PSI Moissan 2012 TD Ph´enom`enes de diffusion Janvier 2013

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Diffusion de particules

I Bilan de particules

Dans un milieu infini diffusent des particules dont le coefficient de diffusion est not´ e D. Ces particules sont cr´ e´ ees dans une boule de centre O de rayon R

, en quantit´ e q

par unit´ e de temps et de volume. On note n p r, t q le nombre de particule par unit´ e de volume. Le vecteur densit´ e de courant de particules ob´ eit

`

a la loi de Fick : ~j D ÝÝÑ grad n. On se place en r´ egime permanent.

1. D´ eterminer ~j pour r ¡ R

, puis pour r   R

. 2. En d´ eduire n p r q en consid´ erant que n p r Ñ 8q 0.

II R´ eacteur ` a neutrons

Des neutrons de densit´ e volumique c se d´ eplacent dans un milieu avec une vitesse de module moyen v. Le nombre d’absorptions dans le milieu vaut cv { λ

par unit´ e de volume et de temps. Chaque ab- sorption d´ eclenche une r´ eaction nucl´ eaire qui produit p nouveaux neutrons. On consid` ere un probl` eme unidimensionnel dans lequel les neutrons diffusent avec un coefficient D.

1. Montrer que c p x, t q ob´ eit ` a

B c

B t D B

c B x

v p p 1 q λ

c (1)

2. On consid` ere un milieu infini dans lequel p 0 (pas de fission), dans lequel on place en x 0 une source de neutrons produisant un flux φ

. Trouver c p x q en r´ egime stationnaire et exprimer la longueur caract´ eristique du probl` eme l

.

3. On consid` ere maintenant un r´ eacteur tel que p ¡ 1 de taille L compris entre x L{2. On posera l

λ

D { v. D´ eterminer c p x q en r´ egime permanent, en admettant que c p L { 2 q 0. Montrer que cette solution met en ´ evidence une valeur critique p

de p.

4. Soit p p

. On cherche une solution de la forme cpx, tq f ptqgpxq. D´ eterminer f ptq et gpxq. Calculer la constante de temps du probl` eme (AN : D 20 m

s

, `

2, 5 cm).

III Relation d’Einstein

On s’int´ eresse ` a des particules en suspension au sein d’un fluide, qui n’interagissent pas entre elles.

On consid` ere un tube cylindrique d’axe vertical de section S de hauteur h contenant de l’eau. Il contient aussi N particules de masse m. On note ρ

et ρ les masses volumiques des particules et de l’eau ρ

¡ ρ.

On consid` ere le m´ elange homog` ene initialement.

1. Faire un bilan des forces en n’oubliant pas la force de frottement visqueux f ~ 6πηR~ v o` u η est la viscosit´ e dynamique du fluide et R le rayon d’une particule. Montrer que v

tend vers une valeur limite v

que l’on exprimera en fonction de m

m p 1 ρ { ρ

q .

1

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2. On suppose v

v

. On note n p x, t q la densit´ e particulaire. Calculer ~j

du au mouvement ci-dessus.

3. Calculer la densit´ e de flux de particule ~j

due ` a la diffusion. On notera D le coefficient de diffusion.

4. Etablir l’´ ´ equation diff´ erentielle ` a laquelle ob´ eit le densit´ e particulaire en r´ egime permanent.

5. R´ esoudre cette ´ equation et faire apparaitre une hauteur caract´ eristique H.

6. Des calculs de physique statistique montrent que n ob´ eit aussi ` a la loi de Boltzmann :

n p x q A exp e

kT

O` u e

m

gx repr´ esente l’´ energie potentielle ”apparente” de la particule et k est la constant de Boltz- mann. En d´ eduire la relation d’Einstein D kT

6πηR .

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Diffusion Thermique

IV R´ esistance thermique entre 2 cylindres

L’espace entre 2 cylindres coaxiaux de rayons r

et r

, de longueur l quasi infinie, est occup´ e par un conducteur thermique de conductivit´ e λ. On se place en r´ egime stationnaire.

1. De quelles variables d´ epend la temp´ erature ?

2. Quelle est la forme de ~j

?

