Sur la cohomologie de la compactification des vari´et´es de Deligne-Lusztig

Sur la cohomologie de la compactification des vari´et´es de Deligne-Lusztig

Haoran Wang

R´esum´e

Nous ´etudions la cohomologie de la compactification des vari´et´es de Deligne- Lusztig associ´ees aux ´el´ements de Coxeter. Nous pr´esentons une conjecture des relations entre la cohomologie de la vari´et´e et la cohomologie de ses compactifications partielles. Nous prouvons la conjecture dans le cas du groupe lin´eaire g´en´eral.

Table des mati` eres

1 Introduction 1

2 G´en´eralit´es 3

2.1 Pr´eliminaires . . . 3 2.2 Les orbites de Coxeter . . . 7

3 La compactification partielle 9

3.1 Enonc´´ e de la conjecture A . . . 9 3.2 Conjecture A ⇔ Conjecture A’ . . . 10 3.3 R´eduction au cas de codimension 1 . . . 14

4 Le cas o`u G= GL_d(Fq) 16

4.1 L’espace de Drinfeld sur un corps fini . . . 16 4.2 Quotients de Lusztig explicites . . . 21

5 Th´eor`eme principal 28

5.1 Enonc´´ e du th´eor`eme . . . 28 5.2 Etape 1 : le cas de codimension 1 . . . .´ 28

1 Introduction

Soientqune puissance d’un nombre premierp,Gun groupe r´eductif connexe sur Fp muni d’une structureFq-rationnelle etF l’isog´enie de Frobenius correspondante.

Siwest un ´el´ement du groupe de Weyl, dans leur article fondateur [DL76] Deligne et Lusztig ont introduit deux vari´et´es X(w) et Y(w) munies d’une action de G^F ainsi qu’un morphisme fini ´etale G^F-´equivariant π : Y(w) → X(w), faisant de X(w) un quotient de Y(w) par l’action d’un groupe fini commutatif (dans [DL76]

la vari´et´e Y(w) est not´eeX( ˙e w)). Dans leur travail, ils ont ´egalement construit une compactification lisseX(w) deX(w) `a la Bott-Samelson-Demazure-Hansen.

Lorsque w est un ´el´ement de Coxeter, l’´etude de la g´eom´etrie des vari´et´es de Deligne-Lusztig a commenc´e par Lusztig [Lus77], et puis Bonnaf´e et Rouquier [BR06], et Dudas [Dud10]. Dans ce cas, la compactificationX(w) poss`ede une strat- ification dont les strates sont index´ees par les sous-groupes paraboliques propres F-stables. Plus pr´ecis´ement, soient P un sous-groupe parabolique propreF-stable etU son radical unipotent, la strate ferm´ee associ´ee `a Pest

X_P(w) :=X(w)^UF.

Notonsj:X(w),→X(w) eti_P:X_P(w),→X(w) les immersions naturelles.

Le but principal de cet article est de d´emontrer le th´eor`eme suivant (voir (5.1.1)) : Th´eor`eme.– Soient G = GL_d, F l’endomorphisme de Frobenius standard (aij)_16i,j6d 7→ (a^q_ij)_16i,j6d et w = (1, . . . , d) ∈ S_d. Alors le morphisme de restric- tion :

RΓ(X(w), π∗Λ) =RΓ(X(w), Rj∗(π∗Λ))−→^res. RΓ(X_P(w), i^∗_PRj∗(π∗Λ)) induit un isomorphisme

(1.0.1) RΓ(X(w), π∗Λ)^UF ∼

−→RΓ(X_P(w), i^∗_PRj∗(π∗Λ)), o`u Λ =Z/`^m pour un nombre premier `6=p.

Notre motivation pour ce th´eor`eme vient du lien avec les correspondances de Langlands et de Jacquet-Langlands locales. Plus pr´ecis´ement, si K est un corps p- adique de corps r´esiduelFq,les composantes irr´eductibles de la fibre sp´eciale de l’es- pace sym´etrique de Drinfeld pour GL<sub>d</sub>(K) sont naturellement isomorphes `aX(w) et nous montrons dans [Wan13] que les cycles proches du revˆetement mod´er´e de Drin- feld sur une telle composante s’identifient naturellement `a Rj∗(π∗Λ).Le th´eor`eme ci-dessus nous permet alors, toujours dans [Wan13], de calculer explicitement, et de mani`ere purement locale, la cohomologie du revˆetement mod´er´e de Drinfeld, et d’en d´eduire en particulier qu’elle r´ealise les correspondances de Langlands et Jacquet- Langlands pour les repr´esentations elliptiques mod´er´ement ramifi´ees de GL_d(K).

L’´enonc´e du th´eor`eme fait sens pour n’importe quel ´el´ement de Coxeterw d’un groupe r´eductif G d´efini sur Fq, et nous conjecturons qu’il est vrai dans cette g´en´eralit´e (voir 3.1). La d´emonstration du th´eor`eme se fait en trois ´etapes.

La premi`ere ´etape de notre preuve utilise le calcul explicite de la normalisation de X(w) dans Y(w) dˆu `a Bonnaf´e et Rouquier dans [BR09] pour se ramener au mˆeme

´enonc´e pour la strate “ouverte” jP : XP(w) := XP(w)\S

Q⊂PXQ(w) ,→ X(w).

Cette ´etape, d´ecrite au paragraphe 3.2, fonctionne pour tout G.

La deuxi`eme ´etape ´etudie la compactification partielle X^P(w) := X(w) ∪ X_P(w) ⊂ X(w) lorsque P est propre et maximal. On construit au paragraphe 4.2 un isomorphisme

U^F\X^P(w) ∼

−→X_L(w_L)×A¹ compatible avec l’isomorphisme de LusztigU^F\X(w) ∼

−→X_L(w_L)×Gmde [Lus77].

