Espaces vectoriels normés
Géométrie Exercice 1. Unicité du centre et du rayon d’une boule
SoitE un evn non nul eta, a0∈E,r, r0>0 tels queB(a, r) =B(a0, r0). Montrer quea=a0 etr=r0. Exercice 2. x+y+z= 0
Soient x, y, ztrois vecteurs d’un evnE tels quex+y+z= 0.
Montrer que : kx−yk+ky−zk+kz−xk> 32(kxk+kyk+kzk).
Exercice 3. Médiatrice
Dans R2 on considère les points O = (0,0) et A = (1,2). Pour chacune des trois normes classiques, déterminer l’ensemble des points X= (x, y) équidistants deO etA.
Exercice 4. Une boule est convexe
SoitE un evn,a∈E, r >0. On noteB=B(a, r) et˚B=˚B(a, r).
1) Montrer queB et˚B sont convexes.
2) Si la norme est euclidienne, montrer que siu, v∈B avecu6=v, alors ]u, v[⊂˚B.
(]u, v[={(1−t)u+tvtqt∈]0,1[})
3) En déduire que si la norme est euclidienne, toute partieAtelle que˚B⊂A⊂B est convexe.
4) Donner un contre-exemple avec une norme non euclidienne.
Exercice 5. Distance à un ensemble
SoitE un evn etA⊂E une partie non vide. Pourx∈E on pose : d(x, A) = inf{kx−aktqa∈A}.
1) Montrer que : ∀x, y∈E,|d(x, A)−d(y, A)|6kx−yk.
2) Montrer que l’applicationx7→d(x, A) est continue.
Exercice 6. Distance à un ensemble (ENS Cachan MP 2002)
SoitAune partie de Rn non vide. On note pour x∈Rn : dA(x) = inf{kx−yktqy∈A}.
1) Montrer quedA est continue.
2) Soient deux parties deRn non videsA, B. Donner une condition équivalente àdA=dB. 3) On noteρ(A, B) = sup{|dA(y)−dB(y)|,y∈Rn}, valant éventuellement +∞.
Montrer que l’on aρ(A, B) = max sup
x∈A
dB(x), sup
x∈B
dA(x) . Exercice 7. Distance entre un fermé et un compact
Soient A, Bdeux parties compactes non vides de Rn.
Montrer qu’il existea∈Aet b∈B tels queka−bk= min{kx−yktqx∈A,y∈B}.
Montrer que ceci est encore vrai si on suppose Acompact etB fermé.
Exercice 8. Diamètre
SoitE un evn de dimension finie etA⊂Eborné, fermé, non vide. Montrer qu’il existe a, b∈Atels que ka−bk= max(kx−yktqx, y∈A) (considérer l’ensemble A×Adans l’evnE×E).
Exercice 9. Diamètres concourants (Ens Ulm MP∗ 2003)
1) Soit K un compact convexe de R2 d’intérieur non vide. Soit O ∈ K. Montrer qu’il existe une˚ fonctionf :R→R+continue 2π-périodique telle qu’en coordonnées polaires de centreO,Kest défini parρ6f(θ).
2) Soitg : [0,1] → R continue telle que Rπ
x=0g(x) cos(x) dx = Rπ
x=0g(x) sin(x) dx= 0. Montrer que g s’annule au moins deux fois sur ]0, π[.
3) SoitGle centre de gravité deK. Montrer que Gest le milieu d’au moins trois « diamètres » deK (trois segments joignant deux points de la frontière).
Exercice 10. x/max(1,kxk), Centrale MP 2005 Soitf définie parf(x) = x
max(1,kxk). Montrer quef est 2-lipschitzienne.
Suites Exercice 11. un colinéaire àvn ⇒limun colinéaire àlimvn
SoitE un evn de dimension finie et (un), (vn) deux suites de vecteurs telles que :
∀n∈N, un est colinéaire àvn, un −→
n→∞u, vn −→
n→∞v.
Montrer queuetv sont colinéaires (raisonner par l’absurde et compléter (u, v) en une base deE).
Exercice 12. Suites de Cauchy
Soient (un), (vn) deux suites d’un evn E telles queun−vn −→
n→∞0 et (un) est de Cauchy. Montrer que (vn) est de Cauchy.
Exercice 13. Suite de Cauchy non convergente SoitE=R[X] muni de la norme : kP
akXkk= max(|ak|, k∈N). On notePn= 1 +X+X2
2 +. . .+Xn n . Montrer que la suite (Pn) est de Cauchy, mais ne converge pas.
Exercice 14. termes d’une suite
Soit (un) une suite convergeant vers` etf :N→N. 1) Sif est injective, que peut-on dire de la suite (uf(n)) ? 2) Sif est surjective, que peut-on dire de la suite (uf(n)) ? Exercice 15. Mines PC 1998
Soit B une matrice antisymétrique. On suppose que la suite (Bn) converge vers une matrice C. Que peut-on dire deC ?
Exercice 16. Suite de matrices inversibles
Soit (An) une suite de matrices deMp(R) vérifiant les propriétés suivantes : 1 :An −→
n→∞A∈ Mp(R) 2 : pour toutn,An est inversible 3 :A−1n −→
n→∞B∈ Mp(R).
1) Montrer queAest inversible etA−1=B.
2) Peut-on retirer la propriété 3 ? Exercice 17. Suite de matrices inversibles
SoitA∈ Mp(R) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant versA.
Exercice 18. DSE deI−A
SoitA∈ Mp(R). On suppose que la suite de matrices : An =I+A+A2+. . .+An converge vers une matriceB. Montrer queI−Aest inversible, etB = (I−A)−1.
Remarque : La réciproque est fausse, c’est à dire que la suite (An) peut diverger même si I−A est inversible ; chercher un contre-exemple.
Exercice 19. Ensam PSI 1998
SoitA∈ Mn(C) telle que la suite (Ak) converge vers une matriceP. Montrer queP est une matrice de projection.
