Chapitre1-les espaces vectoriels(SMPC)

UNIVERSIT ´E SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULT ´E DES SCIENCES Dhar El Mehraz

Cours d’alg `ebre 2

MOUNANIS Hakima et MOUNIRH Karim

PLAN DU COURS

1

E

_SPACES

V

_ECTORIELS

2

M

_{ATRICES ET}

D ´

_ETERMINANTS

A

_PPLICATIONS

L

_IN

_EAIRES

´

Chapitre 1

Espaces vectoriels

Motivation

Soient−→u ,−→v et−→w trois vecteurs du plan et α, β, γ ∈ R . On a :

1 −→_{u +}−→_{v =}−→_{v +}−→_{u .} 2 ₍−→_{u +}−→_{v ) +}−→_{w =}−→_{u + (}−→_{v +}−→_{w ).} 3 −→_{u +}−→_{0 =}−→_{0 +}−→_{u =}−→_{u .} 4 −→_{u + (−}−→_{u ) =}−→₀ 5 _(α.β).−→_{u = α.(β.}−→_{u ).} 6 _1.−→_{u =}−→_{u .} 7 _{(α + β).}−→_{u = α.}−→_{u + β.}−→_u 8 _α.(−→_{u +}−→_{v ) = α.}−→_{u + α.}−→_v

D ´efinitions et propri ´et ´es

Motivation

L’ensemble des nombres r ´eels R muni de l’addition et de la multiplication, v ´erifie les propri ´et ´es suivantes :∀α, β, γ ∈ R et ∀x, y, z ∈ R,

1 _{x + y = y + x} 2 _{(x + y ) + z = x + (y + z).} 3 _{x + 0 = 0 + x = x} 4 _{x + (−x ) = (−x ) + x = 0.} 5 _{(α.β).x = α.(β.x ).} 6 _{1.x = x .} 7 _{(α + β).x = α.x + β.x} 8 _{α.(x + y ) = α.x + α.y}

Espaces vectoriels

D ´efinition

Un K -espace vectoriel est un ensemble non vide E muni :

-d’une loi de composition interne qu on note additivement, c’est- `a-dire d’une application :

E × E −→ E (u, v ) 7−→ u + v

-d’une loi composition externe qu on note multiplicativement, c’est- `a-dire d’une application :

K × E −→ E (λ,u) 7−→ λ.u qui v ´erifient les propri ´et ´es suivantes :

D ´efinitions et propri ´et ´es

Espaces vectoriels

Pour tous ´el ´ements u, v et w de E

1 _{Il existe un ´el ´ement 0}

E∈ E (qu est unique) tel que u + 0E=0E+u = u

pour tout u ∈ E .

2 _{Tout u ∈ E admet un oppos ´e, c’est `a dire un ´el ´ement u}0 _{tel que}

u + u0 =u0+u = 0. Cet ´el ´ement u0 est unique et on le notera dans la suite par −u.

3 _{u + v = v + u et on dit que la loi de composition interne (c’est `a dire}

l’addition) est commutative.

4 _{(u + v ) + w = u + (v + w ). On dit que la loi de composition interne (}

Espaces vectoriels

et pour tous α, β et γ de K

1 _{(α + β).u = α.u + β.u} 2 _{α.(u + v ) = α.u + α.v} 3 _{(α.β).u = α.(β.u).} 4 _{1.u = u.}

Les ´el ´ements de E sont appel ´es des vecteurs. Les ´el ´ements de K sont appel ´es des scalaires.

D ´efinitions et propri ´et ´es

Espaces vectoriels

Exemples

1 _{L’ensemble des vecteurs du plan est un espace vectoriel sur R.} 2

R est un espace vectoriel sur R.

3 _{L’ensemble des fonctions d ´efinies sur R est un espace vectoriel sur R.} 4 _{L’ensemble K [X ] des polyn ˆomes forme un K -espace vectoriel.} 5 _{C est un espace vectoriel sur R. Aussi c’est un espace vectoriel sur C.} 6 _{Pour tout n ∈ N}∗_{, L’ensemble K}n_{est un K - espace vectoriel sur K .}

Remarque

C est un C-espace vectoriel c’est aussi un R-espace vectoriel R est un R-espace vectoriel qui n’est pas unC-espace vectoriel.