IciLd´esigne le quotient r´eductif dePestwLun ´el´ement de Coxeter deL.Pour cette construction, on utilise une description alternative de X(w) comme ´eclat´e d’espace projectif, valable seulement pour GL_dd´eploy´e. Dans le paragraphe 5.2, on d´eduit le th´eor`eme dans ce casP maximal par un argument inspir´e de Dudas [Dud10] et qui devrait fonctionner en toute g´en´eralit´e, si on a un isomorphisme comme ci-dessus.

Enfin, la troisi`eme ´etape est une r´ecurrence sur le corang de P. Pour G quel- conque, on explique cette r´ecurrence au paragraphe 3.3, sous l’hypoth`ese que le cas de corang 1 est connu pour tout sous-groupe de Levi deG.

Organisation de l’article.Dans la section 2, nous rappelons les pr´eliminaires sur les vari´et´es de Deligne-Lusztig, notamment la construction de Bonnaf´e et Rouquier [BR09] et le morphisme de quotient de Lusztig [Lus77]. Ensuite, on d´ecrit en toute g´en´eralit´e la premi`ere et la troisi`eme ´etapes mentionn´ees ci-dessus. Dans la section 4, nous ´etudions le cas associ´e `a GL<sub>d</sub>.Finalement, nous d´emontrons notre th´eor`eme dans la section 5.

Remerciements : Je remercie profond´ement mon directeur de th`ese Jean- Fran¸cois Dat pour les nombreuses discussions et ses constants encouragements pen- dant ces ann´ees. Je remercie Zhi Jiang pour les conversations sur l’´eclatement. Enfin, je remercie le referee anonyme pour ses suggestions qui ont permis d’en am´eliorer consid´erablement la r´edaction.

2 G´ en´ eralit´ es

Dans cette partie, on rappelle tout d’abord la d´efinition des vari´et´es de Deligne- Lusztig [DL76] et la construction de Bonnaf´e et Rouquier [BR09]. Ensuite, dans le cas de Coxeter, on rappelle certains r´esultats de Lusztig [Lus77].

2.1 Pr´ eliminaires

(2.1.1) Nous fixons un groupe r´eductif connexe G d´efini sur une clˆoture alg´ebrique Fq du corps fini Fq. Nous supposons de plus que G est obtenu par ex- tension des scalaires deG₀ sur Fq, et nous notonsF :G→G l’endomorphisme de Frobenius correspondant.

Fixons un sous-groupe de Borel F-stable B de G, un tore maximal F-stable T de B et notons U le radical unipotent de B. Notons W =NG(T)/T le groupe

de Weyl deG relativement `a T,X(T) (resp. Y(T)) le r´eseau des caract`eres (resp.

des sous-groupes `a un param`etre) de T, Φ (resp. Φ^∨) le syst`eme de racines (resp.

coracines) de G relativement `a T, ∆ (resp. ∆^∨) la base de Φ (resp. Φ^∨) associ´ee

`

a B et Φ+ (resp. Φ^∨₊) l’ensemble des racines (resp. coracines) positives contenant

∆ (resp. ∆^∨). En particulier, Φ est stable sous l’action de F. Si α est une racine, F(α) est un multiple positif d’une unique racine que l’on notera φ(α), d´efinissant une bijection φ: Φ→Φ qui stablise ∆ et Φ+.

Pour α∈Φ,on noteraα^∨ sa coracine associ´ee,s_α∈W la r´eflexion par rapport

`

a α,U_α le sous-groupe unipotent `a un param`etre normalis´e par T associ´e `a α, et Gα le sous-groupe de G engendr´e par Uα et U−α.Posons S :={s<sub>α</sub> |α ∈∆}. On d´esignera l:W → Nla fonction longueur relativement `a S. D’apr`es [Spr98, 9.3], il existe un ensemble de repr´esentants {w}˙ de W dans N_G(T) v´erifiant la propri´et´e suivante : siw=w1w2 est tel que l(w) =l(w1) +l(w2), alors ˙w= ˙w1w˙2.

Pour un ´el´ementwdu groupe de WeylW, Deligne et Lusztig ont construit dans [DL76] deux vari´et´esX(w) etY( ˙w) (ouX_G(w) etY_G( ˙w) s’il y a confusion possible) surFq ainsi qu’un morphisme fini ´etaleY( ˙w)→X(w) faisant deX(w) un quotient deY( ˙w) par l’action du groupe fini T^wF :={t∈T|wF(t)w⁻¹ =t} (dansloc. cit., la vari´et´eY( ˙w) est not´eeX( ˙e w)). Rappelons ci-dessous leurs d´efinitions :

Y( ˙w) :=YG( ˙w) ={gU∈G/U|g⁻¹F(g)∈UwU}˙ X(w) :=X_G(w) ={gB∈G/B|g⁻¹F(g)∈BwB}.

Le groupe finiG^F agit par multiplication `a gauche sur les vari´et´es quasi-projectives X(w) et Y( ˙w). De plus, le groupe commutatif T<sup>wF</sup> agit librement sur Y( ˙w) par multiplication `a droite. Le morphismeπw :Y( ˙w) → X(w) induit par restriction `a Y( ˙w) de la projection canonique G/U G/B s’identifie `a quotienter par T^wF, induisant ainsi un isomorphismeG^F-´equivariantY( ˙w)/T^wF ∼

−→X(w).Les vari´et´es X(w) etY( ˙w) ainsi obtenues sont quasi-affines, lisses et purement de dimensionl(w).

Dans leur travail, Deligne et Lusztig ont construit ´egalement une compactifica- tion de Bott-Samelson-Demazure-Hansen des vari´et´esX(w) ([DL76, 9.10]) que nous rappelons ci-dessous.

Soit w = s_α1· · ·s_αr, une expression minimale de w, par rapport `a la fonction longueur. On notera wi := sα1· · ·sαi−1sαi+1· · ·sαr−1 ∈ W. Posons alors, suivant [DL76]

X(w) :=

(g₁B, . . . , g_r+1B)∈(G/B)^r+1 |g_r+1B=F(g₁)B, g⁻¹_i g_i+1 ∈Bs_αiB∪B, ∀16i6r

. D’apr`es [DL76, 1.2], la vari´et´e X(w) s’identifie `a la sous vari´et´e ouverte

{(g₁B, . . . , gr+1B)∈(G/B)^r+1|gr+1B=F(g1)B, g⁻¹_i gi+1 ∈BsαiB, ∀16i6r}

de X(w). De plus, X(w) est une vari´et´e lisse projective et X(w)\X(w) = S

16i6rX(w_i) est un diviseur `a croisements normaux ([DL76, Lemme 9.11]). No- tons que

(2.1.2) X(w) = a

x=x1···x_r∈W xi∈{1,s_αi}

X(x).

