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A20053. Carr´es `a moyenne enti`ere Montrer que la moyenne des carr´es des termes de la

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Academic year: 2022

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A20053. Carr´ es ` a moyenne enti` ere

Montrer que la moyenne des carr´es des termes de lan-i`eme ligne du triangle de Pascal est un nombre entier.

Solution

Dans le d´eveloppement de l’expression (1 +x)a+b= (1 +x)a(1 +x)b,

le coefficient dexc estCa+bc =X

k

CakCbc−k. Faisanta=b=c=n, et tenant compte queCnn−k=Cnk, on aC2nn =Pk(Cnk)2.

Les n+ 1 termes (k= 0 `a n) de la ligne desCnk dans le triangle de Pascal ont doncC2nn comme somme des carr´es. La moyenne des carr´es est

1

n+ 1C2nn = n+ 1−n n+ 1

2n!

n!n! =C2nn −C2nn+1. C’est bien un entier.

Ces entiers sont appel´es nombres de Catalan, du nom d’Eug`ene Catalan (X 1833). Celui-ci est plus connu par la conjecture qu’il a formul´ee en 1844 :

“8 et 9 sont la seule paire d’entiers cons´ecutifs qui soient tous deux des puissances parfaites”. D’une difficult´e comparable au “grand th´eor`eme de Fermat”, cette conjecture a enfin ´et´e prouv´ee en 2002.

Catalan a aussi laiss´e une trace plus anecdotique `a l’X, o`u il fut examinateur.

Il avait de tr`es grands pieds et, comme Cyrano pour son nez, il prenait fort mal qu’on parˆut le remarquer.

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