Espaces vectoriels

(1)

Espaces vectoriels

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Espaces vectoriels

1 Espaces vectoriels Vecteurs du plan Vecteurs de l’espace Somme de vecteurs

Multiplication par un scalaire Définition d’un espace vectoriel Sous-espace vectoriel

Combinaisons linéaires, partie génératrice Indépendance linéaire

Somme de sous-espaces vectoriels

(2)

(3)

Espaces vectoriels Vecteurs du plan

y

o x

~u xu

yu (x_u, y_u)

xv ~v

yv

(xv, yv)

~ w

xw

yw

(xw, yw)

Espaces vectoriels Vecteurs de l’espace

(4)

(5)

Espaces vectoriels Somme de vecteurs

y

o x

~u x_u y_u ^(x^u^{, y}^u⁾

x_v ~v

yv

(xv, yv)

x_u+x_v

y_u+y_v

~u+

~v

(x_u+x_v, y_u+y_v)

Espaces vectoriels Multiplication par un scalaire

y

o

^x^u

x

yu

α= ¹₂

α.~u ~u αxu

αyu

(6)

(7)

Espaces vectoriels Définition d’un espace vectoriel

Espaces vectoriel, définition

Un ensemble E, muni d’une addition et d’une multiplication externe par des nombres réels est un espace vectoriel sur R si les deux opérations vérifient :

Espaces vectoriel, définition

Propriété de l’addition

É ∀u~,v~,w~ ∈ E : (u~ +v~) +w~ = u~ + (v~ +w~)

É ∀u~,v~ ∈ E : u~ +v~ = v~ +u~

É ∃0~ ∈ E : ∀u~ ∈ E :0~ +u~ = u~ +0~ = u~

É ∀u~ ∈ E,∃~v ∈ E (noté : −u~) tel que : u~ +v~ = v~ +u~ = 0~

(8)

(9)

Espaces vectoriel, définition

Propriétés de la multiplication externe

É ∀u~ ∈ E, ∀α , β ∈ R ^: ^α.^β.u~ = αβ.u~

É ∀u~ ∈ E : 1.u~ = u~

Espaces vectoriel, définition

Relation de l’addition et de la multiplication externe

É ∀u~ ∈ E, ∀α , β ∈ R ^{: (}^α ⁺^β⁾^.u~ = α.u~ +β.u~

É ∀u~,v~ ∈ E, ∀α ∈ R ^:^α.u~ +v~ = α.u~ +α.v~

(10)

(11)

Espaces vectoriels Sous-espace vectoriel

Sous-espace vectoriel

Soit E un espace vectoriel et F ⊂ E une partie non-vide de E. F est un sous-espace vectoriel de E, si :

É u~,v~ ∈ F ⇒ u~ +v~ ∈F (stabilité par addition)

É u~ ∈ F, α ∈ R ⇒ α.u~ ∈ F (stabilité par multiplication externe)

Espaces vectoriels Combinaisons linéaires, partie génératrice

Combinaisons linéaires

Soit F = {u~

1,u~

2, . . . ,u~_n} = {u~_i}_1≤ⁱ_≤ⁿ, une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E, on appelle combinaison linéaire des vecteurs u~_i (ou combinaison linéaire de la famille F),

le vecteur v~ :

~ v = α

1.u~

1 +α

2.u~

2 +· · ·+α_n.u~_n =

n

X

i=1

α_i.u~_i α_i ∈ R^, 1 ≤ i≤ n

(12)

(13)

Espaces vectoriels Combinaisons linéaires, partie génératrice

Partie génératrice

Proposition : Soit F = {u~_i}_1≤ⁱ_≤ⁿ une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E.

L’ensemble F de toutes les combinaisons linéaires de F, est un sous-espace vectoriel de E.

On note F= VectF

F est engendré par F, ou F est une partie génératrice de F.

Espaces vectoriels Indépendance linéaire

Famille libre

Soit F = {u~_i}_1≤ⁱ_≤ⁿ une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E.

On dit que la famille F est libre, si : α1.u~

1 +α

2.u~

2 +· · ·+α_n.u~_n = 0~ ⇒ α

1 = α

2 = · · · = α_n = 0

On dit aussi : les vecteurs u~_i (1 ≤ i≤ n) sont linéairement indépendants.