(2.1.3) Dans [BR09], Bonnaf´e et Rouquier ont donn´e une construction explicite de la normalisation deX(w) dans Y( ˙w),not´e Y( ˙w).C’est l’unique vari´et´e normale Z contenant Y( ˙w) comme sous-vari´et´e ouverte dense et munie d’un morphisme fini π_w :Z X(w) prolongeantπ_w.Rappelons ci-dessous leurs constructions.

Tout d’abord, on peut supposer que le groupe d´eriv´e de Gest simplement con- nexe (cf.[BR09]). Ceci implique queGα

−→∼ SL2 et queα^∨ est injective pour toute racineα. Si 16i6r, il existe un unique λi ∈Y(T) et un uniquemi ∈Zv´erifiant les trois propri´et´es suivantes :







λi−wF(λi) =mi s1· · ·si−1(α^∨_i), m_i >0,

Y(T)/Zλi est sans torsion.

Bonnaf´e et Rouquier d´efinissent une fonction ϕα :GαU →A¹ satisfaisant les pro- pri´et´es deloc. cit.Prop. 2.2. Comme eux, posons

Ue(w) :={g := (g₁U, . . . , g_r+1U)∈(G/U)^r+1 | ∀16i6r, g_i⁻¹g_i+1∈G_αiU}, et notons

ve_w :Ue(w)−→G/U×G/U (g₁U, . . . , g_r+1U)7→(g₁U, g_r+1U).

Soit m:= (m1, . . . , mr) une suite der entiers, notons

Ue_m(w) :={(g,ξ)∈Ue(w)×A^r |ϕ_αi(g⁻¹_i g_i+1) =ξ^m_i ⁱ} et de mˆeme

Ue_m^I(w) :={(g,ξ)∈Ue_m(w) | ∀i∈I, ξi = 0}

pour un sous-ensembleI de {1, . . . , r}.Notons

Γ_F :={(g₁U, g₂U)∈G/U×G/U |g₂U=F(g₁)U}

le graphe du morphisme de Frobenius. Consid´erons la vari´et´e Ye(w) :={(g,ξ)∈Ue_m(w) |evw(g)∈ΓF}

et ses sous-vari´et´es localement ferm´ees param´etr´ees par les sous-ensembles de {1, . . . , r} :

Ye_I(w) :={(g,ξ)∈Ue_m^I(w) |ev_w(g)∈Γ_F}.

Bonnaf´e et Rouquier d´efinissent une action naturelle de T^wF×(Gm)^r sur la vari´et´e Ye(w),faisant X(w) le quotient de Ye(w) par cette action, cf. [BR09, Prop. 2.6], et Ye_I(w) est stable sous cette action. Ils d´emontrent le th´eor`eme suivant :

(2.1.4) Th´eor`eme.– ([BR09, Th´eor`eme. 1.2 (b)]) La vari´et´e Y( ˙w) = Ye(w)/(Gm)^rest normale et elle est munie d’une action deT^wF prolongeant l’action sur Y( ˙w) telle que le morphisme de quotient Y( ˙w) =Ye(w)/(Gm)^r X(w) induit un isomorphismeY( ˙w)/T^wF ∼

−→X(w); autrement dit, elle est la normalisation de X(w) dans Y( ˙w).

Pour la commodit´e du lecteur, on donne quelques propri´et´es faciles de la vari´et´e Ye(w) qui seront utilis´ees dans la preuve du lemme (3.2.2).

(2.1.5) Lemme.– Pour I un sous-ensemble de {1, . . . , r},la vari´et´eUe_m^I(w) est lisse, de dimension 2r+ dimG/U− |I|.

Preuve : Notonsw(i) :=sα1· · ·sαi,mi := (m1, . . . , mi) et Ii :={1, . . . , i} ∩I.

On dispose d’une suite de morphismes canoniques (cf.[BR09, Prop. 2.3]) Ue_m^I (w) =Ue_m^Ir_r(w(r))→Ue_m^Ir−1_r−1(w(r−1))→ · · · →Ue_m^I1

1(w(1))→G/U consistant `a chaque ´etape `a oublier le dernier terme de g et ξ. Lorsque i 6∈ I, la fibre du morphismeUe_m^Ii

i(w(i))→Ue_m^Ii−1_i−1(w(i−1)) est isomorphe `aU<sub>αi,mi</sub> ={(g, ξ)∈ G<sub>αi</sub>U/U×A<sup>1</sup> |ϕ<sub>αi</sub>(g) =ξ<sup>mi</sup>}.D’apr`es [BR09, Prop. 2.3],

U_αi,mi ∼

−→ {(x, y, ξ)∈A³ |(x, y)6= (0,0) ety=ξ^mi} ∼

−→A²\{(0,0)}.

Lorsque i∈ I, la fibre du morphisme Ue_m^Ii_i(w(i))→ Ue_m^Ii−1_i−1(w(i−1)) est isomorphe

`

a {(g, ξ) ∈ GαiU/U ×A¹ | ϕαi(g) = 0} ∼

−→ A¹\{0}. Donc c’est une suite des fibrations successives de fibres successivement isomorphes `a des vari´et´es lisses (de dimension 1 ou 2), d’o`u l’´enonc´e du lemme.

(2.1.6) Corollaire.– La vari´et´eYe_I(w) est lisse, purement de dimension 2r−

|I|.

Preuve : Ceci d´ecoule directement du lemme pr´ec´edent et [BR09, Lemme 2.5].