D ´efinitions et propri ´et ´es

Propri ´et ´es

Soit E un K− espace vectoriel, alors :

1 ∀α ∈ K, ∀x ∈ E et ∀y ∈ E α(x − y) = αx − αy. En particulier,

α(−y ) = −(αy ) .

2 ∀α ∈ K, ∀β ∈ K et ∀x ∈ E, (α − β)x = αx − βx. En particulier

(−β)x = −βx .

Sous-espaces vectoriels

D ´efinition

Soit E un K -espace vectoriel. Une partie F de E est ditesous-espace

vectorielde E si

1 _{0 ∈ F .}

2 _{Si u, v ∈ F alors u + v ∈ F .} 3 _{Si α ∈ K et u ∈ F alors α·u ∈ F}

Sous-espaces vectoriels

Sous-espace vectoriels

Proposition

Soit E un K -espace vectoriel. Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si

1 _{0 ∈ F .}

Sous-espaces vectoriels

Exercices

1 {0} et E sont des sous-espaces vectoriels (triviaux).

2 _{L’ensemble F = {(x , y ) ∈ R}2|x + y = 0} est un sous-espace de R2_. 3 _{L’ensemble F = {(x , y , z) ∈ R}3_{|x − y − 2z = 0} est un sous-espace}

vectoriel de R3_.

4 _{Soit E = K [X ]. Pour tout n ∈ N}∗_{, On note par}

Kn[X ] := {P ∈ K [X ] | d0P ≤ n} qu est un sous espace vectoriel de K [X ]

5 _{Soit E = K [X ], alors F =}

n

P ∈ K [X ] | 3P(1) − P0(2) + 5P00(0) = 0oest un sous-espace vectoriel de E .

Sous-espaces vectoriels

Sous-espaces vectoriels

Exercices

1 _{L’ensemble F = {(x , y ) ∈ R}2| xy = 0} n’est pas un sous-espace de R2_. 2 _{L’ensemble F = {(x , y , z) ∈ R}3| x − 2y + 3z = 3} n’est pas un

sous-espace de R3_.

3 _{Pour tout n ∈ N}∗_{, l’ensemble des polyn ˆomes des degr ´es n n’est pas un}

sous espace vectoriel de l’ensemble des polyn ˆome.

4 _{Soient E l’ensemble des suites (x}

n)n∈IN de nombres r ´eels. L’ensemble

Intersection des sous espaces vectoriel

Proposition

SoientE un K -espace vectoriel , F et G deux espaces vectoriels du E . Alors, F ∩ G est aussi un sous espace vectoriel de E .

Sous-espaces vectoriels

Somme de deux sous-espaces

D ´efinition

Soient E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces de E . La partie F + G = {u + v |u ∈ F et v ∈ G}

est un sous-espace vectoriel de E appel ´e somme de F et de G. Si de plus

F ∩ G = {0} la somme F + G est dite directe et on aura alors

Somme de deux sous-espaces

Exercice

D ´eterminer F + G dans le cas o `u F et G sont les sous-espaces vectoriels de R3suivants :

F = {(x , y , z) ∈ R3| y = z = 0} G = {(x , y , z) ∈ R3| x = z = 0} En plus, montrer que cette somme est directe.

Sous-espaces vectoriels

Somme de deux sous-espaces vectoriels

D ´efinition

On dit que deux sous-espace vectoriel F et G sont suppl ´ementaires dans E ou encore que E est somme directe de F et G si les deux assertions suivantes sont r ´ealis ´ees

1 _FT G = {0}. 2 _{E = F + G}

Somme de deux sous-espaces

Exercices

1 _{Dans R}3_{, consid `erons F et G les sous-espaces vectoriel d ´efinis par :}

F = {(x , y , z) ∈ R3| x − y − z = 0} G = {(x , y , z) ∈ R3| x = z = 0} Montrer que F et G sont suppl ´ementaires dans R3_.

2 _{Soit E = (R, R) l’espace vectoriel des fonctions r ´eelles. On note F le}

sous- ensemble de E des fonctions paires et G le sous-ensemble des fonctions impaires. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels suppl ´ementaires dans E .

