Lycée Jean Perrin
Classe deTSI1 2017/2018 06/11/17 au 10/11/17
Colles : semaine 7 V Compléments d'algèbre linéaire
Revoir tout le programme de Sup concernant l'algèbre linéaire, qui est repris ici dans les grandes lignes avec quelques compléments.
V.A Bases
Combinaisons linéaires - Sous-espace vectoriel engendré par une partie - Partie génératrice - Familles nies ou innies libres - Familles nies ou innies liées - Bases - Rappels sur la dimension nie - Exemples de bases - Application linéaire dénie par une base et son image.
V.B Sommes de sous-espaces vectoriels. Sommes directes
Dénition de la somme d'un nombre ni de sous-espaces vectoriels. Somme directe.
Caractérisation : la sommeF1+· · ·+Fp est directe si et seulement si pour tout(~x1, . . . , ~xp)∈F1×. . .×Fp :
~
x1+· · ·+~xp=~0 =⇒ ~x1=· · ·=~xp=~0 En dimension nie, base adaptée à une décomposition en somme directe.
V.C Cas particulier : Somme directe de deux sous-espaces vectoriels. Sous-espaces vec- toriels supplémentaires
Dénition - Caractérisation - Base adaptée à une décomposition en somme directe de deux sous-espaces vectoriels - Caractérisation des sommes directes en dimension nie.
V.D Formule du rang
Noyau et image - Dénition du rang - Pour un endomorphisme en dimension nie : équivalence entre l'injectivité, la surjectivité, et la bijectivité.
V.E Hyperplan en dimension nie
Équations cartésiennes d'un hyperplan. Caractérisation comme sous-espace admettant une droite comme supplé- mentaire.
V.F Sous-espaces stables par un endomorphisme
Dénition. Forme matricielle dans une base adaptée.
V.G Exemples d'endomorphismes
Homothéties - Projecteurs
Démonstrations à connaître (pas plus de 15-20 minutes) :
1. La sommeF1+· · ·+Fp est directe si et seulement si pour tout(~x1, . . . , ~xp)∈F1×. . .×Fp :
~
x1+· · ·+~xp=~0 =⇒ ~x1=· · ·=~xp=~0
2. SiEest de dimension nie et est somme directe depsous-espaces vectorielsF1, F2, . . . , Fp, alors la concaténation de bases desFi (16i6p) donne une base de E(démonstration pour p= 3).
3. Soient E et F deuxK-espaces vectoriels,(−→e1,−→e2, . . . ,−e→n)une base deE. Alors
f(−→e1), f(−→e2), . . . , f(−→en)
est une famille génératrice deImf, et sif est injective c'est une base deImf.
4. La sommeF1+F2 est directe si et seulement siF1∩F2={0}.
Donner un contre-exemple pour p = 3 concernant l'armation : F1+· · ·+Fp directe si et seulement si les intersections desFi sont deux à deux réduites à{0}.