Exercice 20. Suites de fonctions
Soient E=C([a, b],R), (fn) une suite de fonctions deE etf ∈E. Comparer les énoncés : 1 :kfn−fk1 −→
n→∞0 2 :kfn−fk2 −→
n→∞0 3 :kfn−fk∞ −→
n→∞0.
Exercice 21.
On note E l’espace vectoriel des suites réelles (xn) telles que la série P
x2n converge. On le munit du produit scalaire (x|y) =P∞
n=0xnyn. Soit (ys) une suite bornée d’éléments deE. Montrer qu’on peut en extraire une sous-suite convergent faiblement, c’est-à-dire qu’il existez telle que pour toutxdeE on ait (x|ysk) −→
k→∞(x|z).
Exercice 22. ENS Lyon MP 2002
SoitE un espace vectoriel normé surRouCde dimension finie, etu∈ L(E) tel que pour toutx∈Ela suite (un(x))n∈Nest bornée.
1) Montrer que la suite ( un )n∈Nest bornée.
2) Déterminer la limite quandn→ ∞de n+11 Pn
i=0ui(x).
Normes Exercice 23. Norme bizarre
Montrer que (x, y)7→sup
t∈R
|x+ty|
1 +t+t2 est une norme sur R2 ; dessiner la boule unité.
Exercice 24. Normes de polynômes SoitE=R[X]. Pour P=Pn
k=0akXk, on pose : kPk1=
n
X
k=0
|ak|, kPk∞= max{|a0|, . . . ,|an|}, kPk∗= max{|P(t)| tq 06t61}.
Montrer que ce sont des normes, et qu’elles sont deux à deux non équivalentes (on considèreraPn(t) = (t−1)n etQn(t) = 1 +t+t2+. . .+tn).
Exercice 25. Norme de polynômes
SoitE=R[X]. Pour P∈Eon pose kPk= sup(|P(t)−P0(t)|tqt∈[0,1]).
Montrer qu’on définit ainsi une norme surE.
Exercice 26. Normes de polynômes
Soita∈R. On pose pourP∈R[X] : Na(P) =|P(a)|+R1
t=0|P0(t)|dt. Montrer que. . . 1) Na est une norme.
2) N0et N1sont équivalentes.
3) Sia, b∈[0,1], alorsNa et Nb sont équivalentes.
4) SoitPn = (X/2)n. Déterminer pour quelles normes Na la suite (Pn) est convergente et quelle est sa limite.
5) Si 06a < b etb >1 alors aucune des normes Na,Nb n’est plus fine que l’autre.
Exercice 27. Normes surR[X]
Soit (λn) une suite de réels strictement positifs. On lui associe la norme surR[x] : N(P
aixi) =P λi|ai|.
Soient (λn) et (λ0n) deux suites etN,N0 les normes associées. Montrer queN et N0 sont équivalentes si et seulement si les suites (λn/λ0n) et (λ0n/λn) sont bornées.
Exercice 28. Centrale MP 2006
E est l’ensemble des fonctionsf de classeC2sur [0,1] telles quef(0) =f0(0) = 0. Pourf ∈E, on pose :
N∞(f) = sup
x∈[0,1]
|f(x)|, N(f) = sup
x∈[0,1]
|f(x) +f00(x)|, N1(f) = sup
x∈[0,1]
|f00(x)|+ sup
x∈[0,1]
|f(x)|.
1) Montrer queN∞,N etN1 sont des normes surE.
2) Montrer queN∞n’est équivalente ni àN1 ni àN.
3) Montrer queN et N1sont équivalentes (introduire l’équation différentielle y00+y=g).
Exercice 29. Norme de Frobenius Pour A∈ Mn(R), on posekAk=p
tr(tAA).
Montrer que c’est une norme et que : ∀A, B∈ Mn(R),kABk6kAk × kBk.
Exercice 30. Semi-norme
Soitpune semi-norme surMn(C) (ie. il manque juste l’axiomep(A) = 0⇒A= 0). On suppose de plus que∀(A, B)∈(Mn(C))2,p(AB)6p(A)p(B). Montrer quep= 0 oupest en fait une norme.
Exercice 31. Normes produit
Soient E, F deux evn etG=E×F. On pose pouru= (x, y)∈G: kuk1=kxkE+kykF, kuk2=
q
kxk2E+kyk2F, kuk∞= max(kxkE,kykF).
1) Montrer que ce sont des normes surG et qu’elles sont deux à deux équivalentes (sans hypothèse de dimension finie).
2) On prendE =F. Montrer que pour chacune de ces normes, l’application :
G −→ E (x, y) 7−→ x+y est continue.
Exercice 32. Normes sur les suites
SoitE l’ensemble des suitesu= (un) réelles bornées. On pose
kuk= sup(|un|tqn∈N)
N(u) = sup(|un|+|u2n|tqn∈N).
Montrer que ce sont des normes surE et qu’elles sont équivalentes.
Exercice 33. Norme sur les suites
SoitE l’ensemble des suites réellesu= (un)n>1 telles que la suite (pn
|un|) est bornée. Pouru∈E, on posekuk= sup(pn
|un|tqn∈N∗). Montrer queE est unR-ev et quek.k n’est pas une norme surE.
Exercice 34. Fonctions lipschitziennes
SoitE l’ensemble des fonctionsR→Rlipschitziennes. Pourf ∈E, on pose :
kfk=|f(0)|+ sup
f(x)−f(y) x−y
tqx6=y
!
, N(f) =|f(0)|+ sup
f(x)−f(0) x
tqx6= 0
! .
1) Montrer queEest unR-ev.
2) Montrer quek.k etN sont des normes surE.
3) Sont-elles équivalentes ? Exercice 35. FonctionsC1
SoitE l’ensemble des fonctionsf : [0,1]→Rde classeC1. Pourf ∈E, on pose : N1(f) = sup(|f|+|f0|), N2(f) = sup|f|+ sup|f0|. Montrer queN1 etN2 sont deux normes équivalentes surE.
Exercice 36. Norme sur les fonctions continues
E=C([0,1],R). Soitg∈E. Pour toutf ∈E on poseN(f) = sup{|f(x)g(x)|, x∈[0,1]}.
