3 Espaces fonctionnels 3.1 Topologie d’un espace m´etrique

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3 Espaces fonctionnels

3.1 Topologie d’un espace m´ etrique

Soit (X, d) un espace métrique; c’est-à-dire, X est un ensemble quelconque et d: X⇥X !R⁺ est une fonction vérifiant les trois propriétés suivantes pour tousu, v, w2X:

S´eparation de points: d(u, v) = 0 si et seulement siu=v;

Sym´etrie: d(u, v) =d(v, u);

In´egalit´e triangulaire: d(u, v)d(u, w) +d(w, v).

On appelle d une m´etrique (ou une distance) surX. Rappelons qu’une boule ouvertede centre u2X et de rayon r >0 est d´efinie par

B(u, r) ={v2X :d(u, v)< r}.

Un ensembleA⇢X est ditouvert si pour tout pointu2A il existe une boule ouverteB⇢X de centreutelle queB ⇢A. Un ensembleA⇢X est dit fermé si son complémentaire est ouvert. Un espace métrique est ditcomplet si toute suite de Cauchy possède une limite. Si Y est un autre espace métrique, alors une fonctionf :X !Y est ditecontinue si pour toutu2X et ">0 il existe un >0 tel que

v2X, dX(u, v)< =) dY f(u), f(v) <", où on écritdX etdY pour les métriques deX etY.

Exercice 3.1. SoitX et Y des espaces m´etriques et f : X ! Y une fonction.

Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:

• f est continue;

• Si (un)n 1⇢Xest une suite convergente, alors (f(un))n 1converge aussi;

• L’image réciproque par f de tout ensemble ouvert (fermé) est ouverte (fermée);

• Pour toutu2X et tout ouvertU ⇢Y contenantf(u) il existe un ouvert V ⇢X tel queu2V etf(V)⇢U.

Tout espace vectoriel normé X est un espace métrique. Dans ce cas, la métrique est donnée par la formuled(u, v) =ku vk, oùk·k désigne la norme deX.

Exercice3.2. Montrer que dans un espace vectoriel norm´e les op´erations d’addi- tion et de multiplication par un scalaire sont continues.

D´efinition 3.3. Un espace m´etrique X est dit compact si tout recouvrement deX par des ouverts contient un sous-recouvrement fini. En d’autres termes, siX =S

↵U↵, o`u U↵ ⇢X sont des ouverts, alors il existe ↵1, . . . ,↵n tels que Sn

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Exercice 3.4. Soient X et Y des espaces métriques. Montrer que siY est compact, alors toute fonction F : X !Y avec un graphe fermé est continue. En particulier, siX, Y sont des espace métriques compacts etF :X !Y est une bijection continue, alors l’inverse deF est continue.

Exemples 3.5. Fonctions continues born´ees. SoitD ⇢R^d un ouvert. On noteC(D) l’espace des fonctions continuesf :D!Ctelles que

kfk^L¹ := ess sup

x2D |f(u)|<1. (3.1) AlorsC(D) munie de la normek·k^L¹ est un espace de Banach.

Espaces de Lebesgue. Soit p 2 [1,+1] et D ⇢ R^d un ouvert. On noteL^p(D) l’espace des fonctions bor´eliennesf :D!Ctelles que

kfk^L^p=

✓Z

D|f(x)|^pdx

◆1/p

<1. (3.2)

Dans le casp=1, cette norme est remplac´ee parkfk^L¹.

Espaces de Sobolev. SoitI= (a, b) un intervalle (qui peut ˆetre non born´e).

Rappelons qu’une fonction continuef :I !Cest diteabsolument continue si il existe une fonction borélienneg :I!Cintégrable sur tout intervalle borné J ⇢Itelle que

f(x) =C+ Z x

x0

g(y) dy, x2I,

où C est un nombre complexe etx0 2I. On appelleg ladérivée de f et l’on noteg =f⁰. Soit p2[1,+1]. L’espace de SobolevW^1,p(I) est définit comme l’ensemble de fonctions absolument continues dont la dérivée appartient àL^p(I).

