4 Espaces topologiques vectoriels

4 Espaces topologiques vectoriels

Il existe des exemples importants d’espaces vectoriels pour lesquels la notion naturelle de convergence n’est pas engendr´ee par une norme. C’est le cas, par exemple, de l’espace des fonctions continues ou holomorphes dans un ouvert.

Pour traiter ces cas, il est commode d’introduire la notion d’un espace (vectoriel) topologique. Ce chapitre est consacr´e `a l’´etude de ce type d’espaces.

4.1 Espaces topologiques

SoitX un ensemble quelconque et⌧ une famille de sous-ensembles de X. On dit que⌧ est unetopologie surX si il v´erifie les trois propri´et´es suivantes:

• ?, X2⌧;

• Stabilit´e par r´eunion quelconque: si{A↵}⇢⌧, alors[^↵A↵2⌧;

• Stabilit´e par intersection finie: siA1, A22⌧, alorsA1\A22⌧. Dans la suite, on ´ecrira (X,⌧) pour souligner la topologie surX. Un ensemble A⇢X est ditouvert (ferm´e) siA2⌧ (A^c2⌧), o`u A<sup>c</sup>=X\A. Lafermeture (ou l’adh´erence) deA, not´e ¯A, est d´efinie comme l’intersection de tous les ferm´es contenantAet l’int´erieurdeA, not´e ˚A, est la r´eunion de tous les ouverts inclus dansA. Tout ouvert contenant un point donn´e u2X est appel´e un voisinage de u. On dit que (X,⌧) est un espace de Hausdor↵ si tout couple de points distincts poss`edent des voisinages distincts.

Exemples4.1. (a)Tout espace m´etrique est un espace topologique de Hausdor↵.

(b) Sur tout ensemble X, il existe deux topologies triviales: ⌧ = {?, X}, la topologie grossi`ere, et⌧ ={tous les sous-ensembles deX}, la topologie dis- cr`ete.

(c) Etant donn´ee une famille´ F de sous-ensembles de X, on note ⌧(F) la topologie minimale contenant F. Il est facile `a v´erifier que ⌧(F) consiste des r´eunions quelconques des intersections finies d’´el´ements deF.

(d)SoitX= [0,1] et⌧={?ouX\B:B⇢X, Best au plus d´enombrable}. Alors (X,⌧) est un espace topologique, mais pas un espace de Hausdor↵.

Une partie A d’un espace topologique (X,⌧) est dite dense si tout ouvert de X contient un ´el´ement de A. Un espace topologique est dit s´eparable si il existe une suite dense. Un sous-ensemble⌧⁰⇢⌧est appel´ee unebase de topologie si tout ´el´ement de⌧est une r´eunion d’´el´ements de⌧⁰. Une famille de voisinages d’un point u2X est appel´ee unebase locale au point usi tout voisinage deu contient un ´el´ement de . SiY ⇢X, alors la famille des ensembles de la forme Y \AavecA2⌧ est une topologie surY, appel´ee latopologie induite.

Exemples 4.2. (a)Si (X, d) est un espace m´etrique s´eparable, alors la topologie engendr´ee pardposs`ede une base d´enombrable. Par exemple, on peut prendre toutes les boules ouvertesB(un, rk), o`u (un) ⇢X est une suite dense et (rk) d´esigne tous les rationnels positifs.

(b) Si X est un espace topologique qui poss`ede une base d´enombrable, alors X est s´eparable. En e↵et, pour construire une suite dense, il suffit de prendre une base d´enombrable⌧<sup>0</sup> et choisir un point dans chaque ´el´ement de⌧<sup>0</sup>. On dit qu’une suite (un)⇢ X converge vers u2 X si tout voisinage de u contient tous les ´el´ements de la suite `a partir d’un certain rang. Soit (Y, ) un autre espace topologique et f : X !Y une application. On dit quef est continue sif ¹(A)2⌧ pour toutA2 .

Exercice 4.3. Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes pour une applicationf :X !Y.

(a) f est continue;

(b) l’image r´eciproque parf d’un ferm´e deY est un ferm´e deX.

(c) pour tout u2X et tout voisinageU def(u) il existe un voisinage deV deutel quef(V)⇢U.

Montrer aussi que si tout point de X poss`ede une base locale d´enombrable, alorsf est continue si et seulement si pour toute suite (un)⇢X qui converge vers un ´el´ementu2X la suite (f(un)) converge dansY versf(u).

Rappelons qu’une famille{Bi, i2I}de sous-ensembles deX est appel´ee un recouvrement deA⇢X siA⇢ [i2IBi. Une partieA deX est ditecompacte si tout recouvrement deApar des ouverts contient un sous-recouvrement fini.

Proposition 4.4. Soit X un espace de Hausdor↵ et A ⇢ X un compact.

AlorsAest ferm´e.

D´emonstration. Il suffit de montrer que pour toutv2A^cil existe un voisinageV devtel queA\V =?. CommeX est un espace de Hausdor↵, pour toutu2A il existe deux ouvertsWuetVucontenant les pointsuetvtels queWu\Vu=?. Alors{Wu, u2A}est un recouvrement ouvert deA. Comme Aest compact, il existent{u1, . . . , un}⇢Atels queA⇢S

jWuj. On poseV =T

jVuj. AlorsV satisfait les propri´et´es requises.

4.2 Espaces vectoriels topologiques

On consid`ere maintenant le cas o`uX est un espace vectoriel. Pour simplifier les notations, on consid`ere le cas complexe; tous les r´esultats restent vrais dans le cas r´eels. Soit⌧ une topologie surX v´erifiant les deux propri´et´es suivantes:

• tout singleton {u}est un ferm´e deX;

• les op´erations d’addition et multiplication par un scalaire sont des appli- cations continues.