(2.1.7) Corollaire.– La vari´et´e Ye_∅(w) est une sous-vari´et´e ouverte dense dansYe(w) dont le compl´ementaire est un diviseur `a croisements normaux.

Preuve : La premi`ere assertion est dans [BR09, Page 634-635]. La deuxi`eme assertion repose sur le corollaire pr´ec´edent. En effet, pour 16i6r,notonsYe_i(w) :=

Ye_{i}(w).Chaque Ye_i(w) est un diviseur deYe(w), et Ye(w)\Ye_∅(w) = [

16i6r

Ye_i(w).

Grˆace au corollaire pr´ec´edent,

Ye_I(w) =\

i∈I

Ye_i(w)

est de codimension |I|dansYe(w),∀I ⊂ {1, . . . , r}.

2.2 Les orbites de Coxeter

Soientn=|∆/φ|et [∆/φ] :={α₁, . . . , αn}un syst`eme de repr´esentants de ∆/φ.

Notonsc=s_α1· · ·s_αn (ouc_Gs’il y a confusion possible) un ´el´ement de Coxeter,w_∆ l’´el´ement de W de longueur maximale. Soit I un sous-ensemble de racines simples stable sous φ, nous notons WI le sous-groupe de W engendr´e par les {s_α}_α∈I,PI

le sous-groupe parabolique BW_IB de G. Posons T_I la composante connexe de l’´el´ement neutre de∩α∈IKerα, LI :=ZG(TI) l’unique composante de Levi de PI

contenantT, BI le sous-groupe de BorelB∩LI de LI,UI le radical unipotent de P_I, et V_I le radical unipotent de B_I. Le groupe de Weyl W_LI de L_I associ´e `a T s’identifie `a W_I. On notera les groupes de points F-stables par les caract`eres non

´epaissis correspondantsG, PI, LI, UI, VI, . . .

Pour un sous-ensemble propreI de ∆ stable sousφ,on peut consid´erer la vari´et´e de Deligne-Lusztig X_LI(c_I) associ´ee au groupe r´eductifL_I et l’´el´ement de Coxeter cI deWLI obtenu `a partir decen ne gardant que les r´eflexions simples deI.Notons X<sub>I</sub> := X(x<sub>1</sub>· · ·x<sub>n</sub>), o`u x_i ∈ {1, s_αi} et x_i =s_αi si et seulement si α_i ∈ I. D’apr`es Lusztig [Lus76], les vari´et´esX_LI(c_I) et X_I sont reli´ees par la propri´et´e suivante :

(2.2.1) Proposition.– ([Lus77, 1.17], [Lus76, Lemme 3], voir aussi [BR06, Prop. 3.3])Sous l’hypoth`ese comme plus haut, on a des isomorphismes canoniques :

G/U_I×_LI X_LI(c_I) ∼

−→X_I (gUI, hBI)7→ghB.

CommecI est un ´el´ement de Coxeter deWLI,la vari´et´eXLI(cI) est irr´eductible d’apr`es [Lus77, Prop. 4.8]. Alors, XI est une union disjointe de ses composantes irr´eductibles chacune isomorphe `a X_LI(c_I). Notons alors C_I la composante irr´eductible de X_I fix´ee parU_I,d’apr`es [Lus77, 1.17],

CI={(g₁B, . . . , gn+1B)∈XI |g1Bg₁⁻¹⊂PI},

munie d’un isomorphisme LI-´equivariant avec XLI(cI). Notons ensuite CI son adh´erence dans X(c),alors

C_I ={(g₁B, . . . , g_n+1B)∈X_I |g₁Bg⁻¹₁ ⊂P_I}.

On en d´eduit que U_I agit trivialement surC_I,etC_I n’a pas de points fixes sous un sous-groupe unipotent deLI,comme CI est une vari´et´e de Coxeter.

Plus g´en´eralement, on peut d´efinir la stratification index´ee par les sous-groupes paraboliques F-stables mentionn´ee dans l’introduction. Pour P un sous-groupe parabolique F-stable conjugu´e `a PI, on note XP := g·CI, o`u g ∈ G est tel que P=gP_Ig⁻¹.Alors,X_I est une union disjointe deX_P o`uPparcourt l’ensemble des sous-groupes paraboliques F-stables conjugu´es `a P_I.La vari´et´e X_P est localement ferm´ee, irr´eductible, et son adh´erence est

X_P= [

Q⊂P

X_Q.

NotonsU_Ple sous-groupe unipotent des points rationnels du radical unipotent deP, alors U_P agit trivialement sur X_P et X_P.On d´emontre que l’ensemble des points fixes de X(c) sous l’action de UP s’identifie `a XP. En effet, si UP a des points fixes dans une strateX_Q,alorsU_P normalise Q,doncU_P est contenu dans Q.Par ailleurs, comme X_Q n’a pas de points fixes sous un sous-groupe unipotent de son quotient de LeviLQ,on a UP contenu dans UQ,doncP contient Q etXQ ⊂XP. En particulier, on sait alors que C_I=X(c)^UI.

(2.2.2) Lorsque les vari´et´es de Deligne-Lusztig sont associ´ees `a des ´el´ements de Coxeter, Lusztig a construit dans [Lus77] leurs quotients par U et U_I. Rappelons ci-dessous leurs constructions. Notons comme dans [BR06],

(2.2.3) X⁰(c) =

u∈U|u⁻¹F(u)∈(U−w_∆(α1)\{1})× · · ·(U−w_∆(αn)\{1}) Tout d’abord, Lusztig a d´emontr´e le th´eor`eme suivant :

(2.2.4) Th´eor`eme.– ([Lus77, 2.5, 2.6]) (a) X(c)⊂Bw∆·B/B.

(b) Le morphisme

L:X⁰(c)−→X(c) u7−→uw_∆·B est un isomorphisme de vari´et´es.

Remarque.– En faisant agir sur X⁰(c) le p-groupe fini U par multiplication

`

a gauche, et le groupe commutatif T^F par conjugaison, l’isomorphisme L est B-

´equivariant.