Cet espace est muni de la norme

kfk^W^1,p = kfk^pL^p(I)+kf⁰k^pL^p(I) 1/p.

Les espaces de Sobolev d’ordre supérieur sont définit par récurrence. Plus pré- cisément, pour un entierk 2 on introduit l’espace

W^k,p(I) ={f 2W^1,p(I) :f⁰2W^k ^1,p(I)} muni de la norme

kfkW^k,p(I)=

✓X^k

j=0

kf^(j)k^pL^p(I)

◆1/p

,

où f^(j)désigne lajî`ême dérivée def.

Exercice 3.6. Montrer que les espaces consid´er´es dans l’exemple 3.5 sont des espaces de Banach.

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3.2 Th´ eor` eme de Weierstrass

Théorème 3.7. Soit[a, b]⇢Run intervalle borné etf : [a, b]!Rune fonction continue. Alors il existe une suite de polynômes{Pn} tel que

kf Pnk^L¹ !0 quandn! 1. (3.3)

Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer que [a, b] = [0,1] et quef(0) =f(1) = 0. On continuef surR\[0,1], en obtenant ainsi une fonction uniformément continue surRà support dans [0,1].

On d´efinit Qn(x) =cn(1 x²)ⁿ, aveccn >0 tel que Z 1

1

Qndx= 1. (3.4)

Il est facile à voir que cette condition implique l’inégalitécn< ⁿ⁺¹₂ . Il s’ensuit que, pour tout >0,

sup

|y|1|Qn(y)|!0 quandn! 1. (3.5) On d´efinit maintenant

Pn(x) = Z 1

1

f(x+y)Qn(y) dy= Z 1

0

f(y)Qn(x y) dy, x2[0,1].

AlorsPn est un polynôme. Montrons que la suite{Qn} converge versf unifor- mément sur [0,1]. En e↵et, soit ">0. Commef est uniformément continu, il existe >0 tel que

|y| =) |f(x+y) f(x)|"/2. (3.6)

Pour toutx2[0,1], on a

|f(x) Pn(x)| Z

R|f(x+y) f(x)|Qn(y) dy



✓Z

|y|

+ Z

|y|1

◆

|f(x+y) f(x)|Qn(y) dy, où on a utilisé (3.4). Il s’ensuit de (3.4) et (3.6) que la première intégrale est majorée par"/2 pour tout net x. D’autre part, la convergence (3.5) implique que la deuxième intégrale converge vers zéro uniformément enxquandn! 1. On conclut que|f(x) Pn(x)|"pour n 1 et toutx2[0,1].

Corollaire 3.8. Il existe une suite de polynˆomes Pn telle que Pn(0) = 0 pour toutn 1 etPn(x)!|x|quandn! 1uniform´ement enx2[ a, a]pour tout a >0.

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3.3 Th´ eor` eme de Stone–Weierstrass

Le théorème de Weierstrass démontré ci-dessous permet d’établir un résultat plus général, appelé le théorème de Stone–Weierstrass, qui implique, en particulier, la densité de des polynômes dans l’espace C(D) pour tout domaine bornéD⇢R^d. Pour énoncer ce résultat, on introduit d’abord quelques défini- tions.

D´efinition 3.9. Soit X un espace m´etrique compact et C(X) l’espace des fonctions continuesf :X !Cmuni de la norme

kfk^L¹ = sup

u2X|f(u)|.

Un sous espaceA⇢C(X) est appelé unealgèbresif g2Apour toutes fonctions f, g 2 A. On dit qu’une algèbre A ⇢ C(X) sépare les points si pour tous u, v2X,u6=v, il existef 2Atel que f(u)6=f(v).

Théorème 3.10(théorème de Stone–Weierstrass). SoitX un espace métrique compact et A ⇢ C_R(X) une algèbre fermée qui sépare les points. Alors soit A = C_R(X), soit il existe v 2 X tel que A = {f 2 C_R(X) : f(v) = 0}. En particulier, si la fonction1identiquement égale à1 appartient àA, alors Aest confondue avecC_R(X).