Dans ce cas, on appelle (X,⌧) unespace vectoriel topologique (EVT). Un sous- ensembleA⇢X est ditborn´e si pour tout voisinageV de z´ero il existes >0 tel que A ⇢tV pour tout t s. Un sous-ensemble A⇢X est dit convexe si

pour tousu, v2Ale segment [u, v] ={tu+ (1 t)v:t2[0,1]}appartient `aA.

Enfin, A⇢X est dit´equilibr´e si A⇢Apour tout 2Cv´erifiant l’in´egalit´e

| |1.

Proposition 4.5. SoitX un EVT,a2X et 6= 0. Alors les applications Ta(u) =u+a, M (u) = u, u2X, (4.1) sont des hom´eomorphismes de X.

D´emonstration. Le fait queTaetM sont des bijections est ´evident. Il est facile

`

a v´erifier que (Ta) ¹ =T a et (M ) ¹ =M1/ . La continuit´e des op´erations vectorielles implique que Ta et M sont des fonctions continues. Il s’ensuit queTa etM sont des hom´eomorphismes.

Une cons´equence imm´ediate de ce r´esultat est ce que la topologie est in- variante par translation et multiplication; c’est-`a-dire, un ensembleA⇢X est ouvert si et seulement siTa(A) (ouM (A)) l’est. Il s’ensuit que la topologie⌧ est enti`erement d´efinie par une base locale en z´ero. Dans la suite, unebase locale d’un EVT signifie une base locale au point z´ero.

Exercice 4.6. Montrer que si (X,⌧) est un EVT et⌧⁰ est une base locale, alors tout ouvertA2⌧est repr´esentable sous la formeA=[u2A(u+Vu), o`uVu2⌧⁰. D´efinition 4.7. Soit (X,⌧) un EVT. On dit que:

(a) X estlocalement convexesi il existe une base locale dont les ´el´ements sont convexes.

(b) X estlocalement born´esi le point z´ero poss`ede un voisinage born´e.

(c) X est localement compact si le point z´ero poss`ede un voisinage dont l’adh´erence est compacte.

(d) X estm´etrisable si sa topologie⌧est engendr´ee par une m´etriquedsurX.

(e) X est unF-espace si sa topologie est engendr´ee par une m´etrique invari- antedpar rapport `a laquelleX est complet.

(f ) X est unespace de Fr´echet siX est unF-espace localement convexe.

(g) Xestnormablesi il existe une norme surXdont la topologie est confondue avec⌧.

(h) X poss`ede la propri´et´e de Heine–Borel si tout ensemble ferm´e born´e est compact.

Exemples 4.8. Espace des fonctions continues. Soit D ⇢ R^d un ouvert et C(D) l’espace des fonctions continues f :D ! C. On note (Kn) une suite

croissante de compacts inclus dans D tels que [ⁿKn = D. On introduit les semi-normes¹

pn(f) = sup

x2Kn

|f(x)|, n 1.

Une base locale sur C(D) est d´efinie parU(n) = {f 2C(D) :pn(f) <1/n}. Une suite (fj)⇢C(D) converge vers z´ero pour cette topologie si les restrictions desfj `a tout ensemble compact deDconverge vers z´ero. Montrons que c’est un espace de Fr´echet. En e↵et, on introduit une fonctiond:C(D)⇥C(D)!R⁺ par la formule

d(f, g) = X1 n=1

2 ⁿ pn(f g)

1 +pn(f g). (4.2)

Il est facile `a v´erifier que c’est une m´etrique surC(D) et que sa topologie est confondue avec celle engendr´ee par la base locale{U(n), n 1}.

Espace des fonctions holomorphes. Soit D ⇢ C un ouvert et H(D) l’espace des fonctions holomorphes f : D ! C. Comme la limite localement uniforme d’une suite de fonctions holomorphes est holomorphe, H(D) est un sous-espace ferm´e deC(D). On voit queH(D) est un espace de Fr´echet.

Espaces des fonctions infiniment di↵´erentiables. Soit D ⇢ R^d un ouvert et (Ki) une suite croissante de compactsKi ⇢D telle queS

iKi =D.

On note C¹(D) l’espace des fonctions f : D ! C infiniment di↵´erentiables, avec une base locale (VN) donn´ee par

VN ={f 2C¹(D) :pN(f)<1/N}, pN(f) = max

|↵|N max

x2KN|@^↵f(x)|, o`u ↵= (↵1, . . . ,↵d)2 Z^d+, |↵| =↵1+· · ·+↵d et @^↵ =@_x^↵₁¹. . .@_x^↵₁^d. C’est un espace de Fr´echet v´erifiant la propri´et´e de Heine–Borel.

Espace L^p(D) avec 0< p < 1. SoitD⇢R^d un ouvert et L^p(D) l’espace des classes d’´equivalence de fonctions bor´eliennesf :D!Ctelles que

dp(f) :=

Z

D|f(x)|^pdx <1.

Il est facile `a voir que la fonctiondp(f, g) =dp(f g) d´efinit une m´etrique in- variante surL<sup>p</sup>(D). La d´emonstration du th´eor`eme de Riesz–Markov (voir§I.9 dans [Yos95]) reste vraie dans ce cas, et l’espaceL^p(D) est donc complet.

Exercice 4.9. Montrer queL^p(D) est unF-espace localement born´e.

Espaces locaux de Sobolev. Pourp2[1,+1] et un entierk 0, on note W_loc^k,p(R) l’espace de fonctions mesurablesf :R!C dont la restriction `a tout interval born´eI⇢Rappartient `aW^k,p(I). On munit cet espace de la m´etrique

dk,p(f, g) = X1 n=1

2 ⁿ kf gkW^k,p(In)

1 +kf gkW^k,p(In)

,

o`u In= ( n, n). Il est facile `a v´erifier que W^k,p(R) est un espace de Fr´echet.