(2.2.5) Th´eor`eme.– ([Lus77, Corollaries 2.7, 2.10])

(a) L’isomorphisme L dans(b) du th´eor`eme pr´ec´edent induit un isomorphisme (Gm)ⁿ= (U−w_∆(α1)\{1})× · · · ×(U−w_∆(αn)\{1}) ∼

−→U\X(c).

(b) On a un morphisme naturel induit par l’isomorphisme dans (a) : UI\X(c)U\X(c) ∼

−→(U_−w∆(α1)\{1})×· · ·×(U_−w∆(αn)\{1})U_−w∆(αi)=Gm. Ce morphisme induit un isomorphismeVI-´equivariant

U_I\X(c) ∼

−→X_LI(c_I)×Gm, ainsi qu’un isomorphisme L_I-´equivariant de cohomologies :

RΓ(U_I\X(c),Λ) ∼

−→RΓ(X_LI(c_I)×Gm,Λ).

3 La compactification partielle

3.1 ´ Enonc´ e de la conjecture A

On utilise les notations de la section 2.2, et on d´esigneiI :CI ,→X(c) l’inclusion naturelle pour tout I $ ∆ stable sous φ. Nous avons le diagramme commutatif suivant :

Y( ˙c)

π

 ^j0 //Y( ˙c)^{oo i}

0 I ? _

π

π⁻¹(C_I)

πI

X(c) ^{ j //}X(c)^{oo iI ? _}CI

o`uπ⁻¹(CI) := (Y( ˙c)×_X(c)CI)_redetπI=π|_π−1(CI).On a formul´e dans l’introduction la conjecture suivante :

Conjecture A.Le morphisme de restriction :

RΓ(X(c), π∗Λ) =RΓ(X(c), Rj∗(π∗Λ))−→^res. RΓ(C_I, i^∗_IRj∗(π∗Λ)) induit un isomorphisme

RΓ(X(c), π∗Λ)^UI ∼

−→RΓ(CI, i^∗_IRj∗(π∗Λ)), o`u Λ =Z/`^mZ,pour un nombre premier `6=p.

3.2 Conjecture A ⇔ Conjecture A’

Dans cette partie, on d´emontre que la conjecture A ´equivaut `a la conjecture suivante :

Conjecture A’.Pour toutI $∆stable sousφ, le morphisme de restriction induit un isomorphisme :

RΓ(Y( ˙c),Λ)^UI ∼

−→RΓ(π⁻¹(C_I), j_I^0∗Rj_∗⁰Λ),

o`u j_I⁰ d´esigne le compos´eπ⁻¹(C_I),→π⁻¹(C_I) ⁱ

0

−→I Y( ˙c).

L’´equivalence entre les conjectures A et A’ d´ecoule directement des lemmes (3.2.1) et (3.2.2). Remarquons que l’on s’est d´ebarrass´e de la compactification CI, et on se ram`ene `a ´etudier la strate ouverteC_I.

(3.2.1)Lemme.– Le morphisme de changement de base induit un isomorphisme

RΓ(C_I, i^∗_IRj∗(π∗Λ))−→^∼= RΓ(π⁻¹(C_I), i^0∗_IRj⁰_∗Λ) compatible avec les morphismes de restriction.

Preuve : Notons que π est un morphisme fini, il r´esulte du th´eor`eme de change- ment de base pour les morphismes finis et l’invariance topologique du topos ´etale (cf.[SGA72, Exp. VIII Thm. 1.1]) que i^∗_IRj∗(π∗Λ) =πI∗i^0∗_IRj_∗⁰Λ.

(3.2.2) Lemme.– Consid´erons la normalisationY( ˙c) et le diagramme suivant :

Y( ˙c) ^j

0 //Y( ˙c) ⁱ π⁻¹(C_I)

0

oo I

π⁻¹(C_I)

OO

j⁰_I

dd

Le morphisme canonique

i⁰_I,∗i^0∗_IRj_∗⁰Λ−→Rj_I,∗⁰ j_I^0∗Rj_∗⁰Λ est un isomorphisme.

Preuve : Rappelons la construction explicite deY( ˙c) dans [BR09].

Ye_∅(c)

/Gn m

f /H

ej0

// eY(c)

¯ /H f

π⁻¹^(C_I) ei0

oo I

fI¯

π⁻¹^(C_I) ej0

I

kk ff

fI¯

Ye_∅(c)/H

p /(Gn m /H)

ej0

H //Ye(c)/H

¯ p /(Gn

m /H)

π⁻¹^(C_I)/H

pI¯

ei0

oo H,I

π⁻¹^(C_I)/H ej0

H,I

kk ff

pI¯

Y( ˙c)

π

j0

//Y( ˙c)

π

π⁻¹(C_I)

i0

oo I

π⁻¹(C_I) j0

I

kk ff

X(c)

j //X(c) C_I

oo iI

C_I jI

kk gg

Comme dansloc. cit.Ye(c) est une vari´et´e lisse, purement de dimension 2n,munie d’une action deT^cF×(Gm)ⁿ,faisant deX(c) le quotient par cette action. L’appli- cationej⁰ :Ye_∅(c),→Ye(c) est une immersion ouverte dense, dont le compl´ementaire est un diviseur `a croisements normaux (cf.(2.1.7)). Un argument similaire `a l’´etape 3 de la preuve du [Dat12, Thm. 2.2] nous fournit un isomorphisme :

(3.2.3) ei⁰_I,∗ei^0∗_IRej_∗⁰Λ ∼

−→Rej_I,∗⁰ ej_I^0∗Rej_∗⁰Λ.

