Limites
Leçon 3
Tale-Spé Math- Lycée Gustave Eiel - Bordeaux Thierry Sageaux.
"La science est asymptote à la vérité. Elle s’en approche sans cesse et ne la touche jamais." Victor Hugo (1802-1885).
Table des matières
I Limites innies de fonctions en +∞ et en−∞ 1
II Limites nies de fonctions en+∞ ou en −∞ 3
IIILimites innies en un réel a 4
IV Limite nie en un réel a 6
V Théorèmes classiques 6
VI Comment lever une indétermination ? 8
VI.1 Les plus forts devant ! . . . 8
VI.2 L'expression conjuguée . . . 9
VI.3 Le changement de variable - redoutable ! . . . 9
VI.4 Avec brutalité - la comparaison . . . 10
VI.5 Au poste ! - avec les gendarmes . . . 10
VIIHall of Fame 11 VIIIBranches innies 11 IX Deux classiques pour nir en beauté ! 12 IX.1 Etude de la fonctionf :x7−→cosx−x . . . 12
IX.2 lim x→0 sinx x . . . 12 Etymologie : En latin, le sentier qui passe entre deux champs s'appelait limes qui, au génitif, donne limites. A la n XIVe, il désigne en français ce qui borde un terrain et c'est au XVIIIe siècle que le mot prend son sens mathématique.
I Limites innies de fonctions en +∞ et en −∞
Exemple: Etude de f : x 7−→x2 en +∞. Il faut exprimer le fait que plus xest grand, plus f(x) est grand. Autrement dit, quef(x)n'a pas de borne quandxcroît. On va donc dire que, quelle que soit la borne M que l'on se xe, il y a une valeurx0 à partir de laquelle on dépasseM.
En termes mathématiques, pour tout M > 0, il existe x0 tel que pour tout x > x0, on a f(x) > M. Bien souvent, il sut de prendrex0 comme antécédent de M parf (i.e.f(x0) =M), mais ce n'est pas une condition nécessaire : on peut trouver unx0 plus grand.
Dénition 3.1 (Cas de limites innies) Soitf une fonction dénie sur un intervalle[A,+∞[. Si, pour tout M(>0), il existex0∈[A,+∞[ tel que, dès que x > x0, on a f(x)> M, on écrit alors
x→+∞lim f(x) = +∞.
Remarques: • Dans la pratique , on peut prendre A assez grand car la limite est en+∞.
• De même, on peut choisirM >0car si ceci est vrai pourM positif, ça l'est pour toutM. Et puis l'on cherche à montrer que la fonction dépasse toute borne, donc il sut de se concentrer sur de grandes bornes.
•Une autre façon plus littérale de dénir la limite en+∞est de dire que pour tout intervalleI= [M,+∞[, tous les nombresf(x)sont dansIdès quexest assez grand.
• Du littéral à l'ascète, il n'y a qu'un pas. En termes de mathématiques pures (à n'utiliser que si l'on maîtrise vraiment les quanticateurs) :
∀M >0, ∃x0, x≥x0 ⇒ f(x)≥M. Exercice 1.
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Traduire sous la forme de la dénition les écritures suivantes : 1) lim
x→+∞f(x) =−∞. 2) lim
x→−∞f(x) =−∞.
3) lim
x→−∞f(x) = +∞.
Exemple: Application de la dénition : Revenons à notre préambule et montrons que lim
x→+∞x2= +∞. Pour toutM (grand), nous dit la dénition, il faut trouver unx0tel que sixest plus grand quex0, alors f(x)est plus grand queM.
On suppose donc queM est xé et on cherche unx0qui lui correspond : On veutf(x)≥M, i.e.x2≥M, ce qui se résout facilement enx≥√
M. Il sut donc de choisirx0=√
M pour s'assurer que six≥x0, alors f(x)≥M.
On peut remarquer trois choses à ce stade :
• Tout d'abord, on peut choisir n'importe quel x0≥√
M dans la mesure où la propriété doit être vraie à partir d'un certain rang.
•On comprend que, dans cet exemple, il est important queM soit positif pour pouvoir prendre la racine carrée, mais le cas oùM est négatif n'est pas très dicile à gérer dans la mesure ou on a toujoursx2positif.