1Rappelons qu’une fonctionpsur un espace vectorielX`a valeurs positives est appel´ee une semi-normesip( u) =| |p(u) etp(u+v)p(u) +p(v).

4.3 Propri´ et´ es de s´ eparation

Th´eor`eme 4.10. SoitX un EVT,K⇢X un compact etF ⇢X un ferm´e tels queK\F =?. Alors il existe un voisinage de z´eroV tel que

(K+V)\(F+V) =?.

Ce r´esultat implique imm´ediatement le corollaire suivant.

Corollaire 4.11. SoitX un EVT. Alors:

• X est un espace de Hausdor↵;

• tout ´el´ement d’une base locale B contient l’adh´erence d’un autre ´el´ement deB.

La d´emonstration du th´eor`eme 4.10 est bas´ee sur le lemme suivant.

Lemme 4.12. SoitW un voisinage de z´ero dans un EVTX. Alors il existe un voisinage de z´ero U ⇢X tel queU = U etU+U ⇢W.

D´emonstration. Comme 0 + 0 = 0, la continuit´e de l’addition implique qu’il existe un voisinage de z´ero V tel que V +V ⇢ W. Il est facile `a voir que U =V \( V) poss`ede les propri´et´es requises.

D´emonstration du th´eor`eme 4.10. Soitu2K. D’apr`es le lemme 4.12, il existe un voisinage de z´ero Vu tel que Vu = Vu et u+Vu+Vu+Vu ⇢ X\F. Il s’ensuit que

(u+Vu+Vu)\(F+Vu) =?. (4.3) CommeKest compact, il existe un ensemble fini {u1, . . . , un}⇢Ktel que

K⇢(u1+Vu1)[· · ·[(un+Vun).

SoitV =Vu1\· · ·\Vun. Alors K+V ⇢

[n

i=1

(ui+Vui+V)⇢ [n

i=1

(ui+Vui+Vui).

D’apr`es (4.3), les termes dans le membre de droite de cette inclusion n’ont pas d’intersection avecF+V, d’o`u le r´esultat.

Exercice4.13. Montrer que les propri´et´es suivantes sont vraies pour tout espace vectoriel topologiqueX.

(a) Si A⇢X, alors ¯A=T

V(A+V), o`u l’intersection est prise pour tous les voisinages de z´ero V.

(b) Si A, B⇢X, alors ¯A+ ¯B ⇢A+B.

(c) Si Y est un sous-espace vectoriel deX, alorsY l’est aussi.

(d) Si Aest convexe, alors ¯AetA le sont aussi.

(e) Si Aest born´e, alors ¯Al’est aussi.

(f ) Si A est ´equilibr´e, alors ¯A l’est aussi; si en plus 0 2 A , alors A est

´equilibr´e.

Th´eor`eme 4.14. Soit X un EVT et V un voisinage de z´ero. Alors les pro- pri´et´es suivantes ont lieu.

(a) Si (rn)⇢R^⇤+ est une suite croissante qui converge vers l’infini, alors X =

[1 n=1

rnV.

(b) Tout ensemble compact deX est born´e.

(c) Si ( n) ⇢R^⇤+ est une suite d´ecroissante et V est born´e, alors la famille { ⁿV, n 1} est une base locale deX.

D´emonstration. (a) Soit u 2 X. Comme l’application ↵ 7! ↵u est continue, l’ensemble {↵2 C: ↵u2V} est ouvert. En plus, il contient le point z´ero et doncu/rn 2V pourn 1, d’o`u on conclut queu2rnV.

(b) Remarquons d’abord qu’il existe une base locale de X compos´ee de voisinages ´equilibr´es. En e↵et, soit U ⇢ X un voisinage de z´ero. Comme l’application (↵, u)7!↵uest continue, il existe >0 et un voisinage de z´eroV tels que ↵u 2 U pour |↵| < et u 2 V. Soit W la r´eunion de tous ces ensembles ↵V, |↵| < . Alors W est un voisinage ´equilibr´e de z´ero contenu dansU.

Soit maintenantK⇢Xun compact etUun voisinage de z´ero. Alors il existe un voisinage ´equilibr´e W de z´ero tel que W ⇢ U. D’apr`es la propri´et´e (a), on a K ⇢ S

n 1nW. Comme K est compact et W est ´equilibr´e, il existe n1 < · · · < ns tels que K ⇢ n1W [· · ·[nsW = nsW. Si t > ns, alors K⇢tW⇢tU.

(c) SoitU ⇢X un voisinage de z´ero. Comme V est born´e, il existe s >0 tel queV ⇢tU pour t > s. Il s’ensuit queV ⇢ n¹U pour n <1/s. On voit queU contient les ensembles nV pourn 1.

Th´eor`eme 4.15. SoitX un EVT etA⇢X. AlorsAest born´e si et seulement si pour toutes suites(un)⇢A et(↵n)⇢Cv´erifiant↵n!0 on a ↵nun!0.

D´emonstration. Supposons d’abord queAest born´e. SiV ⇢Xest un voisinage

´equilibr´e de z´ero, alors A⇢tV pour t 1. La convergence↵n !0 implique qu’il existe un entierN 1 tel que|↵n|t <1 pour n N. Commet ¹A⇢V etV est ´equilibr´e, on conclut que↵nun2V pourn > N et donc↵nun !0.

Supposons maintenant que A n’est pas born´e. Alors il existe un voisinage de z´ero V ⇢ X et une suite rn ! +1tels que A n’est pas inclut dansrnV. Soitun 2A\(rnV). Alorsr_n¹!0 et r_n¹un 2/ V, ce qui signifie que la suite (r_n¹un) ne converge pas vers z´ero.