Nous n’allons considérer que le cas particulier où12A. Dans cette situation le théorème est conséquence des deux propositions suivantes:

Proposition 3.11. SoitA⇢CR(X) une alg`ebre. Alors min(f, g),max(f, g)2 Apour toutes fonctions f, g2A.

Proposition 3.12 (théorème de Kakutani–Krein). SoitL ⇢C_R(X) un sous- espace vectoriel fermé qui sépare les points, contient la fonction1et est tel que min(f, g),max(f, g)2Lpour toutes fonctions f, g2L. Alors L=C_R(X).

Démonstration de la proposition 3.11. Comme max(f, g) =¹₂|f g|+¹₂(f+g) et min(f, g) = max( f, g), il suffit de montrer que sif 2A, alors|f|2A. Sans perte de généralité, on peut supposer quekfk^L¹ 1. D’après le théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes{Pn}telle que sup_xPn(x) |x| !0 quand n! 1, où la borne supérieure est prise par rapport à x2[ 1,1]. On peut supposer que Pn(0) = 0 pour tout n 0; dans le cas contraire, il suffit de remplacerPn parPn Pn(0). Alors kPn(f) |f|k^L¹ !0 quand n! 1. CommeAest un algèbre etPn(0) = 0, on aPn(f)2A, et commeAest fermée, on conclut que|f|2A.

D´emonstration de la proposition 3.12. Soit g 2 C_R(X) une fonction et " > 0 quelconque. On cherche f 2 L tel quekf gk^L¹ ". Supposons que pour tout u 2 X il existe fu 2 L tel que fu(u) = g(u) etg  fu+". Pour tout u2X il existe un voisinageVu tel queg(u) fu(u) "pour u2Vu. Comme

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S

u2XVu est un recouvrement du compactX, il existeu1, . . . , un 2X tels que S

jVuj =X. On d´efinitf = min(fu1, . . . , fun). Alors

f(u) +"= min(fuj(u), j= 1, . . . , n) +" g(u) pour toutu2X.

D’autre part, pour toutu2X il existe un entierj tel que u2Vuj. Il s’ensuit

que f(u) "  fuj(u) "  g(u). Ces deux inégalités impliquent le résultat

cherch´e.

Il nous reste `a construire les fonctions fu 2L. Comme Ls´epare les points et 12 L, pour tous points u, v 2 X il existe fuv 2 L tel que fuv(u) = g(u) et fuv(v) = g(v). Pour tout v 2 X on note Uv un voisinage de v tel que fuv(z) +" g(z) pourz2Uv. CommeX est compact, il existeu1, . . . , un2X tels queS

jUvj =X. Alors la fonctionfu= max(fuv1, . . . , fuvn) appartient àA et vérifie les propriétés requises.

Le fait que dans le théorème 3.10 on considère le cas réel est important.

Par exemple, si A d´esigne le sous-espace dans C([0,2⇡]) des fonctions telles que R2⇡

0 f(x)eîkxdx = 0 pour tout entier k < 0, alors A est une algèbre fer- mée qui sépare les points et contient la fonction identiquement égale à 1, mais A6=C([0,2⇡]). Cependant, sous une hypothèse supplémentaire sur l’algèbre, le théorème de Stone–Weirestrass reste vrai dans le cas complexe.

Théorème 3.13(théorème de Stone–Weierstrass complexe). SoitX un espace métrique compact etA⇢C(X)une algèbre fermée qui sépare les points et telle quef¯2Apour tout f 2A. Alors soit A=C(X), soit il existev 2X tel que A={f 2C(X) :f(v) = 0}.

Le fait que le conjugué complexe de tout élémentf 2Aappartient àAest important. Par exemple, si D ⇢C désigne le disque unité, alors les fonctions holomorphes continues surDforment une algèbreAfermée qui sépare les points et contient la fonction identiquement égale à 1, maisA6=C(D).

Démonstration. Il est facile à voir que sif 2A, alors Ref,Imf 2A. Il s’ensuit que ReA ={Ref : f 2A} est une algèbre fermée qui sépare les points. De plus, elle est confondue avec ImA={Imf :f 2A}. D’après le théorème de Stone–Weierstrass, soit il existev2X tel que ReA={f 2C_R(X) :f(v) = 0}, soit ReA=C_R(X). La conclusion du théorème est une conséquence immédiate de ce résultat.