Un famille qui n’est pas libre est dite liée.

(14)

(15)

Famille libre

Exemple

Soit les vecteurs u~,v~,w~ de l’espace vectoriel R⁴ :

~

u= (2,0,3,0),v~ = (0,−1,0,0),w~ = (5,−2,0,0) La famille u~,v~,w~ est libre.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α.u~ + β.v~ +γ.w~ = 0~

Alors : _





2α +5γ = 0

−β −2γ = 0

3α = 0

Donc α = β = γ = 0

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = {u~(X) = X²,v~(X) = X(X−1),w~(X) = (X −1)²} dans l’espace vectoriel R₂^[^X^] des polynômes de degré

inférieur ou égal à 2.

La famille F est linéairement indépendante.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α.u~(X) +β.v~(X) +γ.w~(X) = 0~

Alors : _





α +β+γ = 0 β+2γ = 0

γ = 0

Donc α = β = γ = 0

(16)

(17)

Famille libre

Exemple

Dans l’espace vectoriel R², soit la famille de vecteurs :

~

u = (1,−1),v~ = (1,3),w~ = (2,5). La famille {u~,v~,w~} est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α.u~ + β.v~ +γ.w~ = 0~

Alors :

α +β+2γ = 0

−α+3β+5γ = 0 Donc α = −¹₄ , β = −⁷₄ , γ = 1 et : w~ = ¹

4.u~ + ⁷

4.v~

Remarque : Quand une famille est liée, on peut exprimer des vecteurs de la famille comme combinaison linéaire des autres.

Famille libre

Exemple

Soit la famille F = {u~(X) = X² +1,v~(X) = X² −1,w~(X) = X²} dans l’espace vectoriel R₂^[^X^].

La famille F est liée.

Soient α , β , γ ∈ R tels que : α.u~(X) +β.v~(X) +γ.w~(X) = 0~

Alors :

α +β+γ = 0

α −β = 0

Donc α = β = − γ 2

En prenant γ= −2 : u~(X) +v~(X)−2w~(X) = 0

(18)

(19)

Famille libre

Remarques

Soit F = {u~_i}_1≤ⁱ_≤ⁿ une famille libre dans un espace vectoriel E.

É ∀i (1 ≤ i ≤n), u~_i 6= 0~

É Si i 6= j, u~_i 6= u~_j

Base d’un espace vectoriel

On appelle base d’un espace vectoriel, une famille de vecteurs, B, à la fois libre et génératrice.

(20)

(21)

Base d’un espace vectoriel

Exemple

Dans l’espace vectoriel R², la famille B = {e~

1,e~

2}, avec :

~

e1 = (1,0) et e~

2 = (0,1), est une base de R².

É B est libre : si α.e~

1 +β.e~

2 = 0, alors :~

α = 0

β = 0

É B est génératrice : si u~ = (x_u,y_u), x_u,y_u ∈ R et : u~ = x_u.e~

1 +y_u.e~

2

Base d’un espace vectoriel

Exemple

Dans l’espace vectoriel R², la famille B = {u~

1,u~

2}, avec :

~

u1 = (1,2) et u~

2 = (−2,3), est une base de R².

É B est libre : si α.u~

1 +β.u~

2 = 0, alors :~

α−2β = 0

2α+3β = 0 Donc : α = β = 0

É B est génératrice : si v~ = (x_v,y_v), alors :

~

v = ³^x^v⁺₇²^y^v ·u~

1 + ⁻²^x₇^v⁺^y^v ·u~

2

(22)

(23)

Base d’un espace vectoriel

Exemple

Dans l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, R₃^[^X^], la famille B = {~f

0(X),~f

1(X),~f

2(X),~f

3(X)} avec :

~

f0(X) = 1, ~f

1(X) = X, ~f

2(X) = X², ~f

3(X) = X³ est une base.

É B est libre : si α

0.~f

0(X) +α

1.~f

1(X) +α

2.~f

2(X) +α

3.~f

3(X) = 0,~ alors :

α0 +α

1X+ α

2X²+ α

3X³ = 0 donc : α

0 = α

1 = α

2 = α

3 = 0

É B est génératrice puisque tout polynôme de degré au plus 3, s’écrit :

α0 +α

1X+α

2X² +α

3X³

Base d’un espace vectoriel

Théorème : Si un espace vectoriel possède une partie

génératrice à n éléments, toute partie ayant au moins n+1 éléments est liée.