4.4 Espaces de dimension finie

Consid´erons l’espaceCⁿ munie de la norme

kzk= |z1|²+· · ·+|zn|^{2 1/2}, z= (z1, . . . , zn)2Cⁿ.

Il est bien connu que toutes les autres normes sont ´equivalentes `a k·k. Nous allons montrer que la topologie d´efinie park·kest la seule topologie vectorielle surCⁿ.

Th´eor`eme 4.16. SoitX un EVT et Y un sous-espace de dimension finie n.

Alors Y est ferm´e, et toute bijection lin´eaire de Cⁿ sur Y est un hom´eomor- phisme.

D´emonstration. La d´emonstration est par r´ecurrence. La propri´et´e ´enonc´ee est

´evidente pour n= 1. On suppose maintenant que n 2. Soit {e1, . . . , en} la base standard deCⁿ. Alors

L(↵1, . . . ,↵n) =↵1f1+· · ·+↵nfn, fk =Lek.

CommeLest une bijection lin´eaire, les vecteurs{f1, . . . , fn} forment une base deX. Il existe donc des fonctionnelles lin´eaires k :Y !Ctelles que

u= 1(u)f1+· · ·+ n(u)fn.

Il est facile `a voir queN( k) est un sous-espace deY de dimensionn 1. Par l’hypoth`ese de r´ecurrence, N( k) est ferm´e, et d’apr`es le th´eor`eme 4.20 (voir plus bas), k est continue. Comme

L ¹u= 1(u), . . . , n(u) , u2Y.

on conclut queL ¹ est continue aussi.

Il nous reste `a montrer que Y est un sous-espace ferm´e. Soit u2 Y. On note K =L(S), o`u S ⇢Cⁿ d´esigne la sph`ere unit´e. Alors K est compact, et il existe un voisinage de z´ero ´equilibr´e tel queV \K =?. Soit t >0 tel que u2tV. Alorsuappartient `a l’adh´erence de l’ensemble

Y \(tV)⇢L(tB)⇢L(tB),

o`u B ⇢Cⁿ d´esigne la boule unit´e. CommetB et donc son image L(tB) sont des ensembles compacts, on conclut que L(tB) est ferm´e. On obtient donc l’inclusionu2L(tB)⇢Y.

Th´eor`eme 4.17. Tout EVT localement compact est de dimension finie.

Corollaire 4.18. Tout EVT localement born´e v´erifiant la propri´et´e de Heine–

Borel est de dimension finie.

D´emonstration. SoitV ⇢X un voisinage born´e de z´ero. Alors son adh´erenceV est aussi born´ee et donc, d’apr`es la propri´et´e de Heine–Borel, elle est compacte.

On conclut que X est localement compact, et d’apr`es le th´eor`eme 4.17, on a dimX <1.

D´emonstration du th´eor`eme 4.17. SoitV ⇢X un voisinage de z´ero dont l’adh´e- rence est compacte. Comme V ⇢S

u2V(u+¹₂V), il existeu1, . . . , um2X tels que

V ⇢ [m

j=1

(uj+1

2V). (4.4)

SoitY l’espace vectoriel engendr´e paru1, . . . , um. Alors dimY m etY =Y. Si on montrer queV ⇢Y, alors on aura queX =Y.

Il s’ensuit de (4.4) queV ⇢Y+¹₂V. Comme Y =Y pour 6= 0, on obtient

1

2V ⇢Y +¹₄V, d’o`u on voit que V ⇢Y +1

2V ⇢Y +Y +1

4V =Y +1 4V.

Par r´ecurrence, on montre queV ⇢Y + 2 ⁿV et donc V ⇢

\1 n=1

(Y + 2 ⁿV).

Comme{2 ⁿV}est une base locale (voir le th´eor`eme 4.14), le membre de droite est confondue avecY.

4.5 Applications lin´ eaires

Soient X et Y deux EVT et f : X ! Y une fonction. On dit que f est un application lin´eaire si

f(↵u+ v) =↵f(u) + f(v) pour ↵, 2C,u, v 2X.

Une application lin´eaire deX dansCest appel´ee unefonctionnelle lin´eaire.

Exercice 4.19. Montrer que les propri´et´es suivantes ont lieu pour toute applica- tion lin´eaireL:X !Y.

• Si A⇢X est un sous-espace vectoriel (ou un ensemble convexe ou ´equili- br´e), alors la mˆeme propri´et´e est vraie pourL(A).

• Si B⇢Y est un sous-espace vectoriel (ou un ensemble convexe ou ´equili- br´e), alors la mˆeme propri´et´e est vraie pourL ¹(B).

Il est facile `a voir que la continuit´e d’une application lin´eaireL:X !Y au point z´ero implique sa continuit´e uniforme au sens suivant: pour tout voisinage de z´eroW ⇢Y il existe un voisinage de z´eroV ⇢X tel queLv 2Lu+W pour tout u, v 2X v´erifiant v 2 u+V. Le th´eor`eme suivant donne des conditions

´equivalentes pour la continuit´e d’une fonctionnelle lin´eaire.

Th´eor`eme 4.20. SoitX un EVT etL:X !Cune fonctionnelle lin´eaire non triviale. Alors les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:

(a) L est continue.

(b) Le sous-espace N(L) ={u2X :Lu= 0}est ferm´e.

(c) N(L)n’est pas dense dansX.

(d) L est born´e sur un voisinage de z´ero.

D´emonstration. (a))(b) Comme L est continue, l’image r´eciproque de tout ferm´e est ferm´e. En particulier,N(L) =L ¹({0}) est un espace vectoriel ferm´e.

(b))(c)Si N(L) est dense, alorsN(L) =X, et on obtient une contradic- tion avec l’hypoth`ese queLne soit pas triviale.