Sous-espaces vectoriels

Combinaison lin ´eaire

D ´efinition

Soient E un K -espace vectoriel, a1, . . . ,andes ´el ´ements de E . Un ´el ´ement a

de E est ditcombinaison lin ´eairede a1, . . . ,ansi, il existe n scalaires

λ1, . . . , λn∈ K tels que :

Combinaison lin ´eaire

Exemple

1 _{Dans R}3_{le vecteur w = (3, 2, 2) est combinaison lin ´eraire de}

v1= (1, 0, 0) et v2= (0, 1, 1).

2 _{Soient P = X}3_{+2X + 1, Q = X}4_+2X3_+5X2_{+4X et T = X}4_+5X2− 2.

Combinaison lin ´eaire

Combinaison lin ´eaire

D ´efinition

Soit A = (ai)_i∈Iune famille de vecteurs(ou bien un syst `eme de vecteurs) d’un

K− espace vectoriel E .

On note par vect(A) L’ensemble de tous les combinaisons lin ´eaires fini des ´el ´ements de A : vect(A) = ( X i∈J λiai | J fini , J ⊆ I; λi ∈ K ) Proposition

A = (ai)i∈Iune famille de vecteurs (ou bien un syst `eme de vecteurs) d’un K−

Combinaison lin ´eaire

Exercice

D ´eterminer le sous-espace F de R3_{d ´efini par}

Syst `eme g ´en ´erateur

syst `eme g ´en ´erateur

Exemple

1 _(e

1= (1, 0), e2= (0, 1)) est un syst `eme g ´en ´erateur de R2.

2 _{le syst `eme (v}

1= (1, 1), v2= (2, 1)) engendre R2.

3 _(e

1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1)) est une famille g ´en ´eratrice de

R3.

4 _(v

1= (1, 1, 1), v2= (1, 2, 3)) n’engendre pas R3.

5 _{La famille des ´el ´ements (1, X , X}2_{)engendre R}

2[X ].

6 _{La famille des ´el ´ements (1 + X , X + X}2_{)n’engendre pas R}

Syst `eme g ´en ´erateur

Exercice

Soit F = {(x , y , z) ∈ R3_{|x − y − 2z = 0}.}

a) Trouver un syst `eme S de R3tel que F = vect(S).

Syst `eme g ´en ´erateur

Syst `eme g ´en ´erateur

Exercice

Soit F = {P = α + βX + γX2_{+ λX}3_{∈ R}

3[X ] | α = 2γ et β = −λ }. a) Montrer que F est un sous espace vectoriel de R3[X ] b) Trouver une famille g ´en ´eratrice de F .

Famille libre

D ´efinition

Soit E un K -espace vectoriel. Une famille S = (ai)i∈I de vecteurs de E est dit

libresi pour tout sous ensemble fini J de I

(X

i∈J

λ_iai =0) ⇒ λi =0, ∀i ∈ J.

Famille libre

Syst `eme libre

Exemple

Dans E = R3

1 _{Le syst `eme (v}

1= (2, 2, 2), v2= (0, 1, −1), v3= (2, −1, 5)) n’est pas libre.

2 le syst `eme (v

1,v2)est libre.

3 _{Le syst `eme (e}

Syst `eme libre

Exemple

1 Montrer que le syst `eme (P

1=X3− 1, P2=X2+X , P3=X2)est libre.

2 _{Montrer que le syst `eme}

Base et Dimension

Base et Dimension

D ´efinition et proprosition

Soit E un K -espace vectoriel

1 _{La famille B = (a}

i)i∈I des ´el ´ements de E est dite basede E sur K si elle

est `a la fois unefamille g ´en ´eratrice et librede E sur K .

2 _{L’espace E est ditde dimension finiesur K s’il poss `ede unebase de}

cardinal fini.

3 _{On montre que toutes les bases d’un espace vectoriel E de dimension}

Base et Dimension

Exemple

1 _{Calculer la dimension de l’espace vectoriel R}

3[X ].

2 _{Posons e}

1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1). Montrer que

B = (e1,e2,e3)est une base de R3. B est dite la base canonique de R3).

