ECS1
Exercices: Espaces vectoriels de dimension nie
Exercice 1. DansR5 muni de la base canonique(ei)16i65, on donne les sous-espaces vectoriels : F1= Vect(e2, e5), F2= Vect(e3)et F3= Vect(e1, e4).
1. A-t-onR5=F1⊕F2⊕F3?
2. On donne u= 3e1+ 5e2−4e3+e5. Écrireucomme somme d'un vecteur deF1, deF2 et deF3. Cette écriture est-elle unique ?
Exercice 2. SoientF,Gles sous-espaces vectoriels deR3 suivants :
F ={(a, a, a)∈R3, a∈R}etG={(b+c, b, c)∈R3,(b, c)∈R2}.
Sont-ils supplémentaires ?
Exercice 3. DansR4, on donneε1= (1,0,1,1),ε2= (2,1,3,0),ε3= (1,−1,1,1).
1. Prouver que(ε1, ε2, ε3)est une famille libre deR4, la compléter pour obtenir une base deR4. 2. Déterminer un sous-espace vectoriel supplémentaire deG= Vect(ε1, ε2, ε3)dansR4.
Exercice 4. DansC3, on donne
H ={(x, y, z)∈C3,3x+ 4y+ 5iz= 0}.
H est-il un sous-espace vectoriel deC3? Si oui, en donner une base et déterminer un sous-espace supplémentaire deH dansC3.
Exercice 5. Soitm∈Ret e1= (1,1,0). On pose :
Fm={(x, y, z)∈R3, x−2y+z=m} etG= Vect(e1).
1. Déterminer les valeurs demtelles queFm soit un sous-espace vectoriel deR3 et en donner une base.
2. Prouver qu'alorsR3=Fm⊕G.
Exercice 6. Dans l'espace vectorielR3, on donne :
F ={(x, y, z)∈R3,2x−y+z= 0}et G={(x, y, z)∈R3, y+z= 0}.
1. Vérier queF etGsont des sous-espaces vectoriels de R3. 2. La sommeF+Gest-elle directe ?
3. Déterminer un sous-espace supplémentaire deF∩GdansF, que l'on noteraF1. 4. Déterminer un sous-espace supplémentaire de deF∩GdansG, que l'on noteraG1. 5. Prouver queR3=F1⊕(F∩G)⊕G1.
Exercice 7. Démontrer que l'ensemble E des suites arithmétiques à valeurs dans Rest un espace vectoriel.
Quelle est sa dimension ?
Exercice 8. SoitEl'ensemble des fonctions f :R→Rqui vérient : il existe (a, b, c)∈R3 tels que :
∀x∈R, f(x) = (ax2+bx+c) cos(x).
1. Montrer queE est un espace vectoriel surR. 2. Déterminer une base deE et sa dimension.
Exercice 9. Dans l'ensemble des applications dénies deRdansR, on donne les élémentsf0,f1,f2, f3 et f4 dénis par : pour tout réelx,
f0(x) = 1, f1(x) = cosx, f2(x) = cos2x, f3(x) = sinx et f4(x) = cos(2x).
Déterminer le rang de la familleS= (f0, f1, f2, f3, f4).
Exercice 10. Dans Rn[X], soitH l'espace vectoriel des polynômes admettant2 pour racine. Déterminer une base deH.H est-il un hyperplan deRn[X]?
Exercice 11. SoitE=R[X]. On poseF = Vect (X−1, X)et G={P ∈E|P(0) =P(1) = 0}. 1. Montrer queGest un espace vectoriel.
2. Montrer queF etGsont supplémentaires dansE.
Exercice 12. Soitnun entier naturel non nul, on se place dansMn(R). On noteSn(R)l'ensemble des matrices symétriques etASn(R)l'ensemble des matrices antisymétriques.
1. Vérier queSn(R)etASn(R)sont des sous-espaces vectoriels de Mn(R).
2. Sn(R)et ASn(R)sont-ils des sous-espaces vectoriels supplémentaires deMn(R)? 3. Dans la suite, on posen= 3. SoitAet B les matrices :
A=
2 −1 0
−3 1 −1
1 0 1
B =
−1 0 5 1 −1 −8
1 0 3
.
ÉcrireAet B comme sommes d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.