3. Montrer par un bilan thermique que Φ p r q est ind´ ependant de r.

4. Calculer la r´ esistance thermique.

V Impression de chaud et de froid

On ´ etudie un mod` ele destin´ e ` a interpr´ eter l’observation suivante : un observateur posant sa main sur une table en bois et une table en acier ` a la mˆ eme temp´ erature a l’impression que le bois est plus chaud que l’acier. Deux cylindres de mˆ eme section S, de mˆ eme axe Ox, de conductivit´ e K

et K

, de longueur L

et L

sont mis bout ` a bout, le contact s’´ etablissant en x 0. On maintient les extr´ emit´ es x L

et x L

des deux cylindres aux temp´ eratures respectives T

et T

. On ´ etudie le r´ egime stationnaire.

1. Etablir l’expression ´ T p x q dans les deux cylindres en fonction de T

, T

, x, L

, L

, et de la temp´ erature T

en x 0.

2. En d´ eduire que la temp´ erature T

` a l’interface est un barycentre de T1 et T 2.

3. Appli. num´ erique Calculer T

pour un contact main-bois puis pour un contact main-acier. On donne : θ

37˚ C (main) et θ

20˚ C (acier ou bois) ; L1 L2 ; conductivit´ es thermiques : main : K

10 W m

K

; bois : K

1 W m

K

; acier : K

100 W m

K

.

VI Refroidissement par ailette

Pour limiter la temp´ erature d’un appareil ` a la temp´ erature T

, on ´ evacue l’´ energie thermique par une ailette de refroidissement cylindrique de longueur L et de rayon a d’axe Ox constitu´ e d”un mat´ eriau de conductivit´ e thermique K. Les ´ echanges thermiques avec l’air ambiant sont caract´ eris´ es par un transfert thermique par la surface lat´ erale dont la puissance est dP h p T p x q T

q dS, T

20˚ C ´ etant la temp´ erature de l’air ext´ erieur et h 15 W m

K

. On fera les hypoth` eses suivantes :

– la temp´ erature est uniforme sur une section de la barre, – la barre est consid´ er´ ee comme infinie,

– on ´ etudie le r´ egime stationnaire,

– le contact thermique barre/appareil est parfait.

On note λ c Ka

2h .

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1. Donner la dimension de λ.

2. Quelle hypoth` ese justifie un traitement unidimensionnel du probl` eme ?

3. En faisant un bilan ´ energ´ etique, d´ eterminer l’´ equation diff´ erentielle pour T p x q , puis la r´ esoudre.

4. Evaluer l’efficacit´ ´ e thermique η de ce dispositif en calculant le flux thermique ´ evacu´ e par une surface S correspondant ` a la surface de la section du cylindre en pr´ esence de l’ailette et en son absence.

VII Formation d’une couche de glace

On consid` ere un lac o` u l’eau liquide est en permanence ` a la temp´ erature de cong´ elation T

273 K.

L’air au dessus du lac est ` a la temp´ erature constante T

263 K. Libre de glace ` a l’instant initial t 0, le lac se couvre progressivement d’une couche de glace dont l’´ epaisseur ` a l’instant t est not´ ee e p t q . La glace a une masse volumique ρ 9 10

kg m

, une conductivit´ e thermique λ 2 W m

K

. Sa capacit´ e thermique sera n´ eglig´ ee, et sa chaleur latente de fusion a pour valeur L

334, 4 kJ kg

. D’autre part, les ´ echanges thermiques entre la surface libre de la glace et l’air s’effectuent par convection.

L’´ energie thermique transf´ er´ ee pendant une dur´ ee dt et pour une surface S de glace est donn´ ee par : δQ h r T p 0, t q T

s Sdt avec T p 0, t q la temp´ erature de la glace en x 0, et h 4, 18 10

kW m

K

. 1. D´ eterminer la distribution de temp´ erature Tpx, tq dans la glace en fonction de T p0, tq , T

, eptq et x.

2. Effectuer un bilan ´ energ´ etique – de la formation de la glace

– de la conduction de la chaleur dans la glace – ` a l’interface glace-air

et en d´ eduire la loi T p 0, t q .

3. En d´ eduire la loi e p t q . On posera e

λ

h et τ λρL

2h

p T

T

q . Donner les valeurs num´ eriques de e

et τ

4. Comment ´ evolue la temp´ erature ` a la surface du lac ? Tracer cette fonction.

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