1) Donner une condition nécessaire et suffisante surg pour queN soit une norme surE.
2) Si pour toutx∈[0,1],g(x)6= 0, montrer qu’alorsN etk k∞ sont des normes surE équivalentes.
3) Démontrer la réciproque de la proposition précédente.
Exercice 37. Comparaison de normes (ENS MP 2002)
1) SoitE un espace préhilbertien réel etu1, . . . , un des éléments deE. CalculerP
σ
Pn
i=1σ(i)ui
2 où σparcourt l’ensemble des fonctions de [[1, n]] dans{−1,1}.
2) On se place dans l’ensemble des fonctions continues de [0,1] dansR. Montrer que la norme infinie n’est équivalente à aucune norme euclidienne.
3) Même question avec la normek kp,p∈[1,+∞[\ {2}.
Exercice 38. Jauge
Soit (E,k k) unR-evn etK ⊂E une partie convexe, bornée, symétrique par rapport à l’origine et telle que 0∈˚K. Pourx∈E, on posen(x) = inf{|λ|tqx∈λK}. Montrer quenest une norme équivalente à k kpour laquelle la boule unité estK.
Exercice 39. Polytechnique MP∗ 2006
SoitE un espace vectoriel réel. On considère une applicationN :E→R+ telle que : (i) ∀λ, x, N(λx) =|λ|N(x) ;
(ii) ∀x, N(x) = 0⇔x= 0.
1) Montrer queN est une norme si et seulementB ={xtqN(x)61} est convexe.
2) Montrer que siN vérifie aussi
(iii) ∀x, y, N(x+y)262N(x)2+ 2N(y)2 alors c’est une norme.
Topologie Exercice 40. Parties deRn
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ? 1) A={(x, y)∈R2 tqxy= 1}.
2) B={(x, y)∈R2tqx2+xy+y2<1}.
3) C={z∈CtqRe(z2)61}.
Exercice 41. Addition de parties
Soient A, Bdeux parties non vides d’un evnE. On noteA+B={a+b tqa∈A, b∈B}.
Montrer que. . .
1) SiAouB est ouvert, alorsA+B est ouvert.
2) SiAetBsont fermés, alorsA+Bn’est pas nécessairement fermé (prendreA={(x, y)∈R2 tqxy= 1}
etB={(x,0) tqx∈R}).
3) SiAet B sont compacts, alorsA+B est compact.
Exercice 42. Ouverts disjoints
Soient U, V deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel normé. Montrer que˚U et˚V sont disjoints.
Donner un contrexemple lorsqueU et V ne sont pas ouverts.
Exercice 43. Aouvert disjoint deB
Soient A, B deux parties d’un espace vectoriel normé disjointes. Si A est ouvert, montrer que A et B sont disjoints.
Exercice 44. ˚U =U.
SoitU un ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que˚U =U.
Exercice 45. Frontière d’un ouvert
SoitU un ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que la frontière deU est d’intérieur vide.
Exercice 46. Diamètre de la frontière
SoitAune partie non vide et bornée d’un evnE. On noteδ(A) = sup{d(x, y) tqx, y∈A}(diamètre de A). Montrer queδ(A) =δ(Fr(A)).
Exercice 47. Partie dense dans un compact
SoitAune partie compacte d’un evnE. Montrer qu’il existe une suite (ak) d’éléments deAqui est dense dansA.
Exercice 48. Intersection emboitée
SoitEun espace vectoriel normé, (Kn) une suite décroissante de compacts non vides deEetK=T
nKn. 1) Montrer queK6=∅.
2) SoitU un ouvert contenantK. Montrer qu’il existentel que Kn⊂U.
3) Montrer queδ(K) = limn→∞δ(Kn) (δest le diamètre).
Exercice 49. Ensemble dérivé
Soit A une partie d’un espace vectoriel normé E. Un point x ∈ E est dit point d’accumulation de A si toute boule de centre x contient une infinité de points de A. On note A0 l’ensemble des points d’accumulation deA (ensemble dérivé de A). Montrer queA0 est fermé, et comparerA0 et A.
Exercice 50. Voisinage fermé d’un fermé
SoitF un fermé deRn et r >0. On poseF0 =S
x∈FB(x, r). Montrer queF0 est fermé.
Exercice 51. Ev engendré par un ouvert
SoitOun ouvert non vide d’un ev normé E. Montrer que vect(O) =E.
Exercice 52. Adhérence et intérieur d’un sev SoitE un evn etF un sev deE.
1) Montrer queF est un sev deE.
2) SiE est de dimension finie, montrer queF =F.
3) Dans le cas général, montrer que˚F =∅ouF =E.
Exercice 53. Cône convexe engendré par un ensemble fini, ENS ULM-Lyon-Cachan MP∗ 2005 E est unR-espace vectoriel normé eta1, . . . , an∈E. On pose C=n
Pn
i=1λiai, λi>0o . 1) Montrer que, pour toutx∈E, il existe c∈C tel quekx−ck= inf{kx−ak, a∈C}.
2) En déduire queC est fermé.
Exercice 54. Partie convexe dense
SoitE un evn de dimension finie etC⊂E convexe et dense. Montrer queC=E.
Exercice 55. L’ensemble des projecteurs est fermé
Soit E un evn de dimension finie et P l’ensemble des projecteurs de E. Montrer que P est fermé dansL(E).
Exercice 56. Adhérence et intérieur dansC([0,1],R)
1) SoitE =C([0,1],R) muni de la norme de la convergence uniforme. SoitP l’ensemble des fonctions deE positives ou nulles. Chercher P et˚P.
2) Mêmes questions avec la norme : kfk=R1
t=0|f(t)|dt.
Exercice 57. Mines MP 2000
On poseE=C([0,1],R) et on le munit de la normek k∞. SoitF ={f ∈E tqf(0) =f(1)}. Déterminer l’adhérence et l’intérieur deF.