Base et Dimension

Base et Dimension

Les composantes d’un vecteur

Soient E un K e.v. de dimension fini n et B = {a1, . . . ,an} une famille des

´el ´ements de E . Alors,

B est une base de E si et seulement si pour tout ´el ´ement a de E il existe

d’une fac¸on unique, des scalaires λ1, . . . , λnde K tels que

a = λ1a1+ · · · + λnan

Base et Dimension

Exercice

On consid `ere F le sous-espace de R3_{d ´efini par :}

F = {(x , y , z) ∈ R3| x − y − 2z = 0}

1 _{Donner une base B de F ainsi que sa dimension.}

2 _{Soit le vecteur u = (x , y , z) ∈ R}3_{. Quelles sont les composantes de u}

dans la base B. En particulier pour u = (5, 1, 2) ∈ F .

3 _{Connaissant les composantes d’un vecteur v dans la base B, donner les}

Base et Dimension

Base et Dimension

Exemple

Soit E = R3_{et B = (e}

1,e2,e3)sa base canonique.On pose

B0 = (u = e1+2e3,v = e3− e2,w = e1+2e2).

1 _{Montrer que B}0 _{est une base de R}3_.

2 _{Exprimer les composantes dans B}0 _{d’un vecteur de R}3_{en fonction de ces}

Base et Dimension

Th ´eor `eme

Soit E un K -espace vectoriel de dimension fini et B un syst `eme de vecteurs de. Si le nombre des vecteurs de B ´egale `a dimE alors les propri ´et ´es suivantes sont ´equivalentes.

1 _{B est une base de E .} 2 _{B est libre.}

Base et Dimension

Base et Dimension

Exemple

Montrer que B = {1, (X − 1), (X − 1)2_{, (X − 1)}3_{} est une base de R} 3[X ].

Base et Dimension

Proposition

1 _{Dans un espace de dimension finie, si S est un syst `eme libre, alors le}

nombre des vecteurs de S est inf ´erieur ou ´egale `a dim(E ).

2 _{Dans un espace de dimension finie, si B est un syst `eme g ´en ´erateur de}

E , alors le nombre des vecteurs de B est sup ´erieur ou ´egale `a dim(E ).

3 _{Dans un espace vectoriel de dimension finie, tout syst `eme libre peut ˆetre}

Base et Dimension

Base et Dimension

Exercice

On consid `ere F le sous-espace de R3_{d ´efini par :}

F = {(x , y , z) ∈ R3| x − y − 2z = 0}

a) Donner une base B de F ainsi que sa dimension.

Base et Dimension

Proposition

Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 1 et soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E . Alors les assertions suivantes sont v ´erifi ´ees :

1 _{dimF ≤ dimE .}

2 _{dimF = dimE ⇔ E = F .}

3 _{F admet au moins un suppl ´ementaire dans E.} 4 _{dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G).}

5 _{Si F et G sont suppl ´ementaires dans E, alors dimE = dimF + dimG.} 6 _{Si dimF + dimG = dimE , Alors on a : E = F ⊕ G si et seulement si}

Base et Dimension

Base et Dimension

Exemple

On consid `ere F le sous-espace de R3_{d ´efini par :}

F = {(x , y , z) ∈ R3| x + 2y − 3z = 0}

a) Donner une base B de F ainsi que sa dimension.

Base et Dimension

Proposition

Dans un espace vectoriel de dimension finie, de tout syst `eme g ´en ´erateur on peut extraire une base.

Base et Dimension

Exercice

Dans R[X ], consid ´erons le sous-espace vectoriel

F = Vect(1, X , X + 1, 1 + X3_{,X − X}3_{). D ´eterminer une base de F, ainsi que sa}

Exercice

Consid `erons le sous-espace vectoriel F = {(x , y , z) ∈ R3_{/2x − y + z = 0} de}

R3

1 Montrer que les vecteurs v

1= (1, 2, 0) ; v2= (0, 1, 1) et v3= (1, 1, −1)

forment un syst `eme g ´en ´erateur de F.

Base et Dimension

Rang d’un syst `eme

D ´efinition

Etant donn ´e un syst `eme S = (a1, . . . ,an), d’ ´el ´ements d’un espace vectoriel E .

On appellerangde S la dimension du sous-espace vectoriel Vect(S), engendr ´e par le syst `eme S.

C’est aussi le nombre maximal des vecteurs libres qu’on peut extraire de ce syst `eme.

Exercice

D ´eterminer les rangs des syst `emes de vecteurs suivants {(2, 3, 5), (−1, 2, −3), (4, −3, 8)}

{(2, 3, 5), (−1, 2, −3), (1, 5, 2)}.