Un corollaire intéressant du théorème de Stone–Weierstrass est le résultat.

Théorème 3.14(théorème d’extension de Tietze). SoitX un espace métrique compact etY ⇢X un ensemble fermé. Alors pour toute fonction f 2C_R(Y)il existe f˜2C_R(X)tel quef˜(u) =f(u)pour toutu2Y.

Démonstration. On note R : C(X) ! C(Y) l’opérateur de restriction d’une fonction f : X ! R à Y. Il faut montrer que R est surjective. Il est claire que Im(R) est une algèbre dans C_R(Y) qui contient la fonction 1. De plus, le

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Lemme 3.15 (Urysohn). Soit X un espace m´etrique compact et F1, F2 ⇢ X deux ferm´es disjoints. Alors il existe une fonction continuef :X !Rtelle que f(u) = 0 pouru2F1 et f(u) = 1pouru2F2.

D’après le théorème de Stone–Weierstrass, pour conclure que Im(R) =C_R(Y), il suffit de montrer que Im(R) est fermé. On note N ={f 2C_R(X) :Rf= 0} le noyau deRetC_R(X)/N l’espace quotient. Alors on peut définir l’application Re:C_R(X)/N !C_R(Y) qui associe à [f] la fonctionRf. La propriété cherchée sera établie si on arrive à montrer la relation

kR[fe ]k^L¹^(Y⁾=k[f]k^CR(X)/N pour toutf 2C_R(X).

CommekR(f)k^L¹  kfk^L¹, on a kR[fe ]k^L¹^(Y⁾ k[f]k^CR(X)/N. Il suffit donc construire, pour toutg2Im(R), une fonctionf 2C_R(X) telle queR(f) =get kfk^L¹^(X) kgk^L¹^(Y⁾. Commeg2Im(R), il existeh2C_R(X) tel queRh=g.

La fonctionf = max kgk^L¹,min(kgk^L¹, h) vérifie la propriété requise.

D´emonstration du lemme 3.15. On d´efinit f :X !Rpar la formule f(u) = d(u, F1)

d(u, F1) +d(u, F2). Alorsf est continue, s’annule surF1 et est ´egale `a 1 surF2.

3.4 Th´ eor` eme de Arzel` a–Ascoli

SoitX un espace métrique. Le résultat suivant donne une condition nécessaire et suffisante pour la compacité d’un sous-ensemble de C(X), sous l’hypothèse queX soit compact.

Théorème 3.16. Supposons queX est compact. Alors un ensembleA⇢C(X) est compact si et seulement si il est fermé et vérifie les deux propriétés suivantes:

(a) Pour tout u2X, l’ensemble {f(u), f 2A} est born´e dansC.

(b) La familleAest ´equicontinue en tout point u2X; c’est-`a-dire, pour tout

">0 il existe un voisinageVu deutel que

v2Vu =) |f(v) f(u)|" pour toutf 2A. (3.7)

Nous aurons besoin d’un résultat qui donne des conditions nécessaires et suffisantes pour la compacité d’un espace métrique. Sa démonstration est laissée comme un exercice.

Exercice3.17. Montrer que, pour un espace métriqueY, les propriétés suivantes sont équivalentes.

• Y est compact;

• Si {F↵} est une famille de ferm´es deY telle queTn

j=1F↵j 6=?pour tout ensemble fini {↵1, . . . ,↵n}, alorsT

↵F↵6=?.

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• Y est complet, et pour tout">0 il existe des pointsu1, . . . , un 2X tels queY =S

jB(uj,"), o`uB(u, r) d´esigne la boule ouverte de centreu2Y

et de rayon r >0.

• Toute suite {un}⇢Y poss`ede un point d’accumulation.