Exercice 58. Points isolés (Ens Ulm MP∗2003)
Les solutions de l’équationu2= idRn pouru∈ L(Rn) sont-elles isolées ? Exercice 59. Adhérence et intérieur d’un convexe
SoitAune partie convexe d’un evnE.
1) Démontrer queA et˚Asont aussi convexes (pour˚A: faire un dessin).
2) Montrer que l’applicationx7→d(x, A) est convexe (c.a.d. d(tx+(1−t)y, A)6td(x, A)+(1−t)d(y, A)).
Exercice 60. Théorème des fermés emboités
Soit E un evn de dimension finie, et (Bn =B(an, rn)) une suite de boules fermées, décroissante pour l’inclusion, tq rn −→
n→∞0.
1) Montrer que la suite (an) admet une sous-suite convergeant versa∈E.
2) Montrer quean −→
n→∞a.
3) Montrer queT
n∈NBn={a}.
Exercice 61. Intersection de boules
SoitE un evn complet et (Bn(an, rn)) une suite décroissante de boules fermées dont le rayon ne tend pas vers 0. Montrer queT
nBn est une boule fermée.
Exercice 62. X MP∗2001
On considère l’espaceMn(C) muni d’une norme quelconque.
1) Montrer queGLn(C) est ouvert dense de Mn(C).
2) SoitDn(C) l’ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C). Montrer que Dn(C) est dense dans Mn(C).
3) Quel est l’intérieur deDn(C) ?
Exercice 63. Matrices nilpotentes, ENS Ulm-Lyon-Cachan MP∗ 2006
Soit N ∈ Mn(C). Montrer que N est nilpotente si et seulement si la matrice nulle est adhérente à l’ensemble{P−1N P,P ∈GLn(C)}.
Exercice 64. Polynômes scindés (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP∗ 2003)
Soitn∈N∗ etσ∈Rn. On notePσ=Xn−σ1Xn−1+. . .+ (−1)n−1σn−1X+ (−1)nσn. SoitΩ={σ∈Rn tqPσ est à racines réelles, distinctes}.
1) Ωest-il ouvert ? fermé ?
2) Notonsf : σ7→Pσ. Déterminerf(Ω).
Compacité Exercice 65. Recouvrement ouvert
Soit A une partie compacte d’un evn E et (Oi)i∈I un recouvrement ouvert deA. Montrer qu’il existe r >0 tel que toute partie deA de diamètre inférieur ou égal àrsoit incluse dans l’un desOi.
Exercice 66. Ensemble compact de suites
SoitE=B(N,R) ={suitesu= (un) bornées}. On munitEde la norme :kuk=P∞
n=02−n|un|. Montrer queA={u∈E tq∀n∈N, 06un 61}est compact.
Exercice 67. P
|ai|= 1, Mines MP 2010 SoitE l’espace des suitesa∈RNtelles que P
|ai|converge, muni de la norme définie par kak∞= sup{|ai|, i∈N}.
SoitF le sous-ensemble des suitesatelles queP|ai|= 1. F est-il ouvert ? fermé ? compact ? borné ? Exercice 68. Boule unité non compacte
SoitE=C([0,2π],R) muni de la normek k2. Pourn∈N, on posefn(x) = cos(nx).
1) Calculerkfn−fpk2 pourn, p∈N.
2) En déduire queB(0,1) n’est pas compacte.
Exercice 69. Plus petite boule contenant une partie
Soitk kune norme surR2,A⊂R2 une partie bornée contenant au moins deux points.
1) Montrer qu’il existe une boule fermée de rayon minimum contenantA.
2) Montrer que cette boule n’est pas nécessairement unique (on prendrak k=k k∞).
3) Montrer que sik kest une norme euclidienne, alors la boule précédente est unique.
Exercice 70. Thm. de Riesz, Stival 2003 SoitE un evn de dimension infinie.
1) SoitF un sev de dimension finie eta∈E\F.
a) Montrer qu’il existeb∈F tel queka−bk=d(a, F).
b) En déduire qu’il existec∈E tel quekck= 1 =d(c, F).
2) Montrer que la boule unité deEn’est pas compacte.
Exercice 71. Spectre compact ? ENS 2014
Soit K un compact de Mn(R) et σ(K) l’ensemble des valeurs propres complexes des matrices de K.
Montrer queσ(K) est compact. Que dire si on suppose seulementKborné ?
Complétude Exercice 72. Norme pour les fonctions lipschitziennes
SoitE={fonctions lipchitziennesf :R→R}. Pourf ∈E, on posekfk=|f(0)|+ sup
x6=y
f(x)−f(y) x−y
. Montrer queE est complet.
Exercice 73. Intersection vide
SoitE=B(N,R) ={suitesu= (un) bornées}. On munitE de la norme : kuk= sup{|un|, n∈N}.
1) Montrer queEest complet.
2) SoitFk ={u∈Etqkuk= 1 etu0=. . .=uk = 0}. Vérifier que les Fk forment une suite de fermés bornés emboîtés dont l’intersection est vide.
Exercice 74. Théorème de Baire
SoitE un espace vectoriel normé complet et (Fn) une suite de fermés deE d’intérieurs vides. On pose F =S
nFn. Montrer que˚F =∅. Exercice 75. Centrale MP 2001
Montrer qu’un plan euclidien n’est pas réunion de cercles disjoints non réduits à un point. Indication : considérer les disques fermés associée à un recouvrement « circulaire » du plan et mettre en évidence une suite de disques emboités dont les rayons tendent vers zéro.
Connexité Exercice 76. Connexité d’un evn
SoitE un evn etA⊂E. On suppose queA est à la fois ouvert et fermé.
1) Exemples de telles parties ? 2) On définit la fonctionf :
E −→ R
x 7−→ 1 si x∈A, x 7−→ 0 si x /∈A a) Montrer quef est continue.
b) On prenda∈Aet b /∈A. Montrer queϕ:
[0,1] −→ R
t 7−→ f(ta+ (1−t)b) est continue.
c) Conclure.