(Théorème admis) Corollaire : Dans un espace vectoriel, E, toutes les bases ont le même nombre d’éléments.

Ce nombre s’appelle la dimension de l’espace vectoriel E. Notation : dimE

(24)

(25)

Démonstration du corollaire

Soit B₁ une base de cardinal n

1 et B₂ une base de cardinal n

2. B₁ est libre et B₂ génératrice, donc : n

1 ≤n

2

B₂ est libre et B₁ génératrice, donc : n

2 ≤n

1

n1 = n

2

Base d’un espace vectoriel

Théorème : Si un espace vectoriel possède une partie

génératrice à n éléments, toute partie ayant au moins n+1 éléments est liée.

(Théorème admis) Corollaire : Dans un espace vectoriel, E, toutes les bases ont le même nombre d’éléments.

Ce nombre s’appelle la dimension de l’espace vectoriel E. Notation : dimE

(26)

(27)

Base d’un espace vectoriel

Propriétés des bases d’un espace vectoriel

Dans un espace vectoriel E de dimension n :

É Toute famille libre de n vecteurs est une base.

É Toute famille génératrice de n vecteurs est une base.

É Toute famille contenant plus de n vecteurs est liée.

É Toute famille contenant moins de n vecteurs n’est pas génératrice.

Autre expression :

É Une base est une famille libre maximale

É Une base est une partie génératrice minimale

Base d’un espace vectoriel

Les espaces vectoriels Rⁿ

Les espaces vectoriels Rⁿ sont de dimension n. Les familles B = {e~_i} où :

~

e_i = (0,. . . ,0,1,0,. . . ,0)

↑

i-ième position sont des bases de Rⁿ

On les appelle les bases canoniques de Rⁿ

(28)

(29)

Base d’un espace vectoriel

Unicité de l’écriture dans une base

Proposition : Soit une base B = {~a_i}_1≤ⁱ_≤ⁿ une base d’un espace vectoriel E de dimension n.

Tout vecteur u~ ∈ E s’écrit de manière unique :

~ u =

n

X

i=1

α_i.a~_i

Les scalaires α_i s’appellent les coordonnées de u~ dans la base B

Dimension d’un sous-espace vectoriel

Soit E un espace vectoriel de dimension n et F 6= {0}~ un sous-espace vectoriel de E.

É Toute famille libre de F est libre dans E.

É Soit p le nombre de vecteurs d’une famille maximale libre, B, de F :

1. B est une base de F 2. p≤n

3. Si p=n, B est une base de E et F =E.

(30)

(31)

Dimension d’un sous-espace vectoriel

Théorème : Si F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E, de dimension n :

1. dimF ≤ dimE

2. dimF = dimE ⇒ F = E

Théorème de la base incomplète

Théorème : Soit E un espace vectoriel, L une famille libre dans E et G une famille génératrice de E.

Alors, il existe une base B de E telle que : L ⊂ B ⊂ L∪G

Parmi toutes les familles libres contenant L et incluses dansL∪G, soit B une partie maximale.

On pose F=VectB.

É Si F=E, B est la base cherchée.

É Si F6=E, ∃g~ ∈G tel que g~ ∈/ F.

Alors, B∪{g~} est libre, contient B et est contenue dans L∪G donc B n’est pas maximale

(32)

(33)

Rang d’une famille de vecteurs

Soit une famille F = {~u_i}_1≤ⁱ_≤^p de vecteurs d’un espace vectoriel E de dimension n ≥ p.

On appelle, rang de la famille F, la dimension du sous-espace vectoriel F engendré par F.

Rang d’une famille de vecteurs

Proposition : On ne change pas le rang d’une famille de vecteurs si :

É On permute les vecteurs

É On multiplie l’un d’entre eux par un réel non-nul.

É On ajoute à l’un d’entre eux par une combinaison linéaire des autres.