(c))(d)CommeN(L) n’est pas dense, il existe un voisinage de z´ero ´equili- br´eV ⇢X et un pointu2X tels que (u+V)\N(L) =?. AlorsL(V)⇢C est un voisinage ´equilibr´e de 02C. Si L(V) =C, alors il existev 2V tel que Lv = Lu, d’o`u on voit queu+v 2N(L). La contradiction obtenue montre queL(V) est born´e.

(d))(a)Il suffit de montrer queLest continue en z´ero. Soit">0. D’apr`es l’hypoth`ese, il existe un voisinage de z´ero V ⇢X tel que |Lu| 1 pour tout u2V. Alors|Lu|"pour toutu2"V.

Une application lin´eaire L : X ! Y est dite born´ee si l’image par L d’un ensemble born´e dansX est born´ee dansY.

Th´eor`eme 4.21. SoientX, Y des EVT etL:X!Y une application lin´eaire.

Alors chacune des propri´et´es ci-dessous implique la suivante:

(a) L est continue.

(b) L est born´ee.

(c) Si une suite (un)⇢X converge vers z´ero, alors (Lun)est born´ee.

Si, en plus, X est m´etrisable, et la m´etrique correspondante est invariante par translations, alors ces propri´et´es sont ´equivalentes `a la suivante:

(d) Si une suite (un)⇢X converge vers z´ero, alors Lun!0.

D´emonstration. (a))(b) SoitA un ensemble born´e etW ⇢ Y un voisinage de z´ero. CommeLest continue etL0 = 0, il existe un voisinage de z´eroV ⇢X tel que L(V)⇢W. CommeA est born´e, il existe t >0 tel que A ⇢sV pour s > t. Il s’ensuit queL(A)⇢L(sV) =sL(V)⇢sW pours > t, d’o`u on conclut queL(A) est born´e.

(b))(c)Comme les suites convergentes sont born´ees, on voit que (b) im- plique (c).

(c))(d)Supposons maintenant queX est m´etrisable et (un) est une suite qui converge vers z´ero. Montrons d’abord qu’il existe une suite ( n)⇢R⁺ qui converge vers +1 telle que nun ! 0. En e↵et, soit dune m´etrique dont la topologie est confondue avec celle de X. Comme d(un,0) ! 0, il existe une

suite croissante (nk) de nombres entiers telle que d(un,0)< k ² pour n nk. On pose n=kpour nkn < nk+1. Alors

d( nun,0) =d(kun,0)kd(un,0)< k ¹ pournkn < nk+1. On conclut que nun !0 quandn! 1.

D’apr`es (c), la suiteL( nun) est born´ee, d’o`u on voit queLun = _n¹L( nun) converge vers z´ero quandn! 1.

(d))(a) Si (a) est faux, alors il existe un voisinage de z´ero W ⇢Y telle queL ¹(W) ne contient pas de voisinage de z´ero dans X. Comme X poss`ede une base locale d´enombrable, il existe un suite (un)⇢X telle queun!0, mais Lun 2/ W et donc (Lun) ne converge pas vers z´ero. La contradiction obtenue termine la d´emonstration du th´eor`eme.

4.6 Semi-normes et convexit´ e locale

Enon¸cons d’abord (sans d´emonstration) le r´esultat suivant sur la m´etrisabilit´e d’un espace topologique; voir le th´eor`eme 1.24 dans [Rud73].

Th´eor`eme 4.22. SoitX un EVT avec une base locale d´enombrable. Alors il existe une m´etriquedsur X telle que:

(a) la topologie dedest confondue avec celle deX;

(b) les boules ouvertes de centre z´ero sont des ensembles ´equilibr´es;

(c) d est invariante par translations; c’est-`a-dire, d(u+w, v+w) = d(u, v) pour tousu, v, w2X.

De plus, si X est localement convexe, alors on peut construire dqui v´erifie en plus la propri´et´e suivante :

(d) les boules ouvertes sont convexes.

On ´etudie maintenant la question d’existence d’une norme qui est compat- ible avec la topologie d’un EVT. Pour cela, on aura besoin de la notion d’une fonctionnelle de Minkowski.

D´efinition 4.23. Un ensemble A⇢X est ditabsorbant si pour toutu2X il existet=t(u)>0 tel queu2tA. Lafonctionnelle de Minkowskid’un ensemble absorbant est d´efinie par la relation (2.12) (dans laquelleK=A.

Exercice4.24. SoitXun EVT etpune semi-norme surX. ´Etablir les propri´et´es suivantes:

(a) p(0) = 0 et|p(u) p(v)|p(u v) pour tousu, v2X. (b) L’ensemble{u2X:p(u) = 0}est un sous-espace vectoriel.

(c) L’ensemble B ={u2X :p(u)1} est convexe, ´equilibr´e et absorbant.

De plus, la fonctionnelle de Minkowski deB est confondue avecp.

Proposition 4.25. SoitAun ensemble convexe absorbant dans un espace vec- torielX. Alors les propri´et´e suivantes ont lieu.

(a) µA(u+v)µA(u) +µA(v)pour tousu, v2X. (b) µA(tu) =tµA(u)pouru2X ett 0.

(c) Si Aest ´equilibr´e, alors µA est une semi-norme.

(d) Si B = {u 2 X : µA(u) < 1} et C = {u 2 X : µA(u)  1}, alors B⇢A⇢C et µA=µB =µC.

D´emonstration. (a)Pour toutu2X, on poseHA(u) ={t >0 :t ¹u2A}. Si t2HA(u), alorss2HA(u) pour touts > t. Il s’ensuit queHA(u) = [µA(u),1[ ouHA(u) = ]µA(u),1[.

Soit maintenant s > µA(u) ett > µA(v). Alorss ¹u2A, t ¹v 2A, et la convexit´e deA implique que

(t+s) ¹(u+v) = s

s+t(s ¹u) + s

s+t(t ¹v)2A.