Démonstration du théorème 3.16. Montrons d’abord que les conditions (a) et (b) sont nécessaires. Comme tout ensemble compact est borné,Aest borné et, par conséquent,{f(u), f 2A} est borné dansC. Pour établir (b), on fixe ">0 et on utilise l’exercice 3.17 pour trouver des fonctionsfnj, j= 1, . . . , k, telles que min{kf fnjk^L¹, j= 1, . . . , k}"/3 pour toutf 2A. (3.8) Soit maintenantu2X etV ⇢X un voisinage deutel que

v2V =) |fnj(v) fnj(u)|"/3 pourj= 1, . . . , k. (3.9)

Les in´egalit´e (3.8) et(3.9) impliquent que, pour toutf 2Aet v2V, on a

|f(v) f(u)||f(v) fnl(v)|+|fnl(v) fnl(u)|+|fnl(u) f(u)|",

o`u l2[[1, k]] est un entier sur lequel le minimum dans (3.8) est atteint.

Montrons maintenant que les conditions (a) et (b) sont suffisantes pour la compacit´e deA. Il suffit d’´etablir que pour tout ">0 il existe f1, . . . , fn tels que

A⇢ [n

j=1

B(fj,3"). (3.10)

D’apr`es (b), pour toutu2X il existe un voisinageVu⇢X tel que (3.7) a lieu.

Comme X est compact, il existe u1, . . . , um 2X tels que X =Sm

l=1Vul. Les ensembles{f(ul), f 2A}sont born´es dansC. Il s’ensuit qu’il existe un nombre fini de fonctionsf1, . . . , fn2Atelles que

min{|P(f) P(fj)|, j= 1, . . . , n}<", (3.11) où P(f) = (f(u1), . . . , f(um)) et | · | désigne la norme dans C^m. Les inégal- ités (3.7) et (3.11) impliquent que, pour toutv2X, on a

Le théorème 3.16 permet d’établir la compacité d’injection de certains espace fonctionnels. Pour 2 (0,1] et un domaine borné D ⇢ R^d, on note C (D) l’espace des fonctions continuesf :D!Ctelles que

kfk^C := sup

x2D|f(x)|+ sup

x6=y

|f(x) f(y)|

|x y| <1.

Rappelons qu’une application lin´eaire L:X !Y est dite compacte si l’image

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Corollaire 3.18. Pour tout 2(0,1]et tout domaine born´eD⇢R^d, l’injection C (D)⇢C(D)compact.

Démonstration. Il suffit de montrer que si (fn)⇢C (D) est une suite bornée, alors il existe une suite extraite qui converge dansC(D). D’après le théorème 3.16, l’existence d’une telle suite sera établie si on montrer que A= (fn) vérifie les propriétés (a) et (b). La validité de (a) est évidente. Pour prouver (b), on remarque qui sikfnk^C C, alors

|fn(x) fn(y)|C|x y| pour tousx, y2D.

Cette inégalité implique immédiatement la propriété (b).

3.5 Compacit´ e dans les espaces L

^p

Le théorème de Arzelà–Ascoli donne une conditions nécessaire et suffisantes pour la compacité d’un sous-ensemble fermé dans C(X). Nous allons établir maintenant un résultat similaire pour les espacesL^p avecp <1.

SoitD⇢R^dun domaine born´e etp2[1,+1[ . Rappelons que toute fonction f 2L^p(D) est continue en moyenneL^p:

!f( , p) := sup

|y|

✓Z

D|f(x+y) f(x)|^pdx

◆1/p

!0 quand !0, (3.12) où on a prolongé f par zéro à R^d \D. Une idée de la démonstration de ce résultat est donnée à la fin de ce paragraphe.

Théorème 3.19. Soit A ⇢ L^p(D) un sous-ensemble fermé borné. Alors A est compact si et seulement si la convergence (3.12) a lieu uniformément par rapport àf 2A.

