et Bb_n= Pn

i=(Y_i−x_iAb_n)^

n− .

() Donner la loi deAb_n. `A quelle condition sur la suite (x_i)_i≥a-t-onE

h(Ab_n−a)^i

→lorsquen→ ∞?

On compl`etee_=k^xxken une base orthonorm´ee (e_, . . . , e_n) deRⁿ. NotonsP la projeion orthogonale surE_= Ve(e_) et Qla projeion orthogonale surE_= Ve(e_, . . . , en).

() D´eterminerP Y etQY. En d´eduire queAb_n etbB_n sont des variables al´eatoires ind´ependantes. Donner l’esp´erance et la variance debBn.

() Montrer qu’il exie une conantec(d´ependant dex) telle que la variable al´eatoirec^Ab√^n−a

bB_n suive une loi de Student.

() Donner un intervalle de confiance `a% pour le param`etrea, suivant que l’on connaˆıt la valeur debou non.



Corrig´e :

() Le veeur U ´etant conitu´e de variables al´eatoires gaussiennes ind´ependantes, c’e un veeur gaussien.

DoncAb_neune gaussienne, et il ree `a d´eterminer son esp´erance et sa variance : E

h Abn

i= Pn

i=xiE[Yi] P_n

i=x^_i = Pn

i=ax^_i P_n

i=x_i^ =a, Var(Abn) =  Pn

i=x^_i Xn

i=

x^_iVar(Yi) = b kxk.

CommeE

h(Ab_n−a)^i

= Var(Ab_n), on voit queE

h(Ab_n−a)^i

→si et seulement sikxk → ∞lorsquen→ ∞. () Tout d’abord, on remarque queAb_n=_kx^_khY , xi.

Alors

P Y =hY , e_ie_=hY , x

kxkie_=Ab_nx, QY =Y−P Y =Y−Ab_nx et on remarque d’une part que le veeur gaussienQY ecentr´e et que (n−)Bbn=kQYk^.

D’apr`es le th´eor`eme de Cochran, d’une part P Y et QY sont ind´ependants et donc Abn et Bbn sont ind´ependants, et d’autre part d’apr`es le th´eor`eme de Cochran kQYk^/b suit une loi χ^(n−). En particu- lier, en ´ecrivantbBn=_n^b−·^kQYk

b et en utilisant le fait qu’une loi duχ^`akdegr´es de libert´e a pour esp´erancek et variancek,

E h

bBn

i= b n−E

"kQYk^ b

#

=b, Var(Bbn) = b^

(n−)^Var kQYk^ b

!

= b^ n−. () CommeAbn−asuit une loiN(,k^bxk), on en d´eduit que

r kxk

n−·Ab_n−a q

Bbn

= qkxk

b

Abn−a q(n−)bB_n

b

suit une loi de Student `an−degr´es de libert´e.

() Si le param`etrebeconnu, commeAbn−asuit une loiN(,k^bxk), en notantzα/le quantile le quantile d’ordre

−α/de la loi normale (P(Z≥z_α/) =α/siZeune loi normale centr´ee r´eduite), en prenantα=%, un intervalle de confiance pouraau niveau de (exaement)% e









Ab_n−z_α/

r b

kxk,Ab_n+z_α/

r b kxk







.

Si le param`etrebeinconnu, notonstn−,−α/le quantile d’orde−α/de la loi de Student `an−degr´es de libert´e avecα=%. Alors un intervalle de confiance pouraau niveau de (exaement)% e











Ab_n−t_n−,−α/

s

(n−)bBn

kxk ,Ab_n+t_n−,−α/

s

(n−)bBn

kxk









 .