• On rappeller qu'il est très important de bien faire la diérence entre "pour tout M, il existe x0" et
"il existe x0 pour tout M". Ce qui ne constitue qu'une interversion syntaxique en français est en fait un changement de sens logique en mathématiques.
En eet, dans la première,x0dépend deM : "pour tout être humain, il existe une taille maximale". i.e pour chaque être humain, je peux trouver une taille maximale (pour le basketteur Tony Parker, c'est1,88m en estimant qu'il ne grandira plus, pour moi, un peu moins).
Dans la seconde : "Il existe une taille maximale, pour tout être humain", on cherche d'abord une taille maximale qui doit rester valable pour tout être humain. Il faut donc trouver la taille maximale pour toute l'humanité. Il s'agit de2,72m (Robert Wadlow, 1918-1940).
Exercice 2.
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Utiliser la dénition pour montrer que lim
x→+∞
√x= +∞.
Attention ! Ce n'est pas parce quef est croissante que lim
x→+∞f(x) = +∞. Exercice 3.
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Trouver un contre-exemple à f croissante et de limite innie ? Exercice 4.
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Montrer que lim
x→+∞f(x) = +∞ ⇔ lim
x→+∞−f(x) =−∞. Exercice 5.
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Trouver deux fonctions numériquesf etgtelles que lim
x→+∞f(x) = +∞, lim
x→+∞g(x) =−∞et lim
x→+∞(f(x)+
g(x)) = 2.
II Limites nies de fonctions en +∞ ou en −∞
Pour dénir une limite nie en l'inni, on va utiliser la même technique que précédemment. Dans le paragraphe précédent, on disait "à partir d'un certain moment (x0), on af(x)qui se rapproche de l'inni".
Il faut trouver une idée similaire qui traduit le fait que la fonction tend vers une limite niel. Pour cela, on construit un tube "autour" delet on va écrire "qu'à partir d'un certainx0, le graphe de la fonction est dans le tube". Comme sur ce dessin :
La notion de "tend vers" sera traduite par l'existence d'un tel x0 pour tout tube, aussi n soit-il. On prendra donc un tube de rayonε. Traditionnellement, en mathématiques, unεest un réel (petit) strictement positif.
Dénition 3.2 Soit f une fonction dénie sur un intervalle [A,+∞[. Si pour tout ε > 0, il existe x0 ∈ [A,+∞[tel que, dès que x > x0 on af(x)∈]l−ε, l+ε[ (i.e.Cf est dans le tube), on écrit
x→+∞lim f(x) =l
Remarque: En termes de logique et quanticateurs, on peut faire plus court, (encore faut-il bien la comprendre) :
∀ε >0, ∃x0≥A, / x > x0 ⇒ |f(x)−l|< ε.
La n correspondant bien àf(x)∈]l−ε, l+ε[, ou encorel−ε < f(x)< l+ε, ou encoreCf est dans le tube !
Exercice 6.
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Traduire sous la forme de la dénition le fait que lim
x→−∞f(x) =l.
Dénition 3.3 On dit queCf admet une asymptotea horizontale d'équationy=l au voisinage de+∞
si lim
x→+∞f(x) =l. Idem en −∞.
a. Vient du grecασνµπτ ωτ oσ, construit sur le privatif a, sur syn qui signie avec et piptein qui veut dire tomber. Littéra- lement, il s'agit donc de ne pas se jeter dans (un euve), d'où la notion de deux choses qui ne se rencontrent pas, qui tendent l'une vers l'autre.
Dénition 3.4 On dit queCf admet une asymptote oblique au voisinage de +∞si lim
x→+∞(f(x)−(ax+ b)) = 0.
Idem en −∞.
Remarque: Une question qui apparaît souvent dans les examens est la problématique de la position relative de la courbe par rapport à son asymptote. Il sut alors d'étudier le signe def(x)−(ax+b)pour avoir la réponse.
III Limites innies en un réel a
On utilise le même artice qu'au premier chapitre pour décrire que la limite d'une fonction est l'inni en un réela, à savoir, que l'on va exprimer le fait que la fonction dépasse toute borne en se rapprochant dea.
Dénition 3.5 On dit quef a pour limite à droite+∞ ena et on note
x→alim
x>a
f(x) = +∞
si, pour tout M >0, il existe η >0 tel que : dès quex∈]a, a+η[, on af(x)> M.
avecx0=a+η.