L’action du groupe (Gm)ⁿ sur Ye(c) n’est pas libre en g´en´eral et il existe un sous- groupe fini H (qui est not´e H{1,...,n} dans loc. cit.) de Gⁿm tel que Gⁿm/H agisse librement sur Ye(c)/H ([BR09, Prop. 2.7 (a)]). Consid´erons le diagramme commu-

tatif suivant :

Ye_∅(c)

f /H

ej⁰ //Ye(c)

¯ /H f

π⁻¹^(CI)

ei⁰_I

oo

f¯I

π^⁻¹(C_I)

ej⁰_I

kk ff

f¯I

Ye_∅(c)/H ^ej

0

H //Ye(c)/H π⁻¹^(C_I)/H

ei⁰_H,I

oo

π^⁻¹(C_I)/H

ej_H,I⁰

kk ff

Le groupe finiH agit librement surYe_∅(c) ([BR09, Prop. 2.7 (b)]), donc f est un revˆetement galoisien. Le faisceau ´etale f∗Λ sur Ye_∅(c)/H est un faisceau de Λ[H]- modules, et le morphisme d’adjonction induit un isomorphisme Λ ∼

−→(f∗Λ)^H. No- tonsRH le foncteur d´eriv´e du foncteur desH-invariants. CommeHest fini, prendre lesH-invariants est une limite projective finie, donc commute avec les foncteurs pull- back. D’autre part, R_H =RHom_Λ[H](Λ,−) commute avec les images directes. On en d´eduit que

ei⁰_H,I,∗ei^0∗_H,IRej_H,∗⁰ Λ =ei⁰_H,I,∗ei^0∗_H,IRej_H,∗⁰ (f∗Λ)^H =R_H( ¯f∗ei⁰_I,∗ei^0∗_IRej_∗⁰Λ) et

Rej_H,I,∗⁰ ej_H,I^0∗ Rej_H,∗⁰ Λ =R_H( ¯f∗Rej_I,∗⁰ ej_I^0∗Rej_∗⁰Λ).

En plus, le morphisme

ei⁰_H,I,∗ei^0∗_H,IRej_H,∗⁰ Λ→Rej_H,I,∗⁰ ej_H,I^0∗ Rej_H,∗⁰ Λ s’identifie `a

RHf¯∗(ei⁰_I,∗ei^0∗_IRej_∗⁰Λ→Rej_I,∗⁰ ej_I^0∗Rej_∗⁰Λ).

D’apr`es 3.2.3, on a donc

(3.2.4) ei⁰_H,I,∗ei^0∗_H,IRej_H,∗⁰ Λ ∼

−→Rej_H,I,∗⁰ ej_H,I^0∗ Rej_H,∗⁰ Λ

Consid´erons ensuite le diagramme commutatif : Ye_∅(c)/H

p /(Gⁿ_m/H)

ej⁰_H

// eY(c)/H

¯

p /(Gⁿ_m/H)

π⁻¹^(CI)/H

¯ pI

ei⁰_H,I

oo

π^⁻¹(C_I)/H

ej_H,I⁰

kk ff

¯ pI

Y( ˙c) ^j

0 //Y( ˙c) ⁱ π⁻¹(CI)

0

oo I

π⁻¹(CI)

j_I⁰

kk gg

Le morphisme ¯p est le quotient par l’action libre de (Gm)ⁿ/H, donc il est lisse.

D’apr`es le th´eor`eme de changement de base lisse et l’invariance topologique du topos ´etale ([SGA72, Exp. VIII]), on a

¯

p^∗(i⁰_I,∗i^0∗_IRj_∗⁰Λ) =ei⁰_H,I,∗ei^0∗_H,IRej_H,∗⁰ Λ et

¯

p^∗(Rj_I,∗⁰ j_I^0∗Rj_∗⁰Λ) =Rej_H,I,∗⁰ ej_H,I^0∗ Rej_H,∗⁰ Λ.

En plus, le morphisme

ei⁰_H,I,∗ei^0∗_H,IRej_H,∗⁰ Λ−→Rej_H,I,∗⁰ ej_H,I^0∗ Rej_H,∗⁰ Λ s’identifie `a

¯

p^∗(i⁰_I,∗i^0∗_IRj⁰_∗Λ−→Rj_I,∗⁰ j^0∗_IRj_∗⁰Λ).

D’apr`es 3.2.4, c’est un isomorphisme :

¯

p^∗(i⁰_I,∗i^0∗_IRj⁰_∗Λ ∼

−→Rj_I,∗⁰ j^0∗_IRj_∗⁰Λ).

En vertu de la surjectivit´e de ¯p, on en d´eduit que le morphisme suivant : i⁰_I,∗i^0∗_IRj_∗⁰Λ−→Rj_I,∗⁰ j_I^0∗Rj_∗⁰Λ

est un isomorphisme.

(3.2.5) Lemme.– Soient G=G₁×G₂, et c˙_G= ( ˙c_G1,c˙_G2). Supposons que la conjecture A’ soit v´erifi´ee pour G1 et G2, alors elle l’est aussi pour G.

Preuve : Comme on a un isomorphisme YG( ˙cG) ∼= YG1( ˙cG1)×YG2( ˙cG2) et idem pour la composante dans la compactification partielle, l’´enonc´e d´ecoule de la

formule de K¨unneth.

3.3 R´ eduction au cas de codimension 1

Dans cette partie, on d´emontre la conjecture A’ sous certaines hypoth`eses sur le cas de codimension 1. SiI ⊂∆ stable sous φ est tel que |I/φ|=|∆/φ| −1,on dit que c’est un cas de codimension 1. Dans ce cas, dimX<sub>LI</sub>(c<sub>I</sub>) = dimX(c)−1. On fait l’hypoth`ese suivante :

Hypoth`ese. Pour toute composante de Levi F-stable L d’un sous-groupe parabolique propre F-stable de G, la conjecture A’ est vraie pour tous les cas de codimension 1 de L.