Exercice 77. A6=E etA6=∅=⇒Fr(A)6=∅
SoitE un evn etAune partie deE ni vide, ni égale àE. Montrer que Fr(A)6=∅. Exercice 78. Frontière connexe
SoitEun espace vectoriel normé etA⊂Efermé. Montrer que si Fr(A) est connexe, alorsAest connexe.
Exercice 79. Uet Rne sont pas homéomorphes
SoitUle cercle unité deCetf :U→Rcontinue. Montrer quef n’est pas injective.
Exercice 80. un+1−un→0
Soit E un evn de dimension finie et (un) une suite bornée d’éléments deE telle que un+1−un −→
n→∞0.
Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite est connexe.
Exercice 81. Complémentaire d’une partie étoilée
Soit Ω une partie bornée étoilée d’un evn réel de dimension supérieure ou égale à 2. Montrer que le complémentaire de Ωest connexe.
Exercice 82. Complémentaire d’un sev
Soit E un R-evn de dimension finie et F un sev propre de E. Montrer que E\F est connexe si et seulement si codim(F)>2. Que peut-on dire dans un C-ev ?
Exercice 83. Ouvert presque fermé.
Soit E un evn de dimension supérieure ou égale à 2 et A, B deux parties de E telles queA est ouvert non vide,B est fini etA∪B est fermé. Montrer queA∪B=E.
Exercice 84. Complémentaire d’un hyperplan (Ens Ulm MP∗ 2005)
SoitE un evn réel etH un hyperplan deE. Montrer queE\H est connexe par arcs si et seulement si H n’est pas fermé.
Fonctions continues Exercice 85. Caractérisation des fonctions continues
Soient E, F deux espaces vectoriels normés et f :E→F. Montrer quef est continue. . .
si et seulement si : ∀A⊂E, f(A)⊂f(A) si et seulement si : ∀B⊂F, f−1(˚B)⊂f−1(B)◦. Exercice 86. Graphe fermé
SoientE, F deux espaces vectoriels normés etf :E→F. On noteGr(f) ={(x, y)∈E×F tqy =f(x)}.
1) Montrer que sif est continue, alors Gr(f) est fermé dansE×F.
2) Prouver la réciproque lorsquef(E) est inclus dans un compact deF.
3) Donner un contrexemple sif(E) n’est pas inclus dans un compact.
Exercice 87. Image d’une intersection
Soient E, F deux espaces vectoriel normés etf : E →F continue. Soit (Kn) une suite décroissante de compacts deE. Montrer quef(T
nKn) =T
nf(Kn).
Exercice 88. Image d’une intersection de fermés
Soit E un espace vectoriel normé complet, F un espace vectoriel normé quelconque, f : E → F une application continue et (En) une suite décroissante de fermés deE dont le diamètre tend vers 0.
Montrer quef(T
nEn) =T
nf(En).
Exercice 89. Fonction bicontinue sur un compact
SoitAune partie compacte d’un evnE etf :A→F une fonction continue et injective (F = evn).
1) Montrer quef−1:f(A)→Aest aussi continue.
2) Donner un exemple oùAn’est pas compact etf−1n’est pas continue.
Exercice 90. Isométries d’un compact
SoitAune partie compacte d’un evnE etf :A→Atelle que : ∀x, y∈A, d(f(x), f(y))>d(x, y).
1) Soita∈A et (an) la suite définie par : a0=a, an+1=f(an). Montrer que aest valeur d’adhérence de la suite (an).
2) Soienta, b∈A. Montrer qued(f(a), f(b)) =d(a, b).
3) Montrer quef(A) =A.
Exercice 91. (f(x)−f(y))/(x−y)
Soitf :R→Rune fonction de classeC1 et g:
R2 −→ R
(x, y) 7−→ f(x)−f(y)
x−y six6=y (x, x) 7−→ f0(x)
Montrer que g est continue (attention : pour une fonction définie par cas, se placer au voisinage d’un point (x0, y0) et déterminer si un seul ou plusieurs cas sont à considérer dans ce voisinage).
Exercice 92. sup(f(x, y))
Soitf :R2→Rcontinue. On poseg(x) = sup(f(x, y) tqy∈[0,1]). Montrer queg est continue.
Exercice 93. Fonction tendant vers+∞à l’infini
SoitE un evn de dimension finie etf :E→Rcontinue. On suppose quef(x) −→
kxk→∞+∞, c’est à dire :
∀A∈R, ∃B∈Rtq∀x∈E, kxk>B⇒f(x)>A.
1) On prendA=f(0) etB le nombre correspondant.
Montrer que inf{f(x) tq x∈E}= inf{f(x) tqkxk6B}.
2) En déduire quef admet un minimum.
3) Exemple : soitE=Rn[X] etf : [a, b]→Rbornée.
Montrer qu’il existeP∈Etqkf−Pk∞= sup{|f(t)−P(t)|tqt∈[a, b]}soit minimal (P est appelé : unpolynôme de meilleure approximation def sur [a, b]).
Exercice 94. Fonctions homogènes
On noteΩ=R2\ {(0,0)} et D ={(x, y)∈R2 tq 0< x2+y2 61}. Soitf :Ω→R. On dit quef est positivement homogène de degré αsi :
∀(x, y)∈Ω, ∀t >0, f(tx, ty) =tαf(x, y).
1) Donner des exemples de telles fonctions pourα= 1,0,−2,12.
2) Soitf continue, positivement homogène de degréα. Montrer que siα>0,f est bornée surD et que siα >0,f admet une limite finie en (0,0). Examiner les casα= 0, α <0.
Exercice 95. Fonction partiellement continue dans toutes les directions
Trouver une fonctionf :R2→Rdiscontinue en (0,0) mais telle que pour tousα, β∈R,f(αt, βt)−→
t→00.
Exercice 96. Continuité du polynôme caractéristique Soit E =Mn(R), F =Rn[X], et ϕ:
E −→ F
A 7−→ χA (polynôme caractéristique). Montrer que ϕ est continue.
Exercice 97. Ouverts et non ouverts SoitE=R[X]. Pour P∈E, on pose :
N1(P) = sup(|P(t)|tq 06t61) N2(P) = sup(|P(t)|tq 16t62) ϕ(P) =P(0).