On peut aussi utiliser les quanticateurs :
∀M >0, ∃η >0, a < x < a+η ⇒ f(x)> M. Exercice 7.
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Ecrire les dénitions de lim
x→ax<a
f(x) = +∞, lim
x→ax>a
f(x) =−∞et lim
x→ax<a
f(x) =−∞. Exercice 8.
ˇ “(
Montrer que lim
x→0x>0
1 x = +∞
Dénition 3.6 Lorsque la fonction admet une limite innie à droite et à gauche ena, on dit queCf admet une asymptote verticale d'équationx=a.
Remarque: Les réels qui ne sont pas dans le domaine de dénition d'une fonction sont de bon candidats pour fournir des asymptotes verticales, mais ce n'est pas toujours le cas (e.g.f :x7−→ x−1x−1).
Exercice 9.
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Déterminer les asymptotes (horizontales, verticales ou obliques - une division euclidienne peut aider) des fonctions suivantes (on ne demande pas de justication des limites trouvées, de l'intuition sura pour le moment en attendant les théorèmes idoines) :
1) f :x7−→ x2−2
x+ 1 2) g:x7−→ 2(x2−3x)
(x+ 1)2 .
IV Limite nie en un réel a
Il ne nous reste plus qu'à combiner la notion de tube autour del et lesη : Dénition 3.7 On dit que f a pour limite à droite l en a, et on note lim
x→ax>a
f(x) =l si pour tout ε > 0, il existe η >0tel que, dès que x∈]a, a+η[, on af(x)∈]l−ε, l+ε[.
On peut aussi écrire :
∀ε >0, ∃η >0, a < x < a+η ⇒ |f(x)−l|< ε. Exercice 10.
ˇ “(
Dénir de la même façon lim
x→ax<a
f(x) =l.
V Théorèmes classiques
Théorème 3.8 (Limite d'une somme) Soient f et g deux fonctions, l et l0 deux réels et a un élément de R∪ {−∞,+∞}. On a
Sif a pour limite en a l l l +∞ −∞ +∞
et sig a pour limite ena l0 +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
alors f+g a pour limite ena
Remarque: Le bug ! correspond à ce que l'on appelle une forme indéterminée. On retrouve les mêmes valeurs que dans le cas des suites.
En eet, il n'est pas possible, a priori, de savoir quel va être le résultat. Il sut de fournir deux exemples donnant des valeurs diérentes pour voir qu'on ne peut statuer. Comme ceux-ci par exemple (aveca= +∞) :
f(x) =x2+x f(x) =x g(x) =−x2 g(x) =−x
On a bien dans les deux cas des limites en +∞qui correspondent à la dernière colonne du tableau, mais dans le premier cas : lim
x→+∞(f +g)(x) = +∞et dans le second : lim
x→+∞(f+g)(x) = 0.
Théorème 3.9 (Limite d'un produit) Soient f et g deux fonctions, l et l0 deux réels et a un élément de R∪ {−∞,+∞}. On a
Sif a pour limite ena l l >0 l >0 l <0 l <0 +∞ +∞ −∞ 0
et sig a pour limite ena l0 +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ±∞
alors f g a pour limite ena Exercice 11.
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Trouver deux exemples comme dans la remarque qui suit le théorème sur la limite d'une somme, qui démontre l'impossibilité de déterminer, a priori, la limite du produit dans le dernier cas.
Exercice 12.
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Montrer qu'une parabole ne peut pas avoir d'asymptote oblique.
Théorème 3.10 (Limite d'un quotient) Soient f et g deux fonctions,l etl0 deux réels eta un élément de R∪ {−∞,+∞}. On a
Sif a pour limite ena l l6= 0 +∞ +∞ −∞ −∞ ±∞
et sig a pour limite ena l06= 0 ±∞ l0 >0 l0<0 l0>0 l0 <0 ±∞
alors f
g a pour limite ena
Sif a pour limite ena l >0 l >0 l <0 l <0 0 et sig a pour limite ena 0+ 0− 0+ 0− 0 alors f
g a pour limite en a
Exercice 13.
ˇ “(
Trouver là encore deux exemples pour chacune des deux indéterminations qui montrent bien que l'on ne peut pas lever l'indétermination a priori.