On voit queµA(u+v)s+t. Commesett´etaient quelconques, on obtient le r´esultat cherch´e.

La propri´et´e (b) est ´evidente, et (c) est une cons´equence de (a) et (b).

(d) Si µA(u) < 1, alors 1 2 HA(u) et donc u 2 A. De plus, si u 2 A, alors µA(u)  1, et on conclut que B ⇢ A ⇢ C. Cette inclusion implique queHB(u) ⇢HA(u)⇢HC(u) et donc µC(u) µA(u)µB(u). Pour ´etablir l’´egalit´e cherch´ee, il suffit de d´emontrer que µB(u)µC(u).

Soit µC(u) < s < t. Alors s ¹u 2 C et µA(s ¹u)  1. Il s’ensuit que µA(t ¹u)^st <1. On voit quet ¹u2B,µB(t ¹u)1 etµb(u)t. Comme t > µB(u) ´etait quelconque, on obtient le r´esultat cherch´e.

Il se trouve que tout espace localement convexe poss`ede une famille de semi- normes qui s´epare<sup>2</sup> les points. R´eciproquement, toute famille de semi-normes qui s´epare les points peut ˆetre utilis´ee pour d´efinir une topologie sur X par rapport `a laquelle les semi-normes sont continues. Ces r´esultats sont d´emontr´es dans les deux th´eor`emes suivants.

Th´eor`eme 4.26. SoitBune base locale compos´ee de voisinages convexes ´equili- br´es. AlorsV ={u2X:µV(u)<1}pour toutV 2B, et{µV, V 2B}est une famille de semi-normes continues qui s´epare les points.

D´emonstration. Si u2V, alors il existet <1 tel queu/t2V. Il s’ensuit que µV(u)<1. Siµ /2V, alors l’inclusionu/t 2V implique que t 1, car V est

´equilibr´e, et doncµV(u) 1.

2On dit qu’une famille de semi-normesP sur un espace vectorielX s´epare les points si pour toutu2X il existep2Ptel quep(u)6= 0.

La proposition 4.25 montre queµV est une semi-norme. On fixe maintenant

">0. Siu v2"V, alors il s’ensuit du point (a) de l’exercice 4.24 que

|µV(u) µV(v)|µV(u v)<",

d’o`u on conclut que µV est continu. Siu2X est un ´el´ement non nul, alors il existeV 2Btel queu /2V, et doncµV(u) 1. On conclut que la famille{µV} s´epare les points.

Th´eor`eme 4.27. SoitX un espace vectoriel et P une famille de semi-normes qui s´epare les points. On note B la famille de toutes les intersections finies d’ensembles de la forme

V(p, n) ={u2X :p(u)<1/n}, p2P, n 1.

AlorsBest une base locale d’une topologie localement convexe surX telle que (a) toute semi-norme p2P est continue;

(b) un sous-ensemble A ⇢X est born´e si et seulement si toute semi-norme p2P est born´ee surA.

D´emonstration. On note⌧ la famille des r´eunions quelconques de translations d’´el´ements de B. Alors ⌧ est une topologie sur X invariante par translations, les ´el´ements deBsont convexes et ´equilibr´es et forment une base locale pour⌧.

Nous allons montrer que (X,⌧) est un espace vectoriel et que les propri´et´es (a) et (b) ont lieu.

Montrons que des singletons sont ferm´es. En e↵et, soitu2X,u6= 0. Alors il existep2P tel quep(u)6= 0. Commeu /2V(p, n) pournp(u)>1, le point z´ero est dans le voisinage u V(p, n) de u, et donc u n’est dans l’adh´erence de u. On conclut que {0} est ferme. Comme la topologie est invariant par translations, tous les singletons sont ferm´es.

Montrons que l’addition est continue. SoitU un voisinage de z´ero. Alors il existep1, . . . , pk2P etn1, . . . , nk 1 tels que

U V(p1, n1)\· · ·\V(pk, nk). (4.5) SoitV =V(p1,2n1)\· · ·\V(pk,2nk). Alors la subadditivit´e des seminormesp implique que V +V ⇢ U. On obtient donc la continuity de l’addition au point (0,0) et, par invariance, en tout point (u, v)2X⇥X.

Montrons que la multiplication par un scalaire est continue. Soit u2 X,

↵2Cet U, V les voisinages d´efinis ci-dessous. Alorsu2sV pour uns >0. Si

| ↵| <1/s et v 2u+tV, o`u t = <sub>1+|↵|s</sub><sup>s</sup> , alors l’in´egalit´e| |t 1 et le fait queV est ´equilibr´e impliquent que le vecteur v ↵u= (v u) + ( ↵)u appartient `a l’ensemble

| |tV +| ↵|sV ⇢V +V ⇢U.

Nous avons ´etablit que X est un EVT localement convexe. La d´efinition deV(p, n) implique que toutp2P est continu en z´ero. Il s’ensuit de lin´egalit´e

|p(u) p(v)|p(u v) quepest continu surX et donc (a) est vrai.

Montrons enfin la propri´et´e (b). Supposons queAest born´e. On fixep2P. CommeV(p,1) est un voisinage de z´ero, on aA⇢kV(p,1) pour un entierk 1.

On voit que p(u) < k pour u 2 A, ce qui signifie que p est born´e sur A.

R´eciproquement, soit A ⇢ X un sous-ensemble tel que tout p 2 P est born´e surA. SoitU un voisinage de z´ero, v´erifiant (4.5). SoitMi>0 tel quepi< Mi

sur A. Alors pour n > max{n1M1, . . . , nkMk} on a A ⇢ nU, et on conclut queAest born´e.

Th´eor`eme 4.28. SoitX un EVT. AlorsX est normable si et seulement si son origine poss`ede un voisinage convexe born´e.