Sous cette hypoth`ese, on d´emontre la conjecture A’. Autrement dit, la preuve pour les strates de codimension plus grande que un se ram`ene `a celle pour les strates de codimension ´egale `a un. La d´emonstration se fait par r´ecurrence sur le rang semi- simple rg_ss(G) deG. Tout d’abord, le cas rg_ss(G) = 1 d´ecoule de l’hypoth`ese sur le cas de codimension 1. Soit G un groupe r´eductif connexe de rang semi-simple n. Supposons que la conjecture A’ soit vraie pour tous les sous-groupes de Levi rationnelsLdeGtels que rg_ss(L)< n.SoitJ un sous-ensemble des racines simples

∆ de G stable sous φ. Par notre hypoth`ese sur le cas de codimension 1, on peut supposer que J est tel que rg_ss(L_J) 6 rg_ss(G) −2. Choisissons alors un sous- ensemble I ⊂∆ stable sous φ, contenant J, et rg_ss(LI) = rg_ss(G)−1. On a alors le diagramme commutatif suivant :

π⁻¹(C_I)

j_I⁰

zz

j_I^0◦

%%

Y( ˙c) ^j

0 //

π

Y( ˙c)

π

π⁻¹(C_I)

i⁰_I

oo

π⁻¹(C_J)

i⁰_J⊂I

oo

i⁰_J

cc

C_I

zz &&

X(c) ^//X(c)^oo C_I ^oo C_J

(3.3.1) Lemme.– Les inclusions naturelles

π⁻¹(C_I) ^{ j}

0◦

I //π⁻¹(C_I)^{oo i}

0

J⊂I? _π⁻¹(C_J).

induisent un isomorphisme :

RΓ(π⁻¹(C_I),Λ)^UJ/UI ∼

−→RΓ(π⁻¹(C_J), i^0∗_J⊂IRj^0◦_I∗Λ|_π⁻¹_(C

J)).

Preuve : Notonsc_I l’´el´ement de Coxeter deL_I d´efini dans 2.2. D’apr`es (2.2.1), on aCI ∼=XLI(cI).Consid´erons le diagramme suivant :

YLI( ˙cI)

i_cI

πLI

j_L⁰

I //YLI( ˙cI)

πLI

π⁻¹_L

I(CJ)

i⁰_L

oo I ,J

CI ∼=XL_I(cI)^{jLI //}XL_I(cI)^{oo iLI ,J}CJ ∼=XL_J(cJ)

π⁻¹(C_I) ^j

0◦

I //

π

77

π⁻¹(C_I)

π

77

π⁻¹(C_J)

77

i⁰_J⊂I

oo

D’apr`es la construction de Bonnaf´e et Rouquier ([BR09, Thm. 1.2 (d)]), il existe un morphisme canonique i<sub>cI</sub> :Y<sub>LI</sub>( ˙c<sub>I</sub>) π<sup>−1</sup>(C<sub>I</sub>) tel que π<sup>−1</sup>(C<sub>I</sub>) soit le quotient de YLI( ˙cI) par un sous-groupeN (qui est not´eNcI(Yc,cI) dansloc. cit.). Par hypoth`ese de r´ecurrence surLI,on a un isomorphisme donn´e par le morphisme de restriction :

RΓ(Y_LI( ˙c_I),Λ)^UJ/UI ∼

−→RΓ(π⁻¹_L

I(C_J), i^0∗_L

I,JRj_L⁰

I,∗Λ).

C’est ´equivalent `a dire que le morphisme suivant induit par restriction est un iso- morphisme

(3.3.2) RΓ(CI, πLI∗Λ)^UJ/UI ∼

−→RΓ(CJ, i^∗_LI,JRjLI,∗πLI∗Λ).

D’autre part, on a un diagramme commutatif RΓ(π⁻¹(C_I),Λ)^{UJ/UI //}

∼=

RΓ(π⁻¹(C_J), i^0∗_J⊂IRj_I∗^0◦Λ|_π−1(CJ))

∼=

RΓ(C_I, π∗(Λ_π⁻¹_(C

I)))^{UJ/UI //}RΓ(C_J, i^∗_L

I,JRj_LI,∗π∗Λ)

Notons que Λ_π⁻¹_(CI) = (icI,∗Λ)^N et l’action de UJ/UI commute avec celle de N, nous avons donc

RΓ(CI, π∗(Λ_π⁻¹_(CI)))^UJ/UI ∼

−→RΓ(CI, π∗(icI,∗Λ)^N)^UJ/UI

−→∼ RN(RΓ(CI, πLI∗Λ)^UJ/UI

−→∼ RN(RΓ(CI, πLI∗Λ)^UJ/UI), et

RΓ(CJ, i^∗_LI,JRjLI,∗π∗Λ) ∼

−→RΓ(CJ, i^∗_LI,JRjLI,∗(π∗(icI,∗Λ)^N))

−→∼ R_N(RΓ(C_J, i^∗_LI,JRj_LI,∗π_LI∗Λ)).

Notons que les isomorphismes ci-dessus sont compatibles avec les morphismes de restriction. En appliquant le foncteur d´eriv´e RN `a l’isomorphisme 3.3.2, on d´eduit un isomorphisme

RΓ(CI, π∗(Λ_π⁻¹_(CI)))^UJ/UI ∼

−→RΓ(CJ, i^∗_LI,JRjLI,∗π∗Λ).

Donc un isomorphisme

RΓ(π⁻¹(CI),Λ)^UJ/UI ∼

−→RΓ(π⁻¹(CJ), i^0∗_J⊂IRj^0◦_I∗Λ|_π⁻¹_(C

J)).

Revenons `a la preuve de la conjecture A’. Consid´erons la compactification par- tielleY( ˙c)<sup>I</sup> =Y( ˙c)`

π⁻¹(C_I). D’apr`es [BR09, Thm. 1.2 (a)], (Y( ˙c)<sup>I</sup>, π<sup>−1</sup>(C<sub>I</sub>)) est un couple lisse de codimension 1. Le th´eor`eme de puret´e relative ([SGA73, Exp.

XVI]) nous fournit un triangle distingu´e dansD^b_c(π⁻¹(CI),Λ) : Λ−→j_I^0∗Rj_∗⁰Λ−→Λ(−1)[−1]−→⁺¹ . ainsi qu’un diagramme commutatif :

RΓ(π⁻¹(CI),Λ) ^//

res.

RΓ(π⁻¹(CI), j_I^0∗Rj_∗⁰Λ) ^//

res.

RΓ(π⁻¹(CI),Λ(−1))[−1]

res.

//.