Remarque: Il y a donc quatre formes indéterminées qu'il faut connaître par c÷ur : (+∞) + (−∞), (0)×(±∞), (±∞)
(±∞) et (0) (0)
Attention ! La forme l
(0) avecl 6= 0n'est pas une forme indéterminée. Il sut juste de savoir si la variablextend vers0 par valeurs positives ou négatives et d'utiliser le tableau.
Remarque: FONDAMENTAL ! ! Il faut bien comprendre que les égalités suivantes lim(f+g) = limf+ limg, lim(f g) = limf×limg, et lim
f g
= limf limg n'ont de sens que si l'on n'est pas dans un des cas d'indétermination.
On a, par exemple, le droit d'écrire lim(f+g) = limf + limg si l'on sait que l'une des deux limites du terme de droite est nie ; autrement dit, on s'assure que l'on n'est pas dans le cas de l'indétermination de la somme(+∞)−(+∞).
Théorème 3.11 (Limite d'une composée) Soientf etg deux fonctions et soienta,betc trois éléments de R∪ {−∞,+∞}.
Si lim
x→af(x) =b et lim
x→bg(x) =c, alors lim
x→ag◦f(x) =c. Démonstration: On traduit les deux hypothèses :
∀ε >0,∃η >0, |y−b|< η⇒ |g(y)−c|< ε (∗) et ∀ε0>0,∃η0 >0, |x−a|< η0⇒ |f(x)−b|< ε0 (∗∗) Il sut ensuite de voir que l'on peut poserε0 =η et y=f(x).
En eet,εest xé et la première ligne nous permet de trouverη tel que(∗)soit vraie. Dans la seconde, on choisit ε0 et l'on peut donc poserε0 égal à la valeur deη que l'on vient de trouver. On trouve alors un η0 tel que(∗∗)soit satisfaite. A partir deε, on trouve donc unη =ε0 et unη0 tel que les deux implications soient vériées.
Il reste à voir que si la première est vraie pour tous les y tels que |y−b|< η, elle est, a fortiori, vraie pour lesy qui sont desf(x)vériant eux-aussi la propriété|f(x)−b|< η.
On a donc
∀ε >0,∃η >0,∃η0 >0, |f(x)−b|< η⇒ |g(f(x))−c|< ε et |x−a|< η0 ⇒ |f(x)−b|< η d'où
∀ε >0,∃η0>0, |x−a|< η0⇒ |g(f(x))−c|< ε ce qui est bien la dénition de lim
x→ag◦f(x) =c.
Théorème 3.12 (Unicité de la limite) Si une fonctionf admet une limitel en a∈R∪ {−∞,+∞}, alors cette limite est unique.
Démonstration: Comme d'habitude quand on veut démon- trer l'unicité de quelque chose, on procède par l'absurde en supposant qu'il y a deux limites. L'absurdité va venir du fait que les valeurs de la fonction au voisinage de ane peuvent pas être dans les deux tubes à la fois. En eet, en supposant l0 > l, et en xant ε < l0−l
2 , par dénition, on a les deux assertions incompatibles :
∃η >0 |x−a|< η⇒f(x)∈]l−ε, l+ε[
et∃η0>0|x−a|< η0⇒f(x)∈]l0−ε, l0+ε[Mais ]l−ε, l+ε[∩]l0−ε, l0+ε[=∅.
Donc la fonction n'est pas dénie dans un voisinage de a. contradiction avec le fait qu'elle admet une limite.
VI Comment lever une indétermination ?
VI.1 Les plus forts devant !
Si l'on veut déterminer la limite def(x) =x2+ 4x−2au voisinage de−∞, on a une forme indéterminée car lim
x→−∞x2= +∞et lim
x→−∞4x−2 =−∞.
On a bien dans l'idée que lex2va nir par l'emporter sur la fonction ane en−∞... Il sut de factoriser par "le plus fort" au voisinage de la valeur considérée, icix2 :
f(x) =x2
1 + 4 x− 2
x2
. Or la parenthèse tend vers1 car lim
x→−∞
4
x = 0 = lim
x→−∞
2
x2 et par produit avec lim
x→−∞x2, on trouve comme prévu
x→−∞lim f(x) = +∞. On procède de la même façon quand on a une fraction rationnelle : En eet, si on aP(x) =
m
P
k=1
akxk et Q(x) =
n
P
l=1
blxl deux polynômes, alors
x→±∞lim P(x)
Q(x) = lim
x→±∞
amxm bnxn
Il ne faut surtout pas retenir ce résultat, mais plutôt comprendre et appliquer la méthode car on retrouve cette méthode de factorisation par le plus gros avec des fonctions impliquant des objets plus compliqués que des fractions rationnelles comme dans l'exercice qui suit.