D´emonstration. Il est clair que sik·kest une norme sur l’espaceX qui engendre sa topologie, alors la boule{u2X:kuk<1} est un voisinage born´e de z´ero.

Supposons maintenant que X poss`ede un voisinage convexe born´e de z´ero.

Supposons que nous avons construit un voisinage de z´eroU ⇢V convexe ´equili- br´e. Comme U ⇢ V, U est born´e aussi. On pose kuk = µU(u). Montrons quek·kest une norme et que la topologie est confondue avec celle de X.

D’apr`es le th´eor`eme 4.14, les ensembles {rU, r >0}forment une base locale de X. Siu6= 0, alors il existe r >0 tel que u /2 rU et kuk r. La proposi- tion 4.25 implique quek·kest une norme. De plus,{u2X :kuk< r}=rU, et on voit que la famille de boules pour la normek·k d´efinit la mˆeme base locale que{rU}. Il s’ensuit que les topologies correspondantes sont confondues.

Il nous reste `a construire U. On d´efinit A = T

|↵|=1(↵V). Nous allons montrer que l’int´erieur deA, not´eU, v´erifie les propri´et´es requises. Il est clair queA est convexe et, d’apr`es l’exercice 4.13, son int´erieur l’est aussi. De plus, l’argument utilis´e dans la d´emonstration du th´eor`eme 4.14 montre qu’il existe un voisinage de z´eroW inclut dansA. Si | |1, alors

A= \

|↵|=1

( ↵V) =| | \

|↵|=1

(↵V)⇢ \

|↵|=1

( ↵V) =A,

d’o`u on conclut queAest ´equilibr´e. Comme 02W ⇢U, d’apr`es l’exercice 4.13 on a queU est ´equilibr´e.

4.7 Espaces produits et espaces quotients

Soient (X1,⌧1) et (X2,⌧2) deux EVT. Alors il existe une topologie naturelle⌧ sur le produit direct X1⇥X2: on d´efinit⌧ comme la topologie engendr´ee par les ensembles U1⇥U2, o`u Ui 2 ⌧i, i = 1,2. On appelle (X,⌧) le produit des espacesX1et X2.

Exercice 4.29. Montrer que si Xi,i= 1,2, sont deux EVT qui poss`edent l’une des propri´et´es mentionn´ees dans la d´efinition 4.7, alors leur produit X1⇥X2

v´erifie la mˆeme propri´et´e.

On d´efinit maintenant l’espacequotient et sa topologie. Soit (X,⌧) un EVT et N ⇢X un sous-espace ferm´e. On noteX/N l’espace quotient (de X mod- ulo N) et ⌧N la famille de sous-ensembles A ⇢X/N tels que ⇡ ¹(A) 2⌧, o`u

⇡:X !X/N le projecteur naturel.

Th´eor`eme 4.30. Soit (X,⌧) un EVT et N un sous-espace ferm´e. Alors les propri´et´es suivantes ont lieu.

(a) La famille ⌧N est une topologie sur l’espaceX/N. De plus, l’application

⇡:X!X/N est lin´eaire, continue et ouverte.³

(b) Si B est une base locale pour X, alors la famille {⇡(V), V 2B} est une base locale dans X/N.

(c) SiXest localement convexe (localement compact, localement born´e, m´etris- able avec une m´etrique invariante, normable), alors X/N l’est aussi.

(d) Si X est un F-espace (espace de Fr´echet, de Banach), alors il en est de mˆeme pour X/N.

Dans la suite, on appelle ⌧N latopologie quotient.

D´emonstration. (a)Il est facile `a voir que ⇡ ¹(AT

B) =⇡ ¹(A)T

⇡ ¹(B) et

⇡ ¹(S

↵A↵) =S

↵⇡ ¹(A↵), d’o`u on conclut que⌧N est une topologie. Comme

⇡ ¹(⇡(u)) =u+N et u+N est ferm´e, l’ensemble {⇡(u)} est ferm´e aussi. La d´efinition implique imm´ediatement que⌧N est invariante par translations. Pour prouver que⌧N est topologie vectorielle, il suffit donc montrer que l’addition est continue au point (0,0) et la multiplication est continue en tout point. Nous nous contentons de donner la preuve de la premi`ere assertion, car la d´emonstration de la deuxi`eme est similaire.

Remarquons d’abord⇡ est une application ouverte. En e↵et, siV ⇢X est un ouvert, alors⇡ ¹(⇡(V)) =V +N l’est aussi, et donc⇡(V)2⌧N. SoitW un voisinage de z´ero dansX/N. Alors il existe un voisinage de z´eroV ⇢X tel que V +V ⇢⇡ ¹(W). Il s’ensuit que ⇡(V) +⇡(V)⇢W, et comme⇡ est ouvert,

⇡(V) est un voisinage de z´ero dansX/N.

La lin´earit´e et continuit´e de⇡sont cons´equences imm´ediates de la d´efinition.

(b)SiW ⇢X/N est un voisinage de z´ero, alors⇡ ¹(W) contient un ouvert V 2B. Comme⇡est ouvert, on voit que⇡(V)⇢W est un voisinage de z´ero.

(c) Si V est convexe, alors ⇡(V) l’est aussi, et on voit que l’image par ⇡ d’une base locale convexe de X est une base locale convexe dans X/N. De mˆeme, si V ⇢ X est un voisinage born´e de z´ero, alors ⇡(V) est un voisinage born´e.

Montrons maintenant que siX est m´etrisable, avec une m´etrique invariante par translations, alorsX/N poss`ede les mˆemes propri´et´es. En e↵et, soitdune m´etrique invariante qui engendre la topologie deX. On d´efinit

dN(a, b) = inf

⇡(u)=a,⇡(v)=bd(u, v). (4.6)

3C’est-`a-dire, l’image d’un ouvert est ouverte.