(34)

(35)

Rang d’une famille de vecteurs

Calcul

Calculer le rang de la famille de vecteurs :

~

u= (1,2,3), v~ = (0,2,1), w~ = (2,6,7)

~

u = (1,2,3)

~

v = (0,2,1)

~

w = (2,6,7) On remplace w~ par w~ −2u~ :

~

u = (1,2,3)

~

v = (0,2,1)

~

w−2~u = (0,2,1) rgVect(u,~ v,~ w~) = 2

Espaces vectoriels Somme de sous-espaces vectoriels

Soit E un espace vectoriel et F

1 et F

2 deux sous-espaces vectoriels de E.

On pose : F

1 +F

2 = {u~ ∈ E | u~ = u~

1 +u~

2, u~

1 ∈ F

1 et u~

2 ∈ F

2} Proposition : F

1+F

2 est un sous-espace vectoriel de E

Soient u~,v~ ∈ F

1+F

2 et α ∈ R

É ∃u~

1,v~

1 ∈ F

1 et ∃u~

2,v~

2 ∈ F

2 :u~ = u~

1 +u~

2 et v~ = v~

1+v~

2 É u~ +v~ = (u~

1+u~

2) + (v~

1 +v~

2) = (u~

1 +v~

1) + (u~

2+v~

2)

É u~

1+v~

1 ∈ F

1 et u~

2 +v~

2 ∈ F

2 É α.u~ = α.(u~

1 +u~

2) = α.u~

1 +α.u~

2 É α.u~

1 ∈ F

1 et α.u~

2 ∈ F

2

(36)

(37)

Condition d’unicité

Soit E un espace vectoriel et F

1 et F

2 deux sous-espaces vectoriels de E tels que E= F

1 +F

2.

∀u~ ∈ E, ∃~u

1 ∈ F

1 ∃u~

2 ∈ F

2 : u~ = u~

1+u~

2

Proposition : La décomposition u~ = u~

1+u~

2 est unique si, et seulement si, F

1 ∩F

2 = {0}~

1. Soit u~ ∈ F

1 ∩F

2 : u~ = u~ +0~ u~ ∈ F

1 0~ ∈ F

~ 2

u = 0~ +u~ 0~ ∈ F

1 u~ ∈ F

2

donc : u~ = 0 et~ F

1 ∩F

2 = {0}~ 2. Si F

1 ∩F

2 = {0}, supposons :~

~ u = u~

1 +u~

2 = v~

1+v~

2, u~

1,v~

1 ∈ F

1, u~

2,v~

2 ∈ F

2

Alors : u~

1 −v~

1 = u~

2 −v~

2 ∈ F

1 ∩F

2 = {0}~

Somme directe de sous-espaces vectoriels

Théorème : Soient F

1 et F

2 deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E tels que E= F

1 +F

2, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1. La décomposition de tout u~ ∈ E en somme u~

1+u~

2, avec

~

u1 ∈ F

1 et u~

2 ∈ F

2 est unique.

2. F

1 ∩F

2 = {0}~

Dans ce cas, on dit que F

1 et F

2 sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E ou que E est somme directe de F

1 et F

2. Notation : E = F

1

LF

2

(38)

(39)

Existence d’un supplémentaire

Théorème : Soit F un sous-espace vectoriel de dimension p d’un espace vectoriel E de dimension n, tel que : F ₍ E.

Alors : F admet au moins un supplémentaire G dans E et : E = F^LG ⇒ dimE = dimF+dimG

Somme directe

Exemple

Soit l’espace vectoriel R². F1 = {u~ = (x,0)} = R×{0}

F2 = {~v = (0,y)} = {0} ×R 1. F

1 et F

2 sont des sous-espaces vectoriels de R². 2. R² ⁼ ^F₁ ⁺^F₂.

3. F

1 ∩F

2 = {0}.~

R² ⁼ ^F₁^L^F₂

(40)

(41)

F2

F1

o

~u

~v

F₂⁰

~u⁰

~v⁰ ~u+~v=~u⁰+~v⁰

Proposition : Soit E un espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

dim(F+G) = dim(F) +dim(G)−dim(F∩G)

É Soit H un supplémentaire de F∩G dans G : H∩F = H∩(F∩G) = {0}~ donc : F+G = F^LH

É dim(H) = dim(G)−dim(F∩G) donc :

dim(F+G) = dim(F)+dim(H) = dim(F)+dim(G)−dim(F∩H)

(42)