1) Vérifier queN1 etN2 sont des normes.
2) Montrer queϕest continue pour N1.
3) Montrer queϕest discontinue pourN2 (considérerPn(t) = (1−t/2)n).
4) N1et N2sont-elles équivalentes ?
5) SoitO={P ∈E tqP(0)6= 0}. Montrer queOest ouvert pourN1 mais pas pourN2. Exercice 98. Thm du point fixe
SoitEun evn de dimension finie etf :E→Eune fonctionk-lipchitzienne aveck <1. On choisitu0∈E arbitrairement, et on considère la suite (un) telle que pour toutn: un+1=f(un).
1) Montrer quekun+1−unk6knku1−u0k.
2) En déduire que la suite (un) est de Cauchy.
3) Soit`= lim(un). Montrer que` est l’unique solution dansE de l’équationf(x) =x.
Exercice 99. f◦f est contractante
SoitE un espace vectoriel normé complet et f :E→E telle quef◦f est contractante. Montrer que f admet un unique point fixe.
Exercice 100. Application presque contractante
SoitAune partie compacte d’un evnE etf :A→Atelle que :
∀x, y∈A, x6=y⇒d(f(x), f(y))< d(x, y).
1) Montrer quef admet un point fixe unique,a.
2) Soit (xn) une suite d’éléments deAtelle quexn+1=f(xn). Montrer qu’elle converge versa.
Exercice 101. Application presque contractante (Polytechnique MP∗ 2000, Mines MP 2003)
SoitC un compact convexe d’un evnE. Soitf :C→C, 1-lipschitzienne. Montrer quef admet un point fixe. On pourra utiliser la fonction fn:x7→ n1a+ (1−n1)f(x) aveca∈C.
Exercice 102. Points fixes, ULM-Lyon-Cachan MP∗ 2005
1) Montrer que les points fixes def, continue sur [0,1] à valeurs dans [0,1], forment un ensemble fermé non vide.
2) Montrer que tout fermé de [0,1] non vide est l’ensemble des points fixes d’une fonction continue de [0,1] dans [0,1].
Exercice 103. Racines de polynômes X MP∗ 2004
SoitE =Cd[X] normé par kPaiXik=P|ai|, P ∈E de degré dà racines simples etPn une suite de polynômes deE convergeant versP. Soitz∈Ctel queP(z) = 0 etδ >0.
1) Montrer que pournassez grand,Pn a au moins un zéro dansB(z, δ).
2) Montrer qu’il existeδ0>0 tel que pour toutδ∈]0, δ0]Pn a exactement une racine dansB(z, δ) sin est assez grand.
3) Que peut-on dire si les zéros deP ne sont plus supposés simples ?
Exercice 104. Une application polynomiale est fermée, ULM-Lyon-Cachan MP∗ 2005
Soitf une fonction polynomiale surC. Montrer que l’image parf de tout fermé est un fermé.
Exercice 105. Principe du maximum, ULM-Lyon-Cachan MP∗ 2005
SoitP ∈C[X] etU un ouvert deCborné. Montrer que sup(|P(x)|, x∈U) = sup(|P(x)|, x∈Fr(U)).
Exercice 106. Fonction presque additive, Centrale MP 2001
Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés, F étant complet. Soit f une application continue de E dansF telle qu’il existeM ∈R+ vérifiant :
∀x, y∈E, kf(x+y)−f(x)−f(y)k6M.
1) Dans le casM = 0 montrer quef est linéaire. Ce résultat subsiste-t-il siE et F sont desC-ev ? 2) On suppose M > 0. Soit pour x ∈ E et n ∈ N : fn(x) = 2−nf(2nx). Montrer que la suite (fn)
converge simplement surE.
3) On note g = limn→∞fn. Montrer que g est une application linéaire continue et que c’est l’unique application linéaire telle quef −g soit bornée.
Exercice 107. f uc⇒f(borné) est borné
SoitA⊂E une partie non vide bornée etf :A→F uniformément continue. Montrer quef est bornée dans les cas suivants :
1) Aest convexe.
2) Aest quelconque etE est de dimension finie.
Exercice 108. ENS 2017
SoitA∈ Mn(R). On définit la fonctionA∗:Rn→Rn par
∀v∈Rn, ∀j∈[[1, n]], [A∗v]j= min{vi+Aij,16i6n}.
1) Montrer queA∗ est lipschitzienne.
2) Montrer que siλ∈]0,1[ alors∃!vλ∈Rn tqvλ=A∗(λvλ)(pour l’existence, on pourra introduire une suite construite par récurrence).
Applications linéaires continues Exercice 109. kf(x)k= 1
Soient E, F deuxK-evn etf ∈ L(E, F).
Montrer quef est continue si et seulement si{x∈E tqkf(x)k= 1} est fermé.
Exercice 110. Applications linéaires continues
SoitE unR-ev de dimension finie etu∈ L(E). On pose u = sup(ku(x)k tqkxk= 1).
1) Montrer que u existe et que c’est un maximum.
2) Montrer que . est une norme surL(E) (appelée : norme linéaire associée à k.k).
3) Montrer que : ∀x∈E, ku(x)k6 u × kxk.
4) En déduire que : ∀u, v∈ L(E), u◦v 6 u × v . Exercice 111. Centrale MP 2006
E est l’ensemble des fonctions deRdansRcontinues et bornées surR. Pour p∈Net f ∈E on pose : Np(f) = sup{|tpe−|t|f(t)|, t∈R}.
1) Montrer queNpest une norme sur E.
2) Soitc∈RetPc:
E −→ R
f 7−→ f(c). Étudier la continuité de Pc sur (E, Np).
3) Montrer que, pourpetqdistincts dansN, les normesNp et Nq ne sont pas équivalentes.
Exercice 112. Applications linéaires continues
Soient E, F deux evn de dimensions finies etϕ:E→F linéaire. Montrer queϕest continue.
En déduire que tout sev deE est fermé.