Il est facile `a voir que c’est une m´etrique invariante sur X/N. De plus,

⇡ B(0, r) ={a2X/N :dN(a,0)< r},

d’o`u on voit que les boules de centre z´ero forment une base locale de la topolo- gie⌧N. Il s’ensuit quedN engendre⌧N.

Enfin, sik·kest une norme surX compatible avec⌧, alors la fonction kak^N = inf

u2⇡ ¹(a)kuk (4.7)

d´efinit une norme surX/N qui engendre la topologie⌧N.

(d) Comme (4.6) et (4.7) donnent des formules explicites pour la m´etrique et la norme dansX/N associ´ees `a celles de l’espaceX, pour ´etablir (d), il suffit de montrer que siX est complet, alorsX/N l’est aussi.

Soit (an)⇢X/N une suite de Cauchy. Alors il existe une suite extraite (ank) telle que dN(ank, ank+1) < 2 ^k. On choisit uk 2 X tels que ⇡(uk) = ank et d(uk, uk+1)<2 ^k. Comme (X, d) est complet, la suite (uk) converge vers une limite u, et la continuit´e de⇡ implique que ank ! ⇡(u). Comme (an) est de Cauchy, il s’ensuit que toute la suit (an) converge vers⇡(u).

Exercice 4.31. SoitX un EVT,N un sous-espace ferm´e etF un sous-espace de dimension finie. AlorsN+F est ferm´e.

Exercice 4.32. SoitX un EVT,pune semi-norme surX et N ={u2X :p(u) = 0}.

Montrer queN est un sous-espace et que la fonction ˜p(⇡(u)) =p(u) d´efinit une norme sur l’espace quotientX/N.

4.8 Exemples

Espace C(D). Nous avons ´etablit dans l’exemple 4.8 queC(D) est un espace de Fr´echet avec une m´etrique d´efinie par (4.2). Montrons maintenant que cet espace ne poss`ede pas la propri´et´e de Heine–Borel, n’est pas localement born´e et n’est pas normable.

En e↵et, un sous-ensembleA⇢C(D) est born´e si et seulement si pour tout n 1 il existe Rn >0 tel quepn(f)Rn pour toutf 2A. Sif :R^d !Rest une fonction non constante 1-p´eriodique par rapport `a tous ses arguments, alors la suite f(nx) est born´ee, mais ne contient pas de suite extraite convergente.

On conclut donc que C(D) n’a pas la prorpi´et´e de Heine–Borel. Si on montre que l’espaceC(D) n’est pas localement born´e, alors on peut conclure, d’apr`es le th´eor`eme 4.28, qu’il n’est pas normable. Les ensemblesU(n) ={pn(f)<1/n} forment une base de la topologie, et siV est un voisinage born´e, alors il existe n 1 tel queU(n)⇢V. Il est facile `a voir queU(n)6⇢kU(n+ 1) quelque soit k 1. Il s’ensuit queU(n) n’est pas born´e.

Espace C¹(D). D’apr`es l’exemple 4.8, cet un espace de Fr´echet. Comme les ouvertVN forment une base locale, un sous-ensembleA⇢C¹(D) est born´e si et seulement si il existe une suite{CN}⇢R⁺ telle que

pN(f) = max

|↵|N max

x2KN|@^↵f(x)|CN pour toutf 2A. (4.8) Il s’ensuit que si Aest born´e, alors toutes les d´eriv´ees des fonctions deAsont uniform´ement born´ees et ´equicontinues sur tout compactK⇢D. Le th´eor`eme de Arzel`a–Ascoli (voir§3.4) implique que l’adh´erence deAest compact. D’apr`es le corollaire 4.18, l’espaceC<sup>1</sup>(D) ne peut pas ˆetre localement born´e, car dans le cas contraire il serait de dimension finie. Le th´eor`eme 4.28 implique queC¹(D) n’est pas normable.

EspaceL^p(I)avec0< p <1etI= (0,1). D’apr`es l’exemple 4.8,L^p(I) est unF-espace. Comme les boulesBp(r) ={f 2L^p(I) :dp(f)< r} forment une base locale de la topologie etBp(1) =r ^1/pBp(r) pour toutr >0, la bouleBp(1) est born´ee. On conclut queL^p(I) est localement born´e.

Montrons que l’espace L^p(I) n’a pas d’ouvert convexe di↵´erent de L^p(I).

(En particulier,L^p(I) n’est pas localement convexe.) SoitV 6=?un voisinage de z´ero convexe. Alors il existe r > 0 tel que Bp(r) ⇢ V. Soit f 2 L^p(I).

Alors il existe un entier n 1 tel que n^{p 1}dp(f) < r. On choisit des points x0= 0< x1< x2<· · ·< xn= 1 tels que

Z xi

xi 1

|f(x)|^pdx=n ¹dp(f), 1in. (4.9) Alors les fonctionsgi d´efinies par

gi(x) =

⇢ nf(x) pourx2[xi 1, xi], 0 dans le cas contraire

appartient `a la bouleBret donc `a l’ouvertV. CommeV est convexe, la fonction f = ¹_n(g1+· · ·+gn) appartient `aV. On conclut queV =L^p(I).

L’absence d’ouverts convexes implique qu’il n’y a pas de fonctions lin´eaires continues non nulles surL^p(I) `a valeurs dans un espaceY localement convexe.

En e↵et, soitK:X!Y une telle fonction,B une base locale deY etW 2B. Alors K ¹(W) est un ouvert convexe non vide et donc K ¹(W) = L^p(I). Il s’ensuit que K L^p(I) ⇢ W pour tout W 2 B, d’o`u on conclut que Kf = 0 pour toutf 2L^p(I).