Démonstration. Montrons d’abord la nécessité de la condition (3.12). Soit">0 et{f1, . . . , fn}⇢Aun ensemble fini tel que

min{kf fjk^L^p, j= 1, . . . , n}" pour toutf 2A. (3.13) Comme (3.12) est vrai pourfj, il existe >0 tel que

k⌧yfj fjk^L^p" pour|y| ,j= 1, . . . , n, (3.14)

où (⌧f)(x) = f(x+y). Les inégalités (3.13) et (3.14) impliquent que, pour f 2Aet|y| , on a

k⌧yf fk^L^p k⌧y(f fl)k^L^p+k⌧yfl flk^L^p+kfl fk^L^p3", o`u l 2 [[1, n]] d´esigne l’entier sur lequel le minimum dans (3.13) est atteint.

Comme">0 était quelconque, on conclut que (3.12) a lieu uniformément par rapport à f 2A.

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Prouvons maintenant que la convergence (3.12) uniform par rapport àf 2A est suffisante pour la compacité de A. Soit 2C₀¹(R^d) une fonction positive portée par la boule B_R^d(0,1) telle que R

R^d dx = 1 et n(x) = n^d (nx), o`u n 1 est un entier. Pourf 2L¹(R^d) on d´efinit

f⁽ⁿ⁾(x) := ( n⇤f)(x) = Z

R^d n(x y)f(y) dy.

La démonstration du lemme suivant est donnée à la fin de ce paragraphe.

Lemme 3.20. Pour toutp2[1,+1[et f 2L^p(D), on a

k ⁿ⇤f fk^L^p!f(n ¹, p). (3.15) Comme la convergence (3.12) a lieu uniform´ement par rapport `a f 2A, on voit que

sup

f2Akf⁽ⁿ⁾ fk^L^p!0 quandn! 1.

Comme l’injectionC(D)⇢L^p(D) est continue, la compacité deAdansL^p(D) sera donc démontrée si on arrive à établir, pour toutn 1, la compacité relative de{f⁽ⁿ⁾, f2A}dansC(D). Pour cela il suffit de remarquer que

sup

x2R^d

✓

|f⁽ⁿ⁾(x)|+ Xn

j=1

|@jf⁽ⁿ⁾(x)|

◆

Cnkfk^L^p

et utiliser le théorème de Arzelà–Ascoli.

Démonstration du lemme 3.20. En utilisant la définition de n⇤f et l’inégalité de Hölder, on écrit

k ⁿ⇤f fk^pL^p= Z

D

Z

R^d n(y) f(x y) f(x) dy

p

dx

 Z

D

Z

R^d n(y)f(x y) f(x)^pdydx

= Z

B_Rd(0,n ¹) n(y)

Z

D

f(x y) f(x)^pdxdy

 sup

|y|n ¹

Z

D|f(x y) f(x)|^pdx=!_f^p( , p).

Id´ee de la d´emonstration de la convergence (3.12). On doit montrer que k⌧yf fk^L^p!0 quand|y|!0. (3.16) Pour une fonction f : D ! C et un entier N 1, on pose fN(x) = f(x) si

|f(x)|  N et fN(x) = 0 dans le cas contraire. Alors, pour toute fonction f 2L^p(D), on a

sup k⌧yf ⌧yfNk^L^p!0 quand N! 1.

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Il s’ensuit qu’il suffit de prouver (3.16) pour des fonctions bornées. De plus, toute fonction bornée peut être approchée, uniformément par rapport à x2D, par des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques. On conclut donc que la convergence (3.16) sera démontré pour toute fonctionf 2 L^p(D) si on arrive à l’établir pour la fonction caractéristique de tout sous-ensemble borélien deD.

Il est bien connu que pour tout ensemble borélien A ⇢D et tout " >0 il existe un ouvert G"⇢A et un compact F"⇢A tels que `(G"\F")<", où ` désigne la mesure de Lebesgue. On définit la fonction

g"(x) = d(x, G^c_")

d(x, F) +d(x, G^c_"), x2R^d. Alorsg"est une fonction continue surR^d telle que 0g"1 et

sup

|y|1k⌧yg" ⌧yIAk^L^p`(G"\F")^1/p<"^1/p,

oùIAdésigne la fonction caractéristique deA. On voit qu’il suffit d’établir (3.16) pour la fonction continue à support compact g". Dans ce cas, comme D est borné, la propriété requise est une conséquence immédiate de la continuité uni- forme deg".