Exercice 113. Continuité du polynôme de Lagrange
Soient x1, . . . , xn ∈Rdistincts. A (y1, . . . , yn)∈Rn on fait correspondre le polynômeP ∈Rn−1[X] tel que pour touti: P(xi) =yi.
1) Montrer que l’application (y1, . . . , yn)7→P est continue.
2) Montrer que l’application réciproque est aussi continue.
Exercice 114. Suites convergentes
SoitE l’ensemble des suites réelles convergentes muni de la normekuk= sup{|un|, n∈N}.
SoitL:
E −→ R
u 7−→ `= limn→∞un. Montrer queLest une application linéaire continue et calculer sa norme.
Exercice 115. Itération d’un endomorphisme
Soit E un evn de dimension finie et u∈ L(E). On choisitx0 ∈E, et on considère la suite (xn) définie par la relation de récurrence : xn+1=u(xn)/ku(xn)k.
On suppose que la suite (xn) converge. Montrer que la limite est un vecteur propre deu.
Exemples : 1)E=R3, mat(u) =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
!
. 2)E=R3, mat(u) =
0 0 1 1 0 0 0 1 0
! . Exercice 116. Puissances deu
Soit E un evn de dimension finie et u∈ L(E) tel que u 61. Montrer que la suite (un) contient une sous-suite simplement convergente.
Exercice 117. id−uest bicontinu
SoitEunC-evn etu∈ Lc(E) tel que idE−uest bicontinu. Montrer que pour tout entiern, idE−un est bicontinu et comparer son inverse à Pn−1
k=0 idE−e2ikπ/nu−1
. Indication : décomposer en éléments simples la fraction 1
1−Xn. Exercice 118. Norme linéaire surR= norme linéaire surC
Soit A ∈ Mn(R) et f ∈ L(Rn), g ∈ L(Cn) les endomorphismes canoniquement associés àA. Montrer que si on munitRn et Cn des normes euclidiennes usuelles, alors f = g .
Exercice 119. Applications linéaires surR[x]
SoitE=R[x] muni de la norme :
Paixi =P
|ai|.
1) Est-ce queϕ:P 7→P(x+ 1) est continue ?
2) Est-ce queψ:P 7→AP est continue ? (A∈E fixé)
3) Reprendre les questions précédentes avec la norme : kPk= sup{e−|t||P(t)|, t∈R}.
Exercice 120. uv−vu=id
SoitE un espace vectoriel normé etu, v∈ L(E) tels queu◦v−v◦u= idE. 1) Calculeru◦vn−vn◦upourn∈N∗.
2) Montrer queuouv est discontinu.
Exercice 121. La dérivation peut-elle être continue ?
On noteE=C∞([0,+∞[,R) etD l’endomorphisme deE de dérivation : D(f) =f0. 1) Montrer qu’il n’existe aucune norme surE pour laquelleD soit continu.
2) SoitF le sous-ev deE constitué des fonctions polynomiales. Trouver une norme surF pour laquelle D|F est continu.
Exercice 122. Mines MP 2002
On munitEk=Rk[X] de la normekPkk=Pk
i=0|P(i)|. Calculer ϕ avecϕ:
E2 −→ E3
P 7−→ X2P0. Exercice 123. Normes sur les suites bornées
Soit E l’ensemble des suites réelles u= (un) bornées et F le sev des suites telles que la série de terme général|un|converge. Pouru∈E, on posekuk∞= sup
n
|un|et pouru∈F : kuk1=P
n
|un|.
Soita∈E etf :
E −→ E
u 7−→ au= (anun).
1) Montrer quef est une application linéaire continue deE dansE et calculer sa norme.
2) Montrer queF est stable parf et calculer la norme def|F quand on prend la normek k1 surF. Exercice 124. Thm de l’hyperplan fermé
SoitE unR-evn etf ∈E∗.
1) Montrer quef est continue si et seulement si Kerf est fermé (pour la réciproque : supposer Kerf fermé, montrer que{xtqf(x)>0}est ouvert, puis étudier {xtq −1< f(x)<1}).
2) On supposef continue. Soitx∈E. Montrer que|f(x)|= f d(x,Kerf).
Exercice 125. Théorème de Hahn-Banach (Polytechnique MP∗ 2003)
SoitE un espace vectoriel normé de dimension finie etF un hyperplan deE. Soitε∈E tel queRεsoit supplémentaire de F. Soitf une forme linéaire surF.
1) Montrer que : ∀x1, x2∈F, f(x1)− f kx1−εk6 f kx2+εk −f(x2).
2) Montrer qu’il existeα∈Rtel que : ∀x1, x2∈F, f(x1)− f kx1−εk6α6 f kx2+εk −f(x2).
3) On définitϕ∈E∗ parϕ|F =f et ϕ(ε) =α. Montrer que ϕ = f . 4) On considèreE={u= (un)n∈N∈RNtq P
n∈N|un|<+∞} avec la norme définie par : kuk=P
n∈N|un|. Montrer queE est complet pour cette norme.
5) Donner une famille dénombrable de sev deE de dimensions finies dont la réunion est dense dansE.
6) SoitF un sev de E de dimension finie etf une forme linéaire sur F. Montrer qu’il existe une forme linéaireϕsurE telle queϕ|F =f et ϕ = f .
Exercice 126. Rayon spectral
SoitE un evn de dimension finie etu∈ L(E). On pose xn = un . 1) Montrer queρ= inf{√n
xn, n∈N} est indépendant de la norme choisie surE.
2) En utilisant l’inégalité : xp+q 6xpxq, montrer que la suite (√n
xn) converge versρ.
Exercice 127. Rayon spectral (Centrale MP 2001)
SoitE un espace vectoriel complexe de dimension finie. On considère un endomorphismef deE et on noteρ(f) = sup{|λ|tqλ∈sp(f)} (rayon spectral def). Soit ν une norme surL(E).
1) Montrer queρ(f) 6 limp→∞(ν(fp)1/p). On pourra pour commencer supposer que ν est la norme subordonnée à une norme surE.
2) Montrer que sif est diagonalisable l’inégalité précédente est une égalité.