Exercice 14.
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Déterminer lim
x→+∞x−6√ x
Plus dicile, mais avec la même technique : Exercice 15.
ˇ “(
Déterminer lim
x→−∞
xn
2x2−1 oùnest un entier naturel.
VI.2 L'expression conjuguée
On ne le répètera jamais assez, mais l'expression conjuguée est la seule idée qui permette de "faire sauter" correctement les sommes (ou les diérences) de racines carrées.
Exemple: Déterminons lim
x→0
√2 +x−√ 2−x
x .
On a clairement une forme indéterminée de type (0)
(0). Une expression conjuguée va "faire sauter" les racines du numérateur :
√2 +x−√ 2−x
x =
√2 +x−√ 2−x
x ×
√2 +x+√ 2−x
√2 +x+√
2−x = (2 +x)−(2−x) x(√
2 +x+√
2−x) = 2
x x(√
2 +x+√ 2−x) Et voila, la magie s'est opérée et il n'y a plus d'indétermination. Pour une explication du tour de magie (c'est toujours moins drôle après), voir la leçon sur les équivalents.
Il est surprenant de constater que cette technique fonctionne aussi sur des objets qui ne contiennent pas de racines carrées. Essayez avec
Exercice 16.
Déterminer lim
x→0
1−cosx
x (sachant que lim
x→0
sinx x = 1).
VI.3 Le changement de variable - redoutable !
Parfois, il sut juste d'ouvrir les yeux. Si l'on regarde par exemple la limite suivante : lim
x→+∞x(e1x −1), on commence par se dire qu'il n'y a pas de limite du Hall of Fame de la formee1x, mais seulement des formes du typeex. Une seule idée alors : s'y ramener !
Pour cela, on poseX = 1x. On a alors lim
x→+∞X= 0. Et
x→+∞lim x(ex1 −1) = lim
X→0
eX−1
X .
Eh bim ! Le Hall of Fame. Donc lim
x→+∞x(ex1 −1) = 1.
VI.4 Avec brutalité - la comparaison
Lorsque l'on veut trouver la limite de sinx+xen+∞, on est embêté car le sinus n'a pas de limite. On a quand même dans l'idée que ce pauvre sinus va prendre ses jambes à son coup quand il va voir débarquer xau voisinage de+∞car il est borné par−1 et1. L'idée est de minorer la fonction. On a :
sinx+x≥x−1. Or lim
x→+∞(x−1) = +∞, donc il nous faudrait un théorème permettant de dire dans ce cas que lim
x→+∞sinx+x= +∞.
Le voila :
Théorème 3.13 (Théorème de comparaison) S'il existe un réel A tel que f(x)≥g(x) pour tout x≥A et si lim
x→+∞g(x) = +∞, alors lim
x→+∞f(x) = +∞.
Démonstration: D'après la dénition, pour toutM(>0), il existex0tel que six > x0, alorsg(x)> M. Donc six >max{x0, A}, on af(x)> M.
Exercice 17.
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1) Démontrer que s'il existe un réelAtel quef(x)≥g(x)pour toutx≥Aet si lim
x→+∞f(x) =−∞, alors lim
x→+∞g(x) =−∞.
2) Idem pour : s'il existe un réelAtel quef(x)≤g(x)pour toutx≤Aet si lim
x→+∞f(x) = +∞, alors
x→+∞lim g(x) = +∞.
3) Ecrire et démontrer un énoncé analogue (diérent de la première question) nissant par lim
x→+∞g(x) = +∞.
VI.5 Au poste ! - avec les gendarmes
La méthode précédente ne fonctionne que si les limites sont innies. Que faire alors face à lim
x→+∞
2 + sinx
√x ? On a toujours le sinus qui n'a pas de limite, mais on sent bien là encore que la racine carrée va mettre tout le monde d'accord en explosant vers+∞quand le numérateur sera borné...
La solution vient d'une majoration et d'une minoration :
√1
x ≤2 + sinx
√x ≤ 3
√x.
Les deux termes extrêmes tendent vers0, donc on aimerait un théorème qui dit qu'alors lim
x→+∞
2 + sinx
√x = 0...
Bon d'accord, mais c'est la dernière fois :
Théorème 3.14 (Théorème d'encadrement - dit aussi Théorème des gendarmes) Soit a∈R\{−∞,+∞}. S'il existe Atel que f(x)≤g(x)≤h(x)pour toutx≥A et si lim
x→af(x) = lim
x→ah(x) =l avec l un réel, alors
x→alimg(x) =l.
Démonstration: Faisons-la poura= +∞. On écrit, là encore, la dénition : Pour tout ε >0, il existe x1etx2tel que six > x1, alors|f(x)−l|< εet six > x2, alors|h(x)−l|< ε. On posex0= max{A, x1, x2}. On a alors pour toutx > x0, les inégalités suivantes :
f(x)≤g(x)≤h(x), l−ε < f(x)< l+ε et l−ε < h(x)< l+ε. ce qui donnel−ε < g(x)< l+ε.
VII Hall of Fame
Les limites suivantes sont à savoir par c÷ur :
• lim
x→+∞ex= +∞ • lim
x→−∞ex= 0 • lim
x→0
ex−1
x = 1
• lim
x→+∞
ex
x = +∞ • lim
x→−∞xex= 0
• lim
x→+∞lnx= +∞ • lim
x→0x>0
lnx=−∞ • lim
x→1
lnx x−1 = lim
x→0
ln(1 +x)
x = 1
• lim
x→+∞
lnx
x = 0 • lim
x→0x>0
xlnx= 0
• lim
x→0
sinx x = 1.
Exercice 18.
ˇ “
Calculer les limites des fonctions suivantes : 1) En+∞:
a) f1(x) =xlnx−x+ 1, b) f2(x) = ln(2x+ 1)
x−1 , c) f3(x) =x−ex,
d) f4(x) =x2lnx−x3+ 1, e)f5(x) = sinx
x ,
f) f6(x) = ln(1 +x) lnx , g) f7(x) = x+ sinx
x−cosx, h) f8(x) = (1 +x)x1,
i) f9(x) = ln(1 +x)−lnx. 2) En0 :
a) f10(x) = ln(x2+ 1)
x ,
b) f11(x) = 1−e−x
x ,
c) f12(x) =xe1x, d) f13(x) = (1 +x)x1, 3) En−∞:
a) f14(x) =x+√
x2+x+ 1, b) f15(x) = ln(1 +x2)
x ,
c) f16(x) = (1 +x2)ex.
VIII Branches innies
On se pose ici le problème du comportement en l'inni d'une fonction. Si on a lim
x→+∞f(x) = +∞, que peut-on dire ?
Peut-on comparer lim
x→+∞x, lim
x→+∞x2, lim
x→+∞
√x3+ 2, lim
x→+∞(x−3√3
x−2)ou encore lim
x→+∞ex.
• Si lim
x→+∞
f(x)
x =a∈R, alors il y a plusieurs cas à considérer :
Si lim
x→+∞(f(x)−ax) =b Cf admet une asymptote oblique (ou horizontale sia= 0)
Si lim
x→+∞(f(x)−ax) =±∞ Cf admet une branche parabolique de directiony=ax
Si lim
x→+∞(f(x)−axn'existe pas Cf admet une direction asymptotique
• Si lim
x→+∞
f(x)
x n'existe pas ou n'est pas réel no nul :
Si lim
x→+∞
f(x)
x =±∞ Cf admet une branche parabolique verticale
Si lim
x→+∞
f(x)
x = 0 Cf admet une branche parabolique horizontale
Si lim
x→+∞
f(x)
x n'existe pas Cf admet une branche innie
IX Deux classiques pour nir en beauté !
IX.1 Etude de la fonction f : x 7−→ cos x − x
Faire l'étude totale et plus particulièrement les limites aux bornes deDf, la recherche d'asymptote ou de branche asymptotique. Finir par un encadrement def(x)et en déduire l'allure de Cf.
IX.2 lim
x→0
sin x x
Faire la démonstration (géométrique).
En déduire lim
x→0
cosx−1
h .
