Programme de colle série 9
ECS 1
Semaines du 8 et 15 mars
1 Espaces vectoriels de dimension nie - Cours et exercices
Espaces vectoriels de dimension nie, possibilité de modier une famille génératrice. Existence de bases en dimension nie. Dimension d'un espace vectoriel.
Cardinaux des familles libres et génératrices, condition pour avoir une base. Rang d'une famille.
Théorème de la base incomplète.
Sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension nie. Droites, plans et hyperplans.
Somme de deux sous-espaces vectoriels. Somme directe. Lien avec l'unicité de la décomposition.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires, décomposition selon des espaces supplémentaires, exis- tence d'un supplémentaire en dimension nie.
Formule de Grassman.
Caractérisation de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Somme et somme directe de k sous-espaces vectoriels. Caractérisation en dimension nie.
Démonstrations à connaître :
Modication d'une famille génératrice en remplaçant un de ses élément par un vecteurx6= 0E. Passage d'une famille libre/génératrice à une base via un argument de cardinal.
Existence d'un supplémentaire en dimension nie.
2 Étude asymptotique des suites - Cours et exercices
Attention : les équivalents et négligeabilités de fonctions n'ont pas encore été vus. Les développe- ments limités seront présentés plus tard dans l'année.
Suites équivalentes, dénition et caractérisation limuvn
n = 1.
Transitivité des équivalents, équivalents et limites, équivalents et signe de la suite.
Produit et quotient d'équivalents. Passage à la puissance.
Équivalents usuels pour une suite de limite nulle (exponentielle, sinus, cosinus, logarithme, puissance). Équivalent de nk
à kxé.
Suites négligeables, dénition et caractérisation limuvn
n = 0. Relation entre équivalence et négligeabilité.
Somme et produit de suites négligeables. Passage à la puissance, à la valeur absolue.
Transitivités des suites négligeables. Suite négligeable devant 1. Exemples de références et rappel des croissances comparées.
Démonstrations à connaître : Caractérisation limuvn
n = 1 pour les suites équivalentes.
Équivalents usuels (exponentielle, sinus, cosinus, logarithme, puissance).
Relation entre équivalence et négligeabilité.