3) Étudier le cas général.
Exercice 128. Polytechnique MP∗2000
Soit u une application linéaire de Rn dans Rm. Prouver que u est surjective si et seulement si elle transforme tout ouvert deRn en ouvert de Rm.
Exercice 129. Sommes de Riemann SoitE=C([0,1],R) muni dek k∞. Pour f ∈E, on poseµ(f) =R1
0 f et pourn>1,µn(f) = 1nPn−1
k=0f(k/n).
1) Montrer queµetµn sont des applications linéaires continues et calculer leurs normes.
2) Montrer : ∀f ∈E, µn(f) −→
n→∞µ(f).
3) Montrer : ∀n>1, µn−µ = 2.
Exercice 130. Évaluation
SoitE=C([0,1],R) muni dek k∞. Poura∈[0,1] on considère la forme linéaire ϕa =f 7→f(a).
1) Montrer queϕa est continue et déterminer sa norme.
2) Calculer ϕa−ϕb poura, b∈[0,1].
3) L’applicationa→ϕa est-elle continue ? Exercice 131. Kerf = Kerf2, Mines MP 2012
Soit E unR-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E). Montrer qu’il existeC >0 tel que, pour tout x∈E,kf2(x)k>Ckf(x)k si et seulement si Kerf = Kerf2.
solutions
Exercice 3.
Pour k k1: {(x,32), x60} ∪[(23,0),(1,12)]∪ {(x,12), x>1}.
Pour k k∞: {(x,1−x), x60} ∪ {(x,1), 06x61} ∪ {(x,2−x), x>1}.
Exercice 6.
1) Pourx, x0 ∈Rn ety∈Aon adA(x)6kx−yk6kx−x0k+kx0−yk. En prenant la borne inférieure sury on obtientdA(x)6kx−x0k+dA(x0). Par symétrie on a aussidA(x0)6kx−x0k+dA(x) d’où
|dA(x)−dA(x0)6kx−x0k.
2) On sait que A ={x∈ Rn tqdA(x) = 0}. DoncdA =dB ⇒ A = B et la réciproque résulte de la propriété faciledA=dA.
3) On note : M = sup{|dA(y)−dB(y)|, y∈Rn}, α= sup{dB(x), x ∈A} et β = sup{dA(x), x∈B}.
Par restriction dey àA∪B on obtientM >max(α, β). Par ailleurs, poury∈Rn,a∈Aetb∈B on aky−ak − ky−bk6ka−bk d’oùdA(y)− ky−bk6dA(b) puisdA(y)−dB(y)6β. Par symétrie on a aussidB(y)−dA(y)6αdonc|dA(y)−dB(y)|6max(α, β) et finalementM 6max(α, β).
Exercice 9.
1) Pourθ∈R, la demi-droite d’origineOet d’angle polaireθcoupeKselon un intervalle non trivial (K est convexe etO est interieur àK), fermé borné (K est compact). On note f(θ) la longueur de cet intervalle, ce qui définitf :R→R+∗, 2π-périodique telle queK={M(ρ, θ) tq 06ρ6f(θ)}.
Continuité def : soitθ0∈Retε >0. SoitM(ρ0, θ0) tel quef(θ0)−ε < ρ0< f(θ0). DoncM ∈K˚ et il existeα >0 tel que la boule de centreM et de rayonαest incluse dansK (faire un dessin). Ainsi, pour toutθsuffisament proche deθ0on af(θ)>OM > f(θ0)−ε. Considérons alors une hypothétique suite (θk) de réels convergeant versθ0 telle que la suite (f(θk)) ne converge pas vers f(θ0). Comme la suite (f(θk)) est bornée on peut, quitte à extraire une sous-suite, supposer qu’elle converge vers un réel ` et le raisonnement précédent montre que ` > f(θ0). Si Mk désigne le point de K à la distancef(θk) dans la direction d’angle polaireθk alors la suite (Mk) converge vers le point M(`, θ0) qui doit appartenir àK par compacité, mais qui contredit la définition def(θ0).
2) Si g ne s’annule pas alors Rπ
x=0g(x) sin(x) dx 6= 0. Si g ne s’annule qu’en α∈ [0, π] alors g est de signe constant sur [0, α] et sur [α, π], les signes sont opposés, et on obtient encore une contradiction en considérantRπ
x=0g(x) sin(x−α) dxqui vaut 0 (développer le sinus).
3) On choisitO=G. On aRR
M∈K
−−→OM = 0, soitR2π
θ=0f3(θ) cosθdθ=R2π
θ=0f3(θ) sinθdθ= 0, soit encore : Rπ
θ=0(f3(θ)−f3(θ+π)) cosθdθ=Rπ
θ=0(f3(θ)−f3(θ+π)) sinθdθ= 0. D’après la question précédente, il existeα6=β ∈]0, π[ tels quef(α) =f(α+π) etf(β) =f(β+π), ce qui prouve qu’il y a au moins deux diamètres de K dont O = G est le milieu. On prouve l’existence d’un troisième diamètre en décalant l’origine des angles polaires de façon à avoirf(0) =f(π), ce qui est possible vu l’existence deα, β.
Exercice 10.
Pour kxk61 etkyk61 on akf(x)−f(y)k=kx−yk.
Pourkxk61<kykon akf(x)−f(y)k6kx−yk+
y− y
kyk
=kx−yk+kyk −16kx−yk+kyk − kxk6 2kx−yk.
Pour 1 < kxk 6 kyk on a kf(x)−f(y)k 6
x kxk − y
kxk +
y kxk − y
kyk
6 kx−yk+kyk − kxk
kxk 6
2kx−yk kxk .
Remarque : dans le cas où la norme est euclidienne,f(x) est le projeté dexsur la boule unité, c’est-à-dire le point de la boule unité le plus proche de x. Dans ce cas, f est 1-lipschitzienne. Dans le cas d’une norme non euclidienne on peut avoir kf(x)−f(y)k>kx−yk, par exemple avecx= (1,1) ety= (12,32) dansR2 pourk k∞.