RΓ(π⁻¹(C_J), i^0∗_J⊂IRj^0◦_I∗Λ) ^//RΓ(π⁻¹(C_J), i^0∗_J⊂IRj_I∗^0◦j_I^0∗Rj_∗⁰Λ) ^//RΓ(π⁻¹(C_J), i^0∗_J⊂IRj_I∗^0◦Λ(−1))[−1] ^//. En vertu du lemme pr´ec´edent, ceci induit un isomorphisme :

RΓ(π⁻¹(CI), j_I^0∗Rj_∗⁰Λ)^UJ/UI ∼

−→RΓ(π⁻¹(CJ), i^0∗_J⊂IRj_I∗^0◦(j_I^0∗Rj⁰_∗Λ|_π−1(CI))) D’apr`es le lemme (3.2.2), i^0∗_JRj_∗⁰Λ = i^0∗_J⊂Ii^0∗_IRj_∗⁰Λ =i^0∗_J⊂IRj^0◦_I∗(j_I^0∗Rj_∗⁰Λ|_π⁻¹_(C

I)). On en d´eduit que

RΓ(Y( ˙c),Λ)^UJ = (RΓ(Y( ˙c),Λ)^UI)^UJ/UI

−→∼ RΓ(π⁻¹(C_I), j_I^0∗Rj_∗⁰Λ)^UJ/UI

−→∼ RΓ(π⁻¹(C_J), i^0∗_JRj_∗⁰Λ).

Ceci ach`eve le raisonnement par r´ecurrence.

4 Le cas o` u G = GL

( F

)

Dans cette section, nous d´etaillons les constructions de la section 2 lorsqueG= GL_d(Fq) le groupe lin´eaire de dimensiond.

4.1 L’espace de Drinfeld sur un corps fini

(4.1.1) Soient G = GL_d(Fq) et F l’endomorphisme de Frobenius standard (ai,j) 7→ (a^q_i,j). Via cette isog´enie, G admet une Fq-structure d´eploy´ee de sorte queG^F,le groupe des points fix´es parF,s’identifie `a GLd(Fq).Notons de plus que

B le sous-groupe de Borel de GLd(Fq) des matrices triangulaires sup´erieures, T le tore maximal des matrices diagonales. Le syst`eme de racines Φ est de typeAd−1, et

∆ ={α₁, . . . , αd−1} la base de Φ associ´ee `a B. On num´erotera ∆ de telle sorte que pouri∈ {1, . . . , d−1}, le paraboliqueP∆\{α_i} soit le stabilisateur d’un sous-espace de dimensioni de F^d_q.Le groupe de Weyl W s’identifie alors au groupe sym´etrique S_d, et nous choisissons l’´el´ement de Coxeter c = (1, . . . , d) ∈ S_d. D´esormais, on noteraT_d:=T^cF,et l’application (a_ij)_16i,j6d7→a₁₁ nous fournit un isomorphisme Td ∼

−→F^×_qd.

La vari´et´e projective G/B s’identifie `a l’ensemble F des drapeaux complets de l’espace vectorielF^dq :

F =

{0}=D₀ ⊂D₁ ⊂ · · · ⊂D_d=F^d_q | dim

F^qD_i =i .

En effet, G agit transitivement sur F et B s’identifie au stabilisateur du drapeau canonique

{0} ⊂D₁ ⊂D₂ ⊂ · · · ⊂D_d−1 ⊂F^dq

o`u D<sub>i</sub> est le sous-espace d´efini par X<sub>i</sub> = · · · = Xd−1 = 0, ∀1 6 i 6 d−1, et X0, . . . , Xd−1 d´esignent les coordonn´ees sous base canonique de l’espace vectoriel F<sup>d</sup>q.Via cette description, un drapeauD• appartient `a X(c) si et seulement si D_i = D₁⊕F(D₁)⊕ · · · ⊕Fⁱ⁻¹(D₁) pour touti(cf.[DL76, 2.2]). On obtient ainsi queX(c) s’identifie `a la sous-vari´et´e Ω^d−1

Fq de P^d−1_Fq d´efinie, dans les coordonn´ees projectives [X0 :. . .:Xd−1], par la non-nullit´e du d´eterminant det((X_i^qj)_06i,j6d−1).Autrement dit, Ω^d−1

Fq peut s’exprimer comme le compl´ementaire de tous les hyperplans Fq- rationnels dans P^d−1_Fq . Nous fixons ˙c l’´el´ement dont l’action sur la base canonique {e_i}_16i6d est donn´ee par ˙c(ei) =ei+1, ∀16i6d−1 et ˙c(ed) =e1.La vari´et´eY( ˙c) est finie ´etale sur Ω^d−1

Fq de groupe de GaloisT_d∼=F^×_qd.De plus, on peut identifierY( ˙c) avec la sous-vari´et´e DL^d−1de l’espace affineA^d_Fq = SpecFq[X₀, . . . , Xd−1] d´efinie par l’´equation det((X_i^qj)_06i,j6d−1)^q−1 = (−1)^d−1. En particulier, DL^d−1 est une vari´et´e affine et lisse.

(4.1.2) On d´esigne Ω^d−1_Fq la compactification de Ω^d−1

Fq (cf.2.1). Il est bien connu que Ω^d−1_Fq peut se construire par une suite d’´eclatements successifs de l’espace pro- jectifP^d−1_Fq (cf.[Ito05, 4.1]). Rappelons que siXest une vari´et´e etπ :Xe →X est un

´eclatement de X le long d’une sous-vari´et´e ferm´eeV, pour une sous-vari´et´e ferm´ee W non contenue dansV,le transform´e strictWf⊂Xe deW s’identifie `a l’adh´erence de Zariski de π⁻¹(W\V) dansX.e

Lemme.– On peut obtenir Ω^d−1_Fq de la fa¸con suivante : `a partir de l’espace pro- jectif P^d−1_Fq , on ´eclate tous ses points Fq-rationnels, et puis on ´eclate le long des transform´es stricts de toutes les droitesFq-rationnelles, et puis on ´eclate le long des transform´es stricts de tous les plans Fq-rationnels et ainsi de suite.