Familles libres et génératrices, dimension d’un espace vectoriel Feuille 25

Familles libres et génératrices, dimension d’un espace vectoriel Feuille 25

Exercice25.1

On noteEl’ensemble des fonctions deRdansRde la formex7−→(ax²+bx+c) cosx,oùa, b, c∈R. Montrer queEest unR-espace vectoriel, déterminer une base deEainsi que sa dimension.

Exercice25.2

Soita∈C^∗. On notef l’application deCdansCdéfinie parf(z) =z+az.

1. Montrer quef estR-linéaire mais qu’elle n’est pasC-linéaire.

2. Déterminer la matrice def dans laR-base(1, i).

3. Déterminer les noyau et image def.

Exercice25.3

SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels etu∈L(E, F). Soit(xi)i∈Iune famille libre de vecteurs deE. Montrer que la famille(u(x_i))_i∈Iest libre si et seulement siKer(u)∩Vect{x_i/ i∈I}={0}.

Exercice25.4

Calculer le rang de

Ü 1 1 1 1

a b a b

c c d d

ac bc ad bd ê

, oùa, b, cetdsont 4 réels quelconques.

Exercice25.5

On noteE =Rn[X]. f désigne l’endomorphisme deEdéfini par : pour toutP ∈E, f(P) =P−P⁰. 1. Montrer quef est bijective

(a) sans la matrice def (b) avec la matrice def

2. Montrer que pour toutQ∈E, il existeP tel queP−P⁰ =Q. Donner une expression dePen fonction deQ.

Exercice25.6

Soit(e₁, . . . , e_n)et(f₁, . . . , f_n)deux bases d’unK-espace vectoriel de dimensionn∈N^∗Montrer qu’il existe i∈Nntel que(e₁, . . . , en−1, f_i)est une base deE.

Exercice25.7

SoitE =Rn[X]eta0, . . . , an, n+ 1réels distincts.

1. Pour toutk ∈ {0, . . . , n}, on noteΦk la forme linéaire surE définie par : Φk(P) = P(ak). Montrer que (Φ_k)0≤k≤nest une base deL(E, R).

2. Montrer qu’il existe un unique polynômeA∈Etel que, pour toutP ∈E, Z 1

0

P(t)dt=

n

X

k=0

A(a_k)P(a_k).

Exercice25.8

SoitA∈ M₂(K). Démontrer queA²−T r(A)A+ det(A)I₂ = 0.

En déduire qu’il existe deux suites(αn),(βn)∈K^Ntelles que, pour toutn∈N, Aⁿ=αnA+βnI2. En déduire le calcul de

Å 3 −2 5 −4

ã

pour toutn∈N.

Quentin De Muynck Sous licencecbea

FEUILLE XXV - FAMILLES LIBRES ET GÉNÉRATRICES, DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL

Exercice25.9

SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnet soitHun hyperplan deE.

1. Six₁6∈H, montrer qu’on peut compléter(x₁)en une base deEne contenant aucun vecteur deH.

2. Si(x1, . . . , xp)est une famille libre telle que, pour touti∈ {1, . . . , p}, x_i6∈H,montrer qu’on peut compléter (x1, . . . , xp)en une base deEne contenant aucun vecteur deH.

Exercice25.10

Calculer le rang de la matrice deM_n(R)dont le(i, j)^ecoefficient est égal àsin(i+j).

Exercice25.11

SoitA∈ M_n(K).

1. Montrer querg(A) = 1si et seulement si il existeX, Y ∈Kⁿ\ {0}tels queA=X^tY.

2. On suppose querg(A) = 1.

(a) Montrer queA²= Tr(A)A.

(b) Pour toutk∈N^∗, calculer(I_n+A)^k.

Exercice25.12

SoientAetB dansM_n(K)telles que, pour toutM ∈ M_n(K), AM B= 0.Montrer queA= 0ouB= 0.

Exercice25.13

Polynômes d’interpolation d’Hermite :

Soitn∈N^∗etp∈N^∗.n₀, . . . , n_p désignentp+ 1entiers strictement positifs tels quen₀+· · ·+n_p =n.

Soient a0, . . . , ap, p+ 1 éléments d’un sous-corps deC notéK, et pour tout i ∈ {0, . . . , p},pour tout j ∈ {0, . . . , n_i−1}, soitu_i,j ∈K.

Montrer qu’il existe un unique polynômeude degré strictement inférieur àntel que pour touti∈ {0, . . . , p}

et pour toutj ∈ {0, . . . , n_i−1}, u^(j)(ai) =ui,j.

Exercice25.14

SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels etf ∈L(E, F), avecf 6= 0. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

i. f est injective.

ii. L’image parf de toute famille libre est libre.

iii. Pour tout triplet(G, H, L)de sous-espaces vectoriels deEtel queG=H⊕L, f(G) =f(H)⊕f(L).

Exercice25.15

NotonsEleR-espace vectoriel des suites réelles convergentes.

Pour toutk∈N, on pose

ϕ_k : E −→ R

(un)n∈N 7−→ u_k On note aussi :

ϕ∞ : E −→ R

(u_n)n∈N 7−→ lim

n→+∞u_n 1. Montrer que la famille(ϕn)n∈N∪(ϕ∞)est une famille libre deL(E,R).

2. Montrer que cette famille n’est pas une base deL(E,R).

Exercice25.16

On considère des suites de réels(u_n),(v_n), et(w_n)telles que







un+1 =−u_n+vn+wn

v_n+1 =u_n−v_n+w_n w_n+1 =u_n+v_n−w_n Déterminer les expressions deun, vnetwnen fonction den∈Net deu0, v0 etw0.

Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea

FEUILLE XXV - FAMILLES LIBRES ET GÉNÉRATRICES, DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL

Exercice25.17

K=RouC. Eest unK-espace vectoriel de dimension finie.

1. Déterminer les endomorphismesf deEtels que∀x∈E, (x, f(x))est liée.

2. En déduire{g∈L(E)/∀h∈GL(E), h◦g=g◦h}.

3. Soitn∈N^∗. On noteg_nl’endomorphisme deRn[X]défini par∀P ∈Rn[X], g_n(P) =P⁰.

On noteC(g_n) ={f ∈L(Rn[X])/ f ◦g_n=g_n◦f}. Déterminerdim(C(g_n)), puis déterminerC(g_n).

Exercice25.18

On suppose queKest un corps de caractéristique nulle.

1. On noteDl’application deK[X]dans lui-même définie par :D(P) =P⁰.Exprimerdeg(D(P))en fonction dedeg(P).

2. Montrer que les seuls sous-espaces non nuls stables parDde dimension finie sont lesKn[X].

3. Quels sont les sous-espaces stables de dimension infinie ?

4. En déduire quels sont les sous-espaces stables deKⁿpar l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice

J =

















0 1 0 · · · 0 0 0 1 ... ... ..

. ... ... 0 0 · · · 0 1 0 · · · 0 0















 .

Exercice25.19

Soitnest un entier supérieur ou égal à 1.

Eest unR-espace vectoriel de dimensionn.

On dit qu’une famille(x1, . . . , xp)depvecteurs deEest positivement génératrice si et seulement si, pour tout x∈E, il existe(α₁, . . . , α_p)∈R^ptel quex=

p

X

i=1

α_ix_i avec, pour touti∈Np, α_i≥0.

Déterminer le plus petit cardinal des familles positivement génératrices deE.

Exercice25.20

Soient(a, b) ∈ R² tel quea < b, nun entier supérieur ou égal à 2 et(a1, . . . , an) ∈ Rⁿtelle quea =a1 <

a₂ <· · ·< an−1 < a_n=b.

On noteF l’ensemble des applications continues de[a, b]dansRpour lesquelles :

∀i∈ {2, . . . , n}, ∃(α_i, β_i)∈R², ∀x∈]ai−1, a_i[, f(x) =α_ix+β_i. 1. Montrer queF est unR-espace vectoriel.

2. Pourf ∈ F, on poseϕ(f) = (f(a1), f(a2)−f(a1), . . . , f(an)−f(an−1)).

A l’aide deϕ, montrer quedim(F)≤n.

3. Pour toutj∈ {1, . . . , n}, on posefj : [a, b]−→R x7−→ |x−aj|

. Montrer que(f_j)_j∈

J1,nKest une base deF.

4. Montrer que les éléments convexes deF sont ceux de la forme :

x7−→αx+β+

n−1

X

j=2

γ_j|x−a_j|, où∀j∈ {2, . . . , n−1}, γ_j ≥0

Quentin De Muynck 3 Sous licencecbea

FEUILLE XXV - FAMILLES LIBRES ET GÉNÉRATRICES, DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL

Exercice25.21

SoientKun sous-corps deCetLun sous-corps deK.

1. Montrer que toutK-espace vectoriel est aussi unL-espace vectoriel.

2. SiB est un corps et siAest unB-espace vectoriel, on note, lorsqu’elle est définie,dim_B(A)la dimension de A.

SoitE unK-espace vectoriel. On suppose quedim_L(K)etdim_K(E)sont définies. Montrer quedim_L(E)est également définie et quedim_L(E) = dim_L(K) dim_K(E).

Quentin De Muynck 4 Sous